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Geometría con GeoGebra
Juan Fernando López Villaescusa
http://iesramonllull.edu.gva.es/jflopez
Geometría con GeoGebra
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Actividad 1: Para empezar
Puesta en marcha del programa
Para arrancar el programa, haz doble clic sobre el icono que está en el
Escritorio. (si no encuentras el icono en el Escritorio, accede desde
Inicio/Todos los programas/GeoGebra/GeoGebra)
Es aconsejable Maximizar la ventana para trabajar más cómodamente con el
programa.
La parte superior de la pantalla contiene la Barra de Título, la Barra de Menús y la
Barra de Herramientas:
Cada uno de los botones de la Barra de Herramientas permite desplegar un menú
diferente.
Pulsa en el cuarto de ellos sobre el triángulo de la parte
inferior derecha. Verás cómo se abre el correspondiente menú
y cómo cambia el aspecto del botón cuando seleccionas, por
ejemplo la herramienta Polígono. Observa que a la derecha de
la Barra de herramientas se actualiza un pequeño texto de
ayuda para el uso de la correspondiente herramienta.
Cómo guardar y recuperar tu trabajo
En la barra de Menús aparece la línea de comandos
(Archivo, Edición,...) de la misma forma que en otros
programas:
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Prueba ahora a construir alguna figura como los da la figura siguiente, para
acostúmbrate al programa.
Actividad 1
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Actividad 2: Construir figuras geométricas
Si no has cerrado GeoGebra, haz clic en Archivo-Nuevo, para empezar una nueva
construcción.
El ejercicio consiste en construir un triángulo cualquiera ("modificable con el ratón")
y a partir de él la circunferencia que lo circunscribe. También deseamos conocer el
centro de esa circunferencia.

En primer lugar prepara la zona de trabajo quitando los ejes y la cuadrícula.

A continuación dibuja el triángulo con la herramienta
Polígono
Haz clic en tres puntos (A, B, y C) de la vista gráfica. Para acabar la construcción del
triángulo hace falta "cerrarlo" haciendo clic sobre el primero de los vértices (A).
Despliega la Barra de Estilo y elige el color, opacidad y grosor que quieras para el
triángulo.
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Ahora ya está dibujado el triángulo "cualquiera", comprueba que puedes mover sus
vértices con la herramienta Elige y Mueve

Dibuja la circunferencia que circunscribe al triángulo, es decir que pasa por los
tres vértices.
Para ello selecciona Circunferencia dados Tres de sus Puntos, que se hace visible al
desplegar la lista de botones pulsando sobre la flechita de la esquina inferior derecha
del botón visible Circunferencia
Comprueba ahora moviendo los vértices del triángulo como cambia la circunferencia.
También puedes mover la circunferencia, haciendo clic y arrastrando.

Por último localiza el centro de la circunferencia, circuncentro del triángulo.
¿Cómo lo harías con papel y lápiz?
Con GeoGebra se puede hacer de una forma muy
rápida, seleccionar Punto medio o Centro
Guarda tu construcción con el nombre actividad2.ggb
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Actividad 3: Dos triángulos
Haz clic sobre Archivo, Abrir y busca el archivo actividad3.ggb que encontrarás en la
carpeta (Mis documentos/geometriacongeogebra)
Prueba a mover alguno de sus elementos.
Selecciona primero la herramienta Desplaza, y pasa el ratón por encima de los
diferentes elementos geométricos del dibujo hasta que alguno aparezca levemente
resaltado, apretando con el botón izquierdo del ratón podrás mover el elemento
seleccionado.
Prueba a mover alguno de sus elementos, con el botón izquierdo del ratón podrás
mover el elemento seleccionado.
 ¿Qué relación hay entre los dos triángulos y el punto O?
 ¿Y entre las medidas de sus lados?
 ¿Y entre las áreas?
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Actividad 4: Ángulos en la circunferencia.
La actividad consiste en dibujar un ángulo inscrito en una semicircunferencia.
Desliza el punto P sobre la semicircunferencia y fíjate qué valores toma el ángulo.
¿Cómo es el triángulo que se obtiene?
Guarda tu construcción con el nombre ang_inscrito.ggb.
Actividad 5: Dos triángulos
Dibuja una figura como la adjunta:
Te recomiendo el siguiente orden:




Dibuja una circunferencia y llama al centro O
Sitúa en la circunferencia y nombra los tres
puntos restantes.
Representa los segmentos y los ángulos.
Y finalmente traza el arco C.
Guarda tu construcción
angulo_central.ggb.
con
el
nombre
¿A qué ángulo se le llamará central y a cuál inscrito? ¿Por qué?
Modifica la posición de los puntos, ¿observas alguna relación entre las medidas de los
ángulos?
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Actividad 6:
Dibuja un triángulo con los vértices sobre una circunferencia y que uno de sus lados
sea el diámetro de la circunferencia.
Guarda tu construcción con el nombre triangulo1.ggb
Es recomendable seguir los siguientes pasos:




Dibujar la circunferencia dados su centro y uno de sus puntos
Trazar el diámetro con la herramienta recta que pasa por dos puntos , con la
herramienta intersección de dos objetos para obtener el punto del segmento
del diámetro.
Dibuja un punto sobre la circunferencia.
Dibujar el triángulo con los tres puntos, los extremos del diámetro y el
anterior.
¿Cómo es el triángulo obtenido?
Actividad 7:
Ahora abre tu construcción anterior (triangulo1.ggb) si las has cerrado.
Une el centro de la circunferencia con el vértice opuesto del triángulo como en la
figura.
Guarda tu construcción con el nombre triangulo2.ggb.
Investiga
¿Cómo es el área de los dos triángulos pequeños?
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Actividad 8:
Haz clic sobre Archivo, Abrir y busca el archivo actividad8.ggb que encontrarás en la
carpeta (Mis documentos/geometriacongeogebra)
¿Cómo se calcula área de un paralelogramo? ¿Y la de un triángulo?
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Actividad 9:
Dibuja un cuadrilátero cualquiera, une los puntos medios de los lados para obtener un
nuevo cuadrilátero.
Guarda tu construcción con el nombre actividad9.ggb
¿Cómo es ese nuevo cuadrilátero?
¿Cómo es el área de este cuadrilátero?
La figura corresponde a un caso particular de los cuadriláteros, se ha dibujado un
cuadrado. Prueba con otros cuadriláteros.
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Actividad 10: Baricentro
MEDIANAS
Las medianas de un triángulo son las rectas que se unen cada uno de los vértices del
triángulo con el punto medio del lado opuesto.
BARICENTRO (G)
Es el punto de corte de las tres
medianas de un triángulo.
Pasos a seguir:
Dibuja un triángulo ABC
Dibuja dos medianas del triángulo: AM
y BN, con las herramientas Punto
medio y Segmento entre dos puntos.
Las dos medianas se cortan en el punto G (baricentro)
Guarda tu construcción con el nombre baricentro.ggb.
Comprueba que la tercera mediana CP pasa por ese punto.
INVESTIGA
Utiliza la herramienta Distancia para medir los dos segmentos en el que el baricentro G
divide a una cualquiera de las tres medianas, por ejemplo la mediana AM.
Modifica la posición de los vértices del triángulo y observa cómo cambian las
longitudes anteriores. ¿Observas alguna relación entre ellas?
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Actividad 11: Ortocentro
ALTURAS
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice
del triángulo al lado opuesto.
ORTOCENTRO (O)
Es el punto de corte de las tres alturas de un
triángulo.
Pasos a seguir:
Dibuja un triángulo ABC. Dibuja en él una altura.
Mueve los vértices para comprobar la validez de
la construcción, es decir que la altura sigue
siendo perpendicular al lado por el vértice
opuesto.
Dibuja una segunda altura. Estas alturas se cortan en un punto O (ortocentro)
Dibuja la tercera altura y comprueba que pasa por el punto O.
Guarda tu construcción con el nombre ortocentro.ggb.
INVESTIGA
Al mover los vértices del triángulo comprobará que el ortocentro no siempre se sitúa
en el interior del triángulo.
¿En qué tipo de triángulos el ortocentro está dentro o fuera de él?
¿Cómo se llaman los triángulos en los que el ortocentro coincide con un vértice?
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Actividad 12: Circuncentro
MEDIATRICES
Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de sus lados
que pasan por el punto medio.
CIRCUNCENTRO M
Es el punto de corte de las tres mediatrices
de un triángulo. Es el punto equidistante de
los tres vértices.
Pasos a seguir:
Dibuja un triángulo ABC. Traza sus
mediatrices con la herramienta Mediatriz en
cada uno de sus lados.
Comprueba que se cortan en un punto M.
Dibuja la circunferencia con centro M que pasa por uno de los vértices. Comprueba
que los otros dos vértices también pertenecen a la circunferencia.
Esta circunferencia esta circunscrita al triángulo y su centro M es el circuncentro del
triángulo.
Guarda tu construcción con el nombre circuncentro.ggb.
INVESTIGA
Mueve los vértices del triángulo y observa los cambios en la construcción, sobre todo
la posición del circuncentro M.
¿Puede este punto estar fuera del triángulo? ¿Y sobre un lado del triángulo?
En caso afirmativo ¿en qué tipo de triángulos?
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Actividad 13: Incentro
BISECTRICES
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en
dos partes iguales.
INCENTRO I
Es el punto de corte de las tres bisectrices de
un triángulo. El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo.
Pasos a seguir:
Dibuja un triángulo ABC y sus tres bisectrices.
Al seleccionar la herramienta bisectriz deberás
hacer clic sobre los tres vértices del triángulo en el orden adecuado para cada una de
las bisectrices.
Comprueba que se cortan en un punto I, el incentro.
Dibuja una circunferencia con centro en el incentro I y que toque un lado del triángulo
en un único punto P.Este punto es la intersección de la recta perpendicular al lado AB
que pasa por el incentro I. Fíjate en la figura.
Guarda tu construcción con el nombre incentro.ggb.
INVESTIGA
Utiliza la herramienta Distancia para medir la distancia del incentro a cada uno de los
lados del triángulo.
Mueve los vértices del triángulo y observa que pasa con esas distancias.
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Actividad 14: Recta de Euler
INVESTIGA
Dibuja en un triángulo los cuatro puntos notables: baricentro, circuncentro, ortocentro
e incentro.
Pasos a seguir:
Dibuja un triángulo ABC.
Para dibujar el baricentro bastará con dos
medianas.
A continuación oculta las medianas. Para ello
haz clic con el botón derecho del ratón.
Dibuja el ortocentro, recuerda que con dos
alturas tienes suficiente. Oculta las alturas.
Ahora dibuja el circuncentro con dos
mediatrices. Oculta las mediatrices y los
puntos medios.
Guarda tu construcción con el nombre euler.ggb
A simple vista parecen alineados, mueve los vértices del triángulo y observa qué pasa.
Para ayudarte puedes trazar una recta que pase por dos de los tres puntos.
Mide la distancia desde el ortocentro (O) al baricentro (G) y desde el baricentro (G) al
circuncentro (M). ¿Encuentra alguna relación?
¿Qué pasa con el incentro, también está alineado?
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