Download calculo diferencial e integral (adm)

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA ADMINISTRADORES
UNA APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
AL ANALISIS ECONOMICO
Escriben: Eco. Eduardo Ortiz Chuca
Ing° Pedro Espinoza Colán
En la mayor parte de fenómenos económicos ocurre que las variables que participan cambian con el
tiempo, por ejemplo la tasa de crecimiento de determinada población, o la tasa de inflación de un
determinado grupo de bienes, varían con el tiempo. Es competencia de los economistas precisar con
claridad las variables económicas involucradas en su modelo así como las condiciones en que estas se
dan, sin estas precisiones el modelo o es irrelevante o no reflejara una determinada realidad, sin
estas consideraciones puede ocurrir que el modelo no sea útil aunque tenga solución matemática, aquí
radica la importancia para los estudiantes de economía, contabilidad y finanzas de conocer y resolver
modelos económicos que suponen variaciones en el tiempo. Las ecuaciones diferenciales nos permiten
describir estas variaciones. Veremos modelos económicos como el modelo de la deuda( desarrollado por
el economista H. Domar) el cual permite estimar en el largo plazo que porcentaje del Ingreso Nacional
será destinado a la Deuda a partir de unas condiciones iniciales; y luego presentaremos el modelo de
ajuste de precio de Evans. Antes explicaremos brevemente el concepto de modelo económico.
MODELOS ECONOMICOS
Un modelo es una representación de la realidad. No es sencillo el construir un modelo que responda
exactamente a la realidad en estudio. No obstante, si asumimos algunas situaciones particulares de la
realidad, será más fácil construir el modelo pero, la consecuencia inmediata será la no exactitud del mismo.
Mientras más asunciones hagamos, menos exacto será el modelo en la descripción del fenómeno en estudio.
Por ejemplo, cuando analizamos un modelo que permite determinar los niveles de utilidad que se generan
al producir y vender “q” unidades, es un modelo que supone conocer el comportamiento de los Ingresos y
Costos del bien, es decir es un modelo Costo – Ingreso, que viene expresado por el conjunto de
ecuaciones:
C (q)  CU .q  CF

I (q)  PU .q
donde q es el nivel de producción, CU es costo unitario, CF es costo fijo, PU es precio unitario, etc. ¿lo ha
visto antes o lo recuerda?, pues bien, en este modelo, para determinar el volumen mínimo de producción se
hace una suposición: “ todo lo que se produce, se vende”. Esto es algo que no necesariamente se cumple
( por ejemplo en nuestro país muchos campesinos no pueden ofrecer su producto en el mercado dado que no
están en capacidad de asumir los costos de transporte lo cual lleva que los productos sean vendidos en el
mercado no por los directos productores del bien, esto hace que necesariamente los precios en el mercado
sean mas elevados) pero este supuesto facilita enormemente la descripción del fenómeno citado y permitirá
analizar los distintos niveles de utilidad o de ganancia que se pueden percibir a distintos niveles de
producción y a todo esto ¿ qué es un modelo matemático?

Profesores en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Un modelo matemático es un conjunto de símbolos y cantidades que nos permiten describir un determinado
fenómeno. La matemática juega un papel muy importante en la descripción de los llamados modelos
económicos. Indudablemente que para que el modelo funcione previamente debe haber un proceso de
cuantificación pero, sea consiente no todo en las actividades económicas se puede cuantificar, por ejemplo,
¿cómo cuantificar la preferencia o como cuantificar en la venta de un bien la honradez del vendedor o del
comprador?. No caigamos pues en el error de tratar de cuantificar todo, recuerde el proverbio que en latín
dice: “Qui numerare íncipit, errare iíncipit” (quien empieza a contar, empieza a equivocarse).
MODELOS ESTATICOS Y MODELOS DINAMICOS:
En general, hay dos tipos de modelos económicos, los estáticos y los dinámicos. Los estáticos se refieren a
situaciones de equilibrio, es decir, situaciones que si son alcanzadas se mantendrán en el tiempo. En el
modelo Costo-Ingreso mostrado líneas arriba es un ejemplo de modelo estático, pues para este modelo no
nos es relevante la variable tiempo, lo cual es un supuesto nada real, pero que sirve para analizar el
comportamiento de las variables ingreso y costo respecto a la variable utilidad y ganancia, así por ejemplo
hay dos maneras de aumentar los niveles de utilidad o ganancia ( que es una gran preocupación de nuestras
familias ¿Cómo aumentar nuestras ganancias?). Uno es aumentando nuestros ingresos ( lo cual supone que si
tenemos trabajo nos aumenten de salario o sueldo, cosa que en un país con una economía recesiva es poco
probable), otra manera que pueden aumentar la utilidad de nuestras familias es que disminuyan sus costos ya
sea en salud, educación, vivienda, alimentación, ¿es posible esto? el gran reto de los sociólogos, economistas
y en general de los científicos sociales de nuestro país seria como lograr que nuestras familias gasten menos
sin perjudicar su bienestar es decir: hacer de su pequeño ingreso monetario y de sus pocos recursos un
eficiente uso. Bueno pero estamos suponiendo nada relevante la variable tiempo y nuestro modelo es estático
En cambio los modelos dinámicos están relacionados con situaciones que cambian con respecto al tiempo.
En los modelos dinámicos interviene el tiempo explícitamente como una variable, o implícitamente en la
forma de otras variables, y estos modelos para resolverlos y analizar el comportamiento de la variable que se
esta estudiando suponen resolver ecuaciones diferenciales. Los modelos que analizaremos en este trabajo,
son modelos económicos dinámicos muy sencillos expresados en términos de ecuaciones diferenciales.
MODELO DE LA DEUDA DE DOMAR (*)
Este modelo considera que la deuda nacional (D) y el ingreso nacional (I) son funciones del tiempo, y supone
que las razones de cambio de la deuda y del Ingreso son proporcionales al nivel de ingreso en cualquier
tiempo “t”, además se dan las condiciones iniciales, es decir un nivel de Deuda (Do) e Ingreso (Io) inicial.
Es decir:
dD
 kI (t )
dt
Ademas I (0)  I o
dI
 mI (t )
dt
D ( 0)  D 0
A partir de estas condiciones se obtiene las funciones I ( t), D (t) planteando y resolviendo las
ecuaciones diferenciales formadas
(*) Domar: Economista post- Keynesiano
Problemas propuestos:
1.- Un país asume una deuda nacional ( D ) que crece a una razón igual al 1% del ingreso nacional ( I )
, por otro lado el Ingreso nacional crece a una razón igual a 8 % de su tamaño. Se sabe que inicialmente Io
= 1000 millones de dólares y la deuda asumida inicialmente es Do = 5 millones de dólares.
a)
b)
Plantee las ecuaciones diferenciales del modelo
Resuelvas las ecuaciones y obtenga las funciones D ( t ) , I ( t )
c)
Obtenga el cociente
d)
¿Qué ocurre en el largo plazo con el cociente anterior?
D(t )
I (t )
2.- En el siguiente modelo, “D” es la deuda nacional, “y” es el ingreso nacional:
dD
 0,49 y (t )  70 ;
dt
a)
b)
dy
 0,7 y (t ) ;
dt
y(0) = 1000 ; D(0) = 4
Resuelva el modelo
Determine el límite cuando t   de la razón de la deuda nacional respecto al ingreso nacional