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Son independientes
Plan de clase (1/4)
Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido: 9.3.7 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes
(regla del producto).
Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen puntos muestrales en un espacio
muestral, al tener que calcular la probabilidad de eventos.
Consigna: En equipos, determinen el espacio muestral del experimento que consiste en
lanzar dos dados y observar los números de ambas caras, después contesten:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras tengan un número par? _______________
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número? _________
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10? ______
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 o 6? ___
e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 y que
ambos números sean iguales? _____________
Consideraciones previas:
La idea fundamental de este plan es que los alumnos puedan identificar los puntos muestra
que corresponden a un evento, teniendo a la vista el espacio muestral.
Para este caso, se puede sugerir un arreglo rectangular incompleto para que los estudiantes
lo completen. Es importante resaltar que se trata de dos dados, y por lo tanto el par ordenado
(3, 2) es un punto muestra diferente de (2, 3), puede pensarse en dos dados de distinto color,
de manera que, por ejemplo, el primer par ordenado puede ser: dado blanco 3, dado rojo 2;
mientras que el segundo sería: dado blanco 2, dado rojo 3. Así puede entenderse que el
espacio muestral consta de 36 puntos muestra o sucesos.
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
2
3
4
5
6
(2,5)
(3,4)
(4,3)
(5,2)
(6,6)
En este plan sólo se trata de que los alumnos identifiquen puntos muestra y los cuenten para
determinar la probabilidad, considerada ésta como la frecuencia relativa que resulta de dividir
los casos favorables entre los casos posibles. Por ejemplo, en el inciso a), hay que ubicar en
el espacio muestral todos los pares en los que ambos números son pares, (9 de 36), por lo
9
1
que la probabilidad es
= .
4
36
Los incisos d) y e) tienen una dificultad adicional porque se trata de la probabilidad de
eventos compuestos. En el primer caso son dos eventos mutuamente excluyentes, suma 10
o suma 6, no tienen elementos en común.
En el segundo caso, que la suma sea 10 y los números iguales, los alumnos notarán que
sólo hay un punto muestra que cumple con esta condición (5, 5).
Si se presentan las diferentes formas de expresar la probabilidad (fracción, decimal o %), hay
que aprovecharlas para analizar sus equivalencias y conversiones.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Dependientes e independientes
Plan de clase (3/4)
Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido. 9.3.7 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes
(regla del producto).
Intenciones didácticas: Que los alumnos
independientes y que calculen su probabilidad.
identifiquen
eventos
dependientes
e
Consigna: En equipos, calculen la probabilidad de los siguientes eventos, considerando el
experimento que consiste en lanzar dos dados y observar los números de ambas caras.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el número 2? _____________
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 o que
ambos números sean iguales? ______________________
3. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 y que
ambos números sean iguales? _______________________
4. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 4 y que
ambos números sean iguales? ______________________
Consideraciones previas:
A diferencia del plan anterior en el que sólo se trata de identificar y contar puntos muestrales
para determinar la probabilidad, en éste se trata de combinar dichos recursos con el cálculo
de probabilidades y analizar la dependencia y la independencia de dos eventos.
Los alumnos podrán determinar con facilidad, teniendo a la vista el espacio muestral, que la
probabilidad en el caso del primer problema es
1
. Con base en este resultado conviene
36
plantear la pregunta: ¿se puede obtener este mismo resultado considerando la probabilidad
de que salga 2 en cada uno de los dados? La probabilidad de que salga 2 cuando se lanza el
primer dado es
1
1
; cuando se lanza el segundo dado también es ; enfatícese en que la
6
6
probabilidad de que salga 2 en el primer dado –primer evento- NO altera la probabilidad de
que salga 2 en el segundo dado, por lo cual se afirma que son eventos independientes. De
esta manera, si los eventos son independientes, se puede obtener la probabilidad obteniendo
el producto de las probabilidades de cada evento, esto es
1
1
1
x
=
. Esta forma de
6
6
36
obtener la probabilidad buscada recibe el nombre de “regla del producto”. Hay que recalcar
que la aplicación de esta regla sólo es posible cuando se trata de eventos independientes.
El problema 2 es un caso de eventos mutuamente excluyentes, es decir que dados dos
eventos puede ocurrir que se dé uno u otro pero no ambos simultáneamente. En este caso
se espera que los alumnos apliquen la regla de la suma que ya ha sido estudiada.
En el problema 3 se espera que los alumnos se den cuenta de que no hay puntos muestrales
que cumplan con ambas condiciones simultáneamente (suma 7 y números iguales), por lo
tanto su probabilidad es cero.
En el cuarto problema se requiere un análisis más minucioso por lo siguiente: en el espacio
muestral se podrá apreciar que sólo hay un punto muestral cuya suma es 4 y los números
son iguales (2, 2), por tanto la probabilidad de este evento es
1
. Si se decidiera aplicar la
36
regla del producto como en el problema 1, se podrá ver que: la probabilidad de que la suma
sea 4 es
3
1
=
ya que se tienen los puntos muestrales (1, 3), (3, 1) y (2, 2); por otro lado,
12
36
la probabilidad de que los números sean iguales es
6
1
= , pues se tienen las parejas (1,
6
36
1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) y (6, 6). Ahora bien, al aplicar la regla del producto resulta
1
x
12
1
1
1
1
=
y
≠
. Está claro que en este caso no se debe aplicar la regla del producto,
6
72
72
36
porque se trata de dos eventos que no son independientes. Otra manera de ver esto mismo
es: si ya apareció una suma cuatro la probabilidad de que ambos números sean iguales es
1
3
y no
1
como se estableció originalmente. Por otra parte, si ya se sabe que los números son
6
iguales la probabilidad de que la suma sea 4 es
1
1
y no
como se estableció al inicio.
6
12
En esta sesión se espera dejar en claro que si dos eventos se consideran independientes
entonces su probabilidad puede calcularse mediante la regla del producto.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Uno no afecta al otro
Plan de clase (2/4)
Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido. 9.3.7 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes
(regla del producto).
Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen diversos experimentos de azar e
identifiquen los eventos que son independientes, que adviertan que la ocurrencia de uno no
afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro.
Consigna: Organizados en equipos analicen y resuelvan las siguientes situaciones.
Situación 1.
a) Calcular la probabilidad de obtener 1 y águila al lanzar un dado y una moneda. ______
b) Calcular la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado, sabiendo que ya salió águila al
lanzar la moneda. _________________
Situación 2.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor que 4 al lanzar un dado?
____________________________
b) Sabiendo que ya salió par, ¿cuál es ahora la probabilidad que sea menor que 4?
____________________________
Consideraciones previas:
Igual que en el plan anterior, las probabilidades pedidas pueden obtenerse a partir de la
determinación del espacio muestral correspondiente. La atención de este plan se centra en
identificar la dependencia o independencia de los eventos que se presentan en cada
situación. En la primera se trata de eventos independientes, ya que la ocurrencia de uno no
tiene efecto en la probabilidad de que ocurra el otro, la probabilidad de obtener 1 al lanzar el
1
dado no depende del resultado de lanzar la moneda, siempre es , aun sabiendo que la
6
moneda ya cayó águila.
En cambio, en la segunda situación, se trata de eventos dependientes, la probabilidad de que
1
el número sea menor que 4 es
(1, 2 y 3), pero si se sabe que ya salió par, el espacio
2
muestra se reduce a (2, 4 y 6), de los cuales uno (el 2) es menor que 4, por lo tanto la
1
probabilidad es .
3
Una idea importante que se espera dejar en claro en esta sesión es que dos eventos se
consideran independientes cuando la ocurrencia (o no ocurrencia) de cualquiera de ellos no
afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro.
Para contribuir con la intención didáctica de este plan es conveniente que se analicen otras
situaciones que incluyan eventos independientes, algunos ejemplos son:
1. Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha caído sol. ¿Cuál es la
probabilidad de que en el sexto volado también caiga sol? ___________________
2. Se va a realizar una rifa con 200 boletos que han sido numerados del 1 al 200. Todos
los boletos se han vendido. El boleto ganador será el primero que se saque de una
urna. Ana compró los boletos 81, 82, 83 y 84. Juan adquirió los boletos 30, 60, 90 y
120. ¿Quién tiene más oportunidades de ganar? _________________________
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
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Uso limitado
Pobre
Como producto
Plan de clase (4/4)
Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido. 9.3.7 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes
(regla del producto).
Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen y utilicen la regla del producto para
calcular la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes.
Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:
1. La mamá de Enrique y la tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz a
sus bebés.
a) ¿Qué probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón?____________________
b) ¿Crees que los eventos varón y varón son independientes? _____________________
Explica por qué ________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
2. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que
caiga el número 4 y sol?____________
Explica por qué los eventos “número 4” y “caer sol” son independientes.
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Consideraciones previas:
Es muy probable que los alumnos obtengan por separado las probabilidades de cada evento
1
1
1
1
en cada problema, para el primero
y
y para el segundo
y ; sin embargo el asunto
6
2
2
2
es averiguar cómo se relacionan estas medidas para obtener la probabilidad de que ocurran,
1
1
en cada caso, los dos eventos a la vez, para el primero
y para el segundo
. Un arreglo
4
12
rectangular o un diagrama de árbol permiten visualizar el espacio muestral y los casos
favorables de cada situación. La aplicación de la regla del producto puede ser útil para
confirmar la respuesta.
Otros problemas que permitirán aplicar la regla encontrada son los siguientes:
1. Variantes del problema 2. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y 2? ¿Cuál es la
probabilidad de que caiga sol y 6? ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un
número mayor que 4?, etc.
2. Pedro y Mario van a extraer sin mirar una canica de una caja que contiene dos amarillas,
una verde y tres rojas. Si después de cada extracción se regresa la canica a la caja, ¿cuál
es la probabilidad de que Mario tome una canica roja y Pedro una amarilla?
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
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