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Cinética de Inactivación
Hipótesis:
 El agente de inactivación (Temperatura de calefacción), tiene igual
chance de afectar a cada una de las bacterias.
 Se supone que no hay multiplicación celular.
 Se supone que inicialmente existen N 0 bacterias viables.
 Las bacterias que son inviables en un instante dado, permanecerán
como tales en el futuro.
Desarrollo:
Consideremos subgrupos N i de bacterias, con i  1,2,..., cuyos respectivos
lapsos de viabilidad son t i , con i  1,2,..., y ti 1  ti . Esto significa que
transcurrido el lapso t i desde la iniciación del tratamiento, las N i bacterias
pertenecientes al grupo respectivo pasarán a ser no-viables y permanecerán
como tales en el futuro.
Una distribución de bacterias viables en el tiempo, consiste en la
asignación de un número N i de bacterias que pasarán de viables a no-viables
para cada lapso t i . Representaremos una distribución particular N i , t i ; i  1,2,...
de la siguiente manera
Lapsos de viabilidad
 0, ti  , o simplemente ti
Asignación (Distribución) del número
de bacterias por lapso de viabilidad ti
t1
N1
t2
N2
……….
…………….
ti
Ni
A cada distribución, le corresponderá una probabilidad de ocurra.
Construiremos esta probabilidad de la siguiente manera:
Supondremos que la probabilidad de que N i bacterias dejen de ser
viables en el instante t i i  1, 2,...,  , será proporcional al número de grupos
distintos de N i , i  1,2,..., bacterias que puedan formarse a partir de las N 0
bacterias nativas iguales. Estos grupos son distintos en el sentido que difieren
no en el número, sino en, por lo menos, una de las bacterias elegidas.
Consideremos el grupo de N1 bacterias, que suponeos dejarán de ser
viables una vez transcurrido el lapso t1 . Tenemos N 0 posibilidades diferentes
de elegir la primera bacteria integrante del grupo. Cuando nos decidimos por
una en particular, tendremos  N0  1 posibilidades diferentes de elegir la
segunda bacteria integrante del grupo, y así sucesivamente, hasta completar
grupos de N1 bacterias. Cuántos grupos de N1 bacterias habremos formado
con este procedimiento? La respuesta es
N0   N0  1   N0  2   ....   N0  N1  1 
N0 !
 N0  N1 !
grupos de N1 bacterias cada uno.
El problema es que debido al procedimiento por el que han sido formados,
estos grupos de N1 bacterias no necesariamente serán distinguibles ente sí,
sino que varios (o muchos) constarán de las mismas bacterias elegidas en
orden distinto. La pregunta relevante aquí es: de entre los  N 0 ! /  N 0  N1 !
grupos de N1 bacterias formados mediante las operaciones de selección,
cuántos serán indistinguibles entre sí, difiriendo sólo en el orden de selección
de sus componentes pero no en su contenido? . Dicho número corresponderá
al número de permutaciones entre las N1 bacterias, es decir  N1 ! : habrá
N1   N1 1   N1  2  ....1  N1 !
maneras de formar (o secuencias que conducen a) grupos conteniendo las
mismas N1 bacterias.
El número de grupos distinguibles de N1 bacterias, que difieran en por lo
menos uno de sus componentes será entonces


N0 !


  N 0  N1  ! N1 !
Para cada grupo formado de N1 bacterias, los grupos de N 2 bacterias se
formaran a partir de las  N0  N1  bacterias restantes que permanecen viables
luego de transcurrido el lapso t1 . Repitiendo el razonamiento anterior, el
número de grupos distinguibles de N 2 bacterias formados a partir de las
 N0  N1  será


 N 0  N1  !


  N 0  N1  N 2  ! N 2 !
Si consideramos los grupos distintos de N1 ; N 2 ;… N i ; N 0 bacterias , la
distribución N i , t i ; i  1,2,... podrá formarse de

 
N 0  N1  !   N 0  N1  N 2  ! 
N 0!



  ... 
 N 0  N 1 ! N 1!  N 0  N 1  N 2 ! N 2 !  N 0  N 1  N 2  N 3 ! N 3 !
N0 !
Nj!
j
maneras diferentes, donde cada manera de formar la distribución difiere de
otra, no en el número de bacterias N i que dejan de ser viables en el
instante t i (o que tienen un lapso de viabilidad t i ) , sino en, por lo menos, una
de las bacterias consideradas en cada grupo N i , asumiendo que éstas fuesen
distinguibles de alguna manera.
Supondremos que la probabilidad de una distribución será proporcional al
número de maneras diferentes en que ésta puede ser formada, es decir
PN i , t i ; i  1,2,... 
1 N0 !
 Nj!
j
donde  es una constante de normalización.
Cualquier distribución propuesta debe cumplir la condición
N
j
 N0
j
Además, el tiempo medio de viabilidad de las bacterias es, para la misma
distribución
1
N0
N
j
tj  t
j
Recurriendo al método de los multiplicadores de Lagrange, el logaritmo
natural de la probabilidad de la distribución puede escribirse, de acuerdo a las
hipótesis hechas, de la siguiente manera
ln PN i , t i ; i  1,2,...   ln   ln
 1
 1 
N
Nj!
 0
j
 1
 ln   ln N 0 !  ln N j !1 
N
j
 0
N0 !
N
j
j
N
j
j



t j  t    2   N j  N 0  

 j





t j  t    2   N j  N 0 

 j


Con la aproximación de Stirling, podemos escribir
ln N 0 ! N 0 ln N 0  N 0
ln N j ! N j ln N j  N j
de donde podemos concluir

N i

 ln N !  N N
j
j
i
ln N i  N i   ln N i
i
Sustituyendo en la condición de extremo

1
ln PN i , t i ; i  1,2,...   ln N i  1
t  2  0
N i
N0 i
A partir de la segunda igualdad de la ecuación anterior, tenemos
ln N i  1
1
t  2
N0 i
de donde podemos concluir
Ni   e
1
1
t
N0 i
Si imponemos la condición de que no habrá bacterias con lapsos de viabilidad
(life span) suficientemente grandes, surge la condición
1  0
Si pensamos en una sucesión continua de lapsos de viabilidad, podemos
escribir
Nt   e
1
1
t
N0
Ahora bien, el conjunto inicial de bacterias, está formado por las bacterias con
todos los posibles lapsos de viabilidad, por lo tanto

N 0    dt e
0
1
1
t
N0
 
N0
1
de donde se puede concluir
  1
Sustituyendo, se tiene
Nt   e

1
t
N0
El lapso medio de viabilidad estará dado por la expresión
t


N0
 dt t e


N0
0
t 
t



 t
 t

N
N0
N0

  te
  dt e
 0



0
t 0
a partir de la cual, obtenemos la relación

N0
t
y, por sustitución, la expresión del número de bacterias
viabilidad t , es
Nt 
N0
t

e
con lapso de
t
t
El número de bacterias viables en un instante t posterior al instante inicial de
la operación de esterilización  t  0 es igual al númro de bacterias
inicialmente viables, N 0 , menos el número de las que se tornaron no viables en
el lapso 0, t  , es decir
t
t
 t
1  
N  N 0   dt  N t   N 0 1   dt  e t  
 0 t

0
N0 e

t
t
Si hacemos
kd 
1
t
podemos expresar el resultado obtenido en las siguientes formas
N  N0 e

t
t
 N0 e
 kd t
donde N es el número de bacterias viables en el instante t , y k d es igual a la
inversa del lapso de viabilidad promedio de las bacterias.