Download Tarea #2 Números enteros y reales. - fc

Operaciones con enteros
1. Demuestre que (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
2. Ponga signos a los siguientes números para lograr una igualdad.
( 4) +( 7) +( 8)+( 23) = 18
( 7)+( 15)+( 14)+( 9) = –3
3. Calcule el valor de las siguientes expresiones
3 – (4 – 6 – (8 – 5))
(23+44) – (32 – 67 – 78)
4. Demostrar las siguientes proposiciones.
a) Si a y b  Z y a + b = a, entonces b = 0.
b) Para todo entero a0 = 0a = 0.
c) Se cumple que –(–a) = a.
d) Se cumple la siguiente regla de signos para el producto de dos enteros.
(–a)b = –ab
(–a) (–b) = ab
5. Demostrar las siguientes proposiciones.
a) Si a, b y c  Z, y a > b, entonces a + c > b + c.
b) Si a > b, entonces –a < – b.
c) Si a > b y c > 0, entonces ac > bc.
d) Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.
6. Encuentre un ejemplo en el cual a < b y a2 > b2.
7. Demuestre por inducción las siguientes igualdades.
a) 1 + 2 + 3 + …+ n = n(n+1)/2
1
1
1
1
n
b)


 ... 

2n  12n  1 2n  1
1·3 3·5 5·7
2n
c) 2 + 15n – 1 es múltiplo de 9.
3n  1
d) 1  3  3 2  ...  3 n 1 
,n1
2
e) 1  2·2  3·2 2  ...  n2 n1  1  n  12 n
8. Demuestre que 46 no es combinación lineal de 30 y 70.
9. Encuentre una combinación lineal de 120 y 184 para obtener 64.
10. Encuentre una combinación lineal de 120 y 184 para obtener 48.
11. Encuentre q y r para las siguientes parejas de números a y b.
a) a = 45, b = 8
b) a = -34, b = 12
c) a = 1280, b = -420
d) a = -645, b = -76
12. Encuentre el mcd de las siguientes parejas de enteros con el algoritmo de Euclides
a) 1302, 1224
b) 1816, 1789
c) 3450, 2340
d) 2784, 4988
13. Utilizando el algoritmo de Euclides exprese el mcd como combinación lineal:
a) 320, 145
b) 486, 162
c) –340, 124
d) –87, –210
14. Factorice las siguientes parejas números como potencias de números primos y
encuentre el mcd y mcm
a) 320, 145
b) 486, 162
c) –340, 124
d) –87, –210
Números racionales
1. Realizar las siguientes operaciones con racionales:
a) (7/4) + (8/5)
b) (c/a)–(a/c)
c) (12/43)(86/125)
d) (x/y)(y/x)–1
Encuentre el inverso aditivo de (33/4)((34/5) – (6/11))
Encuentre el inverso multiplicativo de (8/15)((4/9)+(13/7)–1)
2. Hallar las soluciones de las desigualdades siguientes:
a) (x – 2/3)(x + 3/5) < 0
b) x + 1/x < 1
c) (2x – 1)/(3x + 2) < 1
d) x/(x+5) < 0
3. Exprese los siguientes números decimales como racionales en su mínima expresión:
a) 3.1416
b) 2.718281828
c) 1.412
d) 0.0769230769230769…
4. Exprese los siguientes racionales como decimales periódicos.
a) 56/13
b) 132/17
Números reales
1. Buscar una demostración de que √2 no es un número racional.
2. ¿Cuál es la característica distintiva de un número irracional?
3. ¿Es racional el número 0.1235711131719232931...?
4. Encuentre el máximo, mínimo, el supremo e ínfimo de los siguientes conjuntos de reales.
a) {x  R | x5< 5}
b) {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …}
 
1 1
c) n 1   , 
 n n
d) (-6, 1]
5. Evalúe las siguientes expresiones.
a) 42/5·43/5
b) 73/8·74/5
c) (36/7)3
d) (23/4)5(23/4)2
e) ((63/2)3(76/5)2)3
f) ((3a2b4)1/2(ab3)1/3)3/2
g) ((x2y4)–3/4(x5y2)3/2)–5/6
6. Para que números reales se cumple | 2x – |2x – 1| | = –5x