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CALCULO DIFERENCIAL TALLER 02 : FRACCIONES CONTINUAS 1. Una expresión de la forma: a1 b1 a2 b2 b3 a4 ... en donde ai y bi son números reales o complejos se llama una fracción continua. Si para cada i >1, todo bi es 1 y cada ai es un natural diferente de 0, entonces la fracción se dice que es una fracción continua simple con la siguiente forma: a1 a3 1 a2 1 a3 1 a4 ... Los términos ai se obtienen aplicando iteradamente el Algoritmo de la División e invirtiendo el cociente. 2. Se puede demostrar que “un número es racional si y solo si se puede expresar como una fracción continua simple finita” 3 El resultado anterior implica que “ un número es irracional si y solo si se puede expresar como una fracción continua simple infinita” 4. Una fracción continua simple infinita puede ser periódica o no periódica. 5. Un irracional es cuadrático (aquel que es solución de una ecuación cuadrática de la forma ax 2 bx c 0 a, b, c son enteros y a 0 ) si y solo si se puede representar por una fracción continua simple periódica. 6. Las fracciones continuas se utilizan para obtener aproximaciones racionales de los números reales por medio de los convergentes o reducidos de la fracción continua simple, definidos por: c1 a1 a1 c3 a1 , a2 , a3 a1 c2 a1 , a2 a1 1 a2 1 a3 1 a2 c4 a1 , a2 , a3 , a4 a1 1 a2 1 a3 1 a4 EJERCICIOS i) Exprese cada racional como una fracción continua simple: 85/ 37, y, -25/ 12 . ii) Para cada fracción continua simple, encuentre el racional correspondiente: 1 1 5 3 1 1 2 4 1 1 2 3 1 4 2 2 iii) Si x es un irracional, aplicando iteradamente la Propiedad Arquímediana se puede hallar una fracción continua simple infinita como su expresión. Encuentre la fracción continua simple que es expresión de cada irracional 7, 2 6 Encuentre en cada caso el número irracional cuya fracción continua simple periódica es 3, 2 5, 1, 2 2, 1, 4 iv) Encuentre las primeras seis aproximaciones de 7 v) Encuentre las primeras aproximaciones por defecto y las primeras tres aproximaciones por exceso de 7