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CALCULO DIFERENCIAL
TALLER 02 : FRACCIONES CONTINUAS
1. Una expresión de la forma:
a1 
b1
a2 
b2
b3
a4  ...
en donde ai y bi son números reales o complejos se llama una fracción continua.
Si para cada i >1, todo bi es 1 y cada ai es un natural diferente de 0, entonces la fracción se
dice que es una fracción continua simple con la siguiente forma:
a1 
a3 
1
a2 
1
a3 
1
a4  ...
Los términos ai se obtienen aplicando iteradamente el Algoritmo de la División e invirtiendo
el cociente.
2. Se puede demostrar que “un número es racional si y solo si se puede expresar como una
fracción continua simple finita”
3 El resultado anterior implica que “ un número es irracional si y solo si se puede expresar
como una fracción continua simple infinita”
4. Una fracción continua simple infinita puede ser periódica o no periódica.
5. Un irracional es cuadrático (aquel que es solución de una ecuación cuadrática de la forma
ax 2  bx  c  0 a, b, c son enteros y a  0 ) si y solo si se puede representar por una
fracción continua simple periódica.
6. Las fracciones continuas se utilizan para obtener aproximaciones racionales de los
números reales por medio de los convergentes o reducidos de la fracción continua
simple, definidos por:
c1  a1   a1
c3  a1 , a2 , a3   a1 
c2  a1 , a2   a1 
1
a2 
1
a3
1
a2
c4  a1 , a2 , a3 , a4   a1 
1
a2 
1
a3 
1
a4
EJERCICIOS
i)
Exprese cada racional como una fracción continua simple: 85/ 37, y, -25/ 12 .
ii)
Para cada fracción continua simple, encuentre el racional correspondiente:
1
1
5
3
1
1
2
4
1
1
2
3
1
4
2
2
iii) Si x es un irracional, aplicando iteradamente la Propiedad Arquímediana se puede hallar
una fracción continua simple infinita como su expresión.
Encuentre la fracción continua simple que es expresión de cada irracional
7, 2  6
Encuentre en cada caso el número irracional cuya fracción continua simple periódica
es
3, 2 5, 1, 2  2, 1, 4
iv)
Encuentre las primeras seis aproximaciones de 7
v)
Encuentre las primeras aproximaciones por defecto y las primeras tres aproximaciones
por exceso de 7