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Congruencia de triángulos
Un triángulo es una figura geométrica formada por los tres segmentos
determinados por tres puntos no colineales.
A los tres puntos los llamaremos ver vértices; a los tres segmentos los lados
del triangulo.
Igualdad de triángulos: Dos triángulos son iguales si, y sólo si, sus vértices
coinciden.
Congruencia de triángulos: Dos triángulos son congruentes, si existe una
correspondencia biunívoca entre sus vértices con la propiedad de que los lados
correspondientes y los ángulos correspondientes son congruentes.
Proposición: La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia
Demostración:
Para que una relación sea de equivalencia debe cumplir las siguientes
propiedades:
a) Reflexiva a R a
b) Simétrica a R b  bR a y
c) Transitiva a R b y bR c  a R c
Por tanto para demostrara que la congruencia es una relación de equivalencia
se debe probar que:
a) Todo triangulo es congruente consigo mismo 1  2
b) Si 1  2 , entonces 2  1
c) Si 1  2 y 2  3 , entonces 1  3
Para a) consideremos un triangulo cualquiera ABC .Como ABC 
 ABC es
una correspondencia biunívoca con los vértices de este triangulo con los de si
mismo por tanto tenemos ABC  ABC .
Para b) consideremos dos triángulos ABC y DEF tales que ABC  DEF
ahora bien como ABC 
 DEF es una correspondencia biunívoca tenemos
que DEF 
 ABC , por tanto DEF  ABC
ABC , DEF y GHI tales que
Para c) consideremos tres triángulos
ABC  DEF y DEF  GHI ; ahora bien consideremos la correspondencia
biunívoca ABC 
 DEF y DEF 
GHI tenemos así una congruencia
entre
los
lados
y
los
ángulos
( AB  GH , AC  GI , BC  HI , A  G, B  H , C  I .Concluimos que
ABC 
GHI , es una congruencia así ABC  GHI .
CRITERIOS DE CONGRUENCIAS
POSTULADO
1) Lado- Ángulo-Lado (LAL): Si existe una correspondencia biunívoca entre
los vértices de dos triángulos con la propiedad de que dos lados y el ángulo
comprendido por ellos del primer triangulo son congruentes con las partes
correspondientes del segundo triángulo, entonces la correspondencia es una
congruencia.
TEOREMAS:
2) Ángulo-Lado- Ángulo (ALA): Si existe una correspondencia biunívoca
entre los vértices de dos triángulos con la propiedad de que dos ángulos y el
lado comprendido por ellos del primer triangulo son congruentes con las partes
correspondientes del segundo triángulo, entonces la correspondencia es una
congruencia.
3) Lado-Lado-Lado (LLL): Si existe una correspondencia biunívoca entre los
vértices de dos triángulos con la propiedad de que los tres lados del primer
triangulo son congruentes con sus lados correspondientes del segundo
triángulo, entonces la correspondencia es una congruencia.
Tarea demostrar los dos teoremas anteriores.