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COLEGIO PREUNIVERSITARIO
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Primer Año
Primer Año
Satélite de comunicaciones SYNCOM
El satélite de comunicaciones Syncom 4 fue lanzado desde la lanzadera espacial
Discovery. Los satélites de comunicaciones modernos reciben señales de la Tierra, las
amplifican y las retransmiten, suministrando datos por redes de televisión, telefax, teléfono,
radio y redes digitales por todo el mundo. El Syncom 4 sigue una órbita geoestacionaria
(es decir, gira al mismo tiempo que la Tierra, manteniendo una posición aproximadamente
constante sobre la superficie). Este tipo de órbita permite la comunicación ininterrumpida
entre estaciones terrestres.
ARITMÉTICA
1
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO
V.L.E.B.
TELF 3312667
DPTO. DE PUBLICACIONES
ARITMÉTICA
2
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
TEMA: ESTADÍSTICA
INTRODUCCION .En la televisión o en los periódicos muchas veces debes de haber observando
diferente información acerca de hechos mediante el uso de cuadros o gráficos
parecidos a los siguientes:
DISTRIBUCIÓN DEL PRESUPUESTO
NACIONAL DEL PRESENTE AÑO
PERÚ: estructura de la población
por edad (%)
Grupos
1993
2003
0 – 14
15 – 64
65 – mas
37,0
50,3
12,7
29
60,2
10,0
Pesca
8%
Agricultura
Educación
Salud
20%
14%
10%
Trabajo
48%
Fuente: INEI
Fuente: MEF
EVOLUCIÓN DE LA POBLACIÓN
MUNDIAL EN LOS ÚLTIMOS 500 AÑOS
(En millones de personas)
6000
NIVEL DE POPULARIDAD
PRESIDENCIAL
40
2500
30
20
1000
100
400
700
1500 1600 1700 1800 1900 2000
10
E
F
M
A
M
J
J
Estas tablas y gráficos se llaman estadísticas. Cada una de ellas lleva en su parte
inferior el nombre de quien ha elaborado de dicha información: la fuente.
A continuación explicaremos como deben interpretarse la información que contiene
cada tipo de gráfica o tabla.
ARITMÉTICA
3
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
1. DIAGRAMA DE BARRAS
Ejemplo 1:
Nicolás quiere saber como gasta su dinero, para ello durante un mes anota todo lo
que gasta y obtiene el siguiente cuadro.
NUEVOS SOLES
Comida
Alquiler
Ropa
Gasolina
1500
2000
600
1200
Esta tabla datos puede representarse en el siguiente gráfico, el cual es llamado
Diagrama de Barras.
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
Comida
alquiler
ropa
gasolina
otros
Observa que el diagrama de barras son dos ejes cartesianos. En el eje de las X (eje
horizontal) representamos los ítems de gastos y el Y (eje vertical) lo numeramos de
tal forma que podamos representar fácilmente las cantidades de dinero que
corresponde a cada ítem.
En cada ítem la barra alcanza una altura igual a la que indica el eje vertical y que es
la cantidad que le corresponde en la tabla.
2. GRÁFICO DE SECTORES
Ejemplo:
El presupuesto mensual de una familia esta representado del siguiente modo:
NUEVOS SOLES
Alimentación
Alquiler
Educación
Esparcimiento
Movilidad
Total
ARITMÉTICA
300
450
400
100
100
1350
4
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Podemos Representar la distribución de estas cantidades del siguiente modo:
Consideramos que un círculo representa la cantidad total del presupuesto:
360°
Presupuesto Mensual = 1350 Nuevos Soles.
Dividimos el círculo en sectores circulares de ángulos proporcionales a las
cantidades correspondientes a cada ítem del presupuesto. Es decir, sectores
circulares de ángulos tales que:





360
A
B
C
D
E





1350 300 450 400 100 100
Obteniendo lo siguiente

360
A
360 x300

 A
 80
1350 300
1350

360
B
360 x 450

B
 120
1350 450
1350

360
C
360x 400

C
 106,6
1350 400
1350

360
D
360x100

D
 26,7
1350 100
1350

360
E
360x100

E
 26,7
1350 100
1350
Luego hacemos el siguiente gráfico llamado Gráfico de Sectores.
Alimentación
Alquiler
Esparcimiento
Educación
Movilidad
ARITMÉTICA
5
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS.
Para averiguar el número de personas que habitan cada vivienda en una determinada
provincia del país se realizó una encuesta obteniéndose la siguiente tabla:
NÚMERO DE HABITANTES
POR VIVIENDA
1
2
3
4
5
6
NÚMERO DE
VIVIENDAS
10000
35000
55000
60000
25000
15000
El número de viviendas que corresponde a cada tipo se llama “Frecuencia Absoluta”
de dicho tipo.
Así por ejemplo:
35000 es la frecuencia absoluta de 5.
60000 es la frecuencia absoluta de 4.
Para representar los datos de esta tabla se puede hacer el siguiente gráfico llamado
“Polígono de Frecuencia”
70
60
50
40
30
20
10
1
2
3
4
5
6
NÚMERO DE HABITANTES POR VIVIENDA
Se observa que el Polígono de Frecuencias obtiene dibujando el diagrama de barras, con
las barras punteadas y uniendo los extremos de cada dos barras consecutivas.
4. HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS.
Consideremos que la siguiente tabla muestra la cantidad gastada en Nuevos Soles
en transporte realizado por un grupo de hombres cierto día:
ARITMÉTICA
6
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Nuevos Soles
105
110
148
235
280
Primer Año
Nuevos Soles
323
364
420
480
491
Nuevos Soles
505
521
575
610
654
Nuevos Soles
720
752
789
930
374
Observamos que los valores obtenidos varían de 105 al 974. Si quisiéramos hacer un
polígono de frecuencia sería muy difícil porque la variación de los valores observados es
muy grande. Lo que se puede hacer es agrupar estos valores en clases iguales, por
ejemplo, de 500 Nuevos Soles cada clase y hacer la siguiente tabla de frecuencia:
Clases
Nuevos soles
Número de Hombres
o Frecuencia
0 - 199
200 – 399
400 – 599
600 – 799
800 – 999
3
4
6
5
2
NUMERO DE HOMBRES
Observa que la frecuencia de cada clase son el número de hombres cuyo gasto esta
dentro de esta clase.
Para representar los datos de esta tabla se puede hacer el siguiente gráfico que se
llama “Histograma de Frecuencias”
7
6
5
4
3
2
1
200 400 600 800 1000
NUEVOS SOLES
MODA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.El director del colegio ha realizado una estadística sobre el número de inasistencias
a clase durante un mes por parte de sus alumnos y ha obtenido la siguiente tabla de
frecuencias:
Número de Inasistencias
Número de Alumnos
ARITMÉTICA
7
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
1
2
3
4
5 o más de 5
Primer Año
20
42
25
11
2
Observemos que 2 es el valor al que le corresponde la mayor frecuencia, es decir,
no asistir a clases 2 días al mes es el caso que se presenta con más veces.
Entonces decimos que 2 es la moda de esta tabla de frecuencias.
MODA de una tabla de frecuencia es el valor al que corresponde
Mayor frecuencia.
MEDIANA.Al ordenar los datos de menor a mayor y al escoger el valor central habremos
hallado la mediana.
Ejemplo 1:
Hallar la mediana de la siguiente serie:
128 – 110 – 112 – 132 – 120
Ordenemos estos valores de menor a mayor obteniendo:
110 – 112 – 120 – 128 – 132
Escogemos el valor central de esta serie y observamos que la mediana es el número
120.
- ¿Qué ocurre si el número de datos es par?
Ejemplo 2:
Hallar la mediana en la siguiente serie de datos:
3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9
ARITMÉTICA
8
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Lo primero que hacemos es ordenar la serie de datos, en este caso la serie ya
estaba ordenada.
Como el número Total de datos (N) es 12 entonces los datos centrales que son los
que ocupan el lugar n° -6 y el n° -7.
Entonces calculamos lo siguiente:
Mediana =
77
7
2
MEDIA O VALOR MEDIO DE VARIOS NÚMEROS
Ejemplo 1:
Un joven observa que su gasto durante la semana pasada la realiza de la siguiente
forma:
LUNES
MARTES
MIERCOLES
JUEVES
VIERNES
SABADO
DOMINGO
S/. 35
s/.17
s/.20
S/. 31
s/.18
s/.42
s/.23
Observemos que durante la semana este joven tuvo un gasto total de:
35 + 17 + 20 + 31 + 18 + 42 + 23 = s/. 186
Si este gasto mensual lo repartiremos proporcionalmente durante los 7 días de la
semana obtenemos:
35  17  20  31  18  42  23 186 S /

 .26.6
7
7
Entonces decimos que 26.6 nuevos soles es el gasto medio o media de gastos
diarios de dicho joven durante la semana pasada.
Si X1, X2, X3,…, Xn son n números se llama media o valor medio de dichos números
y se designan por
x.
x
Es decir,
x
x1  x2  x3  ...  xn
n
es la suma de dichos números dividida por el número de ellos
ARITMÉTICA
9
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
MEDIA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.
Ejemplo 1:
Se ha observado en un taller los defectos de 100 piezas iguales y se ha obtenido la
siguiente tabla de frecuencias:
Número de Defectos
0
1
2
3
4
8
20
44
20
8
Se llama media o valor
representamos por
x
x
Número de Piezas
medio de esta tabla de frecuencias al número que
obtenido de la siguiente forma:
0 * 8  1* 20  2 * 44  3 * 20  4 * 8
8  20  44  20  8

20  88  60  32 200

2
100
100
Es decir, x es la suma de los productos de los valores por sus frecuencias
respectivas divididas por la suma de las frecuencias.
ARITMÉTICA
10
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Se presenta a continuación la
distribución de tiempo entre
los programas televisivos de
un
determinado
canal,
observados cierto día en Lima.
Programas
-Cómicos
-Novelas
-Deportivos
-Informativos
-Musicales
Tiempos (Horas)
1.0
2.5
2.0
1.0
2.0
Se pide representar esta tabla
mediante un diagrama de
barras.
2. Se ha realizado una encuesta
para saber el deporte que
ocupa el primer lugar de
preferencia entre los alumnos
de un determinado colegio,
obteniendo la siguiente tabla:
Deporte
-Fútbol
-Tenis
-Básquet
-Natación
-Atletismo
N° Encuestas
54
15
35
22
24
Se pide representar estos
datos mediante un gráfico de
sectores.
ARITMÉTICA
3. En una metal mecánica se ha
inspeccionado 100 piezas
iguales para ver los defectos
que se presentan en dada
pieza y se ha obtenido la
siguiente tabla:
Número de
Defectos
0
1
2
3
4
Número de
Piezas
35
28
22
8
7
Se pide construir un polígono
de frecuencias correspondiente a esta tabla
4. La
Tabla
representa
la
distribución
de los votos
escrutados en cierta elección
celebrada en un colegio entre
los padres de los alumnos de
secundaria para elegir a la
mejor aula decorada por los V
juegos Florales:
1° Año
2° Año
3° Año
4° Año
5° Año
27
22
45
31
38
Represente
esta
tabla
mediante un diagrama
de
barras.
11
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
5. De los asistentes a un congreso
internacional obtenemos:
Asistentes
-Alemanes
-Ingleses
-Americanos
-Franceses
Porcentaje
3,0%
12,5%
11,0%
3,5%
Represente
estos
datos
mediante un gráfico de sectores.
Primer Año
Represente
esta
tabla
mediante un Histograma de
frecuencias.
8. Basándote en el siguiente
Histograma de Frecuencias.
Completa en tu cuaderno la
siguiente tabla de frecuencias:
24
20
16
6. De una encuesta realizada en
un distrito de Lima a 100
personas se hallo que el
idioma
que
hablan
sus
habitantes esta distribuido de
la siguiente forma:
Idioma
-Castellano
-Francés
-Alemán
-Ingles
N° de
Habitantes
64
8
6
22
Represente
estos
datos
mediante
un
gráfico
de
sectores.
7. La distribución de los pesos de
100 niños viene dado por la
siguiente tabla:
Pesos (Kg.)
30 – 32
32 – 34
34 – 36
36 – 38
38 – 40
40 - 42
ARITMÉTICA
Frecuencia
3
29
41
21
5
1
12
8
4
5
Clases
0–5
5 – 10
10 – 15
15 – 20
20 – 25
10 15 20 25
Frecuencia
9. Se
ha
realizado
una
estadística sobre la estatura
de los alumnos de un colegio y
se obtenido la siguiente tabla
de frecuencia:
Metros
1,40 – 1,50
1,50 – 1,60
1,60 – 1,70
1,70 – 1,80
1,80 – 1,90
1,90 – 2,00
Número de Alumnos
179
225
287
213
98
9
Hallar la moda de dicha Tabla
de frecuencias.
12
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
10. De un examen medico se
obtuvo los pesos de un grupo
de chicos, los cuales se
muestran a continuación:
Nuevos Soles
15
25
35
45
55
Personas
10
18
15
11
8
Calcular la media de esta
Tabla de frecuencias:
11. En una reunión de amigos se
observó que el dinero que
llevaba cada uno de ellos era
el siguiente que se muestra en
la tabla adjunta:
13. Calcular la mediana y la moda
del cuadro que corresponde a
la distribución de 20 empresas
según
el
número
de
trabajadores:
N° Empresas
2
3
4
5
6
Frecuencia
1
4
7
5
3
Dar como respuesta la suma
de ambos resultados.
14. El siguiente gráfico muestra el
presupuesto de un trabajador
distribuido de la siguiente
forma:
Ángel Belén Carlos Martha
64Kg 57 Kg 72 Kg 52 Kg
Alimentación
Calcular el peso medio de
dichos jóvenes:
144°
Otros
Educación
108°
72°
12. Del siguiente gráfico ¿Cuántos
alumnos obtuvieron notas
desde 46 hasta 180?
Fiestas
Si mensualmente gana s/. 700
Calcular lo siguiente:
35-30-25-20-15-10-5-40
80
120 160
200
a) ¿Cuánto
gasta
mensualmente en Fiestas?
b) ¿Cuánto
invierte
en
Educación?
c) ¿Qué porcentaje de su
presupuesto gasta en
otras actividades?
NOTAS
ARITMÉTICA
13
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
15. A continuación se muestra la
lista del número de muestras
por suicidio correspondiente a
20 distritos de Lima:
Primer Año
fi
25 -22 -16 --
3; 0; 2; 1; 6; 4; 3; 3;
1; 5; 2; 1; 2; 5; 4; 3;
4; 6; 2; 5.
8 -3 -0
2
4
6
8
10
Ii
Calcular la media.
16. Lanza un dado 30 veces
seguidas y haz tu propia tabla
de frecuencias.
Señala la moda. Halla también
la moda de las faltas de los
amigos de tu clase.
17. Se ha pesado 15 veces la
misma
cantidad de un
compuesto químico y se han
obtenido
las
siguientes
pesadas:
13, 20; 13, 25; 13,28;
13,32; 13, 40; 13, 29;
13,31; 13, 38; 13, 35;
13,29; 13, 30; 13, 29;
13,36; 13, 32; 13, 30.
Escribe
una
tabla
de
frecuencia y señala la moda
de dicha tabla de frecuencia.
19. A continuación se presenta las
edades de un grupo de
jóvenes de un determinado
instituto:
21 – 19 – 23 – 20 – 21 – 19.
22 – 21 – 20 – 23 – 18 – 21
Se pide calcular la media y la
moda y das como respuesta la
suma de sus cifras.
20. Un atleta en una práctica para
una competencia ha corrido
cinco series de 100 metros y
obtuvo los siguientes tiempos
(expresados en segundos):
11, 4 – 10,8 – 11,2 – 10,5 – 11,6
Calcular el tiempo medio de
las cinco series.
18. A partir del siguiente gráfico,
calcular el tamaño de la moda
de la muestra.
ARITMÉTICA
14
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. La tabla mostrada representa
el peso (Kg.) de los alumnos
de un colegio.
62 – 57 – 53 – 64 – 60 – 49 –
63 – 54 – 62 – 60 – 63 – 48 –
57 – 54 – 64 – 57 – 60 – 64 –
53 – 64 – 57 – 64 – 57 – 54 –
66 – 60 – 54 – 62 – 64 – 53 –
Con los datos mostrados
construir el histograma de
frecuencias e indicar la moda
de la muestra.
a) 57
c) 54
e) 48
2.
b) 60
d) 64
Se han medido las alturas de 10
plantas del mismo tipo y se han
obtenido los siguientes datos:
23; 10, 18; 16; 20;
15; 18; 24; 19; 22.
Las alturas están dadas en
cm. Se pide calcular la altura
media de dichas plantas y
construya
la
tabla
de
frecuencias correspondiente a
estos datos.
a) 21,5
c) 18,5
e) 19
ARITMÉTICA
b) 19,5
d) 18
3. Las temperaturas máximas
registradas en los días de
verano fueron las siguientes:
23° - 20° - 21° - 23° - 20° - 22°
Calcule la mediana de todas
estas temperaturas, así como
su media.
a) 20; 21,5
c) 21; 21
e) 21,5; 21,5
b) 20,5; 20,5
d) 21,5; 20
4. Con una bolsa con bolas
numeradas del 1 al 5 se ha
realizado
la
siguiente
experiencia: se saca una bola
al azar, se anota su número y
se devuelve a la bolsa y se
repite esta operación, 100
veces, se ha obtenido así la
siguiente tabla de frecuencia:
Bolas
1
2
3
4
5
Frecuencia
21
36
19
16
8
Calcule la media de esta tabla
de frecuencias.
a) 2.60
c) 2.54
e) 2.60
b) 2.10
d) 2.64
15
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
5. La siguiente tabla son las
puntuaciones obtenidas por 30
chicos a los que se le ha
aplicado un cierto test:
7 – 29 – 38 – 48 – 53 – 58 –
12 – 31– 39 – 48 – 54 – 59 –
15 – 32 – 39 – 49 – 54 – 59 –
18 – 32 – 40 – 49 – 56 – 60 –
20 – 34 – 41 – 49 – 58 – 63
Divide las puntuaciones en
clases
iguales
de
10
puntuaciones 0 – 9, 10 – 19,
etc. y se representa estos
resultados
mediante
un
histograma de frecuencias.
¿Cuál es la clase a la que le
corresponde mayor frecuencia?
¿Cuál es la frecuencia de la
clase 20 – 29?
a) 30 - 39; 7
c) [50 - 59]; 2
e) [20 - 29]; 2
b) [50 - 59]; 8
d) [50 - 59]; 7
6. Calcula el intervalo de la clase
modal de la siguiente tabla de
frecuencias:
Intervalos
40 - 42
42 – 44
44 – 46
46 – 48
48 - 50
Frecuencia
6
7
5
4
9
Adicionalmente
represente
esta
tabla
mediante
un
histograma de frecuencia.
ARITMÉTICA
Primer Año
a) [40 - 42
c) [44 – 46>
e) [48 – 50>
b) [42 – 44>
d) [46 – 48>
7. Halle el intervalo de clase
modal de la siguiente tabla de
frecuencias:
Kilogramos
1 - 1200
1200 – 1300
1300 – 1400
1400 – 1500
1500 – 1600
1600 - 1700
N° de Paquetes
210
280
294
310
324
235
Señale la moda correspondiente
a dicho intervalo.
a) 324
c) 280
e) 235
b) 294
d) 310
8. Las notas obtenidas de una
sección de Quinto Grado
después de un examen son
los siguientes:
15 - 12 -17 – 08 – 07 – 13 – 15
11– 09 – 15 – 14 –12 –10 – 11
13 – 16 – 10 – 09 – 11 – 15
Se pide calcular la media de
los alumnos de dicho grado.
a) 11,15
c) 12,15
e) 13,15
b) 11,50
d) 12,50
16
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
N° de Cigarrillos
0
1
2
3
4
5
N° de Personas
15
17
13
21
24
22
Además calcule la media de la
tabla de frecuencias:
De cómo respuesta la suma
de las cifras de la suma de la
moda y la media.
a) 24,4
c) 26,5
e) 27,4
b) 25,8
d) 26,8
10. En un hospital se detecto el
número
de infectados de
distintas enfermedades las que
se muestran a continuación:
Enfermedades
Hepatitis
Tifoidea
Neumonía
Sarampión
Reumatismo
N° de Infectados
08
11
13
08
10
Representar esta tabla mediante
un gráfico de sectores.
Indicar
que
ángulo
le
corresponde a la Neumonía.
a) 64,8°
c) 79,2°
e) 86,4°
ARITMÉTICA
b) 93,6°
d) 57,6°
11. El
siguiente
pictograma
muestra las preferencias de
los 5000 alumnos de un
instituto por 4 universidades.
UNI
144°
UNMSM
72° 54°
PUCP UNFV
¿En cuánto excede el total de
alumnos que prefieren a la
UNI y PUCP, al número total
de alumnos que prefieren a la
UNMSM y UNFV?
a) 2000
c) 500
e) 100
b) 1000
d) 5000
12. El gráfico siguiente muestra el
ingreso (en soles) de cierto
número de empleados.
NUMERO DE EMPLEADOS
9. Calcule la moda de la
siguiente tabla de frecuencias:
Primer Año
80
70
60
32
25
10 20
35
40
60
70
INGRESOS
Hallar la suma de la Me + Mo
a) 37,6
b) 74,5
c) 75
d) 36,4
e) 74
17
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
13. Dado la siguiente distribución
de empresa según el número
de empleados
N° de Empleados
Frecuencia
[0 -10>
[10-20>
[20–30>
[30-40>
[40-60>
[60-80>
[80-100>
[100-140>
[140-180>
[180-260>
TOTAL
5
20
35
40
50
30
20
20
15
15
250
Determinar el porcentaje de
empresas que tienen número
de empleados entre 50 y 90.
a) 23%
c) 25%
d) 27%
25
13
5
1
4
8
12
NOTAS
16
¿Calcular cuántos
aprobaron?
a) 8
c) 14
e) 10
20
alumnos
b) 12
d) 16
b) 24%
d) 26%
14. Del
problema
anterior
determinar el porcentaje de
empresas con número de
empleados inferior a 35.
a) 32%
c) 30%
e) 28%
b) 31%
d) 29%
15. El siguiente diagrama muestra
las notas de un grupo de
alumnos.
ARITMÉTICA
18
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
TEMA: NÚMERO FRACCIONARIO Y SU CLASIFICACIÓN
Observa:

I)
a)
b)
3
8

II)
¿En cuantas, partes se dividió la figura I?
¿Cuántas de esas partes se han sombreado?
¿En cuantas partes se dividió la figura II?
¿Cuantas de esas partes se han sombreando?
5
12
………………………….
………………………….
………………………….
………………………….
Observemos el siguiente ejemplo:
I.
II.
III.
¿Cuántas partes se dividió el círculo?
Entonces podemos decir que el circulo
se dividió en……… partes.
Cada porción se representa así:
1

8 Escribir en letras
IV. Luego podemos afirmar lo siguiente:
 Número Racional.- Es aquel número que puede ser…………..como
una……….indicada de dos números donde el divisor es distinto de ………..
 Fracción.- Una………..expresa una ……..de……..donde el ……..indica la
…………..de partes que se toma de la …………y el denominador indica la
…………..de ……..en que se ha dividido la ……………
Observemos al siguiente ejemplo:
1/4

1/4
1/4
1/4
1/4
Lectura de Fracciones:
ARITMÉTICA
19
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Fracción se Lee:
2
3
5
7
3
8
1
6
Dos
Sétimos
Tres
Sexto
Fracción se Lee:
1
4
3
11
4
3
7
5
Cuarto
Tres
Tercios
Siete
- CLASES DE FRACCIONES.-
* Fracción Propia
Cuando el numerador es menor que el denominador. Toda fracción propia es menor
que la unidad.
Ejm:
2
5
2  3
3
3  8
8
;
* Fracción Impropia
Cuando el numerador es mayor que el denominador. Toda fracción impropia es
mayor que la unidad.
Ejm:
ARITMÉTICA
7
7  3
3
;
20
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
3
3  8
2
Nota:

Si el numerador y el denominador son iguales tenemos como resultado la
unidad.
Ejm:
2
1
2
1/2 1/2
2
1
2
* Si el numerador es cero y el denominador posee cualquier valor diferente de cero,
entonces el resultado es cero. Ejm:
0
0
3
Cero Tercios
* Fracción Irreductibles
Observemos el siguiente ejemplo: 2 / 7
Los números …………….y …………son ………… entre ………………..por lo tanto
NO PUEDEN SIMPLIFICARSE. A estas fracciones se les llama irreductibles.
* Fracción Equivalentes
Cuando una o más fracciones
3 6 9
 
5 5 15
una misma fracción
, porque
6 2 x3 3 9 3 x 3 3

 y 

10 5 x 2 5 15 5 x3 5
* Fracción Mixta
Está formado por un número entero que indica las unidades enteras que se tomaron
y por una fracción menor que la unidad. Se obtiene así:
7
5
ARITMÉTICA
a Mixto:
75
51
Cociente : 1
Re siduo: 2
21
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Colocamos el cociente como el número entero, el residuo como numerador y
mantenemos el mismo denominador (que fue el divisor en la división)
7
5
 1
2
5
Residuo
Divisor
Cociente
* Fracciones Homogéneas
Dos o más fracciones son homogéneas si poseen sus denominadores iguales.
Ejm:
3
8
y
7
8
* Fracciones Heterogéneas
Dos o más fracciones son heterogéneas si poseen sus denominadores diferentes:
Ejm:
3
5
y
3
4
ADICION DE FRACCIONES
I. Adición en Fracciones Homogéneas
1 1 1 111 3
  

4 4 4
4
4
Cuando las fracciones son homogéneas, la adición se realizará sumando los
números y colocando el denominador común.
II. Adición en Fracciones Heterogénea
1 1

6 24
ARITMÉTICA
22
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Para realizar esta suma debemos convertir estas 2 fracciones homogéneas, por lo
que buscaremos fracciones equivalentes.
1 1x 4
4


6 6 x 4 24

1 1
4
1
5




6 24 24 24 24
Nota: La sustracción de fracciones se realiza de una forma análoga a la adición.
MULTIPLICACION DE FRACCIONES.-
a c axc
x 
b d bxd
La multiplicación de fracciones se realiza numerador con numerador y denominador
con denominador.
DIVISION DE FRACCIONES.-
4 7

5 13
A)
Se puede desarrollar de 2 formas:
Se invierte el divisor y se opera como una multiplicación:
7 invirtiendo 13
4 13 52
 
 x 
13
7
5 7 35
B)
Se arregla de la siguiente manera:
4
5
Medios
7
Y se realiza así:
13
ARITMÉTICA
Extremos
Producto de Medios .
23
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Producto de Extremos

4
5
7
13
=
4 x13 52

5 x7 35
Nota: Es importante considerara los signos ya que podemos multiplicar o
dividir fracciones que tengan números negativos.
1.
2.
Ley de Signos para la Multiplicación
()  ()  ()
(  )  ( )  ( )
( )  ( )  (  )
( )  (  )  ( )
Ley de Signos para la División
() /( )  ()
() /( )  ()
() /( )  ()
() /( )  ()
ARITMÉTICA
24
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1.
Colocar V o F según corresponda.
7 119
y
son equivalentes
13 221
a)
b) 2
c)
7
d)
8
es mayor que
7
343
19
5. Tengo una torta, la que he
dividido en 5 partes. Si regalo
3 partes del mismo, ¿Cómo
puedo representar lo que
queda?
Rpta.:
56
6. Resolver 2
es irreductible
es igual a 3 2 3
3
1
1
3
3
4
Rpta.:
e) Las fracciones impropias
RESOLVER
son menores que la unidad.
7.
2. Desarrollar 116 25
Rpta.:
Rpta.:
8.
3. ¿Cuántas
son
irreductibles?
9.
II) 5/2
III) 6/3
IV) 6/4
I)
5
III)
2
7
 10 4
4
 149
ARITMÉTICA
2 13  1 35  2 12
Rpta.:
fracciones
I) 3/5
4. ¿Cuántas
equivalentes hay?
15 9 32
 
24 8 14
 15   (415 )  (3 9 ) 
Rpta.:


1 7

6 6
10. 1 16    1 5 6     3   
fracciones
Rpta.:
II)
9
V)
9
5
4
 32
 32


11. 1 
1   1 1 5 1 
  2   1 7
7   2 3   2

Rpta.:
25
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
12. Si la clase de matemáticas
dura ¾ de hora cada día.
¿Cuanto tiempo se dedica a
la clase en 30 días de clases?
Rpta.:
13. Calcular el número cuyos 2/3
es 34.
Rpta.:
14. En una bolsa hay 250
caramelos. 121 son de fresa, 9
son de limón y el resto de
naranja. ¿Que fracción del
total son de naranja?
Rpta.:
15. Una botella de 2 litros esta
llena de agua hasta sus 2/3.
¿Cuántos litros de agua
contiene la botella?
Rpta.:
16. De una pieza de tela que tiene
36
metros
de
longitud.
¿Cuántos retazos de ¾ de
metro se pueden obtener?
Rpta.:
Primer Año
18. Una tanqueta tiene 50lt. De
líquido A 40 L. De liquido B y
10 L. De un liquido C. Si
extraemos 30 L. De mezcla.
¿Cuántos litros de B salen?
Rpta.:
19. Un barco recorre 30 Km. Por
hora. ¿Cuántos Km. Recorre
en
2 23
de hora.
Rpta.:
20. ¿Cuáles
falsas?
afirmaciones
son
5
a)
9  11
9
5
11
13
18  65
b)
2
12
15
c) 2
5

3 15

7 16
17. Si el perímetro de un cuadrado
es 150/250 metros. ¿Cuánto
mide el lado?
Rpta.:
ARITMÉTICA
26
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Desarrollar: 3 7 8
5. Efectuar:
a)
31
8
b)
35
c)
7
d)
4
2
a)
8
23
8
c) 4
e) N.A.
9
4
3
  23   78
b) 2 7 8
d) a y b
e) N.A.
6. Efectuar:
2. Simplificar:
a)
2
3
24
12
c)
e) N.A.
3. Simplificar:
a)
2
3
3
c) 2
e) N.A.
4.
48
36
b)
4
3
d) 2
a)
5
c)
13
b)
8
8
13
d) 2
e) N.A.
  36 
   24 

 
b)
3
7. Ana tiene 15 años, le gusta
aumentarse su edad, en sus
2/5 frente a sus amigos. ¿Qué
edad dice tener?
2
a) 20
c) 22
e) 19
d) 1
2 13  1 35  2 12
a) 11330
b)
c) 7 2
e) N.A.
d) 7 2 3
ARITMÉTICA
5 64
x
8 65
31
30
8.
b) 21
d) 23
En un salón de clases existen 4
filas de 8 alumnos cada uno.
¿Cuántos alumnos existen en el aula?
a) 16
c) 15
e) N.A.
b) 64
d) 42
27
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
9. Un depósito de agua esta lleno
hasta su mitad, si se extrae 80
litros, el nivel disminuye hasta
su sexta parte. ¿Cuál es el
volumen total?
a) 241
c) 480
e) N.A.
b) 120
d) 240
10. Si 2/5 de un número es 30.
¿Cuál es ese número?
a) 75
c) 100
e) 40
b) 25
d) 80
11. Disminuir 180 en sus 13/15
partes.
a) 12
c) 24
e) 62
b) 6
d) 48
Primer Año
13. Si una mujer usa 2/3 de un
ovillo de lana para tejer ½
suéter.
¿Cuántos
ovillos
necesita para tejer 1 docena?
a) 8
c) 2
e) N.A.
b) 4
d) 16
14. Se tiene 500 botellas de ½ litro
y 440 de ¾ litro. ¿Cuántos
litros se pueden embotellar?
a) 580
c) 300
e) N.A.
b) 480
d) 200
2 5
 6
5  10 4
8
15. Operar:
a)
30
c)
47
47
30
2
b)
47
d)
30
30
47
e) N.A.
12. Al dividir un número entre su
inverso, se obtiene 81. Hallar
dicho número.
a) 9
c) 18
e) N.A.
ARITMÉTICA
b) 10
d) 48
28
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
TEMA: NÚMEROS DECIMALES
Observemos la siguiente fracción:
7
10
a todas las fracciones que tengan en su
denominador alguna potencia de 10 se le llamara “Fracción Decimal”
En general, toda fracción, al realizar la división de su denominador con su
denominador, genera un número llamado Decimal. Un número decimal consta de 2
partes:
Parte Entera Parte Decimal
a, bcd
Coma Decimal
Milésimos
Centésimos
Decimos
Un número decimal puede descomponerse de la siguiente forma:
22,345  2 x101  2 x10 
3
4
5
 2  3
1
10 10
10
Observa que a partir de la coma decimal y hacia la derecha todos los dígitos serán
Divididos entre las potencias consecutivas de 10.
CLASIFICACION DE LOS NÚMEROS DECIMALES
1.
Decimal Exacto: Tiene un número limitado de cifras.
Ejm:
0,432; 0,2; etc.
2.
Decimal Periódico: Tiene un número ilimitado de cifras.
Ejm:
0,333…; 0,4666…
Los decimales periódicos se clasifican en 2 grupos:
a)
Puro: Cuando la parte que se repite (periodo) se inicia inmediatamente
después de la coma decimal. Ejm: 0,3333…
ARITMÉTICA
29
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Nota: Se acostumbra colocar encima de las cifras que se repiten el
símbolo .
Ejemplo:
4,143143…= 4, 143
5,656565…= 5, 65
b)
Mixto: Cuando el periodo se inicia lugares después de la coma decimal.
Ejemplo:
0,172424…= 0,17 24
3,214242…= 3,21 42
FRACCION GENERATRIZ
Expresamos las siguientes fracciones decimales como un número decimal.
4
 0,4 Decimal Exacto
10
36
 0,36 Decimal Exacto
100
Como observamos todo número decimal exacto genera cuando existe una potencia
de 10 en el denominador.
Ejemplo:
52
52

 0,52  2
100 10 2
Cifras no periódica.
23
23

 0,023  3 Cifras no periódica.
1000 10 3
ARITMÉTICA
30
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Ojo:
En forma general:
ab
10n
 0,00... ab  n Cifras no periódica.
Pero también tenemos:
1
 0,5  1 
2
Cifra no periódica
3
Cifra no periódica.
22

 0,75  2
Pero que pasaría si tuviéramos lo siguiente:
¿
2

23
Tendrá 3 cifras no periódicas?
Lo primero que debemos hacer es simplificar mientras sea posible.
Ejemplo:
2
1
 2 
3
2
2
Entonces tendrá 2 cifras no periódicas.
0, abc...xyz 



"n"cifras
abc..xyz
10n
“Fracción Generatriz de un Decimal Exacto”
FRACCION GENERATRIZ DE UN DECIMAL PERIODICO PURO.
abc...xyz
0, abc...xyz 


 999...999


"n"cifras
"n"Cifras
Ejemplo:
ARITMÉTICA
31
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
*
Primer Año

2
 0,222...  0, 2
9
*
¿1,23 
* 0, 836 
836
999
* 4,35  4 

5
 0, 5
9
123
? ! No!
999
* 1,23  1  0,23  1 
35
35
4
99
99
* 0,72 
23
23
1
99
99
72
99
FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN DECIMAL PERIODICO MIXTO
a, bc
...x y
... z 

"m"cif ra "n"
abc... xy ... z  abc... x
m
999
... 999

 x10
"n"cif ras
Ejemplo:
 324  3 2 292
0,324 

 0,324...
900
9 x10 2
 83  8 75 5
0,83 

  0,8333...
9 x10 90 6
ARITMÉTICA
32
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
I. ADICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Sumemos: 0,18 + 0,23 + 0,07
0,18 +
0,23
0,07
0,48
Ojo: La clave de esto es alinear la coma Decimal.
Ejemplo:
Sumemos: 0.3 + 0.004 + 0.0018
+
0,3
0, 0 4 0
0,0 0 1 8
0,3 0 5 8
II. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Restar: 8 de 17
178
9
Ojo: La clave nuevamente es alinear la coma decimal.
III. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Multiplicar: 0,32 x 6
0,32 x
6
1,92
Multipliquemos normalmente como si fueran números enteros y luego se corre la
coma decimal en el resultado tantas ubicaciones, como lo indica el
multiplicando.
IV. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
ARITMÉTICA
33
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Divide: 0,45  0,005
Contemos las cifras decimales de cada número y comparamos. El número que
tiene el mayor número de cifras decimales me indicara cuántos espacios tendré
que dejar hacia la derecha a partir de la coma decimal, en cada número para
desaparecer la coma (en caso de ser necesario completemos con cero).
Luego dividimos como si fueran números enteros.
0.45
= 0450 = 450

450
 90
5
0.005 = 0005 = 5
ARITMÉTICA
34
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1.
Indicar verdadero (V) o Falso (F).
I. 4,6213… Periódico Mixto.
II. 0,4545… Periódico Puro.
III. 0,12
Decimal Exacto.
2.
¿Cuántas cifras periódicas tiene
los siguientes decimales?
I.
II.
III.
0,521 =
1,643 =

1,3 
3. Responde Verdadero (V) o
Falso (F).
I.
Los decimales exactos
tienen un número infinito
de cifras
II. Los decimales periódicos
se dividen en periódico
puro y periódico mixto.
III. El número 0.1666… es un
decimal periódico mixto.
I.
23

4 x99
III.
6. Su necesidad de operar, diga
¿Cuántas cifras no periódicas
y periódicas generan las
siguientes fracciones?
ARITMÉTICA
8

9
IV. 327 
90
V. 45 
100
7. Sumar:
I.
II.
III.
IV.
V.
0,43 + 0,32 + 0,21
0,35 + 0,0041
6,2 + 4,53 + 1,621
0,1 + 1 + 0,33
2,6 + 0,027 + 0,1
8. Completar:
I.
0, 4 5 +
1, 2
1, 7 3 5
II.
3,
0 1 +
.4
5
3, 6 9 6
4. Calcular la fracción generatriz
de : 0,81
5. Halla la fracción generatriz de:
1,31
23

24
II.
9. Restar:
I.
II.
III.
IV.
V.
0,32 – 0,031
0,16 – 0,35
4,52 – 3,41
4,05 – 1,7
2,402 – 1,234
=
=
=
=
=
35
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
10. Completar:
I.
2, 4 5 , 24
0, 8 7 1
II.
0,
1 0, 4 2
0, 1 6 2
11. Calcular “c + d” si:
I. 7,32  b,1a  c, ds y a +b =9
II. 8,463  c, ba 2  6, d 41 y a + b = 5
III. 5,67  d , b4  2, ca y a + b = 5
12. Multiplicar:
I.
II.
III.
IV.
V.
0,3 x 1,7 x 0,2 =
1,5 x 0,8 x 0,9 =
4 x 2.1 x 0,7 =
1,3 x 0,5 x 0,2 =
1,2 x 0,8 x 0,3 =
13. Divide:
I.
II.
III.
IV.
V.
0,36  1,2
=
7,74  1,8
=
14,4  9,6
=
99  0,22 =
34,65  0,063 =
14. Resuelve:
I. (0,4 x 1,2)  0,3
=
II. (0,51 x 0,6)  0,306 =
III. (0,8 x 0,6)  0,04 =
ARITMÉTICA
15. Resolver, Si: N = 0,35
I. 21 x N =
II. 4,9  2 N =
III. 2,8 – 4 N =
IV. 10 N + 3,5 =
16. Si: A – B = 0,24, Resolver:
I. (4 A - 4B) =
II. ( 3 A - 3 B) X ( 2 A – 2 B) =
III. (4 A – 4 B)  (A – B) =
17. Indicar que fracción es decimal
exacto:
1
10
1
III.
9
3
100
4
IV.
3
I.
V.
II.
4
10  1
2
18. Halle la fracción generatriz de:

I. 2,37
II. 0,32

III. 3,78
19. Resolver: (8N – 3N) + 15N Si
2N = 0,836 Y 3N = 1,224
20. Indicar cuales son falsas.

I. 1,254 Tiene 3 cifras
periódicas
II. 0,35 Es periódico Puro
III. 0,25
Es decimal exacto.
36
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Relacione
correctamente
ambas columnas:
I. 1,333… A) Decimal P. Puro.
II. 0,15
B) Decimal P. Mixto.
III. 0,4333…C) Decimal Exacto.
a)
b)
c)
d)
e)
a) 1,05
c) 1,08
e) 2,03
5.
IA – IIB – IIIC
IA – II C – IIIB
IB – II A – III C
IC – II A – III B
IC – IIB – IIIA
6.
2.
Indicar cuales no
fracciones decimales.
4
73
3
C. 2
9
3.
4.
7.
5259
990
b)
5289
90
c)
5369
990
d)
5369
90
e)
5289
990
Resolver: (2,1 – 0,7) – (0,8 – 0,15)

8.
a)
612
99
b)
618
99
c)
61
9
d)
618
100
e)
61
10
Realizar la siguiente suma:
(0,3 + 0,5) + (0,18 + 0,05)
b) 21,2205
d) 20,1505
Resolver : 0.3  0.4
a) 0,20
c) 0,50
e) 0,80
9.
b) 0,80
d) 0,55
Dado que x – y = 1,41
Calcular ( 5x – 5y) x (x – y) +
(8x – 8y)
a) 20,3105
c) 21,3105
e) 21,1155
b) B
d) C
Resolver 6,18
ARITMÉTICA
a)
a) 0,70
c) 0,65
e) 0,75
B.
a) A
c) A y B
e) D
Indicar cual es la fracción
generatriz de : 5,342
son
2
10 2
4
D.
8
A.
b) 1,03
d) 2,10
b) 0,25
d) 0,75
Resolver : 0,05 x 0,2 x 0,5
a) 0,05
c) 0,0005
e) 0,5
b) 0,005
d) 0,025
37
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
10.
Calcular: (0,3  0,4) – (0,7 x 0,3)
a) 0,34
c) 0,45
e) 0,55
11.
a.
b.
13.
b) 0,40
d) 0,54
A la parte numérica de un
decimal que se repite se
llama……………….
Cuando el periodo se inicia
inmediatamente después de
la
coma
decimal
se
llama………….
Decimal Periódico
Decimal Exacto.
D. Periodo Puro.
D. Periodo Mixto.
a) B y C b) A Y C c) A y D
d) B y D e) C y D
Calcular la fracción generatriz de: 48, 37ab
a) 4867
ab
100
b) 4837
ab
100
c) 4837
ab
10000
d) 4887
ab
100
e) 4837
ab
1000
ARITMÉTICA
Indicar Verdadero
Falso
(F)
corresponda:
(V) y
según
a. 0,4
Decimal Exacto
b. 0,372 Tiene 2 cifras Periódicas.
c. 0,333… Decimal Periódico Puro.
Completar adecuadamente
los espacios en blanco con
las opciones.
ABCD-
12.
Primer Año
a) VVF
c) FVV
e) VFV
14.
15.
b) VVV
d) FFF
Halle la fracción generatriz
de: 8,246
a)
8164
990
b)
8246
990
c)
8246
999
d)
8164
999
e)
8246
900
Calcular (0,7 x 0,2) + (0,7 x
0,3)
+
(0,7
x
0,5)
considerando que:
(a x b) + (a x c) + (a x d) =
a(b + c + d)
a) 0,73
c) 0,45
e) 0,7
b) 0,5
d) 0,62
38
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
TEMA: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
POTENCIACION DE NÚMEROS ENTEROS.Cuando el exponente es un número entero positivo y la base cualquier número entero.
Ejemplo:
43  4x
4
x 4  64
3veces

En General :
Si “a” es un número entero (no nulo) y n es un número entero positivo mayor
que 1, definiremos la potencia enésima de a al número entero b que es el
producto de “n” factores iguales a “a”
Entonces:
an = b
Donde:
a – Base entera
b – Potencia
n – Exponente, n  1, n  Z+
Ejemplos:
23= 2x2x2 = 8
(-3)2 = (-3)2 x (-3)2 = 9
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8

EXPONENTE CERO (O) Y EXPONENTE UNO (1)
ao
a° = 1,
a1 = a
Ejemplos:
5° = 1
(-2) ° = 1
(-3)1 = -3
(7)1 = 7
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION DE NÚMEROS ENTEROS:
1.
Producto de potencias de Iguales Base:
a m xan  a m  n
ARITMÉTICA
39
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
82 x 8 3 = 82 + 3 = 8 5
Ejemplo:
23 x 24 = 2 3 + 4 = 27
;
“El producto de potencia de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo
exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores”
2.
Cociente de Potencias de Igual Base:
am  an  amn
38  33 = 3 8 – 3 = 35
Ejemplo:
(-2)6  (-2)3 = (-2) 6 – 3 = (-2)3
;
“El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo
exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias dadas”
3.
Potencia de Potencia:
(a m )n  a mxn
(32)4 = 3 2 x 4 = 38
Ejemplo:
;
(-53) 2 = (-5) 3 x 2 = (-5)6
“La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base, cuyo
exponente es igual el producto de los exponentes.
4.
Potencia de un Producto:
(axb)n  a n xbn
Ejemplo:
(5 x 6)2 = 52 x 62 = 25 x 36 = 900
“La potencia enésima de un producto es igual al producto de las potencias
enésimas de los factores”

NOTA:
Las fracciones también pueden elevarse a un exponente y siguen las mismas
propiedades.
Ejemplo:
1.
2.
1
 
3
2
3
 1  1 1  1 1 1   1 
x    x  x  x x    
 3  3 3 3 3 3  3 
23
1
 
3
5
5
2
 3 5 2   3  3
3 3
 
      

4 4
4  4
ARITMÉTICA
40
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
3
3.
2 x3
6
 1  2 
1
1
        
8
8
 8  
2
4.
2
3 1 3  1 
 x     x 
5 7 5 7
2
* RADICACION DE NÚMEROS ENTEROS.Es la operación inversa a la potenciación pues tratamos de hallar la base,
conociendo la potencia y el exponente.
En la Radicación, la potencia se
índice y la base se llama raíz.
denomina radicando, el exponente se llama
Simbólicamente: Sabiendo que bn = P obtenemos la siguiente relación para hallar el
valor de b.
bn P
indice
Luego: raíz =
En símbolos:
rn a
Donde:

radicando
r
n
a
Raíz
índice radical, n  N , n  2
radicando ( a  R)
OBSERVACIONES:
1.
El operador radical puede estar afectado por diferentes índices (enteros y
mayores que 1). Así pueden existir:
3
2.
Raíz cúbica;
Raíz quinta;
n
a
Raíz enésima de a
Si el operador radical no lleva índice, quedara entendido que se trata de la
Raíz Cuadrada.
Así:
3.
5
- Raíz Cuadrada
La Radicación, solo es posible en el conjunto de los números enteros
cuando el radicando es potencia exacta de la raíz.
ARITMÉTICA
41
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Ejemplos:
5
32  2
9 3
4
16  2
25 = 32
Porque
Porque
32 = 9
Porque
24 = 16
SIGNOS DE LA RAIZ HALLADA EN LA RADICACION.1.
Si el radicando es un entero positivo y el índice es par o impar, la raíz
hallada es positiva.
4
2.
;
3
125  5
144  12
;
Si el radicando es un número entero negativo y el índice es impar entonces
la raíz es negativa.
3
3.
81  3
 27  3
;
3
 64  4
;
7
 128  2
Si el radicando es un entero negativo y el índice es par, entonces no existe
solución en el conjunto de los números enteros.
9
No es + 3, porque (+3) (+3)  -9
No es – 3, porque (-3) (-3)  -9
POPIEDADES DE LA RADICACION DE NÚMERO ENTEROS.1.
Propiedad Distributiva.- se aplica a la multiplicación y división
n
(a)(b)  n a xn b
n
(a)  (b)  n a  n b
Ejemplo:
(16)(100)  16 x 100  4 x10  40
3
(27)(64)  3 27 x3  64  3x(4)  12
ARITMÉTICA
42
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
2.
Primer Año
Potencia de una Raíz.-.
(n a ) m  n (a )
m
Ejemplo:
(n 10 ) 3  3 (10) 3  10
(4 9 ) 2  4 (9) 2  4 (32 ) 2  4 (3) 4  3
3.
Raíz de una Potencia.n
m
am  n am  a n
Ejemplo:
3
4.
23  2
3
3
 21  2
4 4
 3
a 
mnp
3
4
4
 31  3
Raíz de Raíz.m n p
a
Ejemplo:
3
64  3 x 2 64  6 (2) 6  2
729  2 x 2 x 2 729  6 (3)6  3
ARITMÉTICA
43
COLEGIO PREUNIVERSITARIO

Primer Año
NOTA:
Las fracciones también cumplen con estas propiedades.
Ejemplo:
2
1.
4 2
4
2
 porque  
25 5
25
5
2.
49
25 7 5 35
 49 25 
x
 x 
 x

81 100 9 10 90
 81 100 
3.
3
64
4 2


729
9 3
6
4.
6
 1
 3   3  1    1 
 2
2
2


ARITMÉTICA
6
2

1
4
44
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
(5)7 x(5) 2 x(5)3
1. Efectuar:
Rpta.:
2. Hallar
612
Rpta.:
el
resultado
(7  2) x(5 )  10
2
de:
2
3. Efectuar:
 2  x23
3 2
Rpta.:
(25)10 (25) 7
1.
 (25)
(25)8
  19  


3 2
4
 ( 19)
(5) 2 (6) ( 55) 
5. Resolver:
la
siguiente
2
Rpta.:
9. Hallar el valor de la siguiente :
625
4. Completar:
2. 
8. Resolver
expresión:
(1  7)  (2)  (3) 2  4 81
Rpta.:
3.
4
7. Resolver:
5
(32)(243)
Rpta.:
10. Resolver:
128
8
x
15
15
Rpta.:
11. Resolver:
 25   4 
  x 
 81   49 
Rpta.:
Rpta.:
12. Resolver:
2m
6. Efectuar :
Rpta.:
ARITMÉTICA
4
(81)(625)(16)
 21 
 16 
  x  
 16 
 21 
2m
Rpta.:
45
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
13. Completa:

5
 
 7 

n
18. Resolver:
8
(25  23 ) x2  2(23  2)
m




25
Rpta.:
19. Resolver:
14. Completar:
5 2 3
Primer Año
4
  
9
2
3
3
(8)(27)
Rpta.:
20. Completar:
 621 
6 62
15. Resolver:
5
(32)(1)
 57
Rpta.:
Rpta.:
16. Escribir en los casilleros
correspondientes los números
que permiten que la igualdad
se cumpla:
 81 
II.
 16
6
III.  64 
I.
4
17. Resolver:
3 1
27
Rpta.:
ARITMÉTICA
46
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Resolver:
5. Resolver:
16  3 64 
a) 3
c) 4
e) N.A.
3
13
 239
224
a) 7
c) -8
e) N.A.
b) -4
d) -3
b) -7
d) 8
6. Resolver lo siguiente:
2. Hallar el valor de:
23  4  4 20  22 
232
a) 16
c) 14
e) 12
a) 1
c) 3
e) N.A.
b) 15
d) 13
3. Marca la respuesta correcta:
(7)170
 7
(7)93
(a 9 )9
9
c) 9
a)
7
b) 7
77
67
c)  7
d)  7
a)
77
63
3
la
siguiente
 64  23  (24  19)(1  13)  4
a) 68
c) 71
e) N.A.
ARITMÉTICA
b) -68
d) -71
a
a
   
9
9
9
b) a
d)
7
( a 9 )8
e) N.A.
e) N.A.
4. Resolver
expresión:
b) 2
d) 4
16
7. Resolver:
256
 36 
8. Resolver :  4 m
 81 


a)
1
3
4
c)
3
e) N.A.
b)
2
d)
5
2m
3
3
47
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
9. Indicar el índice resultante de:
4
5
 16 
 
 25 
a) 2
c) 4
e) 6
20
16

25
b) 3
d) 5
a)
3
4
1
c)
5
e) N.A.
5
 20 
 
 30 
b)
4
d)
7
11. Dar
como
respuesta
el
exponente
resultante
de:
a) 86
c) -99
e) N.A.
12. Resolver
siguiente:
ARITMÉTICA
de
“M”.
a) 4
c) 2
e) N.A.
b) 5
d) 1
b) 4
d) 6
15. Indicar cuales son incorrectas.
2
3
II.
b) 96
d) 90
la
3
1 6 1 6
x     x 
3 7 5 7
3
I. 
4
 625  5
8
expresión
(7  4)(5  8) 2  (1)3 (3  4)  3 30  3
a) 97
c) -99
e) N.A.
valor
64
a) 3
c) 5
e) N.A.
3
 1 3 1  
    
  7   7   
 
 
el
F  3 (1000)(25)
9
5 6
M
3
14. Dar como respuesta la suma
de las cifras al resolver F.
10
10. Resolver:
13. Calcular
12
5
7 7 7 7
III.   x  x    
 27   27   27   27 
a) I
c) I y II
e) Todas.
b) II
d) II y III
b) 95
d) -97
48
23
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
TEMA: TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD
I.
MÚLTIPLO.-
Se llama múltiplo de un número a la multiplicación de dicho número por
otro número natural.
Ejemplo:

M 2  2  2,4,6,8,10,... Se lee múltiplo de dos.

M 3  3  3,6,9,12,15,... Se lee múltiplo de tres.
II. DIVISORESSe dice que un número es divisor de otro cuando al dividirlo por el
mismo, la división es exacta.
De manera práctica podríamos relacionar:
Así:
7
77
CARACTERISTICAS DE LA DIVISIBILIDAD
A) Divisibilidad por 2.- Un número es divisible por 2 cuando termina en
cero o en cifra par.
Ejemplo: 426; 272; 36; 48; 50
B) Divisibilidad por 4.- Un número es divisible por 4 cuando sus dos
últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de cuatro.
Ejemplo: 112; 116; 268; 64; 104
ARITMÉTICA
49
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
C) Divisibilidad por 3.- Un número es divisible por 3 cuando la suma de
los valores absolutos de sus cifras es un múltiplo de 3.
Ejemplo: 537; 435; 81; 294
D) Divisibilidad por 5.- Un número es divisible por 5 cuando el número
termina en cero o cinco.
Ejemplo: 525; 135; 645; 50; 185.
E) Divisibilidad por 8.- Un número es divisible por 8 cuando sus tres
últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 8.
Ejemplo: 664; 512; 72; 88; 6512.
F) Divisibilidad por 9.- Un número es divisible por 9 cuando la suma de
los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplo: 792; 459; 234; 351.
G) Divisibilidad por 7.- Un número es divisible por 7 cuando separando la
primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restándole este
producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente da cero o
múltiplo de 7.
Ejemplo: 441; 273; 483
H) Divisibilidad por 11.- Un número es divisible por 11 cuando la
diferencia entre la suma de las cifras de lugar impar y la suma de las
cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
Ejemplo: 264; 407; 525; 748.
I)
Divisibilidad por 25.- Un número es divisible por 25 cuando sus dos
últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 25.
Ejemplo: 1250; 100; 525; 775.
J) Divisibilidad por 125.- Un número es divisible por 125 cuando sus tres
últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 125.
Ejemplo: 1125; 375; 750; 1375.
ARITMÉTICA
50
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Complete con los divisores de:
16 = 1, 2, , 8, 16
18 = 1, 2, , 6, 9,
24 = 1, , 3, , 6, 8, 12,
Rpta.:
7. ¿Cuántos números múltiplos
de 11 hay?
60379 – 45788 – 500258
137995 - 13838
Rpta.:
2. ¿Cuántos múltiplos de 4 hay
en: 14, 15, 16, 17,…, 98?
Rpta.:
o
3. Si = 4aa8  7 ¿Cuántos
valores puede tomar “a”?
8. Completa para que
divisibles por 125.
a) 21 _ _
c) 1 _ _ 5
e) _ 2 _ 5
sean
b) 4 _ 2 _
d) 4 _ 5 _
9. Marque con (V) y (F) los que
son divisibles por 2.
Rpta.:
4. ¿Cuántos números de la forma
2ab son divisibles entre 15?
I. 727
III. 543
II. 742
Rpta.:
5. Encuentre 5 múltiplos de 8:
1
2
3
4
5
o
8
o
(F)
según
I. 3128 es divisible por 8
II. 213 es divisible por 4
III. 1618 es divisible por 3
Rpta.:
Rpta.:
6. Hallar
10. Indique (V)
corresponda:
el
valor
o
Si 2c9c3  11
de”C”
o
11. Hallar “a” si: 25a55a  8
Rpta.:
Rpta.:
ARITMÉTICA
51
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
12. ¿Calcular el valor de “x” si el
número 2 x6 x8 es divisible
entre 7?
a) 501 _
b) 5036 _ _
c) 436 _ _
Rpta.:
o
13. Hallar “Y” si:
18. Completa
para
que
los
siguientes
números
sean
múltiplos de 11.
72y5y3  9
Rpta.:
Rpta.:
14. Completar para que los
siguientes
números
sean
múltiplos de 7.
a) 10
b) 10
c) 41
19. Hallar “m”, si m < 5
o
343mm  8
Rpta.:
5
6
3
20. Calcular el valor de b, si
o
17b79  11
15. Hallar “a – b”
o
179a  7
o
1b25  9
Rpta.:
16. Completa:
I.
Un número es divisible
por……..Cuando sus tres
últimas cifras son……. o
múltiplo de……..
II. 321 es divisible por………
o
17. Hallar “P” Si: 97 P 4  11
Rpta.:
ARITMÉTICA
52
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
5. hallar el menor valor de “a” Si:
1. Responder X * Y si:
o
o
3a4a  9
8xyx5y  88
a) 4
c) 2
e)
a) 4
c) 2
e) 5
b) 8
d) 3
b) 3
d) 1
6. Calcular el valor de m: Si
o
2. Calcular n + p + a Si:
o
m36  103m  7
o
4n27  9 ; a1a5  11 ;
a) 2
c) 5
e) 8
o
343pp  8
a) 10
c) 12
E) 14
b) 4
d) 6
b) 11
D) 13
7. Hallar la suma de valores de
“m” para lo cual:
o
3. Hallar “n” 12n7  9
a) 5
c) 7
e) 9
o
52m3m1  3
b) 6
d) 8
a) 18
c) 9
e) N.A.
b) 12
d) 15
o
4. calcular x + y Si: 13x8  9
o
o
36y4  8
a) 5
c) 7
e) 9
ARITMÉTICA
8. Hallar “P” si:
b) 6
d) 8
a) 6
c) 8
e) 3
17P1 11
b) 7
d) 2
53
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
9. Hallar los números que sean
múltiplos de 7:
343
1099
3433
5000
3164
a) 1
c) 3
e) 5
o
432n  11
a) 3
c) 5
e) 7
b) 2
d) 4
10. Si el número 2 x45 y es
múltiplo de 72. Hallar el valor
de x + y
a) 1
c) 6
e) 8
o
13. Hallar m – n Si 53m 4  9 y
b) 5
d) 7
b) 4
d) 6
14. ¿Cuántos valores toma “n”
para que se cumpla la
o
igualdad? 3n 4n  3
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
o
11. Hallar m si: 4m2m5  7
a) 2
b) 4
c) 6
d) 5
e) 3
15. Responder (V) o (F) a las
siguientes afirmaciones.
o
12. Hallar “a” si a < 7 a386a  8
a) 5
c) 8
e) 3
ARITMÉTICA
b) 4
d) 4
I. 10136 es múltiplo de 9
II. 2585 es múltiplo de 11
III. 15600 es múltiplo de 125
a) FVV
c) FFF
e) FVF
b) VVV
d) VFF
54
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
TEMA: CRITERIOS DE LA DIVISIBILIDAD


Son los diversos métodos que nos permiten saber cuando un número es
divisible entre otro.
Existen métodos para hallar el residuo en divisiones enteras inexactas
sin la necesidad de ejecutarlas.
a) DIVISIBILIDAD POR 2

Todo número será divisible por 2 cuando:
1. Cuando sus últimas cifras sean iguales a cero.
2. Cuando el número sea múltiplo de 2 (sea un número par).
b) DIVISIBILIDAD POR 5
 Todo número es divisible a 5 cuando:
1. Cuando sus últimas cifras son iguales a cero o cuando la ultima es cero.
2. Cuando el número termina en 5.
c) DIVISIBILIDAD POR 3

Todo número será divisible por 3 cuando:
o
1. La suma de sus cifras es un múltiplo de 3  3 
 
d) DIVISIBILIDAD POR 9
1. Todo número será divisible por 9 cuando: la suma de sus cifras da
o
como resultado un múltiplo de 9  9 
 
abc (# de 3 cifras)
N=
o

N=
9 ( a  b  c )

N=
3 (a  b  c)
ARITMÉTICA
o
55
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
e) DIVISIBILIDAD POR 11
 Todo número será divisible por 11; cuando al tercer……….:
1. Cuando al restar la suma de cifras de orden impar con la suma de
o
cifras de orden par da como resultado un
f)

N = a b c d e (# de 5 cifras).

N=
11
o
11 + [ (e + c + a) – (b + c) ]
DIVISIBILIDAD POR 7

Todo número será 7 cuando al multiplicar sus cifras de derecha a
izquierda por los coeficientes: 1; 3; 2; -1; -3; -2.
o
La suma algebraica da como resultado un 7
N=
abcdef
 2  3 1 2 3 1

 N  7  2a  3b  c  2d  3e  f 
g) DIVISIBILIDAD POR 13

Todo número será 13 cuando al multiplicar sus cifras de residuo de
derecha a izquierda por los coeficientes 1; -3; -4; -1; 3; 4; la suma
algebraica da como resultado todo un 13.
* N=
abcdef
4 3 1  4  3 1
o
*
 N  13   ( 4a  3b  c  4d  3e  f )
ARITMÉTICA
56
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Halla el resto de la división por
11 del número 12814
Rpta.:
7. Hallar el resto de dividir 8
entre 15.
5261
Rpta.:
2n 2
2
2. Para cualquier n; 3
es siempre divisible por:
6 n 1
8. Hallar las 2 últimas cifras de
3436
Rpta.:
3. El número 8201m046 es
divisible por 13. ¿Cuál es el
resto de dividir mmmm por
11?
Rpta.:
Rpta.:
9. Si
N  1x2x  2x3  3x4  ...  602x603
Hallar el residuo al dividir entre
5.
Rpta.:
4. ¿Cuánto debe valer “n” para
que el resto de n x 159147
entre 7 sea 3?
10. Si la suma del número N y su
o
Rpta.:
o
5. Hallar a: Si 118(2a)a7  23
C. A es 7 + 4¿Cuántas cifras
podrá tener el número N como
mínimo?
Rpta.:
Rpta.:
6. Determinar el resto de la
división por 8 del producto
11. Hallar el menor número
exponente “K” de 4 cifras, que
o
436543 x7937 67
permita que 7366K  17 2
Rpta.:
Rpta.:
ARITMÉTICA
57
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
12. La diferencia de un número
dado
y
otro
obtenido
invirtiendo el orden de las
cifras de dicho número dado,
siempre es múltiplo de.
Primer Año
o
17. Si n  4 , ¿Cuál es la cifra de
las cifras unidades de la suma
efectuada.
S  1n  2n  3 n  ........  9 n
Rpta.:
Rpta.:
13. Hallar la suma de sus cifras
del mayor número de la forma
abccba sabiendo que es
divisible por 7 y 13.
Rpta.:
18. En el sistema de base 7 la
cifra de las unidades del
número
(1459)25 , es:
Rpta.:
19. ¿Cuántos números de la forma
o
14. ¿Cuál es el menor número
múltiplo de 3 y 7 que da como
residuo 1 al ser dividido entre
8.
Rpta.:
15. ¿Cuál
es
el
número
comprendido, entre 200 y 300,
tal que leído al revés es el
doble del número que sigue al
original.
mcdu son 23 y cumplen que
du = mc  9
Rpta.:
20. ¿Qué valores puede tomar “a”
para que:
0
o
4a4a4a... 4a 5  13 5  8
Rpta.:
Rpta.:
16. ¿Qué cifra debe remplazar a
“c” en el número N  756c39
para que sea divisible por 11?
Rpta.:
ARITMÉTICA
58
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
5. Si “n” es un número
no
divisible por 3, la expresión
1  2n  2 2n es un.
1. La suma de los números
N  a 43b y b34a es
siempre divisible por:
a) 9
c) 11
e) 5
b) 3
d) 2


a) 7
b) 9

c) 2n

d) 7 1

2. La diferencia entre un
de 3 cifras y otro
obtenido invirtiendo al
con las cifras en
invirtiendo siempre es
de:
a) 19
c) 5
e) 13
número
número
anterior
orden
múltiplo
e)
11 1
6. Si “n” es un número entre
cualquiera,
el
producto
n(n + 1) (2n + 1) es siempre
divisible por.
a) 2
c) 3
e) 6
b) 17
d) 11
b) 5
d) 4
7. ¿Cuál es el menor valor de “n”
3. Calcula “x” si:
a) 1
c) 3
e) 4
o
__
16 x 2 x8  19
a) 4
c) 2
e) 5
b) 5
d) 0
1969
4. Hallar el resto de 3745
dividir entre 11.
a) 3
c) 9
e) 1
ARITMÉTICA
para que nx 7
b) 5
d) 7
3247

sea 5 2 ?
b) 3
d) 1
6561
al
8. Al expresar 6561
en base
6; la cifra de unidades será:
a) 0
c) 2
e) 4
b) 1
d) 3
59
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
9. El número de 4 cifras abcd ,
el cual esta inscrito en el
sistema de base 8, será
múltiplo de 7 cuando:
12. ¿Cuál es el menor número
múltiplo de 7 que da de resto
la unidad al ser dividido por 3
u 11?
a) 133
c) 267
e) 168

a) d  3c  2b  a  7
b) 67
d) 231

b) d  3c  2b  a  7
43

13. El residuo de: 4365
c) a  b  c  d  7

a) 1
c) 3
e) 5
d) 2b  c  d  a  7

e) a  b  c  d  7
10. Halla en el sistema decimal el
número que en el sistema de
base 7 es:

( x)( x  1)( x  2)7  9
a) 122
c) 132
e) 123
b) 142
d) 124
11. Para todos los valores enteros
posibles d “n”, el mayor
número
entero
que
es
exactamente an  3 es:
3
 8 es:
b) 2
d) 4
14. Hallar el menor valor de N

talque: y N  7  3

N  15 13
a) 59
c) 46
e) 31
b) 45
d) 52
15. Cuántos valores toma a: Si
o
a
23
a23
...  9


a
23


179 cif ras
a) 2
c) 4
e) 6
ARITMÉTICA
b) 3
d) 5
a) 1
c) 3
e) 5
b) 2
d) 4
60
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
TEMA: MÁXIMO COMUN DIVISOR (M. C. D)
MÍNIMO COMUN MULTIPLO (M. C. M)


Dado un conjunto de números enteros positivos:
El M.C.D de dichos números es el mayor de los divisores comunes que
comparten dichos números.
El M. C. M de dichos números es el menor de los múltiplos comunes
que comparten dichos números.
Ejemplo: Sean los números 18 y 24.
Divisores: De 18: 1, 2, 3, 6, 9,18.
De 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
 Divisores comunes de 18 y 24: 1, 2, 3, 6
M. C. D. (18, 24) = 6

Definición a manera de aplicación de M. C. D (máximo común
divisor)
* Ahora si tenemos:
d) Múltiplos:
De 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162,…
De 24: 24, 28, 72, 96, 120, 144, 168,…
 Múltiplos Comunes 18 y 24:
72; 144;….
 M. C. M (18, 24) = 72
Obs.: Los divisores comunes de un conjunto de números enteros
positivos son todos los divisores del M. C. D de dichos números.
ARITMÉTICA
61
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Dado el número 31500
a
a) ¿Cuántos divisores tiene?
b) ¿Cuántos
divisores
son
7. Sea:
primos absolutos?
c) ¿Cuántos
divisores
son
compuestos?
d) ¿Cuántos
divisores
N1  3 52b y
a = 2b,
N 2  3 2a  5
si
DN1  5

DN2  9
Hallar a + b
2. Si el MCD de dos números es
6, su suma es múltiplo de 13, y
además el producto de ellos
es un cuadrado perfecto.
Hallar su diferencia.
3. Si: N  9  10 y además tiene
3 divisores más que el número
360 Hallar (K + N).
K
N1  45 x60n
y
b
son
mayores que 20?
4. Sea:
6. Si 4  3 tiene aa divisores
¿Cuántos divisores tendrá
a x b?
y
N2  60 x45 Si se cumple
n
8. ¿Cuántas parejas de números
cumplen que su MCD sea 9 y
su suma sea 126?
9. El M. C. M de los números A y
B es 88. Si: A  B  2000
Hallar A + B.
2
2
10. Hallar 2 números enteros
sabiendo que su diferencia es
2842 y que los cocientes
sucesivos para determinar su
MCD son 1, 3, 4, 2, 5.
que los divisores de N1 y N2
están en la relación de 21 es a
10. Hallar su MCD.
11. ¿Cuántas cifras tiene el MCM
N
y
4
12. Hallar “K” sabiendo que: MCD
(210 K, 300 y 420K) = 1200.
5. Si D(A, B) = N; D (B, C) =
D (A, B, C) = 60. Hallar N
ARITMÉTICA
de
2192 ,460 ,848 ?
62
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
13. Hallar por divisiones sucesivas
el MCD de 1144, 2168,7336 y
9184.
20. Si A – B = 5 y el MCM (A, B) =
150 Hallar A + B:
14. Hallar el valor de “n” en los
números
y
A  12  45n
n
B  12  45 para que tenga 90
divisores.
PROBLEMAS PARA LA CASA
15. El MCM de 2 números enteros
es 22400, al calcularse el MCD
mediante el algoritmo de
Euclides se obtuvieron como
cociente sucesivos 2, 5 y 3.
Hallar uno de los números.
16. La suma de dos números es
140 y su MCD es 28; además
su división entre ellos es
exacta. Hallar los números.
17. Si “X” e “y” son números
primos el MCM; es igual a:
x2  y2
2
 Podemos afirmar:
18. Hallar el número de ladrillos
necesarios para construir un
cubo compacto sabiendo que
su arista esta comprendida
entre 2 y 3m y que las
dimensiones del ladrillo a
usarse son de 20, 15 y 8 cm.
19. Si
MCM
 119 y además los
MCD
números suma 72. Hallar el
MCD.
ARITMÉTICA
2n
1. Si 4
tiene 81 divisores.
Hallar “n”.
a) 20
c) 15
e) 30
b) 10
d) 25
2. Entre los números: 180, 756 y
900. ¿Cuál es el que tiene
tantos divisores como 360.
a) 900
b) 180
c) 756
d) Todos
e) ninguno.
3. Si
tiene
75
N  12n  15n
divisores. Hallar la suma de
cifras de N.
a) 18
c) 27
e) 21
b) 15
d) 9
4. ¿Cuántos números compuestos dividen exactamente al
número 12740?
a) 27
c) 34
e) 38
b) 32
d) 46
63
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Si
9. Si la suma de los divisores de
15  75 tiene (7n + 34)
N  36  9 K es 847. ¿Cuántos
divisores.
divisores tiene N?
5. Hallar
el
valor
de
n:
n
a) 11
c) 13
e) 15
a) 16
c) 15
e) 12
b) 12
d) 14
n 1
6. Hallar n2: Si P  14
tiene 120 divisiones
a) 36
c) 25
e) 4
 24n
b) 16
d) 9
7. Si: N  3  5
tiene
3
divisores más que el número
M = 29.53. Hallar su diferencia.
b
a) 1444
c) 1400
e) 1445
a
b) 1525
d) 1732
8. Hallar el MCD de 1591 y 2257
utilizando el Método de las
divisiones
sucesivas
de
Euclides.
a) 13
c) 27
e) 37
ARITMÉTICA
b) 17
d) 31
b) 18
d) 20
10. Sean los números A y B cuyo
MCD es 12 y la diferencia de
sus cuadrados es 20888.
Hallar A – B.
a) 55
c) 60
e) 72
b) 84
d) 48
11. Si el MCD de (A, B) es 12.
Calcular su MCD de
2
A y
3
2
B.
3
a) 8
c) 4
e) 16
b) 6
d) 12
12. Hallar el mayor de ellos si:
MCD = 19 y uno de ellos es el
séxtuplo del otro.
a) 19
c) 57
e) FD.
b) 114
d) 152
64
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
TEMA: PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y PROGRESION
GEOMÉTRICA

Progresión Aritmética:
Es una sucesión de números que tiene la característica en que cada 2
términos consecutivos, se diferencian en una mínima cantidad llamada
razón de dicha progresión aritmética.
an  a1  (n  1) . r




an
a1
n
r
: Último término
: Primer término
: Número de términos.
: Razón.
Ejemplo:
Calcular el término “40” en:
* 12, 14, 16,…
T40 = 12 + 39.2 = 90
Cálculo del número de términos (n)
n



an
ao
r
an  ao
r
: Último término
: anterior al primero
: Razón
Ejm. Cuántos términos existen:
14,16,18,…, 92
ARITMÉTICA
65
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
n

Primer Año
92  12
 40
2
Progresión Geométrica:
Es una sucesión de números en donde al dividir 2 términos consecutivos
siempre se obtendrá un cociente (razón geométrica) constante.
Tn  T1 . qn1




Tn
T1
n
q
Ejemplo:
: Último término
: Primer término.
: Número de términos
: razón geométrica.
calcular el término 5 de la siguiente progresión:
1, 2, 4, 8, x, …
X: Tn = T5
T5  T1  q51
e) Reconoce los elementos:
ARITMÉTICA
T1 = 1

T5  1 251
Tn = T5 = x
q =2
n =5

T5  2 4  16
66
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Calcule el 1er término de un
P.A creciente de un número
par de términos sabiendo que
el producto de los extremos es
238 y la suma de los términos
medios es 41.
Rpta.:
2. Calcule el término número 12
de un P.A si sabe que el
quinto término es 31 y el
término número 9 es 59.
Rpta.:
3. Calcule la suma de los 30
primeros términos de una
(P.A) cuyo término que ocupa
el lugar P es de la forma
p
1
3
6. Se tiene 2 P.A con la misma
cantidad de términos, cuyos
primeros términos son 4 y 10
respectivamente y sus razones
son los números 8, 4,
respectivamente. La suma de
los términos centrales es 1384
¿Cuántos términos tienen
ambas progresiones?
Rpta.:
7. Si 4ab y ab7 son el primero
y el último término de una
serie en P.A cuya cantidad de
términos es 22, calcule el
17 avo término si a +b = 10,
b>a.
a=4
b=6
Rpta.:
Rpta.:
4. Sea la progresión aritmética
tiene
89
ab, d 3,..., bd1
términos, Halle a + b + d.
Rpta.:
5. Sea las siguientes sucesiones:
4,7,12,19,...,21n  3,... Halle

( n 1)Ter min os
8. Sean los números ab , b4 ,
(a  1)(b  2) en P.A calcule
a + b.
Rpta.:
9. En una P.A el tercer término
es igual a 4 veces el primer
término y el sexto término es
17, calcule el primer término si
la razón es par y los términos
son
números
enteros
positivos.
el término número 25.
Rpta.:
Rpta.:
ARITMÉTICA
67
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
10. Halle el número de términos
de la siguiente progresión
aritmética.
a79, abc,..., ccc
además: a +b +c =
(b < c)
ab
Rpta.:
11.
Calcule
s  3a n  b4n  49n  4c n  52n
si los sumandos son términos
que están en P.A. De la
respuesta en base n.
Rpta.:
12. Calcule
el resultado
de
efectuar la siguiente sumatoria
sabiendo que tiene 100
sumandos. S = 5 + 6 + 7 + 9 +
9 + 12 + 11 + 15 +….
15. ¿Cuántos términos de la P.A?
26, 21, 16,… se deben tomarse
para que su suma sea 74?
Rpta.:
16. En una P.G de 5 términos,
sabemos que el tercer término
es 12 y el cuarto término es
24, calcular la suma del primer
y último término.
Rpta.:
17. En una P.G de 4 términos, si se
sabe que el primer término es 2;
si el último término es 0,25.
Calcular el segundo término.
Rpta.:
18. Sea la siguiente P.G a, 25, a3
Calcular la suma de términos
de la P.G
Rpta.:
Rpta.:
13. Dado
la
siguiente
P.A
creciente, halla el término bc .
Determine la suma de cifras.
aaa, a(a  b)5, ac4
19. La suma del primer y segundo
término de una P.G. y la suma
de los 2 términos consecutivos
es 4 veces la suma anterior.
Calcular la razón de la P.G.
Rpta.:
Rpta.:
14. La suma de 15 términos de
una P.A es 600 y la diferencia
común de sus términos es 5,
calcule el primer término.
20. La diferencia de los 2 primeros
términos de una P.G es 8 y la
suma de los 2 términos
consecutivos es 300. calcular
el valor del 2° término.
Rpta.:
Rpta.:
ARITMÉTICA
68
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1.
La suma de tres números que
están en una progresión
aritmética es 27 y su producto es
504. Calcule el mayor de ellos.
a) 13
d) 11
b) 12
e) 14
3.
a) 35 p  q
b) 170 c) 150
e) 160
b) 9
e) 10
2m 2  1
3 6m2 5
, 4m  ,
m
m
m
obtiene 4160 calcule m:
ARITMÉTICA
b) 5
d) 10
n
q
p
b) 35  q
p
d) 35 18  q 
 p



18
q
p
6. La suma de tres términos es
P.A es 12 y la suma de sus
cubos es 408, calcule el menor
de ellos.
a) 7
c) 9
e) 12
b) 8
d) 10
c) 15
4. Si al calcular la suma de los
20 primeros términos de la P.A
a) 6
c) 8
e) 12
c) p  35q
e)
se tiene una P.A de números de 2
cifras donde el primer término es
12. Se escribe en forma
consecutiva desde el 1er término
al último y se observa que la cifra
que ocupa el 7mo lugar es 4. halle
el número de términos de la
progresión si la cifra que ocupa el
9no lugar es 6 y la que ocupa el
último lugar también es 6.
a) 8
d) 13
término es
c) 11
2. Calcule la suma de los 35
términos de una P.A cuyo
término del lugar 18 es 4.
a) 40
d) 155
5. Calcule la suma de los 35
términos de una P.A cuyo
se
7. Sea la siguiente progresión
aritmética
abc, acb, a4a,...9(b  c)a
a) 30
c) 92
e) 93
b) 80
d) 91
69
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
8. Halle la suma de los 86
términos
de
la
P.A
a5n , a7n , bon ,...abc.
Si b es impar.
a) 9280
c) 8598
e) 9485
b) 9288
d) 8290
9. Hallar la suma de las 30
primeros términos de la
progresión aritmética creciente
aaa, ab4, ac4...
a) 26140
c) 17670
e) b y c
b) 22020
d) 24130
10. Sea la progresión aritmética.
de
89
aob; aac;...; boa
términos hallar: “a + b + c”
a) 15
c) 17
e) 19
b) 16
d) 18
11. Hallar el número de términos
de la siguiente serie aritmética.
a72ba; a69ba; a66ba...; (a 1)94ba
a) 20
c) 52
e) 30
ARITMÉTICA
b) 27
d) 25
Primer Año
12. Dada la siguiente progresión
...;
754
aritmética: 13

abc

 ; cba
;...


"n" ter min os "n" ter min os
calcular.
a) 10
c) 30
e) 40
b) 20
d) 35
13. El tercer término de una P.G
es 20; si la suma de los 4
términos de esta P.G es 75.
Calcular el valor de la razón.
a) 1
c) 3
e) 5
14. Si
b) 2
d) 4
la
siguiente
P.G:
ab;4ab;96, hallar a + b
a) 1
c) 3
e) 9
b) 2
d) 13
15. La suma de los 4 primeros
términos de una P.G es 90 si
la razón entre el último y el 1er
término es 8. Calcular la suma
del 2do y el 3er término.
a) 36
c) 48
e) 34
b) 30
d) 40
70
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
TEMA: NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

NÚMERO PRIMO ABSOLUTO:
Si hablamos en naturales un número Primo es aquel que posee solo dos
divisores: el mismo y la unidad.
Veamos:
2; 3; 5; 7;...
   
121315 17
Obs.:
El 1 no es primo. Ya que sólo es divisible por la unidad; que viene
ser el mismo.

NÚMEROS SIMPLES:
Se le llama así a los factores primos que posee un número incluida la
unidad.
Primos + Unidad

NÚMEROS COMPUESTOS:
Son aquellos números que pueden expresar como el producto de dos o
más factores distintos de la unidad.
Ejm: 48
2x2x2x2x3
6x8
12 x 2 x 2
 Números Primos entre si (PESI):
Son aquellos números que poseen como único divisor común a la
unidad.
ARITMÉTICA
71
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
 8, 9 y 25 son PESI
Ejm
8
9
25



1
1
1
2
3
5
4
9
25
8
 Números Primos entre si dos o dos:
Son aquellos números que al ser tomados de 2 en 2 resultan ser PESI.
6
11 49



1
1
1
2
11 7
 i) 6 y 11 son PESI
ii) 11 y 49 son PESI
iii) 6 y 49 son PESI
49
3
6
PESI PESI
PESI
 Descomposición Canónica de un Número:
Llamado también el teorema fundamental de la Aritmética y consiste en
colocar a un número como el producto de sus factores primos elevados
a ciertos exponentes.
ARITMÉTICA
72
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
Veamos:
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
180  22 x32 x5
 Tabla de los divisores de un Número:
Veamos la siguiente estructura:
180  22 x32 x5
1
2 4
33 6 12

99 18 36
5 10 20

515 30 60
45 90 180

“ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO”
f)
Sea:
Cantidad de Divisores de un Número: (CDN)
N  aα  bβ  cθ...
CD N  (  1)  (   1)  (  1)...

Ejm: 180  2 x3 x5
2
ARITMÉTICA
2
73
COLEGIO PREUNIVERSITARIO

Primer Año
CD (180)  (2  1)  (2  1)  (1  1)  18
g) Suma de los Divisores de un Número: (SDN)
Sea: N  aα  bβ  cθ...
 a 1  1   b  1  1   c 1  1 
  
  
  ...
S D N  
a

1
b

1
c

1

 
 


Ejm:
180  22 x32 x5
 3   3   2 
 S D (180)   2  1    3  1    5  1   546
 2 1   3 1   5 1 

 
 

h) Suma de las Inversas de los Divisores de un Número: (SIDN)
Sea: N el número: con suma de sus divisores SDN
S ID N 

SID (180) 
Ejm:
i)
SD N
N
546 91

180 30
Producto de los Divisores de un Número: (PDN)
Sea: N el número, con cantidad de divisores CDN

ARITMÉTICA
PDN  N
CDN
2
74
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
PD (180)  180
18
2
Ejm:
j)
Primer Año
 1809
Función de Euler ( N)- Indicador de un Número:



Sea: N  a  b  c ...
 1  1  1
 N  N  1    1    1  ...
 a  b  c

IDEA: El número N nos indica mediante su valor cuántos números
menores que N. y primos con el existen.
Ejm: ¿Cuántos números menores que 10 son primos con el?


  (10)  10  1 
1  1
  1    4
2  5
Aplicando Idea: Sea C: Conjunto de números menores que 10. (10=
2x5)
k) C = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
l)
Números menores que 10 y primos con el: {1, 3, 7, 9}
 son 4.
ARITMÉTICA
75
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Acerca del número 31500.
Determine:
* La cantidad de divisores:
primos, simples, compuestos,
propios y totales.
Rpta.:
2. Acerca del número 31500.
Determine
la
suma
de
divisores simples y la suma de
divisores compuestos.
Rpta.:
3. Acerca del mismo 31500; halle
la cantidad de divisores
múltiplos de 15 que posee
dicho número.
Rpta.:
4. Dado el número N = 31500.
Calcule cual es la cantidad de
divisores pares e impares que
posee.
Rpta.:
5. Dado el número N = 31500;
halle la cantidad de divisores
que posee, que sean PESI con
189.
Rpta.:
ARITMÉTICA
6. Determine la suma de los
divisores de 3960 que sean
primos relativos con 297.
Rpta.:
n 1
n 1
7. Si: N  2  3  5
tiene
36 divisores que terminan en
cero. Hallar la suma de cifras
del número que es la suma de
divisores de
2n
(n  1)n(n  1)
Rpta.:
8. ¿Cuántos números impares
menores que 120 no son
divisibles por 3 ni por 5?
Rpta.:
n2
n3
N  6  10  15
9. Si
termina en 7 ceros ¿Cuántos de
sus divisores son PESI con 70?
Rpta.:
n
10. Un
número
posee
45
divisores, de los cuales 4 son
simples. Si dicho número es el
menor
posible.
¿Cuántos
divisores múltiplos del menor
factor primo posee dicho
número?
Rpta.:
76
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
11. Si
se
tiene
los
Primer Año
números
A  24b  5 2 yB ; cuya descom-
posición
canónica
es:
17. Si a un número N,
cuya
descomposición canónica es,
a3b se multiplica por 7, su
a  b (a  3) . Calcular la
cantidad
cantidad de divisores de A
sabiendo que A y B tienen los
mismos divisores primos.
Rpta.:
duplica ¿Qué ocurre con la
suma de divisores?
4
3
a
12. Calcular el menor número
impar de 20 divisores.
Rpta.:
13. ¿Cuántos
divisores
como
máximo
puede
tener
el
número
Rpta.:
aaa ?
14. Calcular el valor de “n” si la suma
de divisores del siguiente número
de
divisores
se
Rpta.:
abo mínimo
18. Si el numeral
posee 16 divisores, calcular la
suma de los divisores múltiplos
de 7 del numeral
abo (a  b)
Rpta.:
19. Calcular
divisores
la
de
cantidad
abc
de
;
si
3 n x5 es 240
descompuesto
Rpta.:
te, tiene la siguiente forma:
15. Hallar “n”; si
divisores.
Rpta.:
481n
tiene
n1
canónicamen-
abc  P P x( P  1) 3 x( P  3)
Rpta.:
20. ¿Cuántos de los divisores de
16. Hallar el valor de “n”, si el
número de divisores de
P  3x 21n es 2/3 del número
n
de divisores de Q  98
180 tienen 2 cifras?
Rpta.:
Rpta.:
ARITMÉTICA
77
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Dado N  2 x 3 x 5 x 7
¿Cuántos divisores tiene?
4
a) 120
c) 80
e) 300
3
2
;
b) 60
d) 100
a) 200
c) 600
e) 450
b) 150
d) 575
3. Dado el número
Calcule cuántos
75
de
600.
sus

divisores son 2 , y cuántos son
impares. Dé como respuesta la
suma de estos.
a) 300
c) 60
e) 100
b) 120
d) 160
a 1
a 1
6. Si:
b) 7
d) 4
Q  2a x3a 1x5 tiene 144
divisores. Hallar “a”
a) 7
c) 9
e) 5
7. Si:
b) 8
d) 6
R2
a
1
x
5a
tiene
36

divisores de
a) 6
c) 4
e) 2
2 . Hallar “a”
b) 5
d) 7
8. ¿Cuántos números menores
que 800 son primos con él?
a 1
P  2 x5 x 7
4. Dado:
sabemos
que
tiene
divisores. Calcular a.
a) 5
b) 2
c) 3
d) 4
e) 7
a
ARITMÉTICA
a
a) 5
c) 2
e) 8
2. Del
número
N
dado
anteriormente;
calcule
el
número de divisores simples
que tiene y cantidad de
divisores compuestos. Dé
como respuesta el producto.
1
5. Si: M  3 x5 x 7
tiene
64 divisores. Calcular “a”
Si
24
a) 320
c) 480
e) 250
b) 160
d) 300
78
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
9. Hallar 2 números primos a y b,
tales que la suma de todos los
divisores
del
número:
N  2 5 x a  b sea el triple
de este número. Dar como
respuesta la suma de este.
a) 9
c) 8
e) 13
b) 10
d) 12
10. La descomposición canónica
del número N es: bxaa  4 x (a  1)
Calcular la suma de los
divisores
primos
de
N,
sabiendo que en total tiene 84
divisores.
a) 16
c) 10
e) 11
b) 12
d) 8
11. Si a y b son números primos
absolutos y a + b = 259.
¿Cuánto vale la diferencia de
a y b?
a) 200
c) 158
e) 230
b) 225
d) 160
12. Hallar el valor “n”, sabiendo
n
que: A  480 x18 tiene 144
divisores.
a) 4
c) 7
e) 3
ARITMÉTICA
Primer Año
13. Hallar la suma de las cifras de
un número entero N, sabiendo
que admite solo 2 divisores,
que el número de divisores
simples mas los divisores
compuestos es 6 y la suma de
ellos es 28.
a) 8
c) 17
e) 13
b) 15
d) 12
14. Se tiene la descomposición
canónica: N  (a  2)a . aa 2 .(a  2)a 2
Calcular la suma de los
divisores que son PESI con
19.
a) 200
c) 350
e) 500
b) 400
d) 450
15. Si N  60a.60a1.60a 2.60a3 tiene
225
divisores
impares.
¿Cuántos divisores PESI con
15 tiene N?
a) 29
c) 32
e) 28
b) 27
d) 41
b) 5
d) 2
79
COLEGIO PREUNIVERSITARIO
Primer Año
ÍNDICE
 Estadística
03
 Número fraccionario y su clasificación.
19
 Número Decimal
29
 Potenciación y Radicación
39
 Teoría de la Divisibilidad
49
 Criterios de la Divisibilidad
55
 Divisores y múltiplos comunes (MCM, MCD)
71
 Progresión Aritmética y Geométrica
61
 Número Primo y Compuesto
65
ARITMÉTICA
80