Download campo eléctrico y ley de gauss

Cuaderno de Actividades: Física II
2) CAMPO ELÉCTRICO
Y LEY DE GAUSS
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
19
Cuaderno de Actividades: Física II
2.1) Definición de campo eléctrico, E
El vector E describe las propiedades eléctricas del espacio {medio}.
q0
Fe
E
q0
E
Fe
P
q
P

q
Donde:
q0 : Carga de prueba , q0  
q0  0
Campo eléctrico: Discusión…
“Las interacciones del campo no son instantáneas”
“La carga q modifica el medio que la rodea (campo)”
E
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
20
Cuaderno de Actividades: Física II
Ecuaciones de E
i) q
kqq0  r  r  
r  r
E (qr ) 
q
3

q0
kqr
r
3
P
, si r   0
E (qr )
r
r
En general :
Eq (r ) 
kq  r  r  
r  r
3
ii) Distribuciones Discretas, DD
qi
qi
P
E (qri )
i n
E
ri  r '
DD
i n
r    E r   
qi
i 1
r
i 1
kqi  r  ri 
r  ri
iii) Distribuciones continuas:
j) Volumétrica
E r   

k  dv  r  r  
r  r
3
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
, v : representa el volumen
21
3
Cuaderno de Actividades: Física II
jj) Superficial
E r   
k da  r  r  
r  r

3
, a o s : representa el área
jjj) Lineal
E r   
k  dl   r  r  
r  r

3
, l : representa la longitud
“Las distribuciones de carga crean el campo”
Observaciones
j)
u  E   N
jj) E 
C
Fe
: definición operacional
q0
Fe  q0 E ,
jjj)
Fe : Fuerza " sentida " por q0 .
E : creado por cierta distribución de
cargas en la posición de q0 .
jv) El E
es usado intensivamente en las ecuaciones.
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
22
Cuaderno de Actividades: Física II
2.2) Lineas de fuerza, LF
 r 
P
E r   
k   r  dv  r  r  
r  r

r
3
 , E se obtiene por definicion
r
→ LEY DE GAUSS: ρ de alta simetría .
→ Útil sólo para  de alta simetría: E “fácil” de calcular.
→ LF / LF=simetría  .
Definición de lineas de fuerza

Son las trayectorias descritas por las q0 debido a la Fe  qE

generada por
cierta  .
Fe
  r '
q0
LF
“La forma de las LF esta ligada a cómo se distribuye la q”
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
23
Cuaderno de Actividades: Física II
LF para diversas distribuciones de carga
i)   q
Fe
q0
q
q
ii)  : q1  q2
 |q|

 +d

Caso especial:
 q1  q2  q

 q1  

 q2  
 d  " pequeña "

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
24
Cuaderno de Actividades: Física II
Dipolo eléctrico:
Modelo más simple
para
describir sistemas cargados
(cuando d se aprox. a 0)
d
q
-q
iii)   
O


iv)   


O
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
25
Cuaderno de Actividades: Física II
v)   0    r 
Q    dv
Q
Características
q0
j)
E tg LF
E
jj)


jjj) No se cruzan
jv) Distribución de LF:
k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad.
kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.
¿? Prepare maquetas de LFs
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
26
Cuaderno de Actividades: Física II
2.3) Ley de Gauss
Establece la proporcionalidad entre el flujo eléctrico a través de cierta superficie
cerrada, llamada gausiana y la carga eléctrica encerrada por dicha superficie.
Johann Carl
Friedrich Gauss,
El príncipe de las
matemáticas.
(30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero
1855, Göttingen)
de
Definición del flujo eléctrico,  E
Es la cantidad física escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa la
superficie.
ES  E   E.ds   E.da ,
E
S
S
ds  da : vector de area elemental
da
da
SA
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
 da  da
da 
  da  da
27
Cuaderno de Actividades: Física II
Ley de Gauss
 E.da
E ,SG 

qNE
SG

SG
E.da 
SG
qNE 
qNE
0
  dV
SG
Para simplificar los cálculos ver que:
E  da  E da cos
1º   0    E  da   E da

2º E  cte  E  da  E da E sale dela 

*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}
¿? Investigue por lo menos una biografía del Príncipe de las Matemáticas.
¿? Que otros flujos se usan en la Física.
¿? Será posible matematizar las LF
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
28
Cuaderno de Actividades: Física II
Ejemplo
Z

dl  dz
dq   dz
r
r
X
1º Por la definición de
Er   


E
k  dl   r  r  
r  rjˆ
r  r
r   zkˆ

E
Y
E

r   


r

2
z
2

32
dz
r
2

Ez  k  

k  dz rjˆ  zkˆ

Ey  kr 
3
z
2

32
zdz
r
2
z
2

32
E
y
 r  r   rjˆ  zkˆ   r  r  
r2  z2
ˆj  E z kˆ
 ¿?
 0, por simetria
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
29
Cuaderno de Actividades: Física II
2º   alta simetría  Gauss


r
r
r
da
H
H
E
E
O
SG=SCL+STS+STI

E  da 
SG


SCL
STS
da || E





STI

qNE
0
da  E
E da  0  0 
SCL
qNE
0
, SG : E  cte


H
 E   da   E 2 rH  
0
 SCL 
 E 

2 r 0
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
30
Cuaderno de Actividades: Física II
S1P22)
a) Localice en la figura los puntos donde el campo eléctrico es cero.
b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las líneas de fuerza del campo
resultante.
c) Haga un gráfico cualitativo de E vs. x, dónde E se evalúe en puntos del eje
X.
Solución:
Q
q-
q+
E- P E+
S
x
d1
0
d0
a) Para el punto S: E
d
 E 
k q
d2
x

k q
d0  d 
2

2q
d2

5q
1

  d
2

2
1

2   d  d 2   5d 2
4

3d 2  2d 
1
 0  d1,2
2
 1
2  4  4  3   
2  10
 2

 d1 
 0,9
23
6
Igual en Q:
E 
 
k 2q
1

d1  
2

3d12  5d1 
2
 E 
5
 0  d11,2 
4
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
   2d
k 5q
d12
2
1
 5d12  5d1 
5  25  4  3 
23
5
4

5
4
5  10
 0,3; 1,4
6
31
Cuaderno de Actividades: Física II
b)
-
+
x
c) Para el punto S:




k 2q
k 5q
2
5 ˆ

ˆ
ˆ
ET 
i
i  kq 
 2  i  ET iˆ
2
2
2
x
x 
1

 x  1 
x




 

2
2





2
5
1

ET  kq 


x

,

2
2
2
x
1
 x  



 

2
hay que especificar para cada región
Ey
ET
E+
0,9
0
0,5
E+
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
x
E+
32
Cuaderno de Actividades: Física II
S1P7) En la distribución mostrada 0 es
constante y q0 es una carga puntual.
Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.
R0
0
centro de la circunferencia
q0
R0/2
d
Solución:
0
0’
q
r
R0/2
d
R0
0
Por superposición:
Q
Q’
0
0’

+
r
-0
0
 kQ

kQ '
Eq0  EQq0  EQ ' q0   2 
 iˆ;
 d  R0 / 2  
 d
3
4
4 R 
Q
Q  0  R03 , Q '   0   0   
3
3 2
8
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
33
Cuaderno de Actividades: Física II




4 3  1
1
ˆ
Eq0  k 0
R0  2 
i  Eq0 iˆ
2
3
d
R



8 d  0  

2  

Si d  R0 
R0
 1{despreciando los cuadrados}
d
2
2
R0 
R0 
1 

 R0 


1


1





1  
2
2 
2
d
2
d
d 
d





R 

d 2 1  0 
 2d 
1
Usando la aproximación del Binomio de Newton:
(1  x)n  1  nx cuando x  1
4  R03  1  R0 / d  
 Eq0  k 0
1 

8
3 d2 

R03  1  R0  
4
Eq0   k 0 2 1  1   
3
d 
d  8
R03 
R 
1
Eq0   k 0 2 7  0 
6
d 
d 
¿? Encuentre este resultado usando la definición. Analice la expresión
integral.
Ahora, usando
F  q0 E
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
R03 
R 
1
Fq0   q0 k 0 2 7  0  iˆ
6
d 
d 
34
Cuaderno de Actividades: Física II
S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal
()= 0 cos, donde 0 es una constante positiva y  el ángulo
azimutal, ¿Cuál es el modulo del vector campo eléctrico?
a) En el centro del anillo.
b) En su eje a una distancia d de su centro. Analice la expresión
obtenida para d >> R.
Z
P
zd
a)
r r'
3
r  0, r '  R cosiˆ  Rsen ˆj
0
x
k  ( )dl  r  r '


y

E  0  
R
dq
  r  r '   R cos  iˆ  Rsen ˆj
3
r  r 1  R3 ; dl  Rd

k 0 
1
 2  2

ˆ
ˆ
E  0 
 0  cos  d i  sen2 d j  
R 
2

 


1
1  cos 2 
2
E   0 
b)
k 0 ˆ
k 
i  E   0  0
R
R
r  zkˆ , r '  R cos iˆ  Rsen ˆj
  r  r '   R cosiˆ  Rsen ˆj  zkˆ
3

r  r '  R2  z 2

3/ 2
; dq   R d
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
35
Cuaderno de Actividades: Física II
E

 z 



1
z
 2  2

ˆ
ˆ
ˆ
cos

d

i

sen
2

d

j

cos

d

k



3/ 2 0 

2
2
2
R
R z
 



k 0 R 2

k 0 R 2 ˆ
k 0 R 2

E z 
i  E  z 
,
3/ 2
3/ 2
2
2
2
2
R z
R z





k 0 R 2
lim E  z  
z  R
z3

S1P47) Determine el campo eléctrico de un disco de radio R con densidad
superficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.
Solución:
A) Usando coordenadas polares ( coordenadas cilíndricas en el plano)
y
z
r
da=(rd)dr
dr

r
y
r'
d
r
x

x
E r   
kdq  r  r '

r r'
3
 k I
dq   da    rd dr 
r   0,0, z 
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
36
Cuaderno de Actividades: Física II
r '   r cos , rsen ,0 
 rd dr  r cos , rsen , z 
I 
r
s
2
 z2

3/ 2
 R 2

r cos , rsen , z  rd dr 


  
3/ 2
 0 0

r2  z2




2
0
cos d
I 
2
0




2
r
2
z
0
2

3/ 2
sen d


R
rdr
  2  z 
0

r2  z2


=0
(por evaluarse en sus periodos)
kˆ
 R
zrdr

d  
0
r2  z2

 
2
0
=0
rzdrd
R
0



 ˆ
k
3/ 2  
 


 kˆ
3/ 2



 z
z
E  z   k  2   
 z
R2  z 2
 ˆ
k

¿? Encuentre este resultado usando la definición con un elemento de área
cartesiano. Analice la expresión integral.
¿? Qué ocurre si R  
R
ˆ
z ˆ 
 k  2  k
E  z   k  2  k  
ˆ
z

k  2  k
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
37
Cuaderno de Actividades: Física II
E  z   k  2  
1
4 0

 2 0
 2   
:
El
E
de
un
plano!
(verifíquelo usando LG)
B) Usando anillos de =dr
z
r

r
y
r'
x
b)
r  zkˆ , r '  r cos iˆ  rsen ˆj
  r  r '  r cosiˆ  rsen ˆj  zkˆ
3

r  r '  r2  z2

3/ 2
; dq   rd
 2 
 
ˆ
ˆ
ˆ
 dE  z  
 r cos  d i  rsen d j  zd k  
3/ 2  0 

2
2
r z
 
 
k rdr



k (2 ) zrdr ˆ
k (2 ) zrdr ˆ
dE  z  
k  E  z   
k
3/ 2
3/ 2
2
2
2
2
r z
0 r z

R


 z
z
E  z   k  2   
 z
R2  z 2
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo


 ˆ
k

38