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LECCIÓN 5
PORTADORES FUERA DE EQUILIBRIO:
DIFUSIÓN Y RECOMBINACIÓN
1) GENERACIÓN Y RECOMBINACIÓN DE PORTADORES
En las lecciones anteriores nos hemos limitado a estudiar las propiedades de los
portadores en equilibrio térmico. En esta lección abordaremos el estudio de las propiedades de los
portadores fuera de equilibrio, que son de gran importancia para el estudio de los dispositivos
electrónicos. Las características, eficiencia y limitaciones de los dispositivos están determinados
por las propiedades de los portadores fuera de equilibrio. Veremos que, al contrario de lo que
ocurre con las propiedades en equilibrio térmico (determinadas por los portadores mayoritarios:
electrones en material de tipo n, huecos
EC(NC, n)
en material de tipo p), son los parámetros
de los portadores minoritarios los que
RTrampas
juegan el papel principal.
h>Eg
RRad
ET(NT, nT)
Los procesos mediante los cuales
se excitan portadores desde los niveles
ocupados a los niveles vacíos son los
llamados mecanismos de generación de
EV(NV, p)
portadores. La generación de portadores
libres en un semiconductor puede deberse
a causas internas (excitación térmica) o externas (radiación electromagnética, campos intensos,
inyección desde otra zona del material, etc). Los portadores libres excitados por estímulos
externos no permanecen indefinidamente en ese estado, ya que existen diversos mecanismos que
tienden a hacerlos volver al estado inicial. Son los llamados mecanismos de recombinación. La
figura representa esquemáticamente varios de esos mecanismos. Entre ellos podemos señalar los
siguientes:
G
hEg
-Recombinación radiativa: encuentro directo entre un electrón y un hueco que se
recombinan emitiendo un fotón de energía igual a la banda prohibida (interacción entre dos
partículas).
- Recombinación Auger: la energía del electrón que se recombina es cedida como energía
cinética a otro electrón de la banda de conducción (interacción entre tres partículas).
- Recombinación por trampas: el electrón es capturado por un nivel localizado (trampa),
quedando en un estado metaestable y cediendo el exceso de energía a la red , a través de la
interacción entre ésta y el estado localizado, interacción que es, en general, intensa debido a que
los niveles profundos producen una fuerte deformación de la red en torno a ellos. Posteriormente
dicho nivel puede capturar un hueco de la banda de valencia, completándose así la
recombinación. Toda la energía en exceso se cede a la red (interacción entre una partícula y un
centro).
En el equilibrio térmico, la velocidad de generación es igual a la de recombinación,
1
manteniéndose constante la concentración de portadores.
2)TIEMPO DE VIDA MEDIO
Si, por alguna causa externa, se generan portadores en concentración n superior a la de
equilibrio n0 , dichos portadores en exceso se recombinan al desaparecer la causa externa,
produciéndose un proceso de relajación hasta alcanzar la concentración de equilibrio. Si Δn=n-n0
<< n0 , estamos en el caso de la recombinación lineal, y la velocidad a la que desaparece el exceso
de portadores es proporcional a Δn:
n  n0
n
n
(1)
=
=
t


La inversa de la constante de proporcionalidad es el llamado tiempo de vida medio de los
portadores, τ. La ecuación tiene solución inmediata:
n(t ) = n(0) e

t

(2)
(Es importante no confundir el tiempo de vida medio, tiempo que permanece excitado un
portador en el semiconductor, que puede llegar a ser muy largo, con el tiempo de relajación, que
rige la interacción entre los portadores y los defectos y vibraciones de la red, determinando la
movilidad de dichos portadores, tiempo que, como vimos en la lección 7, es del orden de 10-14
seg.).
Puede ocurrir también, especialmente a altas densidades de portadores fuera de equilibrio,
que la tasa de recombinación sea proporcional al cuadrado de la concentración en exceso. En ese
caso hablamos de recombinación cuadrática:
n
=   ( n ) 2
t
Es inmediato deducir que, en ese caso, la concentración de portadores tiende a cero siguiendo una
ley:
n(0)
n(t ) =
1  t
3) ECUACIÓN DE DIFUSIÓN UNIPOLAR
La ecuación de continuidad expresa la conservación del número de partículas. Si tenemos
en cuenta los procesos de generación y recombinación a través de las tasas de generación y
recombinación (G y R), número de portadores que se generan o recombinan por unidad de tiempo
en la unidad de volumen, la ecuación de continuidad queda:


n
1
1
n  n0
=    J + G  R     ( E  eDn)  G 
t
e
e

Donde hemos utilizado la expresión de la corriente total en presencia de gradientes de
concentración deducida en la Lección 3. Si los limitamos al caso estacionario, en ausencia de
generación de portadores, obtenemos:
2

1
n  n0
  ( E  eDn) +
=0
 = en
e



n  n0
n   E +  E  n  D  2 n +
=0
(12)

Ahora bien, en un semiconductor, como en cualquier material que contenga portadores
libres, se mantiene la neutralidad eléctrica, ya que, en presencia de carga eléctricas, se producen
movimientos de carga tendentes a compensarlas. Es el mecanismo que hace que el campo sea
nulo en el interior de los metales y que está relacionado con los procesos de apantallamiento
descritos en la lección 4. De la ecuación de conservación de la carga (ecuación de continuidad de
la carga) y del teorema de Gauss podemos deducir el tiempo máximo que tarda en restablecerse la
neutralidad en un medio de constante dieléctrica ε y conductividad σ.
t







M
(13 )
=   J =   ( E) =    E = 
(t) =  0 e
M =
t


Es decir, el exceso de carga desaparece en un intervalo de tiempo del orden de ε/σ=τM,
que es el llamado tiempo de relajación de Maxwell. En un semiconductor dicho tiempo es del
orden de 10-14 seg. Así, podemos eliminar el término que contiene la divergencia del campo
eléctrico en la ecuación de difusión y llegamos a la ecuación de difusión pura, para un tipo de
portador:

n  n0
 D  2 n   E  n +
=0
(14)

En el caso unidimensional, esta ecuación se reduce a una ecuación lineal de segundo orden:
2
d n  E dn  n  n0 = 0
(15)
2
D dx
D
dx
Introduciendo los parámetros llamados longitud de difusión, L = D ,y longitud de arrastre,
L E = E , la ecuación de difusión queda:
2
d n  L E dn  n  n0 = 0
2
2
2
dx
L dx
L
yBusquemos soluciones de la forma n = Cte e-x / l, donde l debe ser positivo.
2
2 
2

1
1
1
1 1
 = L E2  L E4 + 2 =  L E  1 + L E2   =   1 + L E2  L E 
(16)
l 2L
4L
L L
4L 
l L
4L
2L 
L
Al ser l positiva, prescindimos del signo + en la ecuación. Supongamos ahora que E=0, o sea, que
no hay corriente de arrastre. En ese caso, LE=0 y l = L, y la distribución de portadores fuera de
equilibrio viene controlada por la longitud de difusión, L. La corriente de difusión será en ese
caso:
eD(n  no )
D L

= evD (n  n0 )
(17)
vD = =
J D = eDn = 
L
L 
donde vD es la llamada velocidad de difusión.
En el caso de que el campo eléctrico sea muy intenso, y positivo (LE>>L), de modo que
las corrientes de arrastre y difusión tengan el mismo sentido, es fácil ver que l = LE. Los
portadores en exceso pueden penetrar muy profundamente en el semiconductor, dándose una
situación a la que se llama inyección de portadores, si hay exceso y extracción, si hay defecto
de portadores. Si el campo eléctrico es negativo e intenso, l = L2/LE. l disminuye al aumentar el
3
campo y se da una situación llamada acumulación (exceso) o exclusión (defecto) de portadores.
4)ECUACIÓN DE DIFUSIÓN BIPOLAR
Para introducir los conceptos, hemos planteado la difusión para un solo tipo de portador.
Ahora bien, los portadores en exceso, salvo algunas excepciones, son generados como pares
electrón-hueco, y la condición de neutralidad impone restricciones muy estrictas a la difusión
independiente de cada tipo de portador. El proceso de difusión será simultáneo y los portadores
interactuarán entre sí, de manera que los mas rápidos arrastrarán a los más lentos y estos frenarán
el movimiento de aquellos. Los coeficientes de difusión efectivos serán un promedio de los
coeficientes de cada tipo de portador. Planteémonos el problema de la difusión para dos tipos de
portadores, electrones y huecos. Las corrientes asociadas al movimiento de cada uno serán:




(18)
J n =  n E + e D n n J p =  p E  e D p p
Si despejamos de ambas ecuaciones el campo eléctrico y tenemos en cuenta que la corriente total
debe ser nula, ya que estamos suponiendo que ambos tipos de portadores se mueven en la misma
dirección y sus concentraciones son idénticas:


J n  e D n n = J p + e D p p
n
p


J n  J p = e D n n + e D p p
n
p
n
p

 n  p  D n n D p p 
e
+
Jn=
 n +  p   n
 p 
(19)
Como, por otra parte, los gradientes de concentración deben ser idénticos, podemos escribir:

J n = e D a n
Da =
 p D n +  n D p ep  p Dn + en  n D p (p + n) D n D p
=
=
en  n + ep  p
n Dn + p D p
 n + p
(20)
Da es el llamado coeficiente de difusión bipolar. Resulta obvio comprobar que en un
semiconductor extrínseco el coeficiente de difusión bipolar, para bajos niveles de excitación,
coincide con el de los portadores minoritarios. Planteemos ahora las ecuaciones completas de la
difusión de dos tipos de portadores:

1
n
   (  n E + e D n n) = 
e
n


n
 n  n   E   n E  n  D n  2 n = 

1
p
  (  p E  e D p p) = 
e
p


p
p  p   E   p E  p  D p  2 p = 
(21)
n
p
Si multiplicamos la ecuación de arriba por pμp y la de abajo por nμn , y las sumamos, los primeros
términos se anulan, y teniendo en cuenta que las concentraciones en exceso deben ser idénticas
para ambos tipos de portadores, llegamos a las siguientes ecuaciones:
 p  p nn 

 n
(  n  p p   p  n n)E  n  (n  n D p + p  p Dn )  2 n = 
+
 p 
 n
(  n n +  p p) n p (21)

n
n p
 a E  n  D a  2 n =
a =

a=
n p
a
 n  n n + p  p p
+
 p n
4
De nuevo, es inmediato comprobar que para un semiconductor extrínseco la movilidad y tiempo
de vida bipolares corresponden a los valores de dichas magnitudes para los portadores
minoritarios.
6) RECOMBINACIÓN POR TRAMPAS
Si bien no haremos un estudio detallado de este proceso, estudiaremos el caso mas
sencillo en que la recombinación no radiativa está controlada por una única trampa y definiremos
los parámetros que regulan los procesos de emisión y captura de portadores libres por dicha
trampa, procesos que determinan el tiempo de vida medio de los portadores.
Supongamos que existe una trampa o nivel profundo a una distancia ΔET de la banda de
conducción. La figura detalla todas las posibles transiciones electrónicas en el sistema:
(NT es la concentración total de trampas y m la concentración de electrones en la trampa; la
concentración de trampas vacías es M-m)
1) Creación de un par electrón-hueco.
2) Recombinación directa (radiativa)
de un par electrón-hueco.
ET
4
3
3) Emisión de un electrón desde la
trampa a la banda de conducción.
ET(NT, nT)
2
1
4) Captura de un electrón libre por la
trampa.
6
5
5) Captura de un electrón de la banda
de valencia por la trampa (emisión de un
EV(NV, p)
hueco desde la trampa a la banda de valencia).
6) Emisión de un electrón desde la
trampa a la banda de valencia (captura de un hueco libre por la trampa ).
La recombinación por trampas equivale a la sucesión de los procesos 4 y 6. El proceso de
captura dependerá de la densidad de electrones libres, n, y de la densidad de trampas vacías, M-m
y, como en todo proceso de captura y dispersión, de la sección eficaz del centro. La variación de
la concentración de electrones debida a las capturas por unidad de tiempo será, pues:
EC(NC, n)
n
 dn 
  =   n v n n (NT  m)= 
 dt c
 cT
 cM =
1
 n v n (NT  m)
(22)
donde hemos introducido el tiempo medio de captura.
Por otra parte, la velocidad de emisión debe ser proporcional a la densidad de electrones
en la trampa, αnm. En el equilibrio térmico, ambos procesos deben compensarse, por lo que
podemos escribir:
 dn 
  =  n mo   n v n n o (N T  m o ) = 0
 dt eq
NT
mo =
1+
5
n
 n v n no
(23)
Si comparamos esta ecuación con la deducida a partir de la estadística de Fermi-Dirac para
niveles localizados:
NT
mo =
1+ g n e
(24)
ET  E F
kT
donde gn es el factor de degeneración de la trampa (1/2 si se trata de un dador simple), podemos
deducir:
 n = g n  n v n no e
ET  E F
kT
= g n  n v n N C e
EC  E F
kT
e
ET
= g n  n v n N C e kT = g n  n v n N CT
ET  E F
kT
= g n  n v n N C e

N CT = N C e
ET  E C
kT

(25)
 ET
kT
Igualmente, podemos definir los parámetros de la captura y emisión de huecos por la
trampa. Con la diferencia de que el tiempo de captura será proporcional a la concentración de
trampas ocupadas y la velocidad de emisión a la concentración de trampas vacías:
 dp 
  =  p pm +  p (NT  m) = 0
 dt eq
 p = g p p v p NV E
E g   ET
kT
= g p  p v p N VT
(26)
Supongamos que existe una excitación exterior que da lugar a una tasa de generación G
de pares electrón-hueco. Las ecuaciones que rigen la cinética de recombinación serán:
dn
= G + g n  n v n N CT m   n v n n (N T  m)
dt
dp
= G + g p  p v p N VT (N T  m)   p v p pm
dt
dm dp dn
=
dt
dt dt
En régimen estacionario dm/dt =0, luego:
(27)
 n v n n(NT  m)  g n  n v n N CT m =  p v p pm  g p  p v p N VT (N T  m) = G
 n v n [n(NT  m)  g n N CT m] =  p v p [pm  g p N VT (NT  m)] = G
(28)
Podemos despejar m y obtener expresiones para m y M-m en función de M:
 n v n n +  p v p g p N VT
m=
NT
 n v n (n + g n N CT ) +  p v p (p + g p N VT )
(29)
 p v p p +  n v n g n N CM
NT  m =
NT
 n v n (n + g n N CT ) +  p v p (p + g p N VT )
Utilizando estas expresiones, obtenemos una relación entre las concentraciones de
portadores y la tasa de generación de portadores G:
6
G=
 n v n  p v p (np  g n g p N CT N VT )
NT
 n v n (n + g n N CT ) +  p v p (p + g p N VT )
(30)
dn
n
 Gdt

tendremos, en el estado estacionario : τ = Δn/G . Si la concentración de trampas es pequeña, la
concentración de portadores apenas cambia al cambiar m, ya que esá determinada por las
concentraciones de otro tipo de centros (los niveles hidrogenoides), y obtenemos:
Si definimos el tiempo de vida medio a partir de una ecuación del tipo:
=
n[  n v n (n + g n N CT ) +  p v p (p + g p N VT )]
NT  n  p v n v p (np  n0 p 0 )
(31)
ya que gn gpNCTNVT = nopo . Por otra parte, np - nopo = (no+po+Δ n ) Δn, obtenemos, finalmente,
para el tiempo de vida de los portadores:
 = n0
p0 + p + g p N VT
+ n + g n N CT
 p0 +
 n0
n0 + p0 + n
n0 + p0 + n
 p0 =
1
M  pvp
 n0 =
1
M  n vn
(32)
Si el material es de tipo N y la trampa está mas cerca de la banda de conducción:
no >> gnNCT >> gn NVT >>po .
Si, además, el nivel de excitación es pequeño: τ = τpo , es decir, el tiempo de vida medio está
determinado por el tiempo medio de captura de huecos por parte de la trampa.
7) RECOMBINACIÓN SUPERFICIAL
La superficie de cualquier semiconductor presenta una gran cantidad de defectos de
diferentes tipos en mayor concentración que el interior. Así, existen defectos específicos de la
superficie debido a la existencia de enlaces no saturados, que pueden dar lugar a la adsorción de
átomos o moléculas. Por todo ello la recombinación en la superficie puede ser mucho mas intensa
que en el interior del material.
Si la superficie fuese perfecta, en presencia de una excitación exterior que crease
portadores en exceso, la distribución de éstos en estado estacionario debe ser tal que la corriente
de difusión (en condiciones de circuito abierto, es decir cuando no hay circulación de corriente) se
anule sobre la superficie:
d p
(33)
] =0
dx x=0
Por el contrario, si en la superficie existe una alta concentración de defectos, podrá existir
un flujo neto de portadores hacia la superficie, ya que ésta actúa como sumidero de portadores. La
condición de contorno que se impone en ese caso, consiste en igualar el flujo neto de portadores
en la superficie con la tasa de recombinación en ella, que debe ser proporcional al exceso de
portadores:
dp
(34)
] = S[ p ] x=0
Dp [
dx x=0
A la constante de proporcionalidad S se le llama velocidad de recombinación
superficial. Su magnitud es una medida del estado de la superficie y, lógicamente, depende del
Dp [
7
procesamiento a que haya sido sometida. Las técnicas de pasivación de superficies, de gran
importancia en la tecnología electrónica, tienen la finalidad de reducir la reactividad de la
superficie y la recombinación superficial.
8