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Estadística Administrativa Distribuciones especiales de probabilidad 26 de febrero a 2 de marzo de 2007 Problema 1 El encargado del área de perecederos en un supermercado ha determinado que la venta promedio semanal de cierto producto es de 670 unidades, también sabe que el 33% de las ventas son por un número mayor a 736 unidades, de registros históricos también sabe que las ventas de dicho producto es una variable aleatoria con distribución normal. Si se desea mantener una cantidad en inventario en la cual haya menos de un 5% de probabilidad de desabasto ¿Qué nivel de inventario se debe tener para una semana? Respuesta: Obteniendo primero el valor de la desviación estándar: x 736 670 66 z1 1 0.44 150 0.44 Por tanto: x2 670 (1.645)(150) 916.75 Se requieren 917 unidades Problema 2 Una caja de ahorros ofrece préstamos a sus clientes; el 5% de los préstamos es mayor a $10,000 y se sabe que los montos de los préstamos están normalmente distribuidos con una desviación estándar de $2,000. Además, se sabe que la probabilidad de que un deudor no cumpla con el pago de la deuda es de 5% y que esto es independiente del monto del préstamo otorgado. a) Si se escogen al azar tres préstamos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos de estos préstamos sean por más de 5,000? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido aleatoriamente, a quien se le ha prestado, incumpla con su pago y su deuda sea de más de $5,000? a) Definiendo Y: Cantidad de préstamos mayores a $5000 Y~Binomial(n=3, p=?) Para calcular la probabilidad de “éxito”(p) se define: X: Monto del préstamo X~Normal(µ=?, σ=2000) Obteniendo primero el valor de la media de X: 1000 z1 1.645 6710 2000 Se calcula entonces la probabilidad de que: 5000 6710 P( X 5000) P Z PZ 0.855 0.8037 2000 Siendo esta la probabilidad de “éxito”, entonces retomando: Y: Cantidad de préstamos mayores a $5000 Y~Binomial(n=3, p=0.8037) 3! P(Y 2) 0.8037 2 (1 0.8037) 32 0.3804 (3 2)!2! Por tanto, la probabilidad de que exactamente dos préstamos de tres sean por más de 5,000 es de 0.3804 b) Definiendo los eventos: A: El deudor no cumple con el pago de la deuda. B: El monto de la deuda es mayor a $5,000 Entonces, puesto que son independientes: P(A∩B) = P(A)*P(B) = (0.05)(0.8037) = 0.0402 Problema 3 En el proceso de producción en una empresa embotelladora, las latas vacías se acomodan en un transportador y después de ser lavadas a presión son llevadas a una máquina que las llena con una media de 355ml y una desviación estándar de 0.9 ml. Posteriormente, se les coloca la tapa y la lata queda sellada. Suponga que el contenido en mililitros sigue una distribución normal. Después del proceso de llenado, las latas pasan por un detector de nivel de llenado: a) Si el detector rechaza las latas que contienen menos de 353ml. ¿Cuál es la probabilidad de que una lata seleccionada al azar sea rechazada? b) Si hay una probabilidad mayor al 5% de que la máquina de llenado llene cuatro o más de diez latas con más de 356ml., la máquina requerirá ser ajustada. Con base en lo anterior, ¿la máquina de llenado requiere ajuste? Respuestas: a) 353 355 P( X 353) P Z P( Z 2.22) 0.0131 0.9 b) Calculando primero: 356 355 P( X 356) P Z P( Z 1.11) 0.1335 0.9 Considerando: Y: Cantidad de latas llenadas con más de 356 ml. Y~Binomial(n=10, p=0.1335) P(Y 4) 1 P(Y 4) 1 P(0) P(1) P(2) P(3) 0.034 La máquina no requiere ajuste