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Estadística Administrativa
Distribuciones especiales de probabilidad
26 de febrero a 2 de marzo de 2007
Problema 1
El encargado del área de perecederos en un supermercado ha determinado que la venta
promedio semanal de cierto producto es de 670 unidades, también sabe que el 33% de las
ventas son por un número mayor a 736 unidades, de registros históricos también sabe que
las ventas de dicho producto es una variable aleatoria con distribución normal. Si se
desea mantener una cantidad en inventario en la cual haya menos de un 5% de
probabilidad de desabasto ¿Qué nivel de inventario se debe tener para una semana?
Respuesta:
Obteniendo primero el valor de la desviación estándar:
x 
736  670
66
z1  1
 0.44 
 
   150


0.44
Por tanto:
x2  670  (1.645)(150)  916.75
Se requieren 917 unidades
Problema 2
Una caja de ahorros ofrece préstamos a sus clientes; el 5% de los préstamos es mayor a
$10,000 y se sabe que los montos de los préstamos están normalmente distribuidos con
una desviación estándar de $2,000. Además, se sabe que la probabilidad de que un
deudor no cumpla con el pago de la deuda es de 5% y que esto es independiente del
monto del préstamo otorgado.
a) Si se escogen al azar tres préstamos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos
de estos préstamos sean por más de 5,000?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido aleatoriamente, a quien se le ha
prestado, incumpla con su pago y su deuda sea de más de $5,000?
a)
Definiendo
Y: Cantidad de préstamos mayores a $5000
Y~Binomial(n=3, p=?)
Para calcular la probabilidad de “éxito”(p) se define:
X: Monto del préstamo
X~Normal(µ=?, σ=2000)
Obteniendo primero el valor de la media de X:
1000  
z1  1.645 
   6710
2000
Se calcula entonces la probabilidad de que:
5000  6710 

P( X  5000)  P Z 
  PZ  0.855  0.8037
2000


Siendo esta la probabilidad de “éxito”, entonces retomando:
Y: Cantidad de préstamos mayores a $5000
Y~Binomial(n=3, p=0.8037)
3!
P(Y  2) 
0.8037 2 (1  0.8037) 32  0.3804
(3  2)!2!
Por tanto, la probabilidad de que exactamente dos préstamos de tres sean por más de
5,000 es de 0.3804
b)
Definiendo los eventos:
A: El deudor no cumple con el pago de la deuda.
B: El monto de la deuda es mayor a $5,000
Entonces, puesto que son independientes:
P(A∩B) = P(A)*P(B) = (0.05)(0.8037) = 0.0402
Problema 3
En el proceso de producción en una empresa embotelladora, las latas vacías se acomodan
en un transportador y después de ser lavadas a presión son llevadas a una máquina que las
llena con una media de 355ml y una desviación estándar de 0.9 ml. Posteriormente, se
les coloca la tapa y la lata queda sellada. Suponga que el contenido en mililitros sigue una
distribución normal.
Después del proceso de llenado, las latas pasan por un detector de nivel de llenado:
a) Si el detector rechaza las latas que contienen menos de 353ml. ¿Cuál es la
probabilidad de que una lata seleccionada al azar sea rechazada?
b) Si hay una probabilidad mayor al 5% de que la máquina de llenado llene cuatro o más
de diez latas con más de 356ml., la máquina requerirá ser ajustada. Con base en lo
anterior, ¿la máquina de llenado requiere ajuste?
Respuestas:
a)
353  355 

P( X  353)  P Z 
  P( Z  2.22)  0.0131
0.9 

b)
Calculando primero:
356  355 

P( X  356)  P Z 
  P( Z  1.11)  0.1335
0.9 

Considerando:
Y: Cantidad de latas llenadas con más de 356 ml.
Y~Binomial(n=10, p=0.1335)
P(Y  4)  1  P(Y  4)  1  P(0)  P(1)  P(2)  P(3)  0.034
La máquina no requiere ajuste