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Elementos de Probabilidad y Estadística
Problema Semanal 11
Votos.
Problema:
En una elección entre dos candidatos A y B, el primero tiene a votos mientras que el
segundo tiene b, con a > b. Si los votos se cuentan al azar ¿cuál es la probabilidad de que
después de contar el primer voto al menos una vez los candidatos están igualados en el
conteo?
Solución:
Podemos considerar que los votos para A son +1 y para B son -1, de modo que el conteo de
votos es un paseo al azar que comienza en 0. Supongamos tenemos una sucesión de votos
para las cuales el primer empate ocurre en el instante 2n con n < b. Entonces existe otra
sucesión que corresponde a la trayectoria simétrica con respecto al eje x de la que estamos
considerando, y que se obtiene intercambiando los votos de A y B (observar que estamos
suponiendo que en el instante 2n ambos tienen el mismo número de votos).
2n
Ambas trayectorias tienen la misma probabilidad porque una es permutación de la otra y
estamos suponiendo que los votos se cuentan al azar y de manera independiente.
Supongamos ahora que el conteo de los votos hay un empate en algún momento, entonces
hay un primer empate. Como hemos visto, el número de sucesiones para las cuales A está
delante en el conteo hasta el empate es igual al número de sucesiones en las cuales está B
delante, y todas estas sucesiones tienen la misma probabilidad. Para calcular esta
probabilidad calculamos la probabilidad de que B esté delante hasta el momento del
empate.
Como A tiene mas votos que b (a > b) el paseo al azar termina por encima del eje x, en la
posición a - b. Por lo tanto, para que B esté ganando el conteo hasta el momento del empate
la condición necesaria y suficiente es que el primer voto sea a su favor, ya que este caso es
seguro que la trayectoria tiene que cruzar el eje x, es decir, tiene que haber un empate. La
probabilidad de que esto ocurra es
b
ab
Pero ya vimos que hay igual número de sucesiones con al menos un empate para las cuales
A va ganando hasta el empate, y tienen la misma probabilidad. Por lo tanto la respuesta a la
pregunta es
2b
ab
Comentarios:
Este problema se puede encontrar en el libro de F. Mosteller Fifty challenging problems in
probability with solutions, Dover Pub., 1987.
Entregado: lunes 11 de mayo de 2009.
Discutido: miércoles 13 de mayo de 2009.