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CÁLCULO
TAREAS 2 Y 3
Esta tarea consiste en calcular el área de los pétalos.
Empezamos con el pétalo grande de la flor y siguiendo el orden de la modelización.
Para facilitar el cálculo, consideraremos el pétalo, como en el cálculo de la hoja, de la
siguiente forma
.
Ahora hacemos exactamente los mismos pasos como antes (cálculo del hoja) pero con un
radio diferente.
Empezamos con la construcción de un triángulo en el anterior medio del área que tenemos
que calcular
Sabemos que la altura del triángulo es la mitad del radio de la circunferencia de centro A por
B
Llamamos el radio k.
El segmento AB tiene la longitud del radio y CA también.
Por eso sabemos que los cuatro ángulos en R (el punto medio del segmento AB) tienen 90°.
Podemos utilizar el teorema de Pitágoras (a²+b²=c²).
Ahora tenemos:
IR²+RA²=AC²






IR²+(K/2)²=K²
IR²=K²-K²/4
IR²=K²-1/4 K²
IR²=3/4K²
IR=√(3/4)K
IR=√3/2K
 2IR=√3k
Por eso sabemos que el área del triángulo es
√3K*K/2*1/2=
√3K²/4
Después podemos calcular el ángulo β con el coseno (porque tenemos un triángulo
rectángulo) que se define como la razón entre el cateto adyacente (k/2) y la hipotenusa (k).
Cos (β) = (K/2)/K
=½
 β=60°
Además, sabemos que toda la circunferencia tiene el área K² π.
Ahora utilizamos la regla de tres
360°K² π
60° ?
 (60*K² π)/360= (πk²)/6
Con esta fórmula podemos calcular un sector circular de 60° . Esto es el la mitad del triángulo
completo.
Después tenemos que multiplicar el resultado por 2.
 (πK²)/6*2= (πK²)/3
Ahora necesitamos sustraer la parte de triángulo y tenemos la mitad de la hoja.
(πK²)/3-(√3K²)/4
Tenemos que doblar el área y eso es.
((πK²)/3-(√3K²)/4)*2
Después calculamos las dos pequeñas hojas de arriba. Como sería demasiado difícil podemos
facilitar esto un poquito.
Ahora calculamos este área y después doblamos esta y recibimos el área de los dos petalos.
Empezamos con un triangulo en la hoja de la izquierda. Por eso calculamos tres segmentos
IA, AL y LI.
Sabemos que los tres lados del triángulo tienen la misma longitud. También sabemos que en
un triángulo con lados iguales, los ángulos tienen 60º. Los lados tienen la longitud m, que es
el radio de las tres mismas circunferencias. Por eso podemos calcular la área del triángulo y
los restos del área completa.
El triángulo:
Hacemos el cálculo con Pitágoras.
a²*b²=c²
c es la hipotenusa
Pues podemos calcular h
.
h²+(1/2*m) ²=m²
h²=m²-1/4m²
h=√3/2m
 El área del triangulo:
h*IR*1/2
 √3/2m*m*1/2=√3/4*m²
Sabemos que los ángulos tienen 60º. Calculamos lo mismo como antes con la regla de tres.
360°m² π
60° ?
 (60*m² π)/360= (πm²)/6
Si sustituimos el área del triangulo en el área que hemos calculado arriba recibimos la área
que sigue.
πm²/6-√3/4*m²=
m²*(π/6-√3/4)=
m²*( 2π/12-√3*3/12)=
m²*( 2π-√3*3)/12
Después tenemos este área tres veces y sumamos el área del triangulo una vez.
(m²*( 2π-√3*3)/12)*3+√3/4*m²=
m²*( 2π-√3*3)/12)*3+√3/4 m²=
(m²*( 2π-√3*3)/12)*+1/3*√3/4 m²)*3=
3m²*((2π-√3*3/12)+1/3*√3/4 )=
3m²*(( 2π-√3*3)/12+√3/12 )=
3m²*( 2π-√3*2)/12=
3m²*( π-√3)/6)
Ahora tenemos el área roja que es el área de un pequeño pétalo.
Después sólo tenemos que doblar el área de este pétalo y recibimos el área de los dos.
(3m²*( π-√3)/6))*2=
6m²*( π-√3)/6)=
m²*( π-√3)
Para terminar nuestros cálculos añadimos el área del pétalo grande y recibimos
((πK²)/3-(√3K²)/4)*2+ m²*( π-√3)
En tal caso, la función que nos pide el enunciado sería:
F(k,m)= ((πK²)/3-(√3K²)/4)*2+ m²*( π-√3)
TAREA 3
Si particularizamos esta área para K=1,49 y m=1,3 obtenemos que el área e la flor será:
F(1,49,1,3)≈4,56 u2
Y por tanto cabrán 100/F(1,49,1,3) =21,9 ≈22 flores.