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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Considerese un dipolo corto de longitud 0.1 m, en el espacio libre, ubicado en el origen y a lo largo del eje z, transportando la
corriente 10 cos 2π x 107 t A. Obténgase los polos eléctricos y magnéticos en el punto (5, π/6,0).
DESCRIPCIÓN DE ENTRADAS SALIDAS
SOLUCIÓN MANUAL
Las siguientes ecuaciones representan los campos eléctricos y magnéticos debido a un dipolo Hertziano.
Ecuación 1
 I l sin   cos t   r   sin  t   r  
H 0


aˆ
4
r2
r


Ecuación 2
 2 I l cos   sin  t   r   cos t   r  
E 0


aˆr 
4 
r3
r2

I 0 l sin   sin  t   r   cos t   r   2 sin  t   r  

aˆ


4 
r3
r2
r

Por conveniencia en los cálculos de las amplitudes y los ángulos de fase de los componentes del campo, se expresaran dichos
componentes en forma fasorial. Así que al reemplazar
Ecuación 3
2 I 0 l cos   sin  t   r   cos t   r  
-jβj
-jβj


, donde e  cos t   r  y  je  sin  t   r 
4 
r3
r2

-jβj
-jβj
e 
~ 2 I l cos    je

Er  0
 2 ,
factorizan do e -jβj
3
4  r
r 
Er 

2 I 0 l cos 
4
2 I l cos 
 0
4

 j   -jr
  3  2 e ,
r 
 r
factorizan do  3
 j 3
 3  -jr
 
e ,

3
2 





r

r


donde ω  2πf
2  3 I 0 l cos  
j
1  -jr
 
e ,

3
 2
   r  r 2 
4 
 f 
 

donde c  λ  f
2  3 I 0 l cos 

4   c 

j
1  -jr
 
e ,

3
2 





r

r


donde  
2  2 I 0 l cos 
 1 

4 





j
1  -jr
 
e ,

3
2 
  r  r  
donde c 

2 2



I l cos 

j
1  -jr
 0
 
e ,

3
2 
4





r

r


2  2I 0 l cos 
4
donde  
2

1




1
1  -jr
  j
e

3
r  r 2 

Se obtiene la componente radial del campo eléctrico. Donde η es la impedancia intrínseca del medio.
1
1  -jr
~ 2 2I 0l cos 
  j
e
Er 

3
2 
4





r

r


Podemos usar MATLAB para calcular la componente radial del campo eléctrico usando numeros complejos. Para el presente ejemplo,
usaremos las siguientes instrucciones
I=10;L=0.1;F=10;R=5;THETA=30;
BETA =pi*F/150;ETA=120*pi;BR=BETA*R;
C1=BETA*BETA*I*L/4/pi;CR=2*ETA*C1*cos(THETA/RD);
REAL=1/(BR*BR);IMAG=-REAL/BR;C=CR;
Z=complex(REAL,IMAG);MAG=abs(Z);PANG=angle(Z)-BR;PANG=wrapToPi(PANG);
MAG=C*MAG,PANG=PANG*RD
Se exhiben los valores del fasor para la componente radial del campo eléctrico. Para el presente ejemplo, la salida es la siguiente
MAG =
2.8739
PANG =
-103.6793
De manera similar se obtiene el fasor de la componente polar del campo eléctrico.
Ecuación 4
 sin  t   r   cos t   r  



I 0 l sin  
r3
r2
,
E 

4   2 sin  t   r 


r


I l sin 
~
E  0
4
  je -jr e -jr  je -jr  2

 2 
3
r
r
 r

,

 e -jr  cos t   r  y  je -jr  sin  t   r 
factorizan do e -jβj

I 0 l sin 
4
 j 
j 2  -jr
 3  2 
e ,
r 
r
r
factorizan do  3

I 0 l sin 
4
  j 3
j 3  -jr
3

e ,


 r 3 r 2
r 

donde ω  2πf

 3 I 0 l sin    j
j  -jr
1

e ,


3
2

r 
 2π
   r 


r
4 
f 
 

 3 I 0 l sin 

4   c 

 2 I 0 l sin  
1
1
1 
 j

 j e -jr ,
3
2

r 
 1  
r  r 

4 
  


2



1
1
1  -jr
 j
e ,


j
3
2



r





r

r



I 0 l sin 

4
 2I 0 l sin 
4
donde c  λ  f
donde  
donde c 

1
1
1 
 j

 j e -jr , donde  
3
2

r 
r  r 

2

1




1
1
1  -jr
 j
e


j
3
2

r 
r  r 

Podemos usar MATLAB para calcular la componente polar del campo eléctrico usando numeros complejos. Para el presente ejemplo,
usaremos las siguientes instrucciones
CT=CP*ETA;IMAG=IMAG+1/BR;C=CT;
Z=complex(REAL,IMAG);
MAG=abs(Z);PANG=angle(Z)-BR;PANG=wrapToPi(PANG);
MAG=C*MAG;PANG=PANG*RD;
Se exhiben los valores del fasor para la componente polar del campo eléctrico. Para el presente ejemplo, la salida es la siguiente
MAG =
0.6025
PANG =
-54.7284
A continuación, se obtiene la componente azimutal del campo magnético.
Ecuación 5
H 
I 0 l sin   cos t   r   sin  t   r  


,
4
r2
r


I l sin   e-jr  je-jr 
~
 2 
H  0
4
r
 r
I l sin   1
j  -jr
 0
 2
e ,
4
r 
r

,


I 0 l sin    2
j 2  -jr

e

2
4

r



r



 2 I 0 l sin   1
1 

 j e-jr
2
4
r 
  r 
 e-jr  cos t   r  y  je-jr  sin  t   r 
factorizan do e-jβj
factorizan do  2
Podemos usar MATLAB para calcular la componente radial del campo eléctrico usando numeros complejos. Para el presente ejemplo,
usaremos las siguientes instrucciones
IMAG=1/BR;C=CP;
Z=complex(REAL,IMAG);
MAG=abs(Z);PANG=angle(Z)-BR;PANG=wrapToPi(PANG);
MAG=C*MAG;PANG=PANG*RD;
Se exhiben los valores del fasor para la componente azimutal del campo magnético. Para el presente ejemplo, la salida es la siguiente
MAG =
0.0023
PANG =
-13.6793
Para resumir: usando I0=10 A, Δl=0.1 m, f=107 Hz, μ=μ0, ε=ε0, r=5 m, θ=π/6, se obtiene
V
~
Er  2.8739e  j103.679
m
V
~
E  0.6025e  j 54.728
m
A
~
H   0.0023e  j13.679
m
SOLUCIÓN MATLAB
En la solución MATLAB, pediremos al usuario introducir los parámetros del dipolo.Después de calcular las componentes de los
campos, exhibiremos sus respectivos fasores.
%Calculo de los campos debido a un dipolo hertziano orientado a lo largo
%del eje z y ubicado en el origen en el espacio libre (el angulo de fase de
%la corriente se asume igual a cero)
%
RD=180/pi;
for k=1:20
disp('Introduzca los valores de los parámetros entrantes');
I=input('Corriente en amperios = ');
L=input('Longitud del dipolo en metros = ');
F=input('Frecuencia en MHZ = ');
R=input('R en metros = ');
THETA=input('Theta en grados = ');
BETA=pi*F/150;ETA=120*pi;BR=BETA*R; %Número de onda,
%impedancia intrínseca y retardo de fase
C1=BETA*BETA*I*L/4/pi;CP=C1*sin(THETA/RD);CT=CP*ETA;
CR=2*ETA*C1*cos(THETA/RD);
%
disp('Los valores calculados son')
%Componente radial de E
disp('Componente radial de E')
REAL=1/(BR*BR);IMAG=-REAL/BR;C=CR;[MAG,PANG]=Fasor(REAL,IMAG,C,BR);
%Componente polar de E
disp('Componente polar de E')
IMAG=IMAG+1/BR;C=CT;[MAG,PANG]=Fasor(REAL,IMAG,C,BR);
%Componente azimutal de H
disp('Componente azimutal de H')
IMAG=1/BR;C=CP;[MAG,PANG]=Fasor(REAL,IMAG,C,BR);
disp('Teclee r y pulse Return para repetir')
r=input('o cualquier letra para terminar ','s');
if r ~= 'r', break, end
end
En el presente caso se ha creado una función escrita por el usuario a la cual el programa se refiere como Fasor.
He aquí la función definida para evaluar la magnitud y fase de un fasor
function [MAG,PANG]=Fasor(REAL,IMAG,C,BR)
RD=180/pi;
Z=complex(REAL,IMAG);
MAG=abs(Z);PANG=angle(Z)-BR;PANG=wrapToPi(PANG);
MAG=C*MAG;PANG=PANG*RD;
fprintf('Magnitud = %2.4f \n',MAG)
fprintf('Angulo de Fase = %3.3f grados \n',PANG)
Esta función debe guardarse en un archivo llamado fasor.m en el mismo directorio donde se almacene el programa padre.
PRUEBA
La siguiente interacción con el programa verifica los datos empleados en el ejemplo a mano:
Introduzca los valores de los parámetros entrantes
Corriente en amperios = 10
Longitud del dipolo en metros = 0.1
Frecuencia en MHZ = 10
R en metros = 5
Theta en grados = 30
Los valores calculados son
Componente radial de E
Magnitud = 2.8739
Angulo de Fase = -103.679 grados
Componente polar de E
Magnitud = 0.6025
Angulo de Fase = -54.728 grados
Componente azimutal de H
Magnitud = 0.0023
Angulo de Fase = -13.679 grados
Teclee r y pulse Return para repetir
o cualquier letra para terminar o
ANEXOS
 2 I l cos  sin  t   r   cos t   r  
1. E  0


aˆr 
4 
r3
r2

I 0 l sin   sin  t   r   cos t   r   2 sin  t   r  

aˆ


4 
r3
r2
r

-jβj
2.e  cos t   r 
3.  je-jβj  sin  t   r 
4. A  B  A  C  A  ( B  C )
5.ω  2πf
6.c  λ  f
2
7. 

1
8.c 


 2I 0 l sin  
1
1
1 
  j
9. 
/  E 

 j e-jr
3
2

4
r 
  r   r 

 sin  t   r   cos t   r  



I 0 l sin  
r3
r2
,
10.E 

4   2 sin  t   r 


r
2


I l sin    je-jr  e-jr  je-jr  2 
~


11.E  0
 2 
4  r 3
r
r

 3,2  10
I 0 l sin    j 
j 2  -jr

e

 
4  r 3 r 2
r 


I 0 l sin    j 3
3
j 3  -jr  3 I 0 l sin    j
1
j  -jr

e 

e




3
2
3
2
4  r 
4   r   r   r 
 r   r 
 3 I 0 l sin    j
1
j  -jr

e ,


3
2
 2π
   r   r  r 
4
f 
 




2
 3 I 0 l sin  
1
1
1 
  j

 j e-jr ,
3
2
4   c  
r 
 r    r 
 2 I 0 l sin  

4

1
1
1 
  j

 j e-jr ,
3
2
r 
 r   r 
1  
 

I l sin 

1
1
1  -jr  2I 0 l sin  
1
1
1 
 0
  j
e
  j


j


 j e-jr
3
2
3
2
4
r 
4
r 
 r   r 
 r    r 


4
5
 7 ,6
8
9
 I l sin   cos t   r   sin  t   r  
1. H  0


aˆ
4
r2
r


-jβj
2.e  cos t   r 
3.  je-jβj  sin  t   r 
 2 I 0 l sin   1
1 
~

4. A  B  A  C  A  ( B  C ) /  H  
 j e-jr
2
4
r 
  r 
I l sin   cos t   r   sin  t   r  
5.H   0


,1
4
r2
r


I l sin   e-jr  je-jr 
~
 2 
6.H   0
4
r
 r

,

 2,3  10
I 0 l sin   1
j  -jr I 0 l sin    2
j 2  -jr  2 I 0 l sin   1
1  -jr



e ,


e


j
 2
e 
2
2
  r 

 r 
4
r 
4

r
4


r
r




4
 2 I l cos   sin  t   r   cos t   r  
1 .E  0


aˆr 
4 
r3
r2

I 0 l sin   sin  t   r   cos t   r   2 sin  t   r  

aˆ


4 
r3
r2
r

-jβj
2.e  cos t   r 
3.  je-jβj  sin  t   r 
4. A  B  A  C  A  ( B  C )
5.ω  2πf
6.c  λ  f
7. 
8.c 
2

1


2  2I 0 l cos  
1
1  -jr
  j
e
9. 
/  Er 

3

4
r  r 2 

10.Er 
2 I 0 l cos   sin  t   r   cos t   r  


,
4 
r3
r2

~ 2 I l cos    je-jβj  e-jβj

11.Er  0
 2
4  r 3
r




2 I 0 l cos   j   -jr
   e
4  r 3 r 2 
2 I 0 l cos   j 3
 3  -jr 2 3 I 0 l cos  
j
1  -jr



e ,



e



3
2
3
4   r   r  
 2
   r   r 2 
4
 f 
 




2  3 I 0 l cos  
j
1  -jr
 
e ,

3
4   c    r   r 2 
2  2 I 0 l cos  
j
1  -jr
 
e ,

3
 1    r   r 2 

4

  
2 2
2
 3,2  10
4
5
 7 ,6
8

I l cos 

j
1  -jr 2  2I 0 l cos  
1
1  -jr
 0
 
e 
  j
e  9


3
2 
3
2 
4
4










r

r

r

r




2

 
 1     
 


10
sin






2 2  f 2  f
2  107 2  10   10 
1  -j 15 5
~
15 
10   6   1








  H 
j
e

2

 

 f
c
300  106
300
150 15
4



5
  5 

15 
  15 
2


  -j 3  9
3
3    -j 3 
   1 -j 15 5  9
 
e  2  j   
e  2  j   
e  1.32e  j 0.808  0.0023e  0.24  0.00235e 13.7
   1800
   1800
 15  8

 


