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TEMA 3: FUNCIONES TRASCENDENTES ELEMENTALES
En el análisis real, se definieron funciones algebraicas (sumas productos, cocientes,
potencias,...) y funciones trascendentes como las trigonométricas, hiperbólicas,
exponenciales e inversas de estas tres.
Ya se han citado en el Tema 1, funciones algebraicas.
Se trata ahora de extender las funciones trascendentes reales al plano complejo, es decir,
definir funciones complejas de variable compleja, de forma que su restricción al caso de
valores reales de la variable coincida con la función real del mismo nombre. Se pretende
además que en el dominio en el que la función sea derivable, la expresión formal de la
derivada coincida con la de la correspondiente función real.
1. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
a) Introducción
Se trata de definir la función “exponencial compleja” f ( z )  exp( z ) z  C, de forma
que para todo x real coincida con la función exponencial real. También se desea que la
expresión de su derivada sea, como en el caso real: f ' ( z )  exp( z ) . Y que se cumpla la
propiedad más importante de la función exponencial real: la ley de exponentes.
La función exponencial f ( z )  exp( z ) se denota también e z . Para que se mantenga la
exp( z)  ez  ex iy  ex .eiy
ley de exponentes, habrá de ser:
Queda por tanto definir
e iy .
Si se define
e iy  cos y  iseny ,
resulta:
e iy1 .e iy 2  (cos y1  iseny 1 )(cos y 2  iseny 2 ) 
 (cos y1 cos y 2  seny 1seny 2 )  i(seny 1 cos y 2  cos y1seny 2 ) 
 cos( y1  y2 )  isen ( y1  y2 )  ei( y1  y2 )
Se cumpliría entonces la ley de exponentes.
b) Definición
“Si z  x  i y , se define la función exponencial, y se denota indistintamente exp( z )
o e z como:
exp( z )  e z  e x  i y  e x .e iy  e x (cos y  i seny )
donde y se expresa en radianes”
(3.1)
c) Propiedades
Las siguientes propiedades se deducen directamente de la definición de exp( z ) .
i)
Para z = x, el valor de la función exponencial compleja coincide con el valor
de la exponencial real.
ii)
La función exponencial está definida y es continua z  C
1
iii)
De la definición se deduce: e z  e x ; arg e z  y ( en radianes )
iv)
La función exponencial es entera y
u  e x cos y
Pues es 
v  e x seny
d z
e  ez
dz
u x  e x cos y  v y
x
u y  e seny   v x
( x, y)   2
Además ux , uy , vx , vy son continuas en  2 . Luego e z es analítica
z  C, es decir e z es entera, siendo su derivada:
d z
e  u x  iv x  e x cos y  ie x seny  e z
dz
v)
vi)
e z1  z 2  e z1 e z 2 z 1 , z 2 C
Pues ambos miembros tienen el mismo módulo e x 1  x 2 y el mismo
argumento y1  y2
e z1  z 2 
e z1
e z2
z 1 , z2  C
Pues ambos miembros tienen el mismo módulo e x1  x 2 y el mismo
argumento y1  y 2
vii)
ez 
1
ez
Ambos miembros tienen el mismo módulo e  x y el mismo argumento -y.
viii)
e z n  e nz
n  Z
Ambas tienen el mismo módulo e nx y el mismo argumento ny
ix)
ez  0
z C
Pues e z  e x  0
x)
 e iy  1
y  
 e i   1
 Si n Z es e 2 ni  1 y recíprocamente: e z  1  z  2 ni
n Z
Pues e 2ni  cos( 2n)  isen (2n)  1
 ez  1


e x  1
Recíproco: Si e  1  

 z  2ni

z
y

2
n


arg e  2n 
z
2
 e z1  e z2  z 1  z 2  2ni
xi)
n Z
e z es periódica con periodo T  2i
Pues ez  2i  eze2i  ez
xii)
 
xiii)
ez  ez
xiv)
iy

e  cos y  iseny
Fórmulas de Euler: De la definición es 
iy

 cos y  iseny
e
m
z n
e
m
( z  2 ki )
en
k  0 ,1...n  1
(3.2)
( De la definición )
Luego: cos y 
e iy  e  iy
2
e iy  e  iy
seny 
2i
d) Expresión para los números complejos
Se escribían los complejos en forma trigonométrica: z  r (cos   isen )
Por tanto, todo número complejo z  0 puede escribirse en la forma: z  re i donde
r  z y   arg z  2k .
Con esta representación, las expresiones de un producto, cociente o potencia natural,
toman las formas simples:
z1 r1 i(1 2 )
; z n  r n e in 
z1.z 2  r1r2ei(1 2 ) ;
 e
z 2 r2
e) Representación de la función exponencial
El recorrido de la función exponencial es C  0, es decir, w  C  0,
 z C / e z  w
Se observa que por ser e z periódica, para w C  0, existirán infinitas anti-imágenes.
La aplicación z  w  e z no es una biyección cuando z recorre C.
Todo punto del plano z, puede llevarse a la banda 0  y  2 por una traslación de un
múltiplo entero de 2i. Por periodicidad, esta traslación no cambia el valor de la
función.
y
2
y b
x0
xa
Plano z
y0
x
3
La imagen en el plano w del segmento x = a , y  (0,2) , es la circunferencia de centro
0 y radio e a . Cuando a crece de   a   , el radio del círculo crece desde 0 hasta 
v
y b
x0
xa
1
u
ea
Plano w  e z
La imagen en el plano w de la recta y = b 0  y  2 es la semirrecta por el
origen con ángulo   b . Cuando x crece de   a   la semirrecta es recorrida una
vez de 0 a  . Cuando y crece de 0 a 2 , la semirrecta gira en torno al origen,
describiendo el plano.
La correspondencia es una biyección entre los puntos de la banda 0  y  2 y
el plano excepto el origen.
2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS O CIRCULARES
2.1 Funciones seno y coseno
a) Definición
eix  eix
eix  eix
, senx 
2
2i
Por tanto la forma natural de definir el seno y coseno complejos es:
Se ha visto que para x   es: cos x 
Para z  C:
cos z 
e iz  e  iz
2
senz 
e iz  e  iz
2i
(3.3)
b) Propiedades
i)
Para z = x, el valor de estas funciones coincide con el valor de las
funciones seno y coseno reales.
ii)
Las funciones sen z y cos z son enteras y sus derivadas son:
d
( senz )  cos z
dz
d
(cos z )   senz
dz
Son enteras por ser combinaciones lineales de funciones enteras: e iz y eiz .
4
d
d e iz  e iz e iz  e iz
(senz ) 

 cos z
dz
dz
2i
2
Análogo para cos z
Además:
iii)
Las funciones sen z y cos z son periódicas con periodo 2 .
Pues e z es de periodo 2i, luego e iz , eiz lo son de periodo 2.
iv)
cos (-z) = cos z
sen (-z) = -sen z
De la definición
v)
sen 2 z  cos 2 z  1
De la definición
vi)
 sen( z 1  z 2 )  senz 1 cos z 2  cos z 1 senz 2

cos( z 1  z 2 )  cos z 1 cos z 2  senz 1 senz 2
(3.4)
Pues senz 1 cos z 2  cos z1senz 2 
1 iz1

e  e iz1 e iz 2  e iz 2  e iz1  e iz1 e iz 2  e iz 2  ...
4i
1 i( z1  z 2 )

e
 ei( z1  z 2 )  sen (z1  z 2 )
2i
Análogo para la diferencia y para el coseno.


vii)
viii)

 







sen  z   cos z
cos  z   senz
2

2





Pues sen   z   sen cos z  cos senz  cos z
2
2
2



Análogo para cos  z 
2

cos nz  i sen nz  cos z  i senz n
 
(3.5)
n
Pues cos nz  i sen nz  e inz  e iz  cos z  i senz n
ix)
 sen z  sen x Ch y  i cos x Sh y

cos z  cos x Ch y  i sen x Sh y
Es cos iy 
e y  e y
 Ch y
2
(3.6)
sen iy 
e y  e y
e y  e y
i
 i Sh y
2i
2
Luego:
sen z  sen ( x  iy )  sen x cos iy  cos x sen iy  sen x Ch y  i cos x Sh y
cos z  cos( x  iy )  cos x cos iy  sen x sen iy  cos x Ch y  i sen x Sh y
5
senz  senz
x)
cos z  cos z
 e iz  e iz  e i z  e i z e i z  e i z

Es senz  

 sen z


2
i
 2i
2i


Análogo para el coseno
xi)
Las funciones sen z y cos z no son acotadas, pues
2
cos z  cos 2 x  Sh 2 y
En efecto:
De (3,6): sen z

2

senz
2
 sen 2 x  Sh 2 y
(3.7)
 sen 2 x Ch 2 y  cos 2 x Sh 2 y 
sen 2 x 1  Sh 2 y  cos 2 x Sh 2 y  sen 2 x  Sh 2 y
Análogo para el cos z.

 k
k  Z ; senz  0  z  k
k Z
2
Es decir, que los ceros de senz ó cosz son los de senx ó cosx
respectivamente.
cos z  0  z 
xii)
Pues senz  0  e iz  e iz  0  e 2iz  1  2iz  2ki
 z  k k  Z
Análogo para el coseno
k Z
2.2 Restantes funciones trigonométricas
a) Definición
Se definen:
sen z
cos z
cos z
cot g z 
sen z
tg z 
1
cos z
1
cos ec z 
sen z
sec z 
z C  

2
 k , k  Z
z  C   k , k  Z


b) Propiedades
i)
Las funciones anteriores son analíticas en sus respectivos campos de
existencia y en ellos es:
d
d
( tg z )  sec 2 z  1  tg 2 z
(sec z )  sec z tg z
dz
dz
d
d
(cot g z )   cos ec 2 z
(cos ec z )   cos ec z cot g z
dz
dz
ii)
Es tg( z 1  z 2 ) 
iii)
Otras propiedades de estas funciones se obtienen a partir de las
propiedades vistas para sen z y cos z.
tg z 1  tg z 2
1  tg z 1 tg z 2
(3.8)
6