Download Medida Posición Central

Estadística
Medidas de posición central
Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos
que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas
características de esta serie de datos.
Las medidas de posición son de dos tipos:
a) Medidas de posición central: informan sobre los valores
medios de la serie de datos.
b) Medidas de posición no centrales: informan de como se
distribuye el resto de los valores de la serie.
a) Medidas de posición central
Las principales medidas de posición central son las siguientes:
1.- Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se
pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más
utilizadas:
a) Media aritmética: se calcula multiplicando cada
valor por el número de veces que se repite. La
suma de todos estos productos se divide por el
total de datos de la muestra:
(X1 * n1) + (X2 * n2) + (X3 * n3) + .....+ (Xn-1 * nn-1) + (Xn * nn)
Xm =
---------------------------------------------------------------------------------------
n
b) Media geométrica: se eleva cada valor al
número de veces que se ha repetido. Se
multiplican todo estos resultados y al producto final
se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos
de la muestra).
Según el tipo de datos que se analice será más
apropiado utilizar la media aritmética o la media
geométrica.
La media geométrica se suele utilizar en series de
datos como tipos de interés anuales, inflación, etc.,
donde el valor de cada año tiene un efecto
multiplicativo sobre el de los años anteriores. En
todo caso, la media aritmética es la medida de
posición central más utilizada.
Lo más positivo de la media es que en su cálculo
se utilizan todos los valores de la serie, por lo que
no se pierde ninguna información.
Sin embargo, presenta el problema de que su valor
(tanto en el caso de la media aritmética como
geométrica) se puede ver muy influido por valores
extremos, que se aparten en exceso del resto de la
serie. Estos valores anómalos podrían condicionar
en gran medida el valor de la media, perdiendo
ésta representatividad.
2.- Mediana: es el valor de la serie de datos que se sitúa
justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son
inferiores y otro 50% son superiores).
No presentan el problema de estar influido por los valores
extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la
información de la serie de datos (no pondera cada valor por el
número de veces que se ha repetido).
3.- Moda: es el valor que más se repite en la muestra.
Ejemplo: vamos a utilizar la tabla de distribución de frecuencias con los
datos de la estatura de los alumnos que vimos en la lección 2ª.
Variable
(Valor)
Frecuencias absolutas
Simple
Acumulada
Frecuencias relativas
Simple
Acumulada
x
x
x
x
x
1,20
1
1
3,3%
3,3%
1,21
1,22
4
4
5
9
13,3%
13,3%
16,6%
30,0%
1,23
2
11
6,6%
36,6%
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1
2
3
3
4
3
3
12
14
17
20
24
27
30
3,3%
6,6%
10,0%
10,0%
13,3%
10,0%
10,0%
40,0%
46,6%
56,6%
66,6%
80,0%
90,0%
100,0%
Vamos a calcular los valores de las distintas posiciones centrales:
1.- Media aritmética:
Xm =
(1,20*1) + (1,21*4) + (1,22 * 4) + (1,23 * 2) + ......... + (1,29 * 3) + (1,30
* 3)
------------------------------------------------------------------------------------------------30
Luego:
Xm =
1,253
Por lo tanto, la estatura media de este grupo de alumnos es de
1,253 cm.
2.- Media geométrica:
X=
((1,20^ 1) * (1,21^4) * (1,22^ 4) * .....* (1,29^3)* (1,30^3)) ^ (1/30)
Luego:
Xm =
1,253
En este ejemplo la media aritmética y la media geométrica
coinciden, pero no tiene siempre por qué ser así.
3.- Mediana:
La mediana de esta muestra es 1,26 cm, ya que por debajo
está el 50% de los valores y por arriba el otro 50%. Esto se
puede ver al analizar la columna de frecuencias relativas
acumuladas.
En este ejemplo, como el valor 1,26 se repite en 3 ocasiones, la
media se situaría exactamente entre el primer y el segundo
valor de este grupo, ya que entre estos dos valores se
encuentra la división entre el 50% inferior y el 50% superior.
4.- Moda:
Hay 3 valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1,21, el 1,22 y
el 1,28, por lo tanto esta seria cuenta con 3 modas.
Medidas de posición no central
Medidas de posición no centrales
Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos
característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre
otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la
muestra en tramos iguales:
Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos,
ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos
iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los
resultados.
Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos,
ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos
iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los
resultados.
Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos,
ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos
iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los
resultados.
Ejemplo: Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la
estatura de un grupo de alumnos (lección 2ª). Los deciles y centiles se
calculan de igual manera, aunque haría falta distribuciones con mayor
número de datos.
Variable
Frecuencias absolutas
Frecuencias relativas
(Valor)
x
Simple
x
Acumulada
x
Simple
x
Acumulada
x
1,20
1
1
3,3%
3,3%
1,21
1,22
4
4
5
9
13,3%
13,3%
16,6%
30,0%
1,23
2
11
6,6%
36,6%
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1
2
3
3
4
3
3
12
14
17
20
24
27
30
3,3%
6,6%
10,0%
10,0%
13,3%
10,0%
10,0%
40,0%
46,6%
56,6%
66,6%
80,0%
90,0%
100,0%
1º cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se situa
el 25% de la frecuencia (tal como se puede ver en la columna
de la frecuencia relativa acumulada).
2º cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que entre este valor y el 1º
cuartil se situa otro 25% de la frecuencia.
3º cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que entre este valor y el 2º
cuartil se sitúa otro 25% de la frecuencia. Además, por encima
suya queda el restante 25% de la frecuencia.
Atención: cuando un cuartil recae en un valor que se ha repetido más de
una vez (como ocurre en el ejemplo en los tres cuartiles) la medida de
posición no central sería realmente una de las repeticiones.
Medidas de dispersión
Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se
encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos.
Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos
destacar las siguientes:
1.- Rango: mide la amplitud de los valores de la muestra y se
calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más
bajo.
2.- Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la
serie y la media. Se calcula como sumatorio de las difrencias al
cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el
número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio
obtenido se divide por el tamaño de la muestra.
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se
aproxima a cero, más concentrados están los valores de la
serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor
sea la varianza, más dispersos están.
3.- Desviación típica: Se calcula como raíz cuadrada de la
varianza.
4.- Coeficiente de varización de Pearson: se calcula como
cociente entre la desviación típica y la media.
Ejemplo: vamos a utilizar la serie de datos de la estatura de los alumnos de
una clase (lección 2ª) y vamos a calcular sus medidas de dispersión.
Variable
(Valor)
x
Frecuencias absolutas
Simple
Acumulada
x
x
Frecuencias relativas
Simple
Acumulada
x
x
1,20
1
1
3,3%
3,3%
1,21
1,22
4
4
5
9
13,3%
13,3%
16,6%
30,0%
1,23
2
11
6,6%
36,6%
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1
2
3
3
4
3
3
12
14
17
20
24
27
30
3,3%
6,6%
10,0%
10,0%
13,3%
10,0%
10,0%
40,0%
46,6%
56,6%
66,6%
80,0%
90,0%
100,0%
1.- Rango: Diferencia entre el mayor valor de la muestra (1,30)
y el menor valor (1,20). Luego el rango de esta muestra es 10
cm.
2.- Varianza: recordemos que la media de esta muestra es
1,253. Luego, aplicamos la fórmula:
Por lo tanto, la varianza es 0,0010
3.- Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza.
Luego:
4.- Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como
cociente entre la desviación típica y la media de la muestra.
Cv = 0,0320 / 1,253
Luego,
Cv = 0,0255
El interés del coeficiente de variación es que al ser un
porcentaje permite comparar el nivel de dispersión de dos
muestras. Esto no ocurre con la desviación típica, ya que viene
expresada en las mismas unidas que los datos de la serie.
Por ejemplo, para comparar el nivel de dispersión
de una serie de datos de la altura de los alumnos
de una clase y otra serie con el peso de dichos
alumnos, no se puede utilizar las desviaciones
típicas (una viene vienes expresada en cm y la otra
en kg). En cambio, sus coeficientes de variación
son ambos porcentajes, por lo que sí se pueden
comparar.