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Elementos de Probabilidad y Estadística
Problema Semanal 4
Muestreo con o sin Reposición
Problema:
Dos cajas contienen bolas negras y blancas que son idénticas salvo por el color. La caja A
tiene 2 bolas negras y una blanca, y la caja B tiene 101 negras y 100 blancas. Se selecciona
una caja al azar y si logras identificar cuál caja es en base a dos bolas extraídas, ganas un
premio. Después de sacar la primera bola y ver su color puedes decidir si la vuelves a
colocar en la caja antes de sacar la segunda bola.
¿Cuál es la estrategia óptima en este juego?
Solución:
Como criterio de decisión seleccionamos la caja que haga más probable observar lo que
obtenemos al hacer las dos extracciones y consideramos cada una de las estrategias
posibles.
Estrategia 1: Con reposición.
Extracción
1/2
A
1/2
B
Decisión
BB
BN
NB
NN
1 1
  0.111
3 3
100 100

 0.248
201 201
1 2
  0.222
3 3
100 101

 0.25
201 201
2 1
  0.222
3 3
101 100

 0.25
201 201
2 2
  0.444
3 3
101 101

 0.25
201 201
B
B
B
A
Por lo tanto la probabilidad de acertar con esta estrategia es:
1
 0.248  0.25  0.25  0.444  0.596
2
Estrategia 1: Sin reposición.
Extracción
BB
BN
NB
NN
2 1
  0.33
3 2
101 100

 0.25
201 200
2 1
  0.33
3 2
101 100

 0.25
201 200
A
A
1/2
A
0
1/2
B
100 99

 0.246
201 200
1
 1  0.33
3
100 101

 0.25
201 200
B
A
Decisión
Por lo tanto la probabilidad de acertar con esta estrategia es:
1
 0.246  0.33  0.33  0.33  0.6229
2
Estrategia 3: Mixta.
Observamos que si la primera bola extraída es negra, entonces la segunda extracción no
aporta ninguna información respecto a la caja, porque en ambos casos la probabilidad es
1/2 para cada color. Por lo tanto adoptamos la estrategia de reponer la bola extraída si es
negra y no hacerlo si es blanca.
Extracción
BB
BN
NB
NN
2 1
  0.22
3 3
101 100

 0.25
201 201
2 2
  0.44
3 3
101 101

 0.25
201 201
B
A
1/2
A
0
1/2
B
100 99

 0.246
201 200
1
 1  0.33
3
100 101

 0.25
201 200
B
A
Decisión
Por lo tanto la probabilidad de acertar con esta estrategia es:
1
 0.246  0.33  0.25  0.44  0.6367
2
Por lo tanto conviene usar esta última estrategia.
Entregado: lunes 23 de febrero de 2009.
Discutido: miércoles 25 de febrero de 2009.
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Este problema aparece en el libro de F. Mosteller Fifty challenging problems in probability with
solutions, Dover Pub., 1987.