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Transcript

COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN
GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.
Galileo Galilei
TRIGONOMETRIA
GRADO DECIMO
2012
PGF03-R03
PRESENTACION
Este módulo conserva la filosofía y la metodología sobre las cuales se concibió y desarrollo
la primera edición de esta obra, en él se cubren los conceptos básicos, definiciones,
ejercicios, gráficas y métodos matemáticos en forma clara y concisa, las explicaciones se
han reducido al mínimo a favor de la exposición de ejemplos concretos, pretendiendo el
desarrollo de una clase activa, lo cual ayuda muchísimo en el análisis de situaciones
propuestas.
El objetivo de este módulo es ofrecer al estudiante un conocimiento que le permita disfrutar
leer y aprender los conceptos de las matemáticas, para ello se emplean oraciones reducidas,
explicaciones claras y ejemplos resueltos. Así mismo a lo largo de todo el texto se ofrecen
aplicaciones prácticas que facilitan la comprensión de los conceptos expuestos.
Las matemáticas en su esencia han sido estudiadas y desarrolladas por hombres que a lo
largo de la historia dejan un legado de escuelas constructoras de esta ciencia:
Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda
su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho
más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino
también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música.
Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas
muy potentes: los babilonios y los egipcios.
René Descartes utilizó las ciencias y las matemáticas para explicar y pronosticar
acontecimientos en el mundo físico
Sin duda Newton es el autor del primer paso de la carrera espacial. Las Leyes descubiertas
por él son las que han permitido al hombre poner un pie en la Luna o enviar naves a Marte y
Venus, explorar los planetas exteriores: Júpiter, Saturno, Neptuno y Urano. Su modelo de
telescopio ha permitido ver más lejos en cielo. Sin duda los astrónomos le deben mucho a
Newton. Pero los matemáticos y de paso el resto de los científicos le deben tanto o más. Él
junto a Leibniz, aunque sería mejor decir al mismo tiempo que Leibniz, son los descubridores
de la más potente y maravillosa herramienta matemática: el Cálculo.
A principios del siglo XIX, un joven matemático acaba de resolver un problema de más de
2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17
lados. Hoy junto a Weber comparten por igual la gloria de ser los padres de las dos
herramientas más potentes del universo matemático: el cálculo diferencial y el cálculo
integral. El instrumento ideal para entender y explicar el funcionamiento del mundo real,
desde las cosas más próximas hasta el rincón más alejado del universo.
Comité Área de Matemáticas
MATEMATICAS – Trigonometría 10
2
PGF03-R03
Contenido
UNIDAD 1 ................................................................................................................................. 5
RAZONES TRIGONOMETRICAS ............................................................................................ 5
ÁNGULOS............................................................................................................................. 8
ÁNGULOS POSITIVOS Y ÁNGULOS NEGATIVOS ........................................................... 10
MEDIDA DE ÁNGULOS ...................................................................................................... 10
Equivalencia entre los sistemas sexagesimales y cíclicos .................................................. 11
LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS ......................................................................... 15
VALOR DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS ...................................................... 19
PARA ANGULOS DE 60º, 30º Y 45º ................................................................................... 19
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ........................... 23
RESOLUCION DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS....................................................... 32
UNIDAD 2 ............................................................................................................................... 33
TEOREMAS Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA TRIGONOMETRÍA .................. 33
TEOREMA DEL SENO ....................................................................................................... 34
TEOREMA DEL COSENO .................................................................................................. 36
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................... 41
ANÁLlSIS DE LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................... 41
LA FUNCIÓN SENO ........................................................................................................... 42
LA FUNCIÓN COSENO ...................................................................................................... 43
LA FUNCIÓN TANGENTE .................................................................................................. 45
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .......................................... 49
FUNCIONES CIRCULARES RECÍPROCAS ...................................................................... 49
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE
CUALQUIER ÁNGULO ....................................................................................................... 52
UNIDAD 3 ............................................................................................................................... 55
IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS........................................................ 55
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 56
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES ............................................... 57
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS ....... 64
MATEMATICAS – Trigonometría 10
3
PGF03-R03
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE ........................................... 65
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MEDIO .......................................... 65
IDENTIDADES DE SUMAS EN PRODUCTOS ................................................................... 66
IDENTIDADES DE PRODUCTOS EN SUMAS .................................................................. 67
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS ................................................................................ 70
UNIDAD 4 ............................................................................................................................... 75
PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMETRICOS ................................................. 75
GEOMETRÍA ANALITICA ................................................................................................... 76
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ................................................................................... 78
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DADO ................................. 79
ECUACION GENERAL DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES .............................. 79
RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES ................................................. 81
CURVA................................................................................................................................ 84
CONICAS ............................................................................................................................ 84
LA CIRCUNFERENCIA ....................................................................................................... 86
LA PARABOLA ................................................................................................................... 89
ELEMENTOS DE LA PARABOLA....................................................................................... 90
LA ELIPSE .......................................................................................................................... 98
LA HIPERBOLA ................................................................................................................ 105
BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................... 110
MATEMATICAS – Trigonometría 10
4
PGF03-R03
UNIDAD 1
RAZONES TRIGONOMETRICAS
UNIDAD 1 R AZON ES TRIGON OMETR IC AS
PROPOSITOS




Calcular el valor de todas las relaciones trigonométricas de un ángulo en posición
normal, medida en grados y medida en radianes.
Determinar las definiciones de las relaciones trigonométricas, los signos, las
demostraciones y deducir los valores de ángulos especiales.
Solucionar triángulos rectángulos, empleando las relaciones trigonométricas.
Resolver problemas cuya solución requiera aplicar las relaciones trigonométricas.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
5
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
LA TRIGONOMETRÍA RENACENTISTA
El matemático que retomó la trigonometría en Europa es Johann Muller (1436 -1476) más
conocido como Regiomontano, quien fundamentalmente se preocupó por traducir al latín las
grandes obras de los griegos. Regiomontano escribió el libro «De triangulis, en el cual siguió
los pasos de Nasir Eddin y sistematizó todos los conocimientos de la trigonometría como
ciencia independiente de la astronomía. Sus manuscritos eran conocidos en el círculo donde
se desempeñaba como instructor en la ciudad de Nuremberg, que se convertiría en un
importante centro del saber, de la" artes: v de la invención; además de ser el centro de la
impresión de libros. En esta ciudad se publicaron algunos de los más grandes clásicos
científicos que iniciaron el Renacimiento.
Durante la época que vivió Regiomontano, Polonia atravesó una verdadera edad de oro
cultural y la universidad de Cracovia en la que se matriculó Copérnico gozaba de gran
prestigio en matemáticas y astronomía. En el famoso libro que cambió toda la concepción
sobre el universo " De las revoluciones y las órbitas celestes", se encuentran importantes
secciones de trigonometría que Copérnico desarrolló con amplio dominio de la materia.
A finales del siglo XVI se desarrolló un entusiasmo considerable por la trigonometría, el cual
se materializó básicamente en la publicación de síntesis y libros de texto. Durante este
período se le dio por primera vez el nombre de trigonometría a esta rama del saber.
LA TRIGONOMETRÍA EN LA REVOLUCIÓN CIENTÍFICA
Los momentos estelares de la humanidad se presentan durante las grandes crisis, cuando la
aritmética, la geometría y el álgebra no pueden responder a los requerimientos del desarrollo
de la ciencia; una gran cantidad de nuevas ramas de las matemáticas surgen para dar
respuestas a los interrogantes que la época requiere. La geometría analítica. El cálculo, los
logaritmos. Y el estudio en general del movimiento produce lo que se llama la gran revolución
científica. En ella, la trigonometría es la principal aliada de los científicos que con largas y
precisas observaciones del movimiento de los planetas pueden fundamentar, con Newton a
la cabeza, una nueva concepción del universo regido por leyes mecánicas de una asombrosa
precisión.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
1. Señala en el texto las palabras desconocidas y busca su significado de acuerdo al
contexto.
2. Uno de los periodos más importantes de la historia de la humanidad es el
renacimiento. En aquellos años, la cultura, en todas sus manifestaciones, florece.
Nombre en cuanto al progreso de las ciencias y las matemáticas que nuevas ramas
del saber nacen y se desarrollan.
3. De acuerdo con la lectura comenta en forma breve la idea que tienes sobre el objeto
de estudio de la trigonometría.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
ÁNGULOS
Un Ángulo es la unión de dos semirrectas o rayos con un origen común. Las dos semirrectas
se llaman lados del ángulo y el origen se denomina vértice.
En la siguiente figura el ángulo indicado se origina por la rotación de la semirrecta AB hasta
la posición de la semirrecta AC.
C
B
A
Los ángulos los denotaremos con las letras
ø(theta),
ω(omega), µ(mu.),
ρ(Ro),
α(alfa),
β(beta), Y(gama),δ(delta),
€ (epsilon).
ANGULO GENERADO
Los ángulos los podemos generar considerando primero las dos semirrectas en la posición
inicial L2 y rotando sobre el vértice o la semirrecta L1 hasta llevarla a la posición terminal; la
semirrecta L2 se llama lado inicial del ángulo a y la L1 lado terminal.
L1 lado terminal
0
a
L2 lado inicial
ANGULO EN POSICION NORMAL
Si el vértice de un ángulo lo colocamos en el origen de un sistema de coordenadas
cartesianas y su lado inicial es el semieje positivo de equis (x), decimos que el ángulo esta
en posición normal respecto del sistema de coordenadas.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
De acuerdo con el cuadrante en que esta colocado el lado terminal del ángulo, lo clasifican
como ángulos del primer, segundo, tercero y cuarto cuadrante.
II
I
I
III
I
IV
Angulo del primer cuadrante
II
III
Angulo del segundo cuadrante
Angulo del tercer cuadrante
Angulo del cuarto cuadrante
IV
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
ÁNGULOS POSITIVOS Y ÁNGULOS NEGATIVOS
Si la trayectoria que se sigue para generar un ángulo, partiendo desde el lado inicial hasta el
terminal, es en dirección contraria al moviendo de las manecillas del reloj, entonces el ángulo
tiene sentido positivo, si es en la misma dirección del movimiento de las manecillas del reloj,
el sentido es negativo.
MEDIDA DE ÁNGULOS
Para medir ángulos, vamos a utilizar dos sistemas diferentes: el sistema sexagesimal y el
sistema cíclico.
Sistema Sexagesimal si generamos un ángulo de tal forma que el lado terminal después
de dar vuelta coincida con el lado inicial, tenemos un ángulo giro o de una vuelta completa.
De esta forma definimos un grado como una trescientos – sesentava parte del ángulo giro, es
decir, un ángulo giro tiene trescientos sesenta grados. El grado lo simbolizamos con un
pequeño cero escrito en la parte superior derecha de la cantidad (ejemplo: 30º, se lee, treinta
grados).
El grado tiene dos submúltiplos: el minuto y el segundo
1º = 60´ (se lee sesenta minutos) 1´= 1º / 60 (un minuto es la sesentava parte del grado)
1´= 60´´ (se lee sesenta segundos) 1´´= 1´/ 60 (un segundo es la sesentava parte del
minuto).
0
Ángulo giro
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
Sistema cíclico La unidad cíclica de medida es el radian.
Un radian es la amplitud que tiene un ángulo, que subtiende un arco con la misma longitud
que el radio de la circunferencia.
A
1rad
0
Si OA = AB =
B
= 1 rad
MODELACIÓN
Expresar 4206 “en grados, minutos y segundos.
Se reduce segundos a minutos 4206” x 1´/ 60” = 4206´/60 = 70´
El residuo de la división nos da los segundos 6”
Se reduce minutos a grados 70 x 1°/60´ = 70´/60 = 1°
Y el residuo de la división nos da los minutos 10´
Luego = 4206” = 1° 10´ 6”
Equivalencia entre los sistemas sexagesimales y cíclicos
Para hallar amplitud en radianes del ángulo giro,
dividimos el arco que subtiende el radio de la
circunferencia. Como el ángulo giro 0, subtiende un
arco igual a la longitud de la circunferencia (L= 2 π r),
entonces la amplitud del ángulo giro 0, es:
2  rad
 2 rad
r
r
2

rad = 360°
Luego:
0
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
MODELACIÓN 1
Expresar en radianes un ángulo de 30°
Establecemos la proporción:
360 
30 

2  rad
x
Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:
360 x  (2  rad )(30 )
(2  rad )(30  )
Simplificamos y dividimos: x 
360 
x
 rad
6
MODELACION 2
Expresar en grados un ángulo de x 
 rad
360

Establecemos la proporción:
2 rad
4
x

x
(360  )(

rad )
4
( 2  rad )
4 rad
Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:
(2  rad ) x  (360  )(
Despejemos x:

4
rad )

(360 )( rad )
4
x
(2  rad )
Simplificamos y dividimos: x = 45°
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
1. Escribe el equivalente en grados del
ángulo indicado en radianes.
a. 3 π / 4
b. 5 π / 6
c. π / 6
d. 2 π / 3
e. 7 π / 9
2. Escriba el equivalente en radianes del
ángulo indicado:
a.
b.
c.
d.
e.
15°
75°
35°
285°
345°
3. Expresar en grados, minutos y
segundos
a. 2407´
b. 346´
c. 3425´
d. 7236´
e. 4,28´
4. Busca en el diccionario el significado de
la expresión “subtiende”.
5. Dibuja el ángulo dado en posición
normal y determina dos ángulos
coterminales positivos y dos negativos
a.
b.
c.
d.
e.
120°
135°
-30°
5π/6
-π/4
6. Identifica el cuadrante al cual pertenece cada uno de los ángulos representados en las
graficas, determine si es positivo o negativo y nómbrelo.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
7. clasifica los ángulos siguientes según pertenezcan al primero, segundo, tercero y cuarto
cuadrante:
a. 285°
b. -135°
c. 210°
d. -75°
e. -330°
f. 730°
g. 8 π / 3
h. 20 π / 12
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
SITUACIONES PROBLEMA
1.
Determinar en radianes los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que uno de
los ángulos agudos mide ¾ de la medida del otro.
2.
Determinar la longitud del arco que subtiende un ángulo central de 2,5 radianes, si la
longitud del radio del círculo es 10 km.
NOTA: la longitud de la circunferencia es: L = 2 π rad
Angulo ---- ǿ S ---- longitud del arco
r=Radio
3.
Determine el ángulo control que corresponde a un arco de longitud 20 cm. y radio 8
cm.
4.
Una compañía fabricante de uniformes elabora emblemas como el mostrado en la
figura.
a. Determinar la longitud del realce, requerida para el acabado de
la orilla de cada emblema.
b. Determinar también la cantidad de tela necesaria para la
manufactura de cada emblema.
S
9 cm
50ª
LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS
Consideremos un ángulo en posición normal respecto del sistema de coordenadas
cartesianas y tracemos, con centro en el origen una circunferencia de radio r > 0, que corta al
lado Terminal del ángulo en el punto P ( x, y ) . Definimos las siguientes relaciones
trigonométricas respecto al ángulo, así:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
Ordenada
Seno () =
radio
Coseno () =
Abcisa
radio
Ordenada
Tangente () =
Abcisa
Abcisa
Cotangente () =
Ordenada
radio
Secante () =
Abcisa
radio
Cosecante () =
Ordenada
entonces
Sen( ) 
y
r
entonces
Cos( ) 
x
r
Tan(  ) 
y
,x  0
x
entonces
x
,y0
y
entonces
Cotg( ) 
entonces
Sec( ) 
r
,x  0
x
entonces
Csc( ) 
r
,y0
y
Cada punto de la circunferencia se identifica con un par de coordenadas ( x, y ) ; es
x
la
abscisa del punto y y es la ordenada.
P ( x, y )
r
y
x
MATEMATICAS – Trigonometría 10
16
PGF03-R03
MODELACIÓN
Hallar el valor de las relaciones trigonométricas de un ángulo, cuyo lado Terminal intersecta
una circunferencia de radio r en el punto P: (-3,4).
Aplicando el teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2, calculamos el radio:
r2 = (-3)2 + 42
r2 = 9 + 16
r2 = 25 r = 5
Aplicamos las definiciones de las relaciones trigonométricas:
Sen( ) 
4
 0.8
5
3
 0.6
5
4
Tan( ) 
 1.33
3
Cos( ) 
5
 1.25
4
5
Sec( ) 
 1.66
3
3
Cotg ( ) 
 0.75
4
Csc( ) 
Las relaciones trigonométricas para ángulos notables o
cuadrantes como son 0º, 90º, 180º y 270º es:
RELACION
ANGULO
SENO COSENO TANGENTE COSECANTE SECANTE COTANGENTE
0º o 0 rad
0
1
0
No existe
1
No existe
90º o π /2 rad
1
0
No existe
1
No existe
0
180º o π rad
0
-1
0
No existe
-1
No existe
270º o 3π/2
-1
0
No existe
-1
No existe
0
rad
MATEMATICAS – Trigonometría 10
17
PGF03-R03
1. Calcula el valor de las relaciones trigonométricas para cada uno de los siguientes
ángulos:
a)
P (-2,4)
P(3,1)
P(-2,3)




P(-2,-4)
2. Hallar el valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo , cuyo lado terminal
intercepta una circunferencia de radio r en el punto a) P (1,2); b) P(-3,2); c) P(-4,-2); d) P
(1,7) e) P (5,-3); f) P(-3,-2).
3. Hallar el valor de las razones trigonométricas para los ángulos agudos  y  de los
siguientes triángulos rectángulos.
Z
a)
2 cm
R
5 cm
b)
H
c)
12 cm
G
X
Y
6cm
F
P
6 cm
Q
8cm
4. Dibuja y mide con el transportador ángulos en posición normal, que tiene la siguiente
relación trigonométrica dada:





tan  = 3/4 ,  es ángulo del primer cuadrante
cotg  = -2/5,  es ángulo del segundo cuadrante
sen  = 2/7 ,  es ángulo del segundo cuadrante
sec  = -5,  es ángulo del tercer cuadrante
cos  = 1/3,  es ángulo del cuarto cuadrante
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
5. De acuerdo con la definición de las relaciones trigonométricas, completa el siguiente
cuadro escribiendo + o -, según la relación sea positiva o negativa en el cuadrante dado.
RELACION
CUADRANTE
SEN  COS  TAN  SEC 
CSC  COTG 
I 0    π /2
II π /2    π
III π    3 π /2
IV 3π /2   2
π
VALOR DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS
PARA ANGULOS DE 60º, 30º Y 45º
El valor de las relaciones trigonométricas para estos ángulos lo podemos obtener, por
medios geométricos, lo cual facilita sus cálculos, sin necesidad de usar tablas o calculadoras.
Realizar las demostraciones trigonométricas para ángulos de 60º, 30º Y 45º a partir de su
grafica y posteriormente completar el cuadro que resume los datos.
Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 60º
P
60º
A
0–x–B
-r/2-
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 30º
A
0
30º
30º
C
B
Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 45º
y
45º
x
RELACION
SENO COSENO TANGENTE COSECANTE SECANTE COTANGENTE
ANGULO
Π / 6 o 30º
π / 4 o 45º
π / 3 o 60º
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
MODELACIÓN 1
Hallar el valor numérico de la expresión sen2 45º = 1 – cos2 45º
Remplazar los valores de los ángulos de 45º (
)2 = 1-(
)2
Se realizo las operaciones de potenciación y suma de fraccionarios
2/4 = 1 – 2/4
1/2 = 4 - 2
4
1/2 = 2/4
Se simplifica ½ = ½
MODELACIÓN 2
Hallar el valor numérico de la expresión:
(tan 60º, sec 30º - 3/2, sen 45º, sec 45º, csc 60º) . (csc 30º + tan 60º)
(
.
3
–3.
.
2 2
(3.2 – 3.2.2.
).(2+
3
3.2.2
(2 -
).(2+
.
)(2 +
)=
3
)=
) = (2)2 – (
2
4–3 = 1
1. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:
a. 1 + tan2 30º = sec2 30º
b. 1 + tan2 60º = sec2 60º
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
c. sen2 30º + cos2 30º = 1
d. cos 60º - sen 30º
tan 60º
e. (sen 30º. Cos 60º + cos 30º . sen 60º)2+(cos 30º. cos 60º - sen 30º. sen 60º)
f. 3 cos 45º - 4 tan 30º + sen 45º.
2. observando la tabla anterior encuentre relación entre las razones trigonométricas de
los ángulos de 30º, 45º y 60º.
SITUACIONES PROBLEMA
1. La mediana corta al lado en el punto medio como es un triángulo equilátero la bisectriz
es a la vez mediana y altura, ¿cuál es la longitud del lado menor de cada uno de los
Triángulos rectángulos que se forman?
2. Cómo medio lado mide 2cm ¿cómo puedes calcular la altura del triángulo equilátero?
3. Dibuja un triángulo equilátero de 4cm de lado. Traza la bisectriz de uno de los ángulos
internos y contesta las siguientes preguntas:
a. ¿cuántos triángulos rectángulos se forman?
b. Cómo la bisectriz divide al ángulo en dos ángulos, congruentes, ¿cuál es la amplitud
de cada ángulo?
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En un triángulo rectángulo el lado que se opone al ángulo recto recibe el nombre de
hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
NOTACION Y ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTANGULO
 El ángulo C mide 90º
 Los ángulos agudos A y B miden 90º  A +  B = 90º
 Las letras minúsculas a,b,c para los lados de un triángulo
 Las letras mayúsculas A,B,C para dos ángulos respectivamente opuestos a ellos
 El lado AB es la hipotenusa
 El lado BC es el lado opuesto al ángulo A
 El lado CA es el lado adyacente al ángulo A
B
c
a
C
A
b
Las seis relaciones trigonometrías para el ángulo agudo  se definen por:
CatetoOpuesto
Hipotenusa
Sen( ) 
a
c
Cos( ) 
Cateto Adyacente
Hipotenusa
Cos( ) 
b
c
Tan( ) 
CatetoOpuesto
Cateto adyacente
Tan( ) 
a
b
Cotg( ) 
Cateto adyacente
CatetoOpuesto
Cotg ( ) 
b
a
Hipotenusa
Cateto Adyacente
Sec ( ) 
c
b
Hipotenusa
CatetoOpuesto
Csc( ) 
c
a
Sen( ) 
Sec( ) 
Csc( ) 
MATEMATICAS – Trigonometría 10
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PGF03-R03
PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) Sen 2 (a)  Cos 2 (a)  1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de
la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo
rectángulo OPQ)
Sen(a )
b) Tan(a ) 
(Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
Cos(a )
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
Solucionar o resolver un triángulo es hallar la medida de los tres lados, los tres ángulos y el
área. Para poder determinar estos valores, debemos conocer como mínimo tres de sus
elementos siempre y cuando uno de ellos sea un lado.
Como el objeto de estudio de esta sección son los triángulos rectángulos, ya queda
determinado el ángulo recto y faltaría el conocimiento de otros dos elementos para poder
solucionar el triángulo.
Clasificaremos en dos, los casos para solucionar triángulos rectángulos.
i)
cuando se conoce un lado y un ángulo agudo
ii)
Cuando se conocen dos lados.
CUANDO SE CONOCE UN LADO Y UN ÁNGULO AGUDO
Dependiendo del lado que se conozca, si es la hipotenusa o un cateto podemos plantear
tres situaciones diferentes:
a) se conoce un ángulo y el cateto opuesto
b) Se conoce un ángulo y el cateto adyacente
c) Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo
CUANDO SE CONOCEN DOS LADOS
Cuando en un triángulo, los datos conocidos son las longitudes de dos de sus lados, existe la
posibilidad que uno de ellos sea la hipotenusa o que los dos sean catetos.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
24
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
Solucionar el triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 4 y 6 centímetros.
Datos conocidos
Datos desconocidos
a = 4cm
c =?
b = 6cm
A =?
C = 90°
B =?
Area =?
MATEMATICAS – Trigonometría 10
25
PGF03-R03
Para conocer el valor del ángulo A.
a
Utilizamos la relación Tan ( A) 
b
4cm
6cm
Tan( A)  0.66
Tan( A) 
Entonces tenemos
A  Tan 1 (0.66)
A  33.69
La medida del ángulo B, la Hallamos con A + B = 90°
B  90  A
B  90  33.69
B  56.30
La hipotenusa la podemos calcular Por cualquier relación trigonométrica
a
c
4cm
Sen33.69 
c
4cm
c
Sen33.69
c  7.21cm
Sen33.69 
Área del triángulo rectángulo Area 
base * altura
6cm * 4cm
entonces Area 
,
2
2
Area  12cm 2
MODELACIÓN 2
Solucionar el triángulo rectángulo que tiene 10cm. de hipotenusa y uno de sus ángulos mide
26°
Datos: C = 90°
c = 10 cm
A = 26°
Incognitos:
a =?
b =?
B =?
Area=?
MATEMATICAS – Trigonometría 10
26
PGF03-R03
a
, a  cSenA, a  (10cm)( Sen 26  ) , a  4.436cm
c
b
CosA  , b  cCosA, b  (10cm)(Cos 26  ) , b  8.969cm
c

B  90  26  , B  63
SenA 
Area 
4.436cm * 8.969cm
, Area  19.877cm 2
2
MODELACIÓN 3
Desde una montaña de 100 metros de alta se observa la ribera más cercana de un río, con
un ángulo de depresión de 27° y la ribera más lejana, justamente de frente, se observa con
un ángulo de depresión de 22°40’. Calcular el ancho del río.
27°14’
22°40’
100
b
a
Tan 22° = 100 m
a+b
Tan 27° = 100 m
b
a + b = 100 m
tan 22°
b=
100 m
tan 27°
= 239,44 m
= 194,30 m
a = (a + b) – b
a = 239,44 m – 194,30 m = 45,14 m
MATEMATICAS – Trigonometría 10
27
PGF03-R03
Solucionar los siguientes triángulos rectángulos, teniendo en cuenta los siguientes datos:

Angulo 62°, cateto opuesto 240 cm

Angulo 40°, cateto adyacente 30 cm

Angulo 62°, hipotenusa 4 cm

Cateto 6 cm, 8 cm

Cateto 8 cm, hipotenusa 12 cm
a)
b)
22
22 cm
13
H
C
2.5 cm
c)
d)
H
23.
3 cm
6.8 cm
5cm
47 cm
e)
52 cm
MATEMATICAS – Trigonometría 10
28
PGF03-R03
SITUACION PROBLEMA
1. Para alcanzar la cima de un muro se utiliza
una escalera le 9,5 m. Si la escalera sobresale
0,85 m más allá del muro.
Calcula la altura del muro.
2. Dos aviones parten de un mismo punto; el primero hacia
el norte con velocidad de 468 km / h Y el segundo hacia el
este con velocidad de 538 km / h. Después de dos horas,
¿a qué distancia se encuentra uno del otro?
3. Desde un avión que vuela a 1 860 m de altura se
observa una embarcación con un ángulo de depresión
de 31 ° Y desde el mismo plano, en sentido opuesto se
observa el puerto con un ángulo de depresión de 53°.
Calcula la distancia que separa a la embarcación de la costa.
4. Una antena de televisión está instalada en la terraza de
un edificio. A254 m del pie del edificio se observa la parte
superior del edificio con un ángulo de elevación de 20° y;
la parte superior de la antena con un ángulo de elevación
de 24°. Calcula la altura de la antena.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
29
PGF03-R03
5. Un cable de 28 m de longitud sostiene una antena
de la parte superior. Si el cable forma un ángulo
de 35° con la horizontal. Calcula la altura de la antena.
6. El servicio de bomberos posee una escalera de 40 m
de longitud. El ángulo máximo que se puede emplear
por seguridad de los bomberos es de 73 ° medido
sobre la horizontal. Calcula la altura máxima que se
puede atender con la escalera.
7. Una estatua de 8,9 m de altura se sitúa sobre un pedestal.
Si desde un sitio a 48 m del pie del pedestal se observa
el extremo superior de la estatua con un ángulo de
elevación de 26 0, ¿cuál es la altura del pedestal?
8. El punto más alto de una colina se observa con un
ángulo de elevación de 12° 45'. Al acercarse a la
colina 213 m, el punto más alto se observa con
un ángulo de elevación de 35°53'.
¿Cuál es la altura de la colina?
MATEMATICAS – Trigonometría 10
30
PGF03-R03
EJERCITACIÓN
1. Teniendo en cuenta la perpendicular de C sobre AB es 23.3m, se podría comprobar que
la distancia BC es e 22.5 m, mediante
A.
B.
C.
D.
El teorema del Seno
El teorema de Pitágoras
El teorema de Thales
La primera ley de Newton
2. Un vigilante se encuentra en la ventana del faro de la figura a una altura de 32 m sobre el
nivel del océano. El ángulo de depresión del barco en la figura es de 27º. ¿A qué
distancia se encuentra el barco del faro?
A.
B.
C.
D.
60.3 m
56.7 m
62.8 m
58.6 m
3. En la figura , el valor de AB es
A. BC Cos ø
B. 3 Cos ø
C. AB Sen ø
D. 3 Tan ø
MATEMATICAS – Trigonometría 10
31
PGF03-R03
RESOLUCION DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto; se debe conocer tres
elementos de ellos, uno de los cuales debe ser un lado. Hay cuatro casos distintos:
Caso 1: se Conoce un lado y dos ángulos (LAA o ALA)
Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)
Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (LAL)
Caso 4: Cuando se conocen tres lados (L L L)
MODELACIÓN
Resolver el triángulo ABC, tal que A = 28°, B= 100° y c = 12 cm
Trazamos la altura respecto al lado b, que determina los segmentos m y n.
Datos
A = 28°
B = 100°
c = 12 cm
Incógnitas
C=?
a =?
b =?
Área =?
C  180   ( A  B) ; C  180   (28   100  ) ; C  52 
h
SenA  , h  cSenA, h  (12cm)Cos 28 ) , h  10.6cm
c
m
CosA  , m  cCosA, m  (12cm)(Cos 28 ) , m  10.6cm
c
h
5.63cm
SenC  , a  hSenC , a  (
) , a  7.14cm
a
Sen52 
n
CosC  , n  aCosC , n  (7.17cm)(Cos52  ) , n  4.4cm
a
b  m  n b  10.6cm  4.4cm b  15cm
acSenB
(7.14cm)(12cm) Sen100 
A
A
2
2
A  42.19cm 2
MATEMATICAS – Trigonometría 10
32
PGF03-R03
UNIDAD 2
TEOREMAS Y PROPIEDADES
FUNDAMENTALES DE LA TRIGONOMETRÍA
PROPOSITO




Analizar y graficar las relaciones trigonométricas como funciones.
Demostrar identidades trigonométricas empleando identidades fundamentales.
Desarrollar ejercicios demostrando identidades y ecuaciones trigonométricas
Solucionar triángulos utilizando los teoremas trigonométricos.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
33
PGF03-R03
TEOREMA DEL SENO
Este teorema sirve para resolver cualquier triángulo cuando se conocen tres datos así:

Dos ángulos y cualquier lado

Dos lados y un ángulo ( excepto el formado por ellos)
En cualquier triángulo, las medidas de los lados son directamente proporcionales a los senos
de los ángulos opuestos.
En símbolos.
ABC cualquiera
a
b
c


SenA SenB SenC
MODELACIÓN
Resolver el triángulo MNO, tal que N = 50°, O = 68° y M = 7cm
N
M
Datos
N = 50°
O= 68°
m =?
Incógnitas
n =?
o =?
Área =?
O
Se aplico la ley de los Senos
7cm
o


Sen50
Sen68
MATEMATICAS – Trigonometría 10
34
PGF03-R03
o * Sen50   7cm * Sen68 
Se despeja la incógnita
Sen68  * 7cm
Sen50 
o  8.47cm
o
El ángulo N se obtiene por Suplementarios
O  M  N  180 
N  180   (50   68  )
N  62 
Apliquemos nuevamente la ley
7cm
n


Sen50
Sen62 
n * Sen50   7cm * Sen62 
n
Sen62  * 7cm
Sen50 
n  8.06cm
Àrea de un triángulo
n * o SenM
2
(8.06cm) * (8.47cm) o Sen50
A
2
A  26.14cm2
A
MATEMATICAS – Trigonometría 10
35
PGF03-R03
TEOREMA DEL COSENO
En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.
Este teorema permite calcular la medida de un lado cualquiera de cualquier triángulo,
conociendo los otros dos lados y el ángulo formado por ellos, de la siguiente manera:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
También permite calcular la medida de cualquier ángulo interior del triángulo conocidas las
medidas de los tres lados, así:
Cos A = a2 + b2 - c2
2bc
Cos B = a2 + c2 - b2
2ac
Cos C = a2 + b2 - c2
2ab
MODELACIÓN
Dado el triángulo ABC, donde se conocen A = 55º, b = 25 cm y c = 45 cm, resuelve el
triángulo.
Datos
Incógnitas
MATEMATICAS – Trigonometría 10
36
PGF03-R03
A = 72°
b= 8 cm
c= 10cm
C=?
B=?
a =?
Área = ?
Aplicamos la ley del coseno
a2= b2 + c2 – 2bc cos A
a2 = (10 cm) 2 +(8 cm)2 – 2 (10 cm) (8cm) cos 72º
a2 = 114,55 cm
a = 10,7 cm
Se aplica la ley de los senos para hallar uno de los otros ángulos.
Sen 72º = Sen C
10,7 cm
8 cm
Se despeja la incógnita
sen C . 10,7 cm = 8 cm . sen 72º
Sen C = 8 cm . sen 72º
10,7 cm
Sen C = 0.71º
C = sen –1 . 0,71
C = 45,23º
El otro ángulo se calcula
Por suplementarios
B = 180º - (72º + 45,23º)
B = 62,77º
Area del triángulo
S = bc senA
2
S = (10 cm) (8 cm) sen 72º
2
S = 38,04 cm2
MATEMATICAS – Trigonometría 10
37
PGF03-R03
Simulación
1. Dibuja varios triángulos que no pueden ser resueltos al aplicar el teorema del seno
2. Enuncia las condiciones que deben cumplir un triángulo para que pueda ser resuelto con
el teorema del seno.
3. Soluciona los triángulos ABC, descomponiéndolos en triángulos rectángulos, al trazar la
altura a uno de sus lados.
b = 18 cm
c = 23 cm
C= 104º
a = 15 cm
c = 9 cm
A = 58º
b = 9 cm
B = 49º
A = 56º
4. El siguiente triángulo no se puede solucionar explica el porque
A = 97º
C= 115º
b = 12 cm
5. Utiliza la ley de los seno para resolver los siguientes triángulos:
a
b
c
10 cm
6 cm
42cm
6. Soluciona los siguientes triángulos:
A a = 24º
b = 54º
c = 12 m
B
a = 23 m
b = 43 m
c = 53 m
C 4.5 cm
20º
MATEMATICAS – Trigonometría 10
38
PGF03-R03
1. Una antena de radio esta sujeta con cables de acero en la forma indicada. Hallemos la
longitud de los cables (ley de los sen)
2. Dos barcos salen de un ismo puerto, y al mismo tiempo en rutas rectilíneas que forman
entre si un ángulo de 52º. El primero navega con velocidad constante de 80km / h y el
segundo a 60 km/h. Encuentre la distancia que separa a los barcos dos horas y media
después de haber partido.
3. Dos trenes parten simultáneamente de una misma estación en direcciones tales que
forman un ángulo de 30º. Uno va a 15 km/h y el otro a 25 km/h. Determinar a que distancia
se encuentran separados después de 2 horas de viaje.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
39
PGF03-R03
5. Un topógrafo necesita saber la medida del ancho de un lago parado en un punto C de la
orilla localizada con sus instrumentos, dos puntos A y B en los lados opuestos del mismo. Si
C esta a 5 km de A y a 7,5 km de B y el ángulo con el vértice en C mide 30º¿cuál es el ancho
del lago?
6. Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 40° al este del
norte; el primero a una velocidad de 240 km/h, y el segundo a 320 km/h. ¿A qué distancia se
encuentran después de 2 horas de vuelo?
7. Dos fuerzas de 50 newtons y 60 newtons, se ejercen sobre un mismo punto; la primera
actúa en una dirección cuyo ángulo respecto a la horizontal es de 20° y la otra en una
dirección que forma con el mismo eje un ángulo de 80°. Halla la fuerza resultante y el ángulo
que forma con la horizontal.
8. Halla el ángulo entre las direcciones de dos aeroplanos que parten del mismo punto y que
al cabo de tres horas se encuentran a una distancia de 520 km, si sus velocidades son 380
km/h y 420 km/h, respectivamente.
9. Sobre un barranco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 100 m de alta;
desde el extremo superior de la torre se i observa un punto situado en la orilla opuesta con
un ángulo de depresión de 34°20' y desde la base de la torre se observa el mismo punto con
un ángulo de depresión de 15°45'. Calcula la altura del barranco y el ancho del río.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
40
PGF03-R03
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría es una ciencia antigua, ya conocida por las culturas orientales y
mediterráneas precristianas. No obstante, la sistematización de sus principios y teoremas se
produjo sólo a partir del siglo XVI, para incorporarse como una herramienta esencial en los
desarrollos del análisis matemático moderno.
Concepto de función trigonométrica
Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la
aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente,
que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas:
seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la
cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares
inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.
ANÁLlSIS DE LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La periodicidad en los fenómenos naturales
El desarrollo de las matemáticas en las diferentes épocas, ha sido fundamental para el
progreso de la ciencia. Un caso particular que se presenta en los momentos de la gran
Revolución Científica, es la noción de periodicidad. Nuestra experiencia diaria nos presenta
muchos casos de repeticiones: los días, las fases de la luna, las estaciones del año, los
cuerpos rotacionales que vuelven a sus posiciones híncales, los latidos del corazón, la
respiración. Hallamos repeticiones en todas partes. Sin ellas el conocimiento sería imposible,
ya que nada podría ser referido a una experiencia pasada. Además, sin una cierta
regularidad en la repetición, la medición no podría desarrollarse. En nuestra experiencia, a
medida que adquirimos la idea de exactitud, la repetición es fundamental.
En los siglos XVI y XVII, la teoría de la periodicidad pasó a ocupar un lugar fundamental en
la ciencia. Kepler, descubrió una ley que relacionaba los radios de las órbitas planetarias con
los períodos en los cuales los planetas describían sus órbitas respectivas. Galileo observó
las oscilaciones periódicas del péndulo. Newton explicó el sonido como una perturbación en
el aire motivada por el paso de ondas periódicas. Huyghens explicó los fenómenos luminosos
con la hipótesis de que eran debidos a ondas vibratorias. Mersenne relacionó el período de
vibración de la cuerda de un violín con su densidad, tensión y longitud. El nacimiento de la
física moderna se basó en la aplicación de la idea abstracta de periodicidad a una gran
variedad de ejemplos concretos. Pero esto hubiera sido imposible. Si los matemáticos no
MATEMATICAS – Trigonometría 10
41
PGF03-R03
hubieran ya elaborado, en abstracto, las diversas ideas agrupadas en torno a la noción de
periodicidad. La trigonometría paso del estudio de las relaciones entre los ángulos de un
triángulo rectángulo al de las razones entre los catetos s y la hipotenusa del triángulo. Luego,
bajo la influencia de las matemáticas descubiertas durante la Revolución Científica, se
extendió al estudio de las funciones simples y periódicas que estas razones ejemplifican. Así
la trigonometría se hizo completamente abstracta y de esta forma iluminó una serie de
fenómenos físicos completamente distintos y suministró los instrumentos con los cuales se
pudo analizar cada uno de los fenómenos en relación con los demás.
a. forma frases con dos palabras desconocidas.
b. Busca en el diccionario el significado de los siguientes términos:
Periodo , frecuencia, ciclo, periocidad
LA FUNCIÓN SENO
Se denomina función seno, y se denota por f (x) = sen x, a la aplicación de la razón
trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno
es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los
números reales.
Relación seno como función:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
42
PGF03-R03
La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en
radianes.
Para el primer cuadrante observemos que a medida que el ángulo crece de O a /2 los
valores del seno crecen de O a 1; por lo tanto, en este cuadrante la curva es "creciente y sus
valores son positivos. Además, el máximo valor se obtiene para  / 2 .
Para el segundo cuadrante a medida que el ángulo crece de  / 2 a  , los
Valores del seno varían de 1 a O ; por lo tanto, en este cuadrante la curva es decreciente y
sus valores son positivos.
Para el tercer cuadrante a medida que el ángulo crece entre  y 3 / 2 los valores del seno
varían de O a -1; por lo tanto, en este cuadrante la curva es decreciente y sus valores son
negativos.
Además, el mínimo valor se obtiene para 3 / 2.
En el cuarto cuadrante el ángulo crece de 3 / 2 a 2 y los valores del seno varían entre - 1
Y O; por lo tanto, la curva es creciente y sus valores son negativos.
La información anterior nos facilita el camino para definir una función de la siguiente manera:
F: IR ---- IR, tal que: f (x) = Sen x, esto quiere decir que a cada número real x le asignamos
otro número real llamado sen x, de tal suerte que:
El conjunto de partida IR es igual al dominio de la función F.
El condominio de la función es el conjunto de los reales.
El rango o conjunto de imágenes es el intervalo (- 1,1); además, cada número real del
dominio tiene imagen única en el condominio.
El periodo de la función seno es 2 Rad
LA FUNCIÓN COSENO
La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón
trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función
es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.
Gráfica de la función coseno.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
43
PGF03-R03
Relación coseno como función
La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado
expresado en radianes.
Para el primer cuadrante
A medida que el ángulo crece de 0 a /2, los valores del coseno decrecen de 1 a 0, por lo
tanto, en este cuadrante la curva es decreciente y sus valores son positivos.
Para el segundo cuadrante trasladamos la longitud del coseno de cada ángulo teniendo en
cuenta que estas longitudes están situadas sobre la parte negativa del eje X y, por lo tanto,
sus valores son negativos. A medida que el ángulo crece de /2 a , los valores del coseno
varían de O a - 1; por esta razón, la curva es decreciente.
Además, el valor mínimo se obtiene para .
En el tercer cuadrante, el ángulo crece de  a 3/2 y los valores del coseno varían entre -1 y
O; por lo tanto, la curva es creciente en este cuadrante y sus valores son negativos. '
Para el cuarto cuadrante, el ángulo crece de 3/2 a 2 y los valores del coseno varían entre
O y 1; por consiguiente, la curva es creciente y sus valores son positivos.
Además, el valor máximo se obtiene para el valor 2
MATEMATICAS – Trigonometría 10
44
PGF03-R03
Definimos la función coseno de la siguiente manera:
F:/R•~ fR, tal que: F(x) = cos x.
En efecto: F(x) = cos x es función con dominio los reales; condominio: los reales; rango: el
intervalo (-1,1)
2 es el periodo de la función coseno, ya que los valores se repiten.
LA FUNCIÓN TANGENTE
Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la
razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se
expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en
radianes.
Gráfica de la función tangente.
Relación tangente como función
MATEMATICAS – Trigonometría 10
45
PGF03-R03
La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en
radianes
En el primer cuadrante trasladamos sobre cada ángulo su respectiva tangente. Observemos
que a medida que el ángulo crece de O a /2, los valores de la tangente crecen
indefinidamente; por lo tanto, la curva es creciente y sus valores son positivos.
En el segundo cuadrante a medida que el ángulo aumenta de /2 a  los valores de la
tangente crecen negativamente hacia O; por consiguiente, es creciente y sus valores son
negativos.
En el tercer cuadrante, a medida que el ángulo crece de  a 3/2, los valores crecen
indefinidamente y vuelven a ser los mismos que para los ángulos del primer cuadrante; por
esta razón, es creciente y sus valores son positivos.
En el cuarto cuadrante los valores de la tangente son los mismos para los ángulos del
segundo cuadrante; es creciente y sus valores son negativos.
La relación F(x) = tan x la definimos como función de la siguiente manera:
F: IR -{(2k + 1) /2 / k e Z}.• R, tal que: F(x) = tan x.
En la definición hemos quitado del dominio el conjunto-{(2k + 1) /2 / k e Z}, pues para estos
valores, la tangente no está definida; como se observa en la gráfica, la
función tangente presenta ciertos valores para los cuales no existe imagen; dichos valores
debemos eliminarlos del dominio para que nuestra definición tenga sentido, De esta manera,
la relación tangente, como se definió arriba, es función, puesto que cada elemento del
dominio tiene imagen única en el condominio (IR)
El rango de la función tangente es el conjunto de los reales.
La relación tangente no tiene valores máximos ni mínimos.
La función tangente repite los valores cada intervalo de  rad; por lo tanto, su periodo es .
Relación cotangente como función
MATEMATICAS – Trigonometría 10
46
PGF03-R03
Observando la figura deducimos que la cotangente siempre es decreciente.
Para los ángulos de los primer y tercer cuadrantes, los valores de la cotangente son los
mismos y su signo es positivo. Para los ángulos del segundo y cuarto cuadrantes, los valores
son los mismos y su signo es negativo.
La relación F(x) = cot x, la definimos como función de la siguiente forma:
F:IR ... [2 k/ e Z] --- IR; tal que: F (x) = cot x.
En la definición hemos quitado al dominio, el conjunto [2 k/ e Z] , dado que para los valores
O, , 2, etc., no esta definida la cotangente.
En efecto, la relación cotangente, como se define arriba, es función puesto que cada
elemento del dominio tiene imagen única en el condominio (IR)
El rango de la función cotangente es el conjunto de los reales. Repite los valores cada
intervalo de  Rad., siendo su periodo.
No tiene valores máximos ni mínimos.
Relación secante como función
Observemos que a medida que el ángulo crece de O a /2, los valores de la secante
varían entre 1 e infinito: por consiguiente, en este cuadrante la curva es creciente y sus
valores positivos.
En el segundo cuadrante procedemos en forma análoga. La curva en este intervalo es
creciente.
En efecto, cuando el ángulo varía de /2 a  los respectivos valores de la secante
crecen hasta - 1.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
47
PGF03-R03
Para los ángulos del tercer cuadrante tomamos los segmentos marcados en el
círculo trigonométrico, trasladándonos sobre el eje x.
La curva en este cuadrante es decreciente.
En efecto a medida que el ángulo varía entre  y 3/2, los valores de la secante se van
agrandando negativa e indefinidamente, de tal suerte que para  = 3/2 el valor de la
secante no se puede definir.
Por último, para los ángulos del cuarto cuadrante, los valores de la secante vuelven a
decrecer hasta tomar el valor de 1. En este momento, el ángulo es 2  rad. Podemos
observar que la gráfica es simétrica en relación con la recta x = 
La relación F(x) = sec x, la definimos como función de la siguiente manera:
F: R -{( 2 k +1) /2 k é Z } ~ IR, tal que: f (x) = sec X
En efecto, F(x) = sec x es función con dominio el conjunto R - {(2 k +1) /2 k é Z)
Condominio los reales y rango ( - , -1] U [ 1, ); lo cual quiere decir que ningún valor de la
secante puede estar en el intervalo (- 1,1).
El período de la función secante es 2, ya que los valores de la función se repiten como en el
intervalo [ 0, 2]
No tiene valores máximos ni mínimos
Relación Cosecante como Función
En el primer cuadrante se observa que la curva es decreciente y su signo es positivo.
En el segundo cuadrante, la curva es creciente y su signo también es positivo. En el tercer
cuadrante, la curva es creciente y su signo es negativo.
En el cuarto cuadrante, la curva es decreciente y su signo es negativo.
La relación F(x) = cosec x, la definimos como función de la siguiente forma:
F : IR-{ k / k é Z} .~ lR, tal que: F (x) = cosc x
MATEMATICAS – Trigonometría 10
48
PGF03-R03
En efecto, F(x) = cosc x es función con dominio IR --{ k / k é Z} Condominio el conjunto de
los reales y rango ( - , -1] U [ 1, ).
No tiene valores máximos ni mínimos
El periodo de la función cosecante es 2.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden
resaltarse las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el
periodo de las funciones seno y coseno es 2 y el de la función tangente es .

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números
reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en
el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (x) = cos x.


FUNCIONES CIRCULARES RECÍPROCAS
Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones
trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca,
según la relación siguiente:



La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x.
La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x.
La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.
Después de analizar las explicaciones del profesor completo el siguiente cuadro con otro de
mis compañeros y me preparo para la retroalimentación del ejercicio.
 Con base en las graficas y análisis de las funciones trigonométricas, llena el siguiente
cuadro:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
49
PGF03-R03
FUNCION
DOMINIO
CODOMINIO
RANGO
VALOR
MAXIMO
VALOR
MINIMO
PERIODO
SENO
COSENO
TANGENTE
COTANGENTE
SECANTE
COSECANTE
1. Determine el periodo y la amplitud para cada una de las funciones.
a.
b.
c.
d.
F (x) = 6 sen X
F (x) = -3 cos 4x
F (x) = 2 sen x/2
F (x) = 3 sen 3x
2. Determine la longitud, el periodo y fase de las siguientes funciones:
a.
b.
c.
d.
F (x) = sen (x + /b)
F (x) = 3 tan 6x
F (x) = -3 sen (x) + 1
F (x) = sen 2 (x - /6)
MATEMATICAS – Trigonometría 10
50
PGF03-R03
3. Traza la grafica de las funciones
a. F (x) = - 2 tan x
b. F (x) = cos (x + /2)
c. F (x) = 3 sen ½ (x - )
4. En cuales intervalos , la función coseno es decreciente
5. En cuales intervalos, la función tangente es creciente
6. Dibuja las líneas trigonométricas para cada uno de los siguientes ángulos:
a. 30°
b. 210°
c. 120°
d. 330°
7. En cada una de las graficas determinar la amplitud, el periodo y la ecuación
de la función:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
51
PGF03-R03
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO
Expresar el valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, en función de un
ángulo situado en el primer cuadrante.
ÁNGULOS EN EL SEGUNDO CUADRANTE:
MODELACIÓN
Hallar el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo X = 120°
Sen 120° = + sen (180° - 120°) = + sen 60° = √3/2 = 0,87
Cos 120° = - cos (180° - 120°) = - cos 60° = - 1/2 = 0,5
Tan 120° = - tan (180° - 120°) = - tan 60° = - √3 = - 1,73
Cot 120° = cot (180° - 120°) = - sec 60° = -2
Csc 120° = + csc (180° - 120°) = + csc 60° = 2√3 = 1,14
3
MATEMATICAS – Trigonometría 10
52
PGF03-R03
ANGULOS EN EL TERCER CUADRANTE
MODELACIÓN
Hallar el valor de las funciones trigonométricas para  = 210°
Sen 210° = + sen (210° -180°) = + sen 30° = - 1/2 = 0,5
Cos 210° = - cos (210° -180°) = - cos 30° =- √3 /2 = 0,87
Tan 210° = - tan (210° -180°) = - tan 30° = - √3/3 = 0, 57
Cot 210° = cot (210° -180°) = - sec 30° = -2√3/3 = -1,14
Csc 210° = + csc (210° -180°) = + csc 30° = -2
ÁNGULOS EN EL CUARTO CUADRANTE
MODELACIÓN
Hallar el valor de las funciones trigonométricas para  = 315°
Sen 315° = + sen (360° - 315°) = + sen 45° = - √2 /2 = - 0,70
Cos 315° = - cos (360° - 315°) = - cos 45° = √2 /2 = 0,70
Tan 315° = - tan (360° - 315°) = - tan 45° = - 1
Cot 315° = cot (360° - 315°) = - cot 45° = -1
Csc 315° = + csc (360° - 315°) = + csc 45° = -√2 = - 1,4
MATEMATICAS – Trigonometría 10
53
PGF03-R03
Calcular el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos de:
a.
b.
c.
d.
e.
150°
13/6
210°
15/2
315°
Puede el seno de un ángulo ser igual a 0.469, a 2.3521? justifique su respuesta
Puede el coseno de un ángulo ser igual a -0.9044 a -2.35? justifique su respuesta
Por qué la tangente de 90° no existe
EJERCITACION
Un triangulo rectángulo tiene un cateto de 4cm y su ángulo adyacente es de 40º. Calcular
lados del triángulo y las razones trigonométricas para sus dos ángulos agudos.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
54
PGF03-R03
UNIDAD 3
IDENTIDADES Y ECUACIONES
TRIGONOMETRICAS
Propósito



Demostrar identidades trigonométricas empleando identidades fundamentales.
Desarrollar ejercicios demostrando identidades y ecuaciones trigonométricas
Solucionar triángulos utilizando los teoremas trigonométricos.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
55
PGF03-R03
IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Cuando una expresión contiene términos con funciones trigonométricas, se dice que es una
expresión trigonométrica.
Muchas veces dichas expresiones presentan formas complicadas que pueden reemplazarse
por expresiones equivalentes.
Una Identidad Trigonométrica es una igualdad entre expresiones trigonométricas, que es
verdadera para todos los valores para los que dicha expresión tenga sentido.
Esto es: Si
y
son expresiones trigonométricas, f
es una identidad
trigonométrica, si la igualdad se cumple para todo que esté en el dominio de y en el de
.
Una entidad trigonométrica es entonces una igualdad que se cumple para todos los ángulos,
excepto para aquellos en que no están definida las relaciones. No existe un método único
para demostrar una entidad.
Pasos para resolver una identidad
 Trabaja inicialmente solo con un miembro de la ecuación. Generalmente, es más fácil
empezar con el miembro más complicado y simplificarlo según las restantes
recomendaciones.
 Efectúa sustituciones utilizando las relaciones o identidades fundamentales. A menudo
resulta útil reescribir una expresión en términos de senos y cosenos.
 Realiza las manipulaciones algebraicas necesarias, como adiciones o sustracciones
de expresiones racionales, o multiplicación y factorización de polinomios.
 Verifica la expresión final contra la forma que se trata de obtener. A menudo es
conveniente escribir formas alternativas del miembro que se está manipulando.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
56
PGF03-R03
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES
1. Recíprocas:
A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas de ángulos en posición
canónica, deducimos
2.
Igualmente, teniendo en cuenta las definiciones dadas:
3. Identidades Pitagóricas:
A partir de estas identidades es posible obtener otras más complejas. No hay realmente un
método especial para demostrar que una igualdad es una identidad, pero en general se
aconseja iniciar con el lado que parezca más complejo y hacer las transformaciones que se
considere adecuadas, para obtener la expresión del otro extremo de la igualdad. No es
bueno transformar los dos extremos simultáneamente por que se estaría suponiendo que la
igualdad es verdadera.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
57
PGF03-R03
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
MODELACIÓN
.
Solución:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
58
PGF03-R03
MODELACIÓN
Solución:
MODELACIÓN
Solución:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
59
PGF03-R03
MODELACIÓN:
Solución:
MODELACIÓN:
Solución:
Observe que en cada una de las demostraciones anteriores:




Se inició en el lado más complejo.
Se efectuaron las operaciones básicas.
Se hizo uso de la factorización
Se emplearon identidades fundamentales.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
60
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
Demostrar sen x
= 1 + cosx
1 – cos x
sen x
se aplica la conjugada
sen x
1 – cos x
. ( 1 + cosx ) = 1 + cosx
( 1 + cosx )
sen x
Se realiza una multiplicación en el sen x( 1 + cosx ) = 1 + cosx
1 – cos2 x
sen x
Se reemplaza por una identidad fundamental sen x( 1 + cosx ) = 1 + cosx
sen2 x
sen x
Se simplifica quedando la igualdad
1 + cosx = 1 + cosx
sen x
sen x
MODELACIÓN 2
Demostrar la siguiente identidad cos x + sen  . tan  = csc 
Sen x . sec 
Cos  + sen  . sen  / cos  = csc 
Sen  . sec 
Cos  + sen2 
cos 
Sen  .
Cos2  + sen2 
cos 
Sen 
cos 
= csc 
1 .
cos 
= csc 
MATEMATICAS – Trigonometría 10
61
PGF03-R03
1
cos  = csc 
Sen 
cos 
cos 
.
cos  . sen  = csc 
1 .
sen  = csc 
csc  = csc 
1. Demuestre las siguientes identidades
Cos x sec x = 1
Cos x cosc x = cot x
Cos2 x tan2 x = 1 – cos2 x
Cos  + sen  tan  = sec 
1 + sen  - 1 – sen  = 4 tan  sec 
1 – sen 
1 + sen 
Cosc  + cot  = sen 
1 – cos 
(sen x + cos x)2 = 1+2sen x cos x
Cos2  cot2  = cot2  - cos2 
Sen4  - cos4  = sen2  - cos2 
Sen  tan  = sec  - cos 
MATEMATICAS – Trigonometría 10
62
PGF03-R03
DEMOSTRACION
Tracemos la gráfica de y = 2cos X/2 cos 3X / 2
Haciendo  = X / 2 Y β = 3X/2, trabajamos en el segundo miembro de la ecuación y
utilizamos la formula de producto a suma.
2cos x/2 cos 3x/2
= 2. (1/2) cos (x/2 – 3x/2) + cos (x/2 + 3x/2)
= cos (-2x/2) + cos (4x/2)
= cos (-x) + cos 2x
= cos x + cos 2x
MODELACIÓN
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas
del ángulo α.
MODELACIÓN
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
63
PGF03-R03
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE
ÁNGULOS
MATEMATICAS – Trigonometría 10
64
PGF03-R03
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MEDIO
MATEMATICAS – Trigonometría 10
65
PGF03-R03
IDENTIDADES DE SUMAS EN PRODUCTOS
MATEMATICAS – Trigonometría 10
66
PGF03-R03
IDENTIDADES DE PRODUCTOS EN SUMAS
MATEMATICAS – Trigonometría 10
67
PGF03-R03
MODELACIÓN
Haciendo uso de las identidades fundamentales encuentre los valores de las funciones
trigonométricas del ángulo
si:
y
Solución:
Como la tangente es negativa y el seno positivo,
la secante es negativa.
está en el segundo cuadrante, por lo tanto
Esto nos permite concluir que:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
68
PGF03-R03
Haciendo uso de la identidad:
Como
Entonces:
.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
69
PGF03-R03
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Una ecuación trigonométrica es una igualdad que contiene una o mas funciones
trigonométrica que se satisface solo para ciertos valores de su variable.
Sugerencias para resolver ecuaciones trigonométricas
 Si más de una función trigonométrica esta presente, utiliza las identidades para tratar de
escribir la ecuación en términos de una función trigonométrica.
 Considera una función trigonométrica particular como incógnita y resuelve.
 Muchas veces el procedimiento algebraico, como por ejemplo la factorización ayuda.
 Después de despejar sen , cos , etc, en la ecuación trigonométrica, debes determinar
los valores de  que satisfagan la ecuación.
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1.
2.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
70
PGF03-R03
3
Transformamos la suma en producto
Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.
4.
5.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
71
PGF03-R03
6.
7.
8.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
72
PGF03-R03
9.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
73
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
Determinemos las soluciones de 4 sen2xtanx – tanx = 0, para x  0,2 π).
4 sen2xtanx – tanx = 0
tanx (4 sen2x –1) = 0
ecuación dada
Factor común
tanx = 0 V 4 sen2x –1 = 0
tanx = 0
sen2x = ¼
tanx = 0
senx = ± ½
a.b = 0 a = 0 V b = 0
Despejando tanx y senx
 x es cuadrantal x  IC v x  IIC V x  IVC
x = tan-1 0
x = sen-1 (1/2)
x=0Vx=π
xR = π /6
x = 0, π
x = π/6, 5 π/6, 7 π /6, 11 π /6
x = 0, π, π /6, 5 π /6, 7 π /6,11 π /6
despejando x
ángulo de referencia
solución
solución para x  0,2π).
MODELACIÓN 2
Resolver la ecuación 3tan  - 4 = tan  - 2
Resolvamos para   0º,360º) o   0,2π)
3tan  - 4 = tan  - 2
2tan  = 2
tan  = 1   = tan-1(1)
  IC V   IIIC
R = 45º = π/4
 = 45º, 225º = π/4, 5 π/4
MATEMATICAS – Trigonometría 10
74
PGF03-R03
U
UNIDAD 4
PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS
GEOMETRICOS
PROPOSITOS







Grafico y halla la pendiente de una recta cuya ecuación se da.
resuelvo problemas usando la relación existente entre pendientes de rectas, paralelas y
perpendiculares.
Halla la ecuación general y la ecuación canónica de la circunferencia dada algunas de
sus características.
Halla la ecuación general y la ecuación canónica de la parábola dada algunas de sus
características.
Halla la ecuación general y la ecuación canónica de la elipse dada algunas de sus
características.
Halla la ecuación general y la ecuación canónica de la hipérbola dada algunas de sus
características.
identifico cónicas a partir de sus ecuaciones generales o canónicas.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
75
PGF03-R03
GEOMETRÍA ANALITICA
En la primera mitad del siglo XVII nació una rama completamente nueva de la matemática, la
geometría analítica, que vino a establecer un nexo entre las curvas del plano y las
ecuaciones algebraicas con dos incógnitas...
Fue un hecho bastante raro éste que tuvo lugar en la matemática: en "'cuestión de una o dos
décadas apareció una rama completamente nueva de la matemática, basada en una idea
muy sencilla que hasta entonces no había recibido la atención necesaria. La aparición de la
geometría analítica en la mitad del siglo XVII no fue accidental. La transición de Europa a los
nuevos métodos capitalistas de producción requirió el progreso de casi todas las ciencias.
Poco tiempo antes Galileo y otros científicos habían comenzado a elaborar la mecánica contemporánea; en todas las regiones de las ciencias naturales se habían acumulado datos empíricos y perfeccionados los medios de observación. En astronomía los principales científicos
habían admitido por fin las enseñanzas de Copérnico. El rápido desarrollo de la navegación
necesitaba urgentemente de conocimientos más avanzados de astronomía y mecánica.
El arte de la guerra necesitaba también la mecánica. Las elipses y parábolas, cuyas
propiedades geométricas como secciones cónicas conocían ya los griegos con perfecto
detalle desde hacía casi dos mil años, dejaron de ser propiedad exclusiva de 1é3 geometría,
como sucedía entre aquéllos. Después que Kepler descubriera que los planetas giran
alrededor del Sol en elipses, y Galileo que una piedra lanzada al aire describe una parábola,
fue necesario calcular estas.
Elipses y determinar al parábola que recorre una bala disparada por un cañón; fue necesario
descubrir la ley según la cual la presión atmosférica, descubierta por Pascal, decrece con la
altura; preciso fue también calcular el volumen de diversos cuerpos, etc.
Todas las cuestiones hicieron surgir casi simultáneamente tres ciencias matemáticas
enteramente nuevas: la geometría analítica, el cálculo diferencial y el cálculo integral, incluida
la resolución de las ecuaciones diferenciales más sencillas.
Estos tres nuevos campos cambiaron cualitativa mente la faz de la matemática, e hicieron
posible la resolución de problemas antes inimaginables.
En la primera mitad del siglo XVII, concretamente a comienzos años 1600, un grupo
constituido por los más relevantes matemáticos empezó a vislumbrar la idea de la geometría
analítica, pero fueron dos de ello, en particular, quienes vieron claramente la posibilidad de
crear una nueva rama de la matemática: Pierre Fermat, consejero del parlamento de la
ciudad francesa de Toulouse y matemático de fama mundial, y el famoso filósofo francés
René Descartes, fue quien, como filósofo, planteó el problema de la generalidad absoluta de
esta geometría.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
76
PGF03-R03
La Geometría Analítica tiene grandes aplicaciones como por ejemplo: determinar qué clase
de bisel es preciso tallar en una viga, para que ajuste perfectamente contra una pared a la
que intercepta en un ángulo poco corriente; en óptica, para determinar el camino que
recorrerán los rayos luminosos al atravesar sustancias transparentes: lentes, por ejemplo;
también ha sido de gran aplicabilidad para la moderna teoría de las micro ondas y para la
acústica, entre otras.
Las secciones cónicas tienen características importantes en la reflexión de 12s ondas
sonoras y luminosas y se utilizan en la construcción de reflectores cuando se necesita
iluminar intensamente un espacio pequeño, como en microcirugía. La parábola se emplea en
reflectores. antenas de radar. faros de automóviles y telescopios. Uno de los dispositivos
focales del telescopio de 5 m del observatorio de Hale en el Monte Palomar posee un espejo
hiperbólico.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
77
PGF03-R03
 Proposicionar la lectura afectiva.
 Búscale un titulo a la lectura afectiva
 Realiza un listado de los términos desconocidos o menos usados, indicando la proporción
donde se encuentren.
 Qué relación establece la geometría analítica entre la geometría y el algebra.
 Enuncien los diferentes acontecimientos que se estaban dando en otras ciencias, a la par
que surgía la geometría analítica.
 Que otras áreas de las matemáticas se desarrollaron simultáneamente con la geometría
analítica.
proposiciones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13
14 15
16
Términos
desconocidos
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia d entre los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por la ecuación:
d = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)2 y
Ejemplo: calcular la distancia entre los puntos (-3,4) y (4,2) del plano.
Solución: aplicando la formula de la distancia d = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)2 y reemplazando
tenemos:
d = (4+3)2 + (2-4)2
d = 49 + 4  d = 53 = 7,28
Podemos concluir que la distancia entre los puntos del plano dados es 7,28 unidades.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
78
PGF03-R03
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DADO
Las coordenadas del punto medio del segmento PQ rectilíneo, que une los puntos de
coordenadas P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) están dadas por la expresión:
ECUACION GENERAL DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
LA ECUACION Ax +By +C = 0, se llama ecuación general de la recta.
M = y2 - y1
X2 -x1
a esta constante la llamamos pendiente de la recta y la
simbolizamos con la letra M.
La ecuación de la recta con pendiente M y que corta al eje y en el punto b es:
Y = Mx + b.
Conocida la pendiente se toma una de los dos puntos y se utiliza la ecuación:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
79
PGF03-R03
Las vértices de un triángulo son los puntos A (4,2), B (-3,4), C (-2,-3) hallar las ecuaciones
de las rectas que contienen sus lados.
Los vértices de un triángulo son los puntos A (4,2), B (- 3,4), e (- 2, - 3), hallar las ecuaciones
de las rectas que contienen sus lados.
ma=
4-(-3) = 7 = -7 mb = 2-(-3) = 5 = 5
-3-(-2) -1
4- (-2) 6
6
mc = 2 -4
4 - (-3)
= -2 = -2
7
7
Con la pendiente y uno de los puntos, se halla la ecuación de cada recta.
a) y-4=-7(x+3)
.
b) y-2= 5 (x-4)
6
c)y-2=-2(x-4)
7x+y+17=O
5x-6y-8=O
2x+7y-22=O
SIMULACION
2.
Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas:
a)5x-2y+4=O,
b) -3x+'5y-2=O,
c) 2x-4y+9=O,
d) 3x-2y=O,
e) 6x -3y-1=O
Halla la ecuación de la recta que pasa por el par de puntos dados:
a)A (-2",1), B(5,-7);
c) C(4,-8), D(-2,3);
b) M(-2,O), N(O,-5);
d) E(-5,4), F(4,-3);
e)G(9.-3), H(-2,1)
Encuentra
3.
la ecuación de los lados y las medianas de los siguientes triángulos:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
80
PGF03-R03
RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas cualesquiera L1 y L2 son paralelas, si al prolongarse en la misma dirección
permanecen equidistantes; simbolizado L1 11 L2'
Dos rectas cualesquiera L1 y L2, no verticales son paralelas si y sólo si sus pendientes m1 Y
m2 son iguales. L1 11 L2 si y sólo si m1 = m2.
Dos rectas cualesquiera L1 y L2 son perpendiculares si al interceptares forman ángulos
rectos simbolizado L1 .1 L2. Dos rectas cualesquiera L1 y L2, no verticales son
perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
L1 I L2 si y sólo si m1 X m2 =-1
MODELACIÓN
Hallar la ecuación de la recta mediatriz al segmento cuyos extremos son los puntos A (2,7) Y
B (-4,3).
MATEMATICAS – Trigonometría 10
81
PGF03-R03
Recordemos que la mediatriz a un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa
por el punto medio.
Las coordenadas del segmento son A (2,7) Y B (-4,3).
Las1.coordenadas del punto medio son:
X = 2+(-4) = -1, Y= 7+3 = 5
2
2
La pendiente de la recta que contiene al segmento es:
M1 = 7-3 = 4 = 2
2-(-4) 6 3
La pendiente de la mediatriz es (2/3) m2=-1 m2=-3/2
La ecuación de la mediatriz es y-5=-3/2(x+1) 3x+2y-7=0
Si el barco X, está ubicado en el punto de coordenadas (-8,10) Y la embarcación Y está
ubicada sobre el punto de coordenadas (6, -5), calcula la distancia que las separa y el punto
medio del segmento que las une.
Se necesita cercar un lote de forma triangular, cuyos vértices están en la posición que indica
la figura. ¿Cuántas unidades de alambre se necesitan para cercado. ¿Cuál es el costo del
trabajo
si el metro de alambre vale $12 OOO?
2.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
82
PGF03-R03
Utiliza el concepto de pendientes de rectas perpendiculares para verificar que el triángulo
DEF, cuyos vértices se encuentran sobre el plano cartesiano es un triángulo rectángulo:
Carlos, Juan, Mónica y Andrés juegan al «tiro al blanco».
El blanco se encuentra en el punto P = (2, 2)
Carlos da en el punto A = (1,9/2)
Juan en el punto B = (-9/2, 1/2)
Mónica en el punto C = (4,5/2)
Andrés en el punto D = (5,7/2)
¿ A que distancia quedo cada persona del blanco?
¿ Cuál de las cuatro personas fue la mas alejada del blanco?
MATEMATICAS – Trigonometría 10
83
PGF03-R03
CURVA
Linea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. Las curvas se
clasifican en:
CONICAS
Curva que se genera al seccionar un cono recto de revolución con un plano. La
cónicas son cuatro y su formación depende de la relación entre los ángulos (:
ángulo que forma el plano seccionante ( ) con el plano base del cono) y (: ángulo que forman
las generatrices del cono con el plano base del mismo) como se describe a continuación:




circunferencia: se forma cuando el plano seccionante () es paralelo al
plano base del cono, por lo tanto =00,
elipse: se forma cuando <,
parábola: se forma cuando ,
hipérbola: se forma cuando ,
El estudio de las cónicas es de gran importancia en los campos de la óptica,
astronomía, física, biología, informática e ingeniería, entre otras, ya que son la
base del diseño de lentes, espejos, y superficies elípticas, circulares parabólicas e
hiperbólicas; componentes esenciales de: microscopios, telescopios, radares,
antenas parabólicas, teodolitos, distanciómetros y muchos otros instrumentos de
gran uso en estas ciencias.
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas que aparecían ya
en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la
MATEMATICAS – Trigonometría 10
84
PGF03-R03
época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con
un plano.
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación
completa e segundo grado:
Las cónicas como lugares geométricos
Si F es un punto fijo del plano y D una recta, el lugar geométrico de los puntos del plano
cuyas distancias al punto F y a la recta D están en proporción constante es una cónica no
degenerada (elipse, hipérbola, parábola).
Al punto F se le denomina foco de la cónica y a la recta D directriz asociada al foco F.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
85
PGF03-R03
LA CIRCUNFERENCIA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo, llamado centro,
es constante, La distancia fija se llama radio.
La circunferencia de centro C(h,k) y radio r  0, esta dada por la ecuación:
(x-h)2 + (y-k)2 = r2 ecuación canónica
La ecuación general de segundo grado de la circunferencia es:
X2 +Y2+Dx+Ey+F = 0
La circunferencia de centro C (0,0) y radio r, esta dad por la ecuación: X2 +Y2 = r2 , donde r 
0, ecuación canónica
MATEMATICAS – Trigonometría 10
86
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es 4x2+4y2-4x-6y-6=0
Dividimos la ecuación por 4: x2 + y2-x-3/2 y – 3/2 = 0
Completamos trinomios cuadrados perfectos
x2-x+1/4+y2-3/2y+9/16-3/2-1/4-9/16 = 0
Si se factoriza y se efectúa (x – 1/2)2 + (y – 3/4)2 = 37/16
El centro es (1/2, 3/4) y el radio 37/4
MODELACIÓN 2
Hallar la ecuación general de la circunferencia que tiene por centro C (-3,5) y su radio 4.
Planteamos la ecuación canónica de la circunferencia:
(x-(-3))2 + (y - 5)2 = 16
(x + 3)2 + (y - 5)2 = 16
Efectuamos los cuadrados y ordenamos:
x2+6x+9+y2-10y+25-16 = 0
x2+y2+6x-10y+18 = 0
C
(-
3,5)
MATEMATICAS – Trigonometría 10
87
PGF03-R03
Halla el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
3x2+3y2-18x+27=0
x2+y2-2x+12y+29=0
x2+y2+8x-10y-8= 0
4x2+4y2-4x+24y+1=0
x2+y2-22x-2y-22=0
x2+y2+4x-8y-80=0
Halla en cada caso, la ecuación general de la circunferencia que tiene por centro y radio:
C(-2,2) r = 8
C(-1,7) r = 4
C(-1/4,2) r = 3
C(-3,-8) r= 9
Halla la ecuación general de la circunferencia que tiene un diámetro cutos extremos son los
puntos:
P(-3,2) Q(9,6)
P(-7,4) Q(-1,8)
P(-1,-1) Q(4,4)
P(0,-9) Q(4,6)
Un canal cuya sección transversal es una semicircunferencia, tiene 10 metros de
profundidad en el centro. Determinemos una ecuación para la semicircunferencia que
usaremos para determinar la profundidad a 4 metros del borde.
Un atleta recorre una pista circular tal que la ecuación de su circunferencia es
x2+y2-6.084= 0.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
88
PGF03-R03
Si la partida se halla al este del centro, determinemos el número de vueltas que debe
recorrer para cubrir los 5000 mtrs y la posición del atleta, respecto del centro, en el momento
de la llegada.
LA PARABOLA
Es el conjunto de puntos del plano, tales que las distancias a una recta llamada directriz y a
un punto fijo llamado foco, son iguales.
Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una
superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano que no pasa por el vértice y que
corta a e bajo el mismo ángulo a.
La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
89
PGF03-R03
La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas
tienen excentricidad 1.
Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y,
viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.
Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los
automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje)
y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión,
concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de
cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.
ELEMENTOS DE LA PARABOLA
Recta directriz: recta auxiliar que permite la construcción de la parábola.
Eje: recta perpendicular a la directriz que divide la parábola en dos segmentos simétricos.
Vertice (v): punto del corte del eje y la parábola.
Foco (f): punto sobre el eje a una distancia del vértice igual a la distancia que separa el
vértice de la directriz.
Cuerda: segmento de recta, cuyos extremos son dos puntos de la parábola.
Lado recto: cuerda paralela a la recta directriz que pasa por el foco.
Coordenadas del lado recto: puntos de intersección del lado recto con la parábola.
Longitud del lado recto: distancia entre las coordenadas del lado recto.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
90
PGF03-R03
La ecuación general de la parábola es:
Ax2+Dx+Ey+F= 0
La ecuación de la parábola con foco en (p,o)
Con directriz x = -p
Vértice (0,0)
Y2 = 4px
La ecuación de la parábola con vértice en el origen con su eje sobre el eje x.
Y2 = -4px
La ecuación de la parábola con vértice en el origen con su eje sobre el eje y.
X2 = 4py
La ecuación de la parábola con vértice en el origen abre hacia abajo
x2 = -4py
Ecuaciones canónicas de la parábola con el eje X
MATEMATICAS – Trigonometría 10
91
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
Dada la parábola x 2 - 4 x - 6 Y - 14 = O, determinar:
a) Coordenadas del vértice.
b) Coordenadas del foco.
c) Coordenadas del lado recto.
d) Longitud del lado recto.
e) Ecuación de la recta directriz. '
f) Gráfica de la parábola.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
92
PGF03-R03
a) Coordenadas del vértice:
Para determinar las coordenadas del vértice debemos expresar la ecuación de la parábola en
forma canónica:
x2-4x-6y-14=0
x2 -4x = 6y + 14.
x2-4x+4=6y+18
(x -2)2 = 6(y +3).
Trasponemos los términos independientes de x.
Completamos el trinomio cuadrado perfecto
Factorizamos
De esta forma hemos expresado la ecuación de la parábola en forma canónica y podemos
determinar el vértice V (2, - 3).
b) Coordenadas del foco:
Para determinar las coordenadas del foco se calcula el valor de P; como 4 P = 6, entonces
P= 3/2;por lo tanto, F(0+2, 3/2 +(-3)) F(2,- 3/2).
.
c) Coordenadas del lado recto:
En la ecuación (x - 2) 2 = 6 (y + 3), hacemos y = - 3/2 y calculamos x.
(X_2)2 =6(- 3/2 +3); (X-2)2 =9
x-2=±3 x1=3+2=5
x2=-3+2=-1
Las coordenadas del lado recto son:
R1 (5, - 3/2) ; R2 (-1, - 3/2)
d) Longitud del lado recto:
d(R1, R2) = √ (5 + 1)2 + (-3/2 + 3/2)2
d(R1,R2) = √36 = 6
MATEMATICAS – Trigonometría 10
93
PGF03-R03
e) Ecuación de la recta directriz:
Y= -3 – 3/2
y = 9/2
f) Gráfica:
MODELACIÓN 2
Hallar las coordenadas del vértice, foco y directriz de la parábola y2= 12x, dibujar la parábola
y2= 12x
La ecuación canónica y = 4px
La ecuación nos indica que
4p = 12
P = 12/4
P=3
Por lo tanto las coordenadas del foco son f (3,0)
Directriz x = -p
X = -3
Vértice (0,0)
Como pto, (p = 3) la parábola abre hacia la derecha. Su grafica es:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
94
PGF03-R03
Dada las siguientes parábolas, hallar:
Coordenadas del vértice0
Coordenadas del foco
Coordenadas del lado recto
Longitud del lado recto
Grafica
X2-4x-8y-12 = 0
X2+6x+9y-27 = 0
2x2-12x-24y-30 = 0
Para las parábolas de ecuación:
Y2-8x= 0
x2 – 12y = 0
x2+8y = 0
y2-4y-4x = 0
VERTICE
.
FOCO
.
DIRECTRIZ
.
GRAFICA
.
Y2-8x= 0
x2 – 12y = 0
x2+8y = 0
y2-4y-4x = 0
MATEMATICAS – Trigonometría 10
95
PGF03-R03
Verifica cual de las ecuaciones de segundo grado dadas, corresponden a una parábola.
Justifica tu respuesta.
X2+y2-4= 0
.
X2-y-1= 0
.
Y2-x-1 = 0
.
(x-1)2 = 4y
.
4y2-12y+3x = 12
.
El interior de una antena satelital de televisión es un plato de forma de paraboloide finito cuyo
diámetro es 3.65 mtrs y tiene 0.61 mtrs de profundidad, como se ve en la figura. Calculemos
la distancia del centro del plato al foco.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
96
PGF03-R03
El cable de suspensión de un puente colgante adopta la forma de un arco de parábola. Los
pilares que lo soportan tiene una altura de 60 mtrs y están separados por una distancia de
500 mtrs, quedando el punto mas bajo del cable a una altura de 10 mtrs sobre la calzada del
puente.
La sección transversal de un canal de irrigación es una parábola. Si la superficie del agua
tiene 10.55 m de ancho y el canal tiene 6.7 m de profundidad en el centro ¿cual es la
profundidad a 1,52 m de la orilla?
Un avión vuela siguiendo la trayectoria hiperbólica que se ve en la figura. Si la ecuación de la
trayectoria es 2y2 – x2 = 8, determina a que distancia mínima de una casa ubicada en (3,0)
llega el avión. Sea s el cuadrado de la distancia de un punto (x,y) en la trayectoria al punto
(3,0), calcula el valor mínimo de s.
Un espejo tiene la forma de un paraboloide de revolución y se usara para concentrar los
rayos del sol en su foco, creando así una fuente de calor. Si el espejo tiene 6,1 m y 1,8 m de
profundidad ¿donde se encontrara la fuente de calor?
MATEMATICAS – Trigonometría 10
97
PGF03-R03
LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos (focos) es constante y mayor que la distancia entre los dos puntos:
Para mayor comprensión de nuestros elementos ubicamos la elipse sobre el plano cartesiano
X-Y
Foco: puntos fijos del plano: F1 y F2.
Eje focal: la recta L que pasa por los focos.
Vértices: puntos donde la elipse corta el eje focal: E y V
Eje mayor: es el segmento de recta comprendido entre los vértices: EV
Centro: es el punto medio del segmento que une los dos; focos: C
Eje normal: es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje principal: MM´
Eje menor: el eje normal corta a la elipse en los puntos M y M'; la porción del eje normal que
se encuentra entre estos puntos la denominaremos eje menor.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse.
Cuerda focal: es una cuerda que pasa por uno de los focos.
Lado recto: es una cuerda focal perpendicular al eje principal. La elipse posee dos lados
rectos.
Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
98
PGF03-R03
En las siguientes elipses podemos apreciar cada, uno de sus elementos:
La siguiente gráfica nos muestra la elipse y su respectiva ecuación canónica, en las
diferentes posiciones sobre el plano cartesiano:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
99
PGF03-R03
Donde a es la distancia del centro al vértice a > b
 Corresponde a la ecuación de la elipse con centro en el punto (h,k)
 Corresponde a la ecuación de la elipse con eje principal paralelo al eje Y centro en
(0,0)
b> a
 Corresponde a la ecuación de la elipse con eje principal paralelo al eje Y y centro en el
punto (h,k) b > a
En la ecuación de la elipse con centro (h,k)
(x - h)2 + (y - k)2 = 1, tiene las siguientes características
a2
b2







Centro (h,k)
La distancia entre los dos vértices : 2a
La distancia entre los dos focos : 2c
La longitud del eje mayor : 2ª
La longitud del eje menor : 2b
Las coordenadas de los vértices : V (h – a,k) V2 (h + a,k)
C = a2 – b2
Las coordenadas de los focos : F1 (h – c, k) F2(h + c, k)
 La ecuación de la elipse (x - h)2 + (y - k)2 = 1
o b2
a2
 con centro (h,k), tiene las siguientes características
MATEMATICAS – Trigonometría 10
100
PGF03-R03
 las coordenadas de los vértices : : V (h, k + a) V2 (h, k - a)
 Las coordenadas de los focos : F1 (h, k + c) F2(h, k - c)
MODELACIÓN 1
Dada la ecuación de la elipse : 4x2 + 9y2 +32x – 18y + 37 = 0
Hallar:
Las coordenadas del centro
Las coordenadas de los vértices
Las coordenadas de los focos
Las coordenadas del eje mayor y menor
Grafica
La ecuación 4x2 + 9y2 +32x – 18y + 37 = 0
Agrupamos (4x2 +32x ) + (9y2 – 18y) = -37
Completamos 4(x2 +8x+16 ) + 9(y2 – 2y+1) = -37+64+9
los cuadrados
Efectuamos el 4(x +4 ) 2 + 9(y-1) = 36
Trinomio
Dividimos por 36 4(x +4 ) 2 + 9(y-1) = 36
36
36
36
La ecuación canónica es (x +4 ) 2 + (y-1) = 1
9
4
Por lo tanto : h = -4, k= 1, a= 3, b= 2, c =a2 – b2 = 9-4 =  5 = 2.23
o
o
o
o
o
o
las coordenadas del centro c (h,k) = (-4,1)
Las coordenadas de los vértices son: V1 (h-a,k) = (-4-3,1) = (7,1)
V2 (h+a,k) = (-4+3,1) = (-1,1)
Las coordenadas de los focos : F1 (h – c, k) = (-4-2.23,1) = (6.2,1)
F2(h + c, k) = (-4+2.23,1) = (-1.7,1)
La longitud del eje mayor es 2ª = 2(3) = 6
La longitud del eje menor es 2b = 2(2) = 4
Grafica
MATEMATICAS – Trigonometría 10
101
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
Hallar las coordenadas de los vértices, focos, longitud del eje mayor y eje menor de la elipse
cuya ecuación es 49x2 + 16y2 = 784
Ecuación dada 49x2 + 16y2 = 784
Dividiendo ambos
Miembros por 784
49x2 + 16y2 = 784
784
784 784
x2 + y2 = 1
16 49
con a  b la ecuación es de forma x2 + y2 = 1
b2 a2
de donde b2 = 16 entonces b = 4
a2 = 49 entonces a = 7
c = a2 – b2 = 33 = 9.74
Simplificando
Como la elipse tiene los focos sobre el eje y entonces los vértices son:
V (0  a)
V1 (0,-7) V2 (0,7)
F (0  c)
F1 (0,974) F2 (0, -974)
Longitud del eje mayor 2ª = 2 (7) = 14
Longitud del eje menor 2b = 2(4) = 8
MATEMATICAS – Trigonometría 10
102
PGF03-R03
Según las ecuaciones, halla las coordenadas de tos vértices y focos y las longitudes de los
ejes mayor y menor de cada elipse. Traza la gráfica en cada caso. Recuerda expresar cada
ecuación como se indicó al comienzo de acuerdo a sus características
4X2+9Y2 = 36 9X2+4Y2 = 36
25X2 + 16Y2 = 400
4X2 + Y2 = 16
Vértices
Focos
.
.
Lado mayor
.
Lado menor
.
Gráficas:
.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
103
PGF03-R03
Reduce la ecuación dada a la forma canónica, determine las coordenadas del centro,
vértices y focos, las longitudes del eje mayor y menor y represente gráficamente.




4x2 + 9y2 – 16x + 18y – 11 = 0
x2 + 2y2 – 10x + 8y + 29 = 0
4x2 + y2 – 8x + 2y + 1 = 0
9x2 + 4y2 – 54x + 8y + 49 = 0
Hallar la ecuación de la elipse si los vértices son los puntos (0,6) (0,-6) y sus focos (0,4) (0,4).
Hallar la ecuación de la elipse si dos vértices son dos puntos (0,5) (0,-5) y sus focos (0,4) (0,4).
Hallar la ecuación de la elipse si a =5, b=3 y centro en (0,0) eje principal sobre eje X
La orbita de la tierra es una elipse con el sol en uno de los focos. Siendo la longitud del
semieje mayor de la elipse 148 millones de km y la excentricidad igual a 0,0168,
determinemos la máxima y mínima distancia de la tierra al sol durante su movimiento de
traslación.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
104
PGF03-R03
LA HIPERBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos (focos) es constante
Elementos
Para mayor comprensión ubicaremos la hipérbola sobre el plano cartesiano con centro en el
punto (0,0).
Recordemos la estrecha analogía que existe entre las definiciones de la hipérbola y elipse;
esto hace posible definir los siguientes elementos similares a la elipse.
Focos: puntos fijos del plano, ellos son F1 y F2.
Eje focal: es la recta que pasa por los focos.
Vértices: puntos donde la hipérbola corta al eje V1 y V2•
Eje transverso: es la porción del eje focal comprendida entre los vértices V1 V2 Centro: es
el punto medio del eje transverso.
Eje normal: es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje fa cal. El eje normal
no corta a la hipérbola.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola.
Cuerda focal: cuerda que pasa por un foco.
Lado recto: cuerda focal perpendicular al eje focal.
Diámetro: es cualquier cuerda que pase por el centro.
Ecuación de la hipérbola
En el curso anterior vimos la ecuación canónica de la hipérbola en sus dos posiciones
clásicas. La siguiente gráfica muestra la ecuación canónica de la hipérbola.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
105
PGF03-R03
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
x2 -y2 = 1
a2 b2
(x_h)2 - (y_k)2 = 1
a2
b2
y2 - x2 = 1
a2 b2
Ecuación:
(y_k)2 - (x_h)2 = 1
a2
b2
La ecuación de la hipérbole (x_h)2 - (y_k)2 = 1
a2
b2
tiene las siguientes características :
 centro (h,k)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Las coordenadas de los vértices son: V1 (h-a,k) V2 (h+a,k)
Las coordenadas de los focos : F1 (h – c, k) F2(h + c, k)
La distancia entre los dos vértice es 2ª
La distancia entre los dos focos es 2c
La longitud del lado recto 2b2/c
c = a2 + b2
MATEMATICAS – Trigonometría 10
106
PGF03-R03
ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA
Se llama asíntotas de una curva a toda recta, tal que su distancia a la curva tiende a cero a
medida que la curva se aleja indefinidamente del origen.
La hipérbole tiene dos asíntotas, cuando su centro es (0,0): Y=b x y Y=-b x
a
a
Si la hipérbole tiene su centro en (h,k), entonces las ecuaciones de sus rectas asíntotas son:
(y - k) = b/a (x - h) y (y - k) = -b/a (x - h)
MODELACIÓN 1
Analizar la ecuación x2 - 9y2 – 4x + 36y - 41 = 0
Agrupamos los términos en x y en y : (x2 – 4x) – (9y2 - 36y) = 41
Completamos cuadrados:
(x2 – 4x + 4) – 9(y2 - 4y + 4) = 41+ 4 – 36 o : (x – 2) 2 – 9(y - 2) 2 = 9
Dividimos por 9
(x – 2) 2 – (y - 2) 2 = 1 o (x – 2) 2 – (y - 2) 2 = 1
9
1
32
12
Esta ultima corresponde a la ecuación de una hipérbola, cuyo centro C es el punto (2,2) y su
eje focal es paralelo al eje x.
Como a =3 y b= 1, entonces C= a2 + b2 = 10 por lo tanto, la distancia entre los vértices es
2ª = 6, la distancia entre los focos es 2c = 2 10 = 6,32 y así:
Los vértices son (5,2), (-1,2)
Los focos son (2 + 10,2) , (2 - 10,2)
La longitud del lado recto 2b2 = 2 . 1 = 2
a
3 3
Las ecuaciones de las asíntotas son:
MATEMATICAS – Trigonometría 10
107
PGF03-R03
Y –k = a/b (x-h) = y+2 = 1/3 (x-2) = y =1/3x + 4/3
Y –k = -a/b (x-h) = y-2 = -1/3 (x-2) = y =-1/3x + 8/3
MODELACIÓN 2
Los vértices de una hipérbola son los puntos V1(2,0) V2(-2,0) y sus focos son los puntos
F1(3,0) F2(-3,0), hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes entre los vértices y los
focos.
Ecuación original x2 - y2 = 1
a2 b 2
como a = 2 y c= 3
b = 9-4
b = 5
La longitud del eje conjugado 2b = 25
La distancia entre los dos vértices es 2ª = 2(2) = 4
La distancia entre los dos focos es 2c = 2 (3) = 6
La ecuación de la hipérbola es x2 - y2 = 1
4
5
Halla la ecuación de la hipérbola con focos F1 = (-4,0) F2 = (4,0) y un vértice en V= (-3,0)
Halla las coordenadas del centro, focos, vértices y grafica de la hipérbola de ecuación 3y2 +
6y - x2 + 2x + 11 = 0
Dada la ecuación de la hipérbola 49x2 – 25y2 -196x -150y -1 254 = 0, halla la ecuación de las
asíntotas a la hipérbola y la gráfica.
Halla la ecuación canónica de la hipérbola con vértices V1 = (3, -5) Y V2 = (3, 1), cuyas
asíntotas tienen por ecuación: y = 2x - 8; e y = -2x + 4. Elabora la gráfica.
Estudia la hipérbola mostrada e indica:
Sus vértices:
Sus focos:
Si su eje mayor es horizontal o vertical
Su ecuación
La ecuación de sus asintotas
MATEMATICAS – Trigonometría 10
108
PGF03-R03
Una hipérbola tiene como ecuación: y2/25 – x2/1 = 1
¿Es su eje mayor horizontal o vertical?
¿Cuáles son sus vértices?
¿Cuáles son sus focos?
¿cuáles son las ecuaciones de sus asíntotas?
¿ cual seria su nueva ecuación?
Encuentra los vértices, focos y excentricidad de las hipérbolas cuyas ecuaciones se dan.
Incluye las asíntotas y las gráficas .
X2 – y2 = 1
y2 – x2 = 1
y2/4 – x2/1 = 1
x2/16 – y2/9 = 1
Vértices
.
Focos
.
asíntotas
.
Encuentra las coordenadas de los vértices y los focos de cada hipérbola:
(x-6)2 - (y-8)2 = 1
36
64
(y +5)2 – x2 = 1
16
9
y2 - x2 - 2y + 4x - 4 = 0
x2 – 4y2 - 2x + 16y - 19 = 0
4x2 – y2 + 32x - 10y + 35 = 0
y2 -9 x2 - 6y - 18x - 9 = 0
MATEMATICAS – Trigonometría 10
109
PGF03-R03
BIBLIOGRAFIA
González Correal Marcos, matemática practica 10
Editorial: Voluntad, Bogotá Colombia 1990
Villegas Rodríguez Mauricio, Matemática 2000 10
Editorial: Voluntad, Santa fe de Bogotá, Colombia 1996
Chávez, López, Hugo Hernán, Matemática 10: Guía de recursos
Editorial: Santillana, Santa fe de Bogotá 2000.
Centeno Rojas, Gustavo, Matemática constructiva 10
Editorial: libros y libres s.a, santa fe de Bogotá.
Londoño Nelson, serie matemática progresiva 10
Editorial: Norma, Colombia 1988
Equipo Editor, matemáticas 10, Geometría analítica y trigonometría
Editorial: Santillana S.A, Santa fe de Bogotá, Colombia 1995.
Gordillo Ardila, José Alberto, Ingenio matemático 10
Editorial: Voluntad, Bogotá Colombia 2006.
Uribe Calab, Julio A, Elementos de matemáticas 9
Editorial: Bardout
Examen de estado para el ingreso a la educación superior, Órgano de difusión de ICFES.
Montenegro Colorado, Alejandro, Matemáticas para el ICFES
Editorial: Los tres editores Ltda.
MATEMATICAS – Trigonometría 10
110

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