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I.E.S. COMPLUTENSE
Tema 9
Números complejos (Pendientes Matemáticas I)
1. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 2 + 3i
b) –1 + i
c) –2 –2i
d) 4 – 3i
[Sol] a) – 2 – 3i, 2 – 3i; b) 1 – i, – 1 – i; c) 2 + 2i, - 2 + 2i; d) – 4 + 3i, 4 + 3i.
2. Completa la tabla:
z
z
2 – 3i
1/z
z
1 + 4i
3 – 3i
i
[Sol]
2
3
1
4
1 1
 i ; 3ª fila, 3+3i, -3-3i,  i ; 4ª fila, -i, i, i.
1ª fila, -2+3i, 2+3i,  i ; 2ª fila, 1-4i, 1+4i,
13 13
17 17
6 6
3. Realiza las siguientes operaciones:
 1
  5 3 
 5   3 
a)    i   1  i 
b)    6i      i 
 4
  4 2 
 3   2 
 3 
 3 
d) 3  i ·1  i 
e)  2i ·1  i 
 2 
 2 
[Sol]
a) 
5

c) 2  i ·  3i 
2

f) (3 – 2i)·(3 + 2i)
2 1
15
7
9 7
 i ; b) 1  i ; c) 8  i ; d)  i ; e) 3  2i ; f) 13
2
2
2 2
3 2
4. Calcula:
10
a) i + i
[Sol] a) –1; b) 5 – 12i;
c) 
141
+i
b) 3  2i 
2
15
 3 
c) 1  i 
 2 
d) (1 + 2i)6
5
 3i ; d) 117 – 44i.
4
5. Dados z1 = 3 – 2i, z2 = 3 + i y z3 = 5i, calcula:
a) z1  z 2  z 3
b) z1  2z 2  z 3
z z
d) 2 1
e) z1  2 z3 z 2  z1 
z3
[Sol] a) 4i ; b)
2
3  5i ; c) 3  29i ; d)
c) z1 z 2  z3   z3
3 6
 i ; e) 42  39i .
5 5
6. Efectúa las siguientes operaciones:
 2
2 

i 
a) 
2
2


[Sol] a)1; b)  512
8
3  512i ; c)

b) 2 3  2i
3 1
 i ; d)
5 5

5
c)
2
3i
d)
1 i
1 i
i.
7. (PAU) a) ¿Qué relación existe entre el conjugado del opuesto de un número complejo,
z  a  bi , y el opuesto del conjugado del mismo número? Razone la respuesta.
3  xi
 y  2i .
b) Calcule los números x e y de modo que
1  2i
[Sol] a) son iguales; b) x = -16, y = 7.
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Tema 9
8. Calcula en cada caso el valor que ha de tener k para que el resultado de la operación
correspondiente sea un número imaginario puro:
2
k  2i
a) 2  3i 1  ki
b) k  2i
c)
8  2i
2
1
[Sol] a) k   ; b) k   2 ; c) k  .

3

2
9. Calcula en cada caso el valor que ha de tener k para que el resultado de la operación
correspondiente sea un número real:
k  2i
1 i
a) 3  ki6  3i 
b)
c)
5  6i
k  2i
3
5
[Sol] a) k  ; b) k  ; c) k  2 .
2
3
10. Expresa en forma binómica:
a) 2(cos 135º + i sen 135º) · 3(cos 45º + i sen 45º)
b) [2 (cos 30º + i sen 30º)]5
4(cos 240º  i sen 240º )
5
5  1 



 i sen  ·  cos  i sen 
c)
d) 2  cos
1
6
6  4
3
3

(cos 30º  i sen 30º )
2
[Sol] a) –6;
b)  16 3  16i ; c)  4 3  4i ; d) 
3 1
 i
4
4
11. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma binómica:
1
1
a) 2 210º · 
b)   : 330º
c) 2  ·2 4 
3
 4  60º
 3 150º
3
 
[Sol] a)

1
1
3

i ; c)
i ; b) 
18 18
2
2  6i
12. Si z = 460º y z´ = 245º calcula:
a) z + z´
[Sol] a) (2 
b) z · z´
c)
z
z´
d) z2 · z´
e) z 2 ·z´
f) (-z) · z´
2 )  (2 3  2 ) i ; b) 8105º ; c) 215º; d) 32165º; e) 3275; f) 8285º
13. Encuentra la ecuación que tiene por raíces:
a) 2 - i y 2 + i
b) 2, –3, i y –i
[Sol] a) z2 – 4z + 5 = 0; b) z4 + z3 – 5z2 + z – 6 = 0.
14. Halla las soluciones, reales o complejas, de las ecuaciones:
a) z2 – 2z + 5 = 0
b) z4 – 256 = 0
c) z 4  1  3i  0 .
[Sol] a) 1 + 2i, 1 – 2i; b) 4, -4, 4i, -4i; c) 4 2 30º , 4 2 120º , 4 2 210º , 4 2 300º


15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) z5-1 = 0
b) z3 + 8 = 0
[Sol] a) 10º; 172º; 1144º; 1216º y 1288º; b) 260º; 2180º y 2300º ;
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