Download Tema 10

TRANSFERENCIA MÁXIMA DE POTENCIA
El análisis de circuitos juega un importante papel en el estudio de sistemas diseñados para transferir
potencia entre una fuente y una carga. Vamos a analizar el tema de la transferencia de potencia en
función de dos tipos básicos de sistemas:
El primero pone el énfasis en la eficiencia de la transferencia de potencia. Las redes eléctricas son un
buen ejemplo de este tipo, porque su objetivo principal es la generación, transmisión y distribución de
grandes cantidades de potencia eléctrica. Si una red eléctrica no es eficiente, un gran porcentaje de la
potencia generada se perderá durante los procesos de transmisión y distribución, resultando
completamente inútil.
El segundo tipo básico de sistema pone el énfasis en la cantidad de potencia transferida. Los sistemas
de comunicación y de instrumentación son buenos ejemplos, porque en la transmisión de información o
de datos mediante señales eléctricas, la potencia disponible en el transmisor o receptor (detector) está
limitada. Por tanto, resulta deseable transmitir la mayor parte posible de esta potencia al receptor o a la
carga. En este tipo de aplicaciones, la cantidad de potencia que se transfiere es pequeña, por lo que la
eficiencia de la transferencia no constituye un problema principal.
Vamos a considerar ahora el problema de la transferencia máxima de potencia en sistemas que pueden
ser modelados mediante un circuito puramente resistivo.
Figura 10.1 Circuito para describir la condición de transferencia máxima de potencia.
Figura 10.2 Circuito utilizado para determinar el valor de RL que permite
una trasferencia máxima de potencia.
La mejor forma de describir la condición de transferencia máxima de potencia es con la ayuda del
circuito mostrado en la Figura 10.1. Supongamos una red resistiva que contiene fuentes dependientes e
independientes y un par de terminales designado, a y b, a los que se conecta una carga RL. El problema
consiste en determinar el valor de RL que permite una entrega máxima de potencia a la carga. El primer
paso del proceso consiste en reconocer que una red resistiva siempre puede sustituirse por su
equivalente de Thévenin. Por tanto, redibujamos el circuito de la Figura 10.1 como el que se muestra en
la Figura 10.2. Sustituir la red original por su equivalente de Thévenin simplifica enormemente la tarea
de calcular RL . Para determinar el valor de RL , necesitamos expresar la potencia disipada en RL en
función de los tres parámetros del circuito VTh, RTh y RL . Así,
A continuación, tenemos en cuenta el hecho de que, para cualquier circuito dado, VTh y RTh serán fijas.
Por tanto, la potencia disipada está en función de la única variable RL. Para calcular el valor de RL que
maximiza la potencia, utilizamos resultados del cálculo elemental. Comenzamos escribiendo una
ecuación que nos dé la derivada de p con respecto a RL :
La derivada en la Ecuación (10.2) será cero y p será máxima cuando
Resolviendo la Ecuación (10.3), se obtiene
Condición de Transferencia de Máxima Potencia RL = RTh .
(10.4)
Por tanto, la transferencia máxima de potencia se produce cuando la resistencia de carga RL es igual a la
resistencia de Thévenin RTh . Para calcular la potencia máxima entregada a RL , simplemente sustituimos
la Ecuación (10.4) en la Ecuación (10.1):
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Cálculo de la condición de transferencia máxima de potencia
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Conocer la condición de máxima transferencia de potencia a una carga resistiva y calcular
dicha potencia.
Solución:
Primero encuéntrese el equivalente de Thévenin del circuito. Para encontrar VTh, se debe crear un
circuito abierto entre los nodos a y b y usarse el método de tensiones de nodo con el circuito que se
muestra a continuación:
Las ecuaciones de tensiones de nodo son
La ecuación de restricción de la fuente dependiente es
Poniendo estas ecuaciones en forma estándar, tenemos:
Resolviendo:
Ahora debe crearse un corto circuito entre los nodos a y b y debe usarse el método de las corrientes de
malla en el siguiente circuito:
Las ecuaciones de corriente de malla son:
La ecuación de restricción de la fuente dependiente es
Poniendo en forma estándar estas ecuaciones:
Resolviendo:
Entonces,
a) Para máxima transferencia de potencia, R= RTh = 3 Ω.
b) El voltaje de Thévenin, VTh = 120 V, es dividido igualmente entre la resistencia de Thévenin y la
resistencia de carga, así que
Por lo tanto,
PROPIEDAD DE LINEALIDAD
La linealidad es la propiedad de un elemento que describe una relación lineal entre causa y efecto.
Aunque tal propiedad se aplica a muchos elementos de circuitos, hasta ahora hemos utilizado
solamente resistencias. Esta propiedad es una combinación de la propiedad de homogeneidad
(escalamiento) y la propiedad aditiva.
La propiedad de homogeneidad establece que si la entrada (también llamada excitación) se multiplica
por una constante, las salida (también llamada respuesta) se multiplica por la misma constante. En el
caso de una resistencia, por ejemplo, la ley de Ohm relaciona la entrada i con la salida v.
Si la corriente se incrementa por una constante k, la tensión se incrementa en consecuencia por k; esto
es,
La propiedad aditiva establece que la respuesta a una suma de entradas es la suma de las respuestas a
cada entrada aplicada por separado. Con base en la relación tensión-corriente de una resistencia, si
y
Entonces la aplicación de i1 + i2 da como resultado
Se dice que una resistencia es un elemento lineal a causa de que la relación tensión-corriente satisface
las propiedades tanto de homogeneidad como de aditividad.
En general, un circuito es lineal si es tanto aditivo como homogéneo. Un circuito lineal consta
únicamente de elementos lineales, fuentes lineales dependientes y fuentes lineales independientes.
Un circuito lineal es aquel cuya salida se relaciona linealmente con (o es directamente proporcional a)
su entrada.
Es importante señalar que la relación con la potencia no es lineal. Para demostrar esto, considérese el
circuito lineal de la Figura 10.5. Este circuito lineal no tiene dentro de él fuentes independientes. Es
excitado por una fuente de tensión vs, la cual sirve de entrada.
Figura 10.5 Circuito lineal con entrada vs y salida i.
Si una corriente i1 pasa por la resistencia R, la potencia es p1 = R i12, y cuando la corriente i2 fluye por R,
la potencia es p2 = R i22. Si la corriente i1 + i2 fluye por R, la potencia absorbida es p3 = R( i1 + i2)2 ≠ p1 + p2.
Así, la relación de potencia no es lineal.