Download Teorema del trabajo y la energía para un cuerpo rígido

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA –MECÁNICAPRÁCTICA # 10: CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA –CUERPO RÍGIDODiego L. Aristizábal R.
Profesor asociado con tenencia de cargo, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Mayo de 2014
Temas

Introducción
I. Aspecto teórico


Condición de rodamiento sin deslizamiento
Teorema del trabajo y la energía para un cuerpo rígido
II. Experimento

Experimento: Esfera rodando sin deslizar
Introducción
Para el estudio de la dinámica de un cuerpo rígido es necesario introducir entre otros los siguientes
conceptos:



El momento de inercia: “mide” la inercia de rotación y es análogo a la masa en la traslación de la
partícula.
El torque: “imprime” la rotación al cuerpo rígido y es análogo a la fuerza en la traslación de la partícula.
La energía cinética de rotación
En este documento se analizará la dinámica de una esfera rodando sin deslizar y con el denominado
movimiento plano utilizando métodos energéticos.
I.
Aspecto teórico
Condición de rodamiento sin deslizamiento
Considérese un cuerpo que rueda SIN DESLIZAR sobre una superficie horizontal, Figura 1. El cuerpo
puede ser cualquier sólido de revolución respecto a su eje geométrico por CM. Podría ser un cuerpo
volumétrico, tridimensional, como una esfera o un cilindro, huecos o macizos, o un cuerpo plano como un
disco o un anillo. Su sección representativa será, en todo caso, así
1
2
Figura 1
Pero,
VA = VCM  VA / CM
VA = V - ωR ˆi
Si hay rodamiento puro, es decir el cuerpo rueda sin deslizar, el punto A (al punto A se le denomina centro
instantáneo de rotación) estará en reposo respecto al marco inercial O (el piso),
VA = 0 , y por lo tanto,
V = ωR ˆi
Esto lleva a concluir que las velocidades del centro de masa y del punto B respecto al marco inercial O son,
VCM = ωR ˆi
[1]
Teorema del trabajo y la energía para un cuerpo rígido
Para un cuerpo rígido el teorema del trabajo y la energía es,
W total = ΔK
II.
[2]
Experimento
Objetivo general:
Verificar la conservación de la energía mecánica de una esfera rodando a través de una rampa curva.
Objetivos específicos

Mediante análisis teórico obtener una expresión que facilite la verificación experimental de la
conservación de la energía mecánica de una esfera rodando a través de una rampa.

Mediante análisis teórico de conservación de la energía mecánica obtener la ecuación que permite
calcular la velocidad de traslación del centro de masa de la esfera la parte más baja de la rampa.

Mediante un análisis cinemático obtener la ecuación que permite calcular la velocidad de traslación del
centro de masa de la esfera mediante el uso del tiempo Δt (tiempo que emplea la esfera para
atravesar la fotocompuerta a través de su diámetro d).
Fundamento teórico

Marco de referencia y sistema de coordenadas.

Teorema del trabajo y la energía aplicada a un cuerpo rígido.

Movimiento parabólico.
Procedimiento
Trabajo analítico
En la Figura 2 se ilustra la escena física de una esfera rodando a través de una rampa curva. También se
ilustra el diagrama de fuerzas de la esfera: P el peso de la esfera, N y f las fuerzas que ejerce el plano
sobre la esfera (normal y fricción).
Figura 2
Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética a la esfera como cuerpo rígido, ecuación [2],
suponiendo que rueda sin deslizar, se obtiene,
W peso + Wnormal + Wfriccion = ΔK [3]
Aunque hay presencia de fuerza de fricción, el trabajo realizado por ésta es nulo ya que la esfera rueda sin
deslizar. El trabajo realizado por la fuerza normal es nulo ya que en tondo instante es la fuerza normal es
3
ortogonal al desplazamiento. El trabajo realizado por la fuerza de gravedad (el peso) es igual a menos el
cambio en la energía potencial gravitacional ya que es una fuerza conservativa. Por lo tanto la ecuación [2]
se transforma en,
-ΔU g = ΔK
UA - UB = K B - K A
4
K A + UA = K B + UB
K A + UA = K B + UB
Pero
KA = 0 y
U B = 0 (tomando como nivel de referencia para medir la energía potencial, la línea
horizontal a nivel de la base de la rampa). Además la energía cinética de la esfera tiene una parte en
energía de traslación y otra en energía de rotación,
UA = K B
 KB traslacion +  KB rotacion
UA =
mgh =
1
1
mVcm 2 + I CM ω2
2
2
[4]
En donde VCM es la rapidez del centro de masa de la esfera en la posición B,
esfera alrededor de un eje que pasa por el centro de masa,
ω
la rapidez angular de la
I CM es el momento de inercia de la esfera
respecto a un eje que pasa por su centro de masa. Como la esfera es homogénea,
ICM =
2
mR 2
5
[5]
Reemplazando [1] y [4] en [3] se obtiene,
1
 1  2
 V 
mgh = mVcm 2 +    mR 2   CM 
2
 2  5
 R 
mgh =
7
mVcm 2
10
VCM =
10
gh
7
2
De aquí en adelante con el objeto de simplificar la notación se escribirá como V la rapidez del centro de
masa en la posición B,
VCM ,
mgh =
V=
7
mV 2
10
(expresión final de conservación de la energía mecánica)
10
gh
7
[6] (rapidez de llegada de la esfera al final de la rampa)
5
Análisis del movimiento parabólico de la esfera con lanzamiento horizontal
En la Figura 3 se ilustra el vuelo parabólico que sigue la esfera una vez abandona el plano por donde
rodaba.
Figura 3
Definiendo como marco de referencia el piso del laboratorio y como sistema de coordenadas el sistema fijo
al piso ilustrado en la Figura 3, se obtiene,
Movimiento en X
x = Vt
Movimiento en Y
1 2
gt
2
Vy = - gt
(1)
y=H-
Vy2 = - 2g  y - H 
(2)
(3)
(4)
Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene para la velocidad V de salida de la esfera de la rampa,
V=
g
D
2H
[7]
Expresión para verificar en el experimento a realizar
Combinando las ecuaciones [6], [7] se obtiene,
h=
7
D2
20H
H=
6
7
D2
20h
[8]
Trabajo práctico

Medir el diámetro

Realizar el montaje ilustrado en las fotos de las Figuras 4 y 5. Observar que la fotocompuerta está
acoplada al teléfono celular.
d
de la esfera
Figura 4
7
Figura 5

Soltar la esfera desde una altura h sobre la rampa: medir D y
El intervalo de tiempo
Δt
Δt . Repetir otra cinco veces la medida.
corresponde al tiempo que se demoró la esfera en recorrer a través de su
diámetro el haz de luz de la fotocompuerta.

Calcular la velocidad V con que llega la esfera a la base de la rampa mediante la ecuación,
V=

d
Δt
[9]
Verificar la conservación de la energía mecánica por los siguientes dos métodos:
-Usando la velocidad medida con la fotocompuerta.
-Usando el alcance del movimiento parabólico.
Por el primer método se compara la velocidad obtenida mediante un análisis teórico de
la
conservación de la energía mecánica de la esfera al rodar por la rampa, ecuación [7] y la velocidad
obtenida usando el tiempo que emplea la esfera para atravesar diametralmente la fotocompuerta,
ecuación [9].
Por el segundo método se compara la altura H de la mesa obtenida mediante la ecuación [8] y la
altura H medida directamente.

Calcular los porcentajes de error.
FIN
8