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Para examen
Teorema de Pitágoras. En todo triangulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa.
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
Resolver:
Con los datos que se te proporcionan encuentra el valor del lado faltante en los siguientes
triángulos rectángulo
a= 64
c
b
b=56
c=______________
o
a
a= 58
c
a
b=____________
c=70
b
b
a= ____________
b=28
a
c
c=54
La longitud de la diagonal del siguiente rectángulo
x
25cm
34 cm
La longitud de la diagonal del siguiente cuadrado
x
26 cm
La altura del siguiente triangulo equilátero
x
42 cm
Que longitud debe tener un cable para sostener un poste de 6 m de altura, si queda anclado
a 8 m de la base del poste
La base de una escalera de 7 m de largo queda a 5 m de la pared donde se apoya. ¿Qué
altura alcanzará sobre la pared?
Dos pájaros ven un insecto al mismo tiempo, como se ve en la fig., si las velocidades de
vuelo son iguales, ¿Cuál crees que llegue primero para comérselo?.
X1
X2
46
36
24
36
Polígonos
Un polígono es una figura plana limitada por líneas rectas que forman una línea quebrada
cerrada (poligonal cerrada)
Elementos de un polígono
Vértice
Lado
Área
Diagonales
Angulo
Ángulos de un polígono
Angulo exterior
Angulo interior
Clasificación de polígonos
Por la amplitud de sus lados, los polígonos se pueden clasificar en:
a) CONCAVOS. Son los que tienen 1 o varios ángulos mayores a 180° y pueden ser
cortados en más de 2 puntos por una secante
b) CONVEXOS. Son los que tienen todos sus ángulos menores a 180| y solo pueden
ser cortados en 2 puntos por una secante
Los polígonos cóncavos por la medida de sus lados y sus ángulos pueden clasificar en
regulares, cuando sus lados y ángulos son todos iguales entre sí; o bien irregulares, si al
menos uno de sus lados o ángulos es diferente de los demás.
Dígase cuales son polígonos de las siguientes figuras. Y si lo son dígase que clase de
polígono es
CUADRILÁTEROS.
Son polígonos que reciben este nombre porque poseen 4 lados: pueden ser paralelogramos,
trapecios y trapezoides.
CUADRILÁTEROS PARALELOGRAMOS
El paralelogramo es el cuadrilátero que tiene paralelos sus lados opuestos.(también se le llama
romboide) Son paralelogramos el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide
LOS TRAPECIOS. Son los cuadriláteros que solamente tienen un par de lados paralelos, los lados
paralelos se llaman bases.
Existen 3 clases:



Rectángulo. Trapecio que tiene 2 ángulos rectos
Isósceles. Es el trapecio que tiene iguales lados que no son paralelos, es decir, sus lados no
paralelos son iguales.
Escaleno. Cuando sus lados no paralelos son desiguales
LOS TRAPEZOIDES. Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a su lado opuesto, puede
ser simétrico o asimétrico.
DIAGONALES Y ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO
La diagonal. Es la línea que une dos vértices no consecutivos de un polígono
En los siguientes polígono traza las diagonales que puedas desde un mismo vértice y contesta lo
que se te pide.
Núm. de lados
________
Núm. de lados
Núm. de diagonales
________
Núm. de diagonales
________
________
Núm. de lados
Núm. de diagonales
________
________
a) ¿Cómo calcularías el numero de diagonales, desde un mismo vértice. De un
poligono de 30 lados?
b) Deduce una fórmula para saber en cualquier caso cuantas diagonales se pueden
trazar desde un mismo vértice?
c) Dado el número de lados encuentra el número de diagonales que se pueden trazar
desde un mismo vértice o, dado el número de diagonales que se pueden trazar desde
un vértice, encuentra el numero de lados de los siguientes polígonos.
Lados
Diagonales
Lados
Diagonales
25
________
34
__________
56
________
_____
35
______
17
_____
11
Recordemos que…
El numero de diagonales que se pueden trazar desde un mismo vértice esta dado por 𝐷 =
𝑛−3
El numero de diagonales que se pueden trzar desde todos los vértices esta dado por 𝐷𝑡 =
𝑛(𝑛−3)
𝑛
El número de lados de un polígono, conociendo el numero de diagonales se aplica la misma
ecuación anterior (haciendo una igualdad)
En el siguiente polígono trazamos las diagonales posibles des un mismo vértice, que en este
caso es una. Así, al conocer cuántos triángulos resultan, se puede sabar la suma de sus
ángulos interiores.
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuántos lados tiene el polígono?
¿Cuántas diagonales se trazaron?
¿Cuántos triángulos resultaron?
¿Cuánto suman los ángulos interiores de cada triangulo?
¿Cuánto sumaran los ángulos interiores del cuadrilátero?
Analicemos los siguientes polígonos
a)
b)
c)
d)
¿Cuántos lados tiene el polígono?
¿Cuántas diagonales aparecieron al trazar desde un mismo vértice?
¿Cuánto suman los ángulos interiores de cada triangulo?
¿Cuánto sumarán los ángulos interiores del pentágono?
Caso 1
caso 2
Completa la siguiente tabla con base en las respuestas del ejercicio anterior
Polígono
Núm. de diagonales
Núm. de triángulos
Suma de los ángulos
internos
Octágono
Decágono
Dodecágono
25 lados
a) ¿Cuál es la fórmula que se utiliza para determinar estos valores?
b) Encuentra la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos aplicado la formula
Octágono _____________________
pentágono ________________________
Eneágono _____________________
Endecágono ______________________
c) Encuentra el valor de los ángulos interiores del siguiente polígono
A
x
2x+20
E
3x
2x
x
D
C
B
Recordando que…
Para calcular el valor de cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular se utiliza la
expresión
Para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono regular se utiliza la siguiente
expresión
Para determinar el número de lados, conociendo la suma de los ángulos interiores, se aplica la
misma ecuación (realizando una igualdad)
a) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono regular de 13 lados?
b) ¿Cuánto vale cada uno de los ángulos interiores de un decágono regular?
c) ¿Cuál es el polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1260°?
d) ¿Cuál será el polígono regular que en que cada uno de sus ángulos mide 135°?
e) ¿Cuál es el número de diagonales que, desde un mismo vértice, se pueden trzar en un
dodecágono?
f)
¿Cuál es el polígono regular al que se le pueden trazar 12 diagonales desde un mismo
vértice?
Resolver la hoja proporcionada por el profesor
Circunferencia
La circunferencia es una curva plana, cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior
llamado centro. La superficie limitada por la circunferencia, es decir, la parte interior, es el circulo
Circunferencia
Circulo
Partes de la circunferencia
En una circunferencia se pueden distinguir los siguientes elementos:
Centro: punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de la misma.
Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos. A cada cuerda le
corresponden dos arcos, uno de menor longitud que el otro. Si las longitudes de los dos
arcos son iguales, el arco se llama semicircunferencia, y la cuerda es un diámetro.
Diámetro: cualquier cuerda que pasa por el centro O. El diámetro divide a la
circunferencia en dos semicircunferencias iguales.
Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se llama
punto de tangencia o punto de contacto.
Secante: es la recta que corta la circunferencia en dos puntos.
Arco menor. Es aquel que mide menos que una semicircunferencia.
Arco mayor. Es aquel que mide más que una semicircunferencia.
Ángulos de la circunferencia.
El ángulo central es el que tiene su vértice en el centro, sus lados contienen dos radios. La
amplitud del ángulo central es la del arco que abarca. En definitiva, es que el vértice tiene
que estar en el centro. Su medida es la misma que la del arco de circunferencia que cortan
sus lados.
En el ángulo inscrito hay que tener en cuenta que el vértice tiene que estar en un punto y
que sus lados son cuerdas. Que las cerdas son rectas que cruzan la circunferencia por el
centro. Su medida es la mitad de la del arco de circunferencia que cortan sus lados.
En los ángulos semi-inscritos, los cuales tiene como características que su vértice es un
punto en la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente. Su medida
es la mitad de la del arco de circunferencia que cortan sus lados.
En el ángulo interior. Su vértice es un punto en el interior de la circunferencia. Sus lados
son dos rectas secantes. Su medida es la semisuma del arco de circunferencia que cortan sus
lados y del que cortan las prolongaciones de sus lados.
En el ángulo exterior. Su vértice es un punto en el exterior de la circunferencia. Sus lados
son dos rectas secantes. Su medida es la semidiferencia de los arcos de circunferencia que
cortan sus lados.