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Historia de las matemáticas
En el pasado, las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la
cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números
(como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra).
Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar
como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones
necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica, ciencia
que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción
e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que
transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.
Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su
desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la
propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las
pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del
interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban
basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que
resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las
bases son los números 5 y 10.
Las matemáticas en la antigüedad
Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del
tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban
dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos
geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las
demostraciones.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un
sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas
potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los
números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como
unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas
había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban
por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La
multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el
proceso inverso.
Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B,
para expresar todas las fracciones. Utilizando este sistema, los egipcios fueron
capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas
algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para
calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras
como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de
un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del
círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).
El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el
babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de
cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma
de flecha representaba al 10 . Los números menores que 59 estaban formados
por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas
egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo
que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en
el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2,
seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60
+ 10. Este mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de
manera que el ejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 ×
(†), o 2 + 27 × (†) + 10 × (†)-2. Este sistema, denominado sexagesimal (base
60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10).
Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas
que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de
segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas
ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados
utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran
cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de
cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma
de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de
sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de ¸.
Las matemáticas en Grecia
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los
egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas
abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y
demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo
VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos.
Tales de Mileto(Mileto, actual Grecia, 624 a.C.-?, 548 a.C.)
Filosófo y matemático griego. Ninguno de sus escritos ha llegado hasta
nuestros días; a pesar de ello, son muy numerosas las aportaciones que a lo
largo de la historia, desde Herodoto, Jenófanes o Aristóteles, se le han
atribuido. Entre las mismas cabe citar los cinco teoremas geométricos que
llevan su nombre (todos ellos resultados fundamentales), o la noción de que la
esencia material del universo era el agua o humedad.
Aristóteles consideró a Tales como el primero en sugerir un único sustrato
formativo de la materia; además, en su intención de explicar la naturaleza por
medio de la simplificación de los fenómenos observables y la búsqueda de
causas en el mismo entorno natural, Tales fue uno de los primeros en
trascender el tradicional enfoque mitológico que había caracterizado la filosofía
griega de siglos anteriores.
Pitágoras enseñó la importancia del estudio de los números para poder
entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes
descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al
propio Pitágoras.
Pitágoras(isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy
desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.)
Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de su vida que puedan
considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta
religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a
su persona. Parece seguro que fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de
su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años
antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que
viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último
país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los
misterios, así como geometría y astronomía.
Algunas fuentes dicen que marchó después a Babilonia con Cambises, para
aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se
habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su
famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.
La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en
una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido
demócrata, de lo que derivó una revuelta que le obligó a pasar los últimos años
de su vida en Metaponto. La comunidad pitagórica estuvo seguramente
rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años
antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca
de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la
más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y
madre de una hija y de dos hijos del filósofo.
El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en
la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual
(catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música
y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber
era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en
emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría». También se le atribuye
haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la
formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto
material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el
caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre
los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen
testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.
El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir
de su cumplimiento en casos particulares, ejemplifica el método pitagórico para
la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como
armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto
ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica
que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a
las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido
sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo
numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las
cosas. La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la
relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos,
el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía
como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía
la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera
perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación
del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo.
La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas
higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que
parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la
transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de
Hermes, y que sus discípulos le consideraban una encarnación de Apolo.
En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo
atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular
el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de
figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son
iguales a las de ciertos triángulos.
Demócrito de Abdera(Abdera?, hoy desaparecida, actual Grecia, h. 460
a.C.-id.?, h. 370 a.C.)
Filósofo griego. Fue tan famoso en su época como Platón o Aristóteles y debió
de ser uno de los autores más prolíficos de la Antigüedad, aunque sólo se
conservan fragmentos de algunas de sus obras, en su mayoría de las
dedicadas a la ética, pese a que se le atribuyen diversos tratados de física,
matemáticas, música y cuestiones técnicas.
Fundó la doctrina atomista, que concebía el universo constituido por
innumerables corpúsculos o átomos sustancialmente idénticos, indivisibles
(«átomo» significa, en griego, inseparable), eternos e indestructibles, que se
encuentran en movimiento en el vacío infinito y difieren entre sí únicamente en
cuanto a sus dimensiones, su forma y su posición. La inmutabilidad de los
átomos se explica por su solidez interior, sin vacío alguno, ya que todo proceso
de separación se entiende producido por la posibilidad de penetrar, como con
un cuchillo, en los espacios vacíos de un cuerpo; cualquier cosa sería
infinitamente dura sin el vacío, el cual es condición de posibilidad del
movimiento de las cosas existentes.
Todo cuanto hay en la naturaleza es combinación de átomos y vacío: los
átomos se mueven de una forma natural e inherente a ellos y, en su
movimiento, chocan entre sí y se combinan cuando sus formas y demás
características lo permiten; las disposiciones que los átomos adoptan y los
cambios que experimentan están regidos por un orden causal necesario. En el
universo, las colisiones entre átomos dan lugar a la formación de torbellinos a
partir de los que se generan los diferentes mundos, entre los cuales algunos se
encuentran en proceso de formación, mientras que otros están en vías de
desaparecer. Los seres vivos se desarrollan a partir del cieno primitivo por la
acción del calor, relacionado con la vida como también lo está el fuego; de
hecho, los átomos del fuego y los del alma son de naturaleza similar, más
pequeños y redondeados que los demás.
La ética de Demócrito se basa en el equilibrio interno, conseguido mediante el
control de las pasiones por el saber y la prudencia, sin el recurso a ninguna
idea de justicia o de naturaleza que se sustraiga a la interacción de los átomos
en el vacío. Según Demócrito, la aspiración natural de todo individuo no es
tanto el placer como la tranquilidad de espíritu (eutimia); el placer debe elegirse
y el dolor, evitarse, pero en la correcta discriminación de los placeres radica la
verdadera felicidad.
Hipócrates de Cos, llamado el Grande(Isla de Cos, actual Grecia, 460 a.C.Larisa, id., 370 a.C.)
Médico griego. Según la tradición, descendía de una estirpe de magos de la
isla de Cos y estaba directamente emparentado con Esculapio, el dios griego
de la medicina. Contemporáneo de Sócrates y Platón, éste lo cita en diversas
ocasiones en sus obras. Al parecer, durante su juventud visitó Egipto, donde se
familiarizó con los trabajos médicos que la tradición atribuye a Imhotep. Aunque
sin base cierta, se le considera autor de una especie de enciclopedia médica
de la Antigüedad constituida por varias decenas de libros (entre 60 y 70).
En sus textos, que en general se aceptan como pertenecientes a su escuela,
se defiende la concepción de la enfermedad como la consecuencia de un
desequilibrio entre los llamados humores líquidos del cuerpo, es decir, la
sangre, la flema y la bilis amarilla o cólera y la bilis negra o melancolía, teoría
que desarrollaría más tarde Galeno y que dominaría la medicina hasta la
Ilustración. Para luchar contra estas afecciones, el corpus hipocrático recurre al
cauterio o bisturí, propone el empleo de plantas medicinales y recomienda aire
puro y una alimentación sana y equilibrada.
Entre las aportaciones de la medicina hipocrática destacan la consideración del
cuerpo como un todo, el énfasis puesto en la realización de observaciones
minuciosas de los síntomas y la toma en consideración del historial clínico de
los enfermos. En el campo de la ética de la profesión médica se le atribuye el
célebre juramento que lleva su nombre, que se convertirá más adelante en una
declaración deontológica tradicional en la práctica médica, que obliga a quien lo
pronuncia, entre otras cosas, a «entrar en las casas con el único fin de cuidar y
curar a los enfermos», «evitar toda sospecha de haber abusado de la confianza
de los pacientes, en especial de las mujeres» y «mantener el secreto de lo que
crea que debe mantenerse reservado».
Aunque inicialmente atribuida en su totalidad a Hipócrates, la llamada colección
hipocrática es en realidad un conjunto de escritos de temática médica que
exponen tendencias diversas, que en ciertos casos pueden incluso oponerse
entre sí. Estos escritos datan, por regla general, del período comprendido entre
los años 450 y 350 a.C., y constituyen la principal fuente a través de la cual es
posible hoy hacerse una idea de las prácticas y concepciones médicas
anteriores a la época alejandrina.
En esta colección, la llamada «Antigua medicina» es uno de los tratados más
antiguos y más célebres y en él sugiere el autor, entre otras propuestas,
investigar el origen del arte que practica, origen que halla en el deseo de
ofrecer al ser humano un régimen de vida y, en especial, una forma de
alimentación que se adapte de una manera completamente racional a la
satisfacción de sus necesidades más inmediatas. Por este motivo, considera
por ejemplo el aprendizaje de la correcta cocción de los alimentos como una
primera manifestación de la búsqueda de una existencia mejor. Por otro lado,
los textos de la colección hipocrática demuestran sin lugar a dudas que la
práctica de la observación precisa no era en el conjunto de la medicina griega
una conquista de la época clásica, sino que más bien constituía una tradición
sólidamente afianzada en el pasado y que a mediados del siglo V había
alcanzado ya un notable nivel de desarrollo.
Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura
del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos
problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo período son
la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo
volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron
resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más
complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el
siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden
resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.
A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una
unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es
decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no
existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción
entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números
naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre
la diagonal y el lado de un cuadrado (este número es lo que hoy se denomina
número irracional).
Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la
proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no
numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de
Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo,
además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre
áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.
Eudoxo de Cnidos(Cnidos, actual Turquía, 400 a.C.-id., 350 a.C.)
Astrónomo y matemático griego.
Estudió matemáticas con Arquites, filosofía en la escuela de Platón en Atenas y
astronomía en Heliópolis. Fue el primero en dar una explicación sistemática de
los movimientos del Sol, la Luna y los planetas: para ello, construyó un modelo
de 27 esferas concéntricas en el que la esfera exterior correspondía a las
estrellas como puntos fijos en el cielo y en el centro, la esfera Tierra. Así
mismo, dividió la esfera celeste en grados de longitud y latitud.
En matemáticas se atribuye a Eudoxo la teoría de la proporción que se
encuentra en el libro V de Euclides, además de la elaboración de un método de
calcular áreas y volúmenes delimitados por curvas.
Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de
Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los
trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del
conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan
diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la
teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental
de áreas y volúmenes.
Euclides(?, h. 330 a.C.-?, h. 275 a.C.)
Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la vida de quien fue el
matemático más famoso de la Antigüedad. Se educó probablemente en
Atenas, lo que explicaría con su buen conocimiento de la geometría elaborada
en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las
obras de Aristóteles.
Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su
magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste le requirió
para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento
de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para
llegar a la geometría (el epigrama, sin embargo, se atribuye también a
Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).
La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable
amabilidad y modestia, y ha transmitido así mismo una anécdota relativa a su
enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de
la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje; Euclides, tras
explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí
misma, ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que
éste tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios.
Fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno
de ellos, los "Elementos", que rivaliza por su difusión con las obras más
famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en
esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que
destaca Hipócrates de Quíos), que las superó de inmediato por su plan general
y la magnitud de su propósito. De los trece libros que la componen, los seis
primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría
elemental; recogen las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para
resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y
cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida
tradicionalmente a Eudoxo. Los libros del séptimo al décimo tratan de
cuestiones numéricas y los tres restantes se ocupan de geometría de los
sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y
sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de
Teeteto.
La influencia posterior de los "Elementos" fue decisiva; tras su aparición, se
adoptó inmediatamente como libro de texto ejemplar en la enseñanza inicial de
la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a
Euclides. Más allá, incluso, del ámbito estrictamente matemático, fue tomado
como modelo, en su método y exposición, por autores como Galeno, para la
medicina, o Espinoza, para la ética. De hecho, Euclides estableció lo que, a
partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición
matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios
previamente aceptados. En el caso de los "Elementos", los principios que se
toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y
cinco axiomas o nociones comunes.
La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente
discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los
postulados y, en particular, al quinto (postulado de las paralelas). Su condición
distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma
Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los
esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando
se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes,
llamadas «no euclidianas», en las que no se cumpliera la existencia de una
única paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella.
El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las
matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de
Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó
un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente
pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de
figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un
alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en
un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida
aparece en los trabajos de Arquímedes. También investigó los centros de
gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en agua.
Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al
desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en
ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e
hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas
curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el
siglo XVII.
Arquímedes(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C.-id., 212 a.C.)
Matemático griego. Hijo de un astrónomo, quien probablemente le introdujo en
las matemáticas, estudió en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de
Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes
su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la
geometría, «pesando» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para
determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al
trabajo científico.
De la vida de este gran matemático e ingeniero, a quien Plutarco atribuyó una
«inteligencia sobrehumana», sólo se conocen una serie de anécdotas. La más
divulgada la relata Vitruvio y se refiere al método que utilizó para comprobar si
existió fraude en la confección de una corona de oro encargada por Hierón II,
tirano de Siracusa y protector de Arquímedes, quizás incluso pariente suyo.
Hallándose en un establecimiento de baños, advirtió que el agua desbordaba
de la bañera a medida que se iba introduciendo en ella; esta observación le
inspiró la idea que le permitió resolver la cuestión que le planteó el tirano. Se
cuenta que, impulsado por la alegría, corrió desnudo por las calles de Siracusa
hacia su casa gritando «Eureka! Eureka!», es decir, «¡Lo encontré! ¡Lo
encontré!».
La idea de Arquímedes está reflejada en una de las proposiciones iniciales de
su obra Sobre los cuerpos flotantes, pionera de la hidrostática; corresponde al
famoso principio que lleva su nombre y, como allí se explica, haciendo uso de
él es posible calcular la ley de una aleación, lo cual le permitió descubrir que el
orfebre había cometido fraude. Según otra anécdota famosa, recogida por
Plutarco, entre otros, Arquímedes aseguró al tirano que, si le daban un punto
de apoyo, conseguiría mover la Tierra; se cree que, exhortado por el rey a que
pusiera en práctica su aseveración, logró sin esfuerzo aparente, mediante un
complicado sistema de poleas, poner en movimiento un navío de tres mástiles
con su carga.
Son célebres los ingenios bélicos cuya paternidad le atribuye la tradición y que,
según se dice, permitieron a Siracusa resistir tres años el asedio romano, antes
de caer en manos de las tropas de Marcelo; también se cuenta que,
contraviniendo órdenes expresas del general romano, un soldado mató a
Arquímedes por resistirse éste a abandonar la resolución de un problema
matemático en el que estaba inmerso, escena perpetuada en un mosaico
hallado en Herculano.Esta pasión por la erudición, que le causó la muerte, fue
también la que, en vida, se dice que hizo que hasta se olvidara de comer y que
soliera entretenerse trazando dibujos geométricos en las cenizas del hogar o
incluso, al ungirse, en los aceites que cubrían su piel. Esta imagen contrasta
con la del inventor de máquinas de guerra del que hablan Polibio y Tito Livio;
pero, como señala Plutarco, su interés por esa maquinaria estribó únicamente
en el hecho de que planteó su diseño como mero entretenimiento intelectual.
El esfuerzo de Arquímedes por convertir la estática en un cuerpo doctrinal
riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo propósito
respecto a la geometría; esfuerzo que se refleja de modo especial en dos de
sus libros: en los Equilibrios planos fundamentó la ley de la palanca,
deduciéndola a partir de un número reducido de postulados, y determinó el
centro de gravedad de paralelogramos, triángulos, trapecios, y el de un
segmento de parábola.
En la obra "Sobre la esfera y el cilindro", utilizó el método denominado de
exhaustión, precedente del cálculo integral, para determinar la superficie de
una esfera y para establecer la relación entre una esfera y el cilindro
circunscrito en ella. Este último resultado pasó por ser su teorema favorito, que
por expreso deseo suyo se grabó sobre su tumba, hecho gracias al cual
Cicerón pudo recuperar la figura de Arquímedes cuando ésta había sido ya
olvidada.
Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra
de la misma talla. Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C.
muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los
babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes
geómetras.
Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta
misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos
Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que
generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se
denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico.
Herón de Alejandría, llamado el Viejo(s. I)
Matemático e inventor griego. En su principal trabajo sobre geometría (Métrica)
enumera diferentes maneras de hallar el área de triángulos, cuadriláteros,
polígonos regulares de tres a doce lados, círculos, elipses y superficies y
volúmenes de cilindros, conos y esferas. En él se incluyen, además, la
conocida fórmula que permite calcular el área de un triángulo a partir de la
longitud de sus lados, y un método aproximado para hallar la raíz cuadrada de
un número, usado hoy día por los modernos ordenadores.
En otro libro, "Neumática", describe el diseño de sifones, de máquinas que
funcionan con monedas y del aelopilo, que vendría a ser el equivalente de una
turbina de vapor.
Las matemáticas aplicadas en Grecia
En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora
mencionados, se llevaron a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía.
Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes, también
escribieron sobre temas astronómicos.
A principios del siglo II a.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema
babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo,
compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio
determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del
ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento.
Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el
comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas —las de
Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos crecían con un incremento de 71°, de 0°
a 180°. En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestría
griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que
Tolomeo fue capaz de incluir en su "Almagesto" una tabla de las cuerdas de un
círculo con incrementos de 1° que, aunque expresadas en forma sexagesimal,
eran correctas hasta la quinta cifra decimal.
Hiparco de Nicea(?, h. 127 a.C.-Rodas, actual Grecia, ?)
Astrónomo y geógrafo griego. Llevó a cabo sus observaciones en Rodas,
donde construyó un observatorio, y en Alejandría. El año 127 a.C. es citado
habitualmente como la última fecha conocida de sus trabajos; sin embargo, el
astrónomo francés Jean Delambre (1749-1822) demostró que algunas de las
observaciones de Hiparco sobre la estrella Eta Canis Majoris tuvieron que ser
realizadas en una fecha posterior. Ninguno de sus estudios ha llegado hasta
nuestros días, pero tenemos noticia de ellos gracias a los escritos de Estrabón
y de Tolomeo.
En el 134 a.C. observó una nueva estrella en la constelación de Escorpión;
estimulado por el descubrimiento, elaboró un catálogo de alrededor de 850
estrellas, clasificadas según su luminosidad de acuerdo con un sistema de seis
magnitudes de brillo, similar a los actuales. Comparó la posición de las estrellas
de su tiempo con los resultados obtenidos siglo y medio antes por Timocharis,
y calculó que la diferencia era mayor de lo que cabría esperar de posibles
errores en la medición (concretamente, de 45 segundos de arco en un año,
valor muy próximo a los 50,27 segundos aceptados actualmente), y dedujo que
tal diferencia no era debida al movimiento de las estrellas, sino al movimiento o
precesión de este a oeste del punto equinoccial (es decir, el punto de
intersección de la eclíptica con el ecuador celeste). Precisó el período del año
solar en 365 días y 6 horas.
Se sabe poco acerca de los instrumentos que utilizaba para sus observaciones,
aunque Tolomeo le atribuye la invención de un teodolito que mejoró la medición
de los ángulos. En el campo de la geografía destacan sus trabajos sobre
trigonometría esférica, gracias a los cuales le fue posible precisar la
localización de puntos en la superficie terrestre por medio de su latitud y
longitud.
Tolomeo, Claudio(s. II)
Astrónomo, matemático y geógrafo griego. Es muy poca la información sobre la
vida de Tolomeo que ha llegado hasta nuestro tiempo. No se sabe con
exactitud dónde nació, aunque se supone que fue en Egipto, ni tampoco dónde
falleció; su actividad se enmarca entre las fechas de su primera observación,
cuya realización asignó al undécimo año del reinado de Adriano (127 d.C.), y
de la última, fechada en el 141 d.C. En su catálogo de estrellas, adoptó el
primer año del reinado de Antonino Pío (138 a.C.) como fecha de referencia
para las coordenadas.
Tolomeo fue el último gran representante de la astronomía griega y, según la
tradición, desarrolló su actividad de observador en el templo de Serapis en
Canopus, cerca de Alejandría. Su obra principal y más famosa, que influyó en
la astronomía árabe y europea hasta el Renacimiento, es la "Sintaxis
matemática", en trece volúmenes, que en griego fue calificada de grande o
extensa (megalé) para distinguirla de otra colección de textos astronómicos
debidos a diversos autores. La admiración inspirada por la obra de Tolomeo
introdujo la costumbre de referirse a ella utilizando el término griego megisté (la
grandísima, la máxima); el califa al-Mamun la hizo traducir al árabe en el año
827, y del nombre de al-Magisti que tomó dicha traducción procede el título de
"Almagesto" adoptado generalmente en el Occidente medieval a partir de la
primera traducción de la versión árabe, realizada en Toledo en 1175.
Utilizando los datos recogidos por sus predecesores, especialmente por
Hiparco, Tolomeo construyó un sistema del mundo que representaba con un
grado de precisión satisfactoria los movimientos aparentes del Sol, la Luna y
los cinco planetas entonces conocidos, mediante recursos geométricos y
calculísticos de considerable complejidad; se trata de un sistema geocéntrico
según el cual la Tierra se encuentra inmóvil en el centro del universo, mientras
que en torno a ella giran, en orden creciente de distancia, la Luna, Mercurio,
Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno. Con todo, la Tierra ocupa una posición
ligeramente excéntrica respecto del centro de las circunferencias sobre las que
se mueven los demás cuerpos celestes, llamadas círculos deferentes. Además,
únicamente el Sol recorre su deferente con movimiento uniforme, mientras que
la Luna y los planetas se mueven sobre otro círculo, llamado epiciclo, cuyo
centro gira sobre el deferente y permite explicar las irregularidades observadas
en el movimiento de dichos cuerpos.
El sistema de Tolomeo proporcionó una interpretación cinemática de los
movimientos planetarios que encajó bien con los principios de la cosmología
aristotélica, y se mantuvo como único modelo del mundo hasta el
Renacimiento, aun cuando la mayor precisión alcanzada en las observaciones
astronómicas a finales del período medieval hizo necesaria la introducción de
decenas de nuevos epiciclos, con lo cual resultó un sistema excesivamente
complicado y farragoso.
Como geógrafo, ejerció también gran influencia sobre la posteridad hasta la
época de los grandes descubrimientos geográficos. En su "Geografía", obra en
ocho volúmenes que completó la elaborada poco antes por Marino de Tiro, se
recopilan las técnicas matemáticas para el trazado de mapas precisos
mediante distintos sistemas de proyección, y recoge una extensa colección de
coordenadas geográficas correspondientes a los distintos lugares del mundo
entonces conocido. Tolomeo adoptó la estimación hecha por Posidonio de la
circunferencia de la Tierra, inferior al valor real, y exageró la extensión del
contiente euroasiático en dirección este-oeste, circunstancia que alentó a Colón
a emprender su viaje del descubrimiento.
Entre las demás obras de Tolomeo figura la "Óptica", en cinco volúmenes, que
versa sobre la teoría de los espejos y sobre la reflexión y la refracción de la luz,
fenómenos de los que tuvo en consideración sus consecuencias sobre las
observaciones astronómicas. Se le atribuye también la autoría de un tratado de
astrología, el "Tetrabiblos", que presenta las características de otros escritos
suyos y que le valió buena parte de la fama de que gozó en la Edad Media.
Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con
triángulos planos y se introdujo un teorema —que recibe el nombre del
astrónomo Menelao de Alejandría— para calcular las longitudes de arcos de
esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las
herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y
para desarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la época del
astrónomo alemán Johannes Kepler.
Las matemáticas en la edad media
En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras
de estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que
dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe
principalmente a esta tradición. Sin embargo, los primeros avances
matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo
árabe.
Las matemáticas en el mundo islámico
Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió
desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se
extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los
árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias
extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de
Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de
particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos
griegos e indios.
Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los
estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos
adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema
indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo
a las fracciones decimales.
En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos
indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces
cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-Jwarizmì, (de su
nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el
origen de la palabra álgebra), desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi
la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los
geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de
Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría
de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas
al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica
utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas
trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente
hasta la publicación del "De triangulis omnimodis" (1533) del astrónomo alemán
Regiomontano.
Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la
teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos
numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas
latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII,
el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las
traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del
crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos
italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes
tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar
en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus
estudios.
Las matemáticas durante el renacimiento
Aunque el final del período medieval fue testigo de importantes estudios
matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no
fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático
de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución
de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el
matemático italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna".
Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos
y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto
grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros
trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de
ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.
Cardano, Gerolamo [Jérôme Cardan](Pavía, actual Italia, 1501-Roma,
1576)
Matemático italiano. Se graduó en la Universidad de Pavía y se doctoró en
medicina (1526) en la de Padua. En 1536 se trasladó a Milán, donde empezó a
ejercer como profesor de matemáticas. En 1539 publicó su primera obra en
dicha materia, la "Práctica de matemáticas y mediciones individuales", en la
que recogió el contenido de sus clases. Ese mismo año fue admitido en la
facultad de medicina, de la que al poco fue nombrado rector. En 1543, ya con
una sólida fama como médico (a él se debe la primera descripción clínica de la
fiebre tifoidea), se trasladó de nuevo a Pavía.
Dos años después publicó su obra científica más importante, el "Ars magna",
donde se recoge un exhaustivo estudio de las ecuaciones de tercer grado o
cúbicas, y en la que se ofrece la regla para la resolución de las mismas que
lleva su nombre. Por la publicación de dicho resultado fue duramente criticado
por el también matemático Niccolò Tartaglia, quien se lo había revelado con la
condición de que lo mantuviera en secreto y no lo divulgara, si bien Cardano, al
descubrir otra fuente en la que se contenía dicha regla, se creyó liberado de su
promesa.
Otras obras suyas de importancia fueron el "Libro sobre juegos y azar", en el
cual ofreció la primera aproximación sistemática a la teoría de la probabilidad y
enunció la ley de los grandes números, resultados todos ellos que no serían
abordados de nuevo (por Blaise Pascal y Pierre de Fermat) hasta un siglo más
tarde. Así mismo, publicó títulos de contenido filosófico, como "La sutileza de
las cosas", que fueron muy leídos en su tiempo. Los últimos años de su vida
estuvieron plagados de desgracias, desde la ejecución en el año 1560 de uno
de sus hijos, acusado de asesinato, hasta un proceso por herejía por el que
llegó a ser encarcelado (1570).
Absuelto un año después, pero privado del derecho de publicar obra alguna, se
trasladó a Roma ciudad en la que redactó su autobiografía Mi propia vida, que
concluyó poco antes de su muerte.
Galois, Évariste(Bourg-la-Reine, Francia, 1811-París, 1832)
Matemático francés. Hijo de una familia de políticos y juristas, fue educado por
sus padres hasta los doce años, momento en el que ingresó en el Collège
Royal de Louis-le-Grand, donde enseguida mostró unas extraordinarias
aptitudes para las matemáticas. Con sólo dieciseis años, interesado en hallar
las condiciones necesarias para definir si una ecuación algebraica era
susceptible de ser resuelta por el método de los radicales, empezó a esbozar lo
que más adelante se conocería con el nombre genérico de «teoría de Galois»,
analizando todas las permutaciones posibles de las raíces de una ecuación que
cumplieran unas condiciones determinadas. Mediante dicho proceso, que en
terminología actual equivale al de hallar el grupo de automorfismos de un
cuerpo, sentó las bases de la moderna teoría de grupos, una de las ramas más
importantes del álgebra.
Galois intuyó que la solubilidad mediante radicales estaba sujeta a la
solubilidad del grupo de automorfismos relacionado. A pesar de sus
revolucionarios descubrimientos, o tal vez por esa misma causa, todas las
memorias que publicó con sus resultados fueron rechazadas por la Academia
de las Ciencias, algunas de ellas por matemáticos tan eminentes como
Cauchy, Fourier o Poisson. Subsiguientes intentos de entrar en la Escuela
Politécnica se saldaron con sendos fracasos, lo cual le sumió en una profunda
crisis personal, agravada en 1829 por el suicidio de su padre.
Miembro activo de la oposición antimonárquica, se vio implicado en un duelo
cuyas motivaciones aún hoy permanecen confusas. Previendo su más que
posible muerte en el lance, trabajó febrilmente en una especie de testamento
científico que dirigió a su amigo Auguste Chevalier. A los pocos días tuvo lugar
el duelo y el matemático, herido en el vientre, murió unas horas después,
apenas cumplidos los veintiún años.
También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos
matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo
importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron
gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre
de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.
Vieta o Viète, François(Fontenay-le-Comte, Francia, 1540-París, 1603)
Matemático francés. Fue miembro del Parlamento de Bretaña (1573-1582) y
después consejero privado de las cortes de Enrique III y de Enrique IV.
Conocedor de Diofanto y Cardano, estableció las reglas para la extracción de
raíces y dio a la trigonometría su forma definitiva en "Canon mathematicus"
(1570). Se dedicó así mismo al estudio de los fundamentos del álgebra, con la
publicación, en 1591, de "In artem analyticam isagoge", en el cual introdujo un
sistema de notación que hacía uso de letras en las fórmulas algebraicas. Se
ocupó finalmente de diversas cuestiones geométricas, como la trigonometría
plana y esférica.
Fermat, Pierre de(Beaumont, Francia, 1601-Castres, id., 1665)
Matemático francés. Poco se conoce de sus primeros años, excepto que
estudió derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las
matemáticas, en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las
demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio relativas a los lugares
geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente
de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría
por medio de un sistema de coordenadas.
Diseñó así mismo un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo
determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica, amén de
trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el
camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras
asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso
su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos
puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho
principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexión y la
refracción.
En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con
Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad. Otro campo en el
que realizó destacadas aportaciones fue el de la teoría de números, en la que
empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto;
precisamente en el margen de una página de dicha edición fue donde anotó el
célebre teorema que lleva su nombre y que tardaría más de tres siglos en
demostrarse. De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes
resultados relacionados con las propiedades de los números primos, muchas
de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y
teoremas.
Desarrolló también un ingenioso método de demostración que denominó «del
descenso infinito». Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales y su
particular forma de trabajar (sólo publicó una obra científica en vida) redujeron
en gran medida el impacto de su obra. Ha pasado a la historia su célebre «Si n
es un entero mayor que 2, la ecuación: x (elevada a n) + y (elevada a n) = z
(elevada a n) no tiene solución entera positiva distinta de x=y=z=0.» (Último
teorema o, simplemente, teorema de Fermat)
Newton, sir Isaac(Woolsthorpe, Gran Bretaña, 1642-Londres, 1727)
Físico y matemático inglés. Fue hijo póstumo de un pequeño terrateniente
fallecido tres meses antes de su nacimiento, el cual se produjo de forma
prematura. Cuando acababa de cumplir los tres años, su madre contrajo
segundas nupcias y lo dejó al cuidado de su abuela materna, lo cual le
ocasionó un trauma emocional en el que ha querido verse, junto a su condición
de prematuro, el origen del temperamento neurótico e hipocondríaco que
caracterizó al Newton maduro.
Recibió su educación primaria en la King's School de Grantham y, tras mostrar
su incapacidad para ocuparse de la hacienda familiar, en 1661 fue enviado a la
Universidad de Cambridge. Eligió estudiar física y matemáticas, pero no parece
que fuera un alumno especialmente destacado. La peste le obligó a abandonar
Cambridge en el verano de 1665, por lo que tuvo que iniciar un período de
descanso forzoso en el que sentó las bases de sus principales aportaciones
científicas, pues fue entonces cuando concibió la idea de gravitación universal
tras preguntarse, al parecer, por qué razón una manzana caía siempre
perpendicularmente hacia el centro de la Tierra en lugar de seguir otras
trayectorias. También redactó un esbozo del futuro cálculo de fluxiones y
acometió el estudio experimental de la descomposición de la luz blanca
mediante un prisma de refracción.
De regreso en Cambridge, en 1667 fue elegido miembro del Trinity College y
dos años después sucedió a su maestro Isaac Barrow en la cátedra de
matemáticas. Sus descubrimientos de óptica, que expuso en sus clases, le
valieron ser elegido miembro de la Royal Society en 1672, hecho que señaló el
inicio de su notoriedad, pero también el de una serie de controversias acerca
de la prioridad en dichos descubrimientos, en particular con Robert Hooke; ello
determinó que demorara hasta 1704, tras la muerte de Hooke, la publicación de
su tratado de óptica.
En 1676 renunció a proseguir la polémica, y durante unos años se sumió en
sus trabajos sobre el cálculo diferencial y en su interés por la alquimia y los
estudios bíblicos. En esa época redactó las primeras exposiciones sistemáticas
de su cálculo infinitesimal y usó su conocida fórmula para el desarrollo en
potencia de un binomio de exponente cualquiera, que había establecido ya
unos años antes.La correspondencia mantenida con Hooke a partir de 1679
parece que avivó su interés por la dinámica, campo en el que se concentró en
la demostración teórica de las leyes de los movimientos planetarios enunciadas
por Kepler. Cuando Edmond Halley le visitó en 1684, comprobó que Newton
había resuelto ya el problema y lo animó a hacer públicos sus resultados. La
intervención de Halley resultó decisiva en la publicación de los "Principia", la
obra científica más influyente y significativa de su época, que contiene la
formulación matemática de la ley de la gravitación universal, interpretada como
principio unificador del movimiento; Halley se ocupó de que el manuscrito fuese
presentado ante la Royal Society, que se encargó de la edición, costeando él
personalmente la impresión, terminada en julio de 1687.
La obra contiene la demostración del hecho experimental según el cual una
esfera gravitatoria homogénea ejerce una atracción sobre los puntos exteriores
a ella y se comporta como si toda su masa se encontrara situada en su centro;
y la ley de la atracción gravitatoria, que aparece comprobada para el
movimiento de la Luna. Incluye también la primera publicación impresa del
cálculo infinitesimal creado por Newton, reconociendo, en su primera edición,
que Leibniz estaba en posesión de un método análogo; pese a ello, los
partidarios de uno y otro se enzarzaron en una nueva disputa de prioridades,
que el propio científico alentó entre bastidores.
En 1687 formó parte de la comisión formada por la Universidad de Cambridge
en oposición a las medidas de catolización del rey Jacobo II. Tras la Revolución
de 1688, fue elegido representante de la universidad ante el Parlamento. En
1696 aceptó el nombramiento de director de la Casa de la Moneda, que pasó a
presidir tres años después. En 1701 renunció a su condición de profesor
universitario y en 1703 fue elegido presidente de la Royal Society, cargo que
desempeñó hasta su fallecimiento.
Avances en el siglo XVII
Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del
renacimiento.
Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las
matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el
descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier
(Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a
decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos
a la mitad, les había duplicado la vida.
Napier o Neper, John(Merchiston Castle, Escocia, 1550-id., 1617)
Matemático y teólogo escocés. Protestante convencido, criticó enconadamente
a la Iglesia católica y abogó por la persecución de “papistas, ateos y neutrales”
en una carta dirigida al rey, Jacobo I, en la que le dedicaba su obra teológica
"Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John". A pesar de la
notoriedad que le procuraron las más de treinta ediciones de dicha obra, el
nombre de Napier había de quedar por siempre ligado al desarrollo de los
logaritmos, un método matemático ideado con el objeto de simplificar el cálculo
numérico que iba a ejercer una enorme influencia en todos los campos de la
matemática aplicada.
Napier tardó algo más de veinte años en madurar sus ideas iniciales, que
publicó finalmente en 1614. Poco después, el matemático inglés Henry Briggs
se desplazó a Escocia y convenció a Napier para modificar la escala inicial
usada por éste; nacieron así los logaritmos de base 10, forma en la que se
impusieron en toda Europa.
La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde
la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo
XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra "Las
aritméticas" de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos
en la teoría de números. Su conjetura más destacada en este campo fue que
no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos
si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat,
ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.
En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo.
El primero fue la publicación, en el "Discurso del método" (1637) de Descartes,
de su descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el
álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de
las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El
"Discurso del método", junto con una serie de pequeños tratados con los que
fue publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton
hacia 1660.
Descartes, René(La Haye, Francia, 1596-Estocolmo, Suecia, 1650)
Filósofo y matemático francés. Se educó en el colegio jesuita de La Flèche
(1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada
salud. Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de
Poitiers (1616), y a los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde
sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau. En 1619 se enroló en
las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueños
sucesivos, experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración
de su método.
Tras renunciar a la vida militar, viajó por Alemania y los Países Bajos y regresó
a Francia en 1622, para vender sus posesiones y asegurarse así una vida
independiente; pasó una temporada en Italia (1623-1625) y se afincó luego en
París, donde se relacionó con la mayoría de científicos de la época. En 1628
decidió instalarse en los Países Bajos, lugar que consideró más favorable para
cumplir los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado, y residió allí
hasta 1649. Los cinco primeros años los dedicó principalmente a elaborar su
propio sistema del mundo y su concepción del hombre y del cuerpo humano,
que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de la
condena de Galileo, renunció a la publicación de su obra, que tendría lugar
póstumamente.
En 1637 apareció su famoso "Discurso del método", presentado como prólogo
a tres ensayos científicos. Descartes proponía una duda metódica, que
sometiese a juicio todos los conocimientos de la época, aunque, a diferencia de
los escépticos, la suya era una duda orientada a la búsqueda de principios
últimos sobre los cuales cimentar sólidamente el saber. Este principio lo halló
en la existencia de la propia conciencia que duda, en su famosa formulación
«pienso, luego existo». Sobre la base de esta primera evidencia, pudo
desandar en parte el camino de su escepticismo, hallando en Dios el garante
último de la verdad de las evidencias de la razón, que se manifiestan como
ideas «claras y distintas».
El método cartesiano, que propuso para todas las ciencias y disciplinas,
consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente
más sencillas hasta hallar sus elementos básicos, las ideas simples, que se
presentan a la razón de un modo evidente, y proceder a partir de ellas, por
síntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relación
establecida entre ideas simples la misma evidencia de éstas. Los ensayos
científicos que seguían, ofrecían un compendio de sus teorías físicas, entre las
que destaca su formulación de la ley de inercia y una especificación de su
método para las matemáticas. Los fundamentos de su física mecanicista, que
hacía de la extensión la principal propiedad de los cuerpos materiales, los situó
en la metafísica que expuso en 1641, donde enunció así mismo su
demostración de la existencia y la perfección de Dios y de la inmortalidad del
alma.
El mecanicismo radical de sus teorías físicas, sin embargo, determinó que
fuesen superadas más adelante. Pronto su filosofía empezó a ser conocida y
comenzó a hacerse famoso, lo cual le acarreó amenazas de persecución
religiosa por parte de algunas autoridades académicas y eclesiásticas, tanto en
los Países Bajos como en Francia.
En 1649 aceptó la invitación de la reina Cristina de Suecia y se desplazó a
Estocolmo, donde murió cinco meses después de su llegada a consecuencia
de una neumonía. Descartes es considerado como el iniciador de la filosofía
racionalista moderna por su planteamiento y resolución del problema de hallar
un fundamento del conocimiento que garantice la certeza de éste, y como el
filósofo que supone el punto de ruptura definitivo con la escolástica. Sus obras
maestras fueron: "Discurso del método (Discours de la Méthode pour bien
conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences, plus La Dioptrique,
Les Météores et La Géométrie, qui sont des essais de cette méthode, 1637)Las
meditaciones (Meditationes de prima philosophia. 1641)Los principios de la
filosofía (Principia philosophiae, 1644)Las pasiones del alma (Les passions de
l’âme, 1649)Tratado del Mundo (Le Monde de M. Descartes ou le Traité de la
Lumière, 1664)Tratado del Hombre (L’Homme de René Descartes et un Traité
de la Formation du Fœtus, 1664)Reglas para la dirección del espíritu (Reguale
ad directionem ingenii, 1701)".
El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el
ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría
proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el
científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran
entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el
desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del
matemático francés Jean Victor Poncelet.
Pascal, Blaise(Clermont-Ferrand, Francia, 1623-París, 1662)
Filósofo, físico y matemático francés. Su madre falleció cuando él contaba tres
años, a raíz de lo cual su padre se trasladó a París con su familia (1630). Fue
un genio precoz a quien su padre inició muy pronto en la geometría e introdujo
en el círculo de Mersenne, la Academia, a la que él mismo pertenecía. Allí se
familiarizó con las ideas de Girard Desargues y en 1640 redactó su "Ensayo
sobre las cónicas (Essai pour les coniques"), que contenía lo que hoy se
conoce como teorema del hexágono de Pascal.
La designación de su padre como comisario del impuesto real supuso el
traslado a Ruán, donde Pascal desarrolló un nuevo interés por el diseño y la
construcción de una máquina de sumar; se conservan todavía varios
ejemplares del modelo que ideó, algunos de cuyos principios se utilizaron luego
en las modernas calculadoras mecánicas.
En Ruán comenzó también a interesarse por la física, y en especial por la
hidrostática, y emprendió sus primeras experiencias sobre el vacío; intervino en
la polémica en torno a la existencia del horror vacui en la naturaleza y realizó
importantes experimentos (en especial el de Puy de Dôme en 1647) en apoyo
de la explicación dada por Torricelli al funcionamiento del barómetro. La
enfermedad lo indujo a regresar a París en el verano de 1647; los médicos le
aconsejaron distracción e inició un período mundano que terminó con su
experiencia mística del 23 de noviembre de 1654, su segunda conversión (en
1645 había abrazado el jansenismo); convencido de que el camino hacia Dios
estaba en el cristianismo y no en la filosofía, suspendió su trabajo científico casi
por completo. Pocos meses antes, como testimonia su correspondencia con
Fermat, se había ocupado de las propiedades del triángulo aritmético, hoy
llamado de Pascal, y que da los coeficientes de los desarrollos de las sucesivas
potencias de un binomio; su tratamiento de dicho triángulo en términos de una
«geometría del azar» lo convirtió en uno de los fundadores del cálculo
matemático de probabilidades.
En 1658, al parecer con el objeto de olvidarse de un dolor de muelas, elaboró
su estudio de la cicloide, que resultó un importante estímulo en el desarrollo del
cálculo diferencial. Desde 1655 frecuentó Port-Royal, donde se había retirado
su hermana Jacqueline en 1652. Tomó partido en favor de Arnauld, el general
de los jansenistas, y publicó anónimamente sus Provinciales. El éxito de las
cartas le llevó a proyectar una apología de la religión cristiana; el deterioro de
su salud a partir de 1658 frustró, sin embargo, el proyecto, y las notas
dispersas relativas a él quedaron más tarde recogidas en sus famosos
"Pensamientos (Pensées sur la religion", 1669).
Aunque rechazó siempre la posibilidad de establecer pruebas racionales de la
existencia de Dios, cuya infinitud consideró inabarcable para la razón, admitió
no obstante que esta última podía preparar el camino de la fe para combatir el
escepticismo. La famosa apuesta de Pascal analiza la creencia en Dios en
términos de apuesta sobre su existencia, pues si el hombre cree y finalmente
Dios no existe, nada se pierde en realidad. La tensión de su pensamiento entre
la ciencia y la religión quedó reflejada en su admisión de dos principios del
conocimiento: la razón (esprit géométrique), orientada hacia las verdades
científicas y que procede sistemáticamente a partir de definiciones e hipótesis
para avanzar demostrativamente hacia nuevas proposiciones, y el corazón
(esprit de finesse), que no se sirve de procedimientos sistemáticos porque
posee un poder de comprensión inmediata, repentina y total, en términos de
intuición. En esta última se halla la fuente del discernimiento necesario para
elegir los valores en que la razón debe cimentar su labor.
Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la
teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat
sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de
puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés
Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos
con dados, que fue publicado en el " Ars coniectandi" (1713) del matemático
suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre,
en su " Doctrina del azar" de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para
avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes
aplicaciones en pujantes compañías de seguros.
Huygens, Christiaan(La Haya, 1629-id., 1695)
Matemático, astrónomo y físico holandés. Hijo del poeta renacentista
Constantin Huygens, pronto demostró un gran talento para la mecánica y las
matemáticas. Estudió en la Universidad de Leiden y en el Colegio de Breda.
Huygens adquirió una pronta reputación en círculos europeos por sus
publicaciones de matemáticas y por sus observaciones astronómicas, que pudo
realizar gracias a los adelantos que introdujo en la construcción de telescopios.
Destacan, sobre todo, el descubrimiento del mayor satélite de Saturno, Titán
(1650), y la correcta descripción de los anillos de Saturno, que llevó a cabo en
1659. Más tarde se trasladó a París, donde permaneció desde 1666 a 1681,
fecha de su regreso a La Haya. En 1666 fue miembro fundador de la Academia
Francesa de Ciencias.
En 1673 se publicó su famoso estudio sobre "El reloj de péndulo", brillante
análisis matemático de la dinámica pendular en el que se incluyeron las
soluciones completas a problemas como el período de oscilación de un
péndulo simple y las leyes de la fuerza centrífuga para un movimiento circular
uniforme. Contemporáneo de Isaac Newton, su actitud mecanicista le impidió
aceptar la idea de fuerzas que actúan a distancia. El mayor logro de Huygens
fue el desarrollo de la teoría ondulatoria de la luz, descrita ampliamente en el
"Traité de la lumière" (1690), y que permitía explicar los fenómenos de la
reflexión y refracción de la luz mejor que la teoría corpuscular de Newton.
Bernoulli, familiaJakob (Basilea, Suiza, 1654- id., 1705), Johann (Basilea,
1667- id., 1748) y Daniel (Groninga, Holanda, 1700- Basilea, 1782).
Familia de científicos suizos. Jakob, el iniciador de la dilatada saga de los
Bernoulli, nació en el seno de una familia de comerciantes procedentes de los
Países Bajos. Tras licenciarse en teología y haber estudiado matemáticas y
astronomía contra la voluntad familiar, entre 1677 y 1682 viajó a Francia
(donde se familiarizó con el pensamiento de Descartes), los Países Bajos e
Inglaterra. De regreso en Suiza, desde 1683 enseñó mecánica en Basilea y en
secreto introdujo en el estudio de las matemáticas a su hermano Johann, a
quien su padre había destinado a la medicina.
En 1687 se hizo cargo de la cátedra de matemáticas en la Universidad de
Basilea. Con su hermano, estudió las aportaciones de G. W. Leibniz al cálculo
infinitesimal, el cual aplicó al estudio de la catenaria (la curva que forma una
cadena suspendida por sus extremos), y en 1690 introdujo el término de
integral en su sentido moderno. Al año siguiente, Johann solucionó el problema
de la catenaria, lo cual le valió situarse entre los matemáticos de primera línea
de la época; de los dos hermanos, él fue el más intuitivo y el que con mayor
soltura manejaba el formulismo matemático, mientras que Jakob era de
inteligencia más lenta pero más penetrante. Ambos compartieron un exagerado
afán por ver reconocidos sus méritos, e incluso mantuvieron frecuentes
disputas de prioridad entre ellos y con otros autores. Johann inició en el cálculo
infinitesimal creado por Leibniz al marqués de L‘Hôpital, quien aprovechó las
lecciones para publicar el primer libro de texto sobre el tema.
En 1695, Johann decidió aceptar el ofrecimiento de ocupar una cátedra de
matemáticas en Groninga, perdidas las esperanzas de obtener plaza en
Basilea en vida de su hermano Jakob, y resentido con él por la actitud
condescendiente con que le trataba. En 1697, Johann dio una brillante solución
al problema de la braquistócrona, que él mismo había planteado el año
anterior. Jakob analizó también la cuestión y aportó su propia solución, mucho
menos elegante, pero que le condujo a las puertas de una nueva disciplina, el
cálculo de variaciones, en cuyo ámbito propuso a su vez el llamado problema
isoperimétrico. Johann subestimó la complejidad del tema, que resolvió de
forma incompleta; las despiadadas críticas que por ello le dedicó su hermano
supusieron el inicio del abierto enfrentamiento entre ambos. Johann regresó a
Basilea como sucesor de Jakob a la muerte de éste, debido a la cual quedó
incompleta e inédita su gran obra sobre el cálculo de probabilidades, el "Ars
conjectandi", publicada en 1713 por su sobrino Nikolaus, hijo de Johann y
hermano mayor de Daniel Bernoulli.
Este último, que se doctoró en medicina en Basilea (1721) con una tesis sobre
la respiración, en 1725 fue nombrado profesor de matemáticas en la Academia
de San Petersburgo; se trasladó a Rusia en compañía de su hermano Nikolaus,
quien falleció al año siguiente de su llegada; en San Petersburgo contó, desde
1727, con la colaboración de L. Euler, discípulo de su padre y de su tío Jakob,
que sucedió a Daniel cuando, en 1732, éste regresó a Basilea como
catedrático de anatomía y de botánica.
Autor de notables contribuciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales, el
tercer Bernoulli destacó sobre todo por su estudio de la mecánica de fluidos; su
obra principal, "Hydrodynamica", se publicó en 1738, aunque ya la había
concluido en 1734. Contiene la idea de lo que más tarde se conoció como
teorema de Bernoulli, así como los fundamentos de la moderna teoría cinética
de los gases. Desde 1750 hasta 1776 ocupó la cátedra de física en Basilea; se
distinguió por ilustrar sus clases con interesantísimos experimentos que le
valieron grandes éxitos de audiencia.
Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue,
sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos
diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos
anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los
estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco
Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de
Roberval. Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz
descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El
sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.
Cavalieri, Bonaventura Francesco(Milán, 1598-Bolonia, 1647)
Matemático italiano. Jesuita y discípulo de Galileo, fue desde 1629 catedrático
de astronomía en Bolonia. De su numerosa obra destacan "Un cierto método
para el desarrollo de una nueva geometría de continuos indivisibles" (1635) y
"Seis ejercicios de geometría" (1649), en donde establece y perfecciona su
teoría de los indivisibles, precursora del cálculo integral. Realizó la primera
demostración rigurosa del teorema de Papus relativo al volumen de un sólido
de revolución. Popularizó el empleo de los logaritmos en Italia gracias a la
publicación de su obra "Un directorio general de uranometría" (1632).
Leibniz, Gottfried Wilhelm(Leipzig, actual Alemania, 1646-Hannover, id.,
1716)
Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la
Universidad de Leipzig, falleció cuando él contaba seis años. Capaz de escribir
poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica
aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica. En 1661 ingresó en la
universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se
trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel.
En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud,
concederle el título de doctor, que obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar
el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del
arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes
desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos. En
1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito
de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, permaneció cinco años
en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. De esta época datan
su invención de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de
multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la
elaboración de las bases del cálculo infinitesimal.
En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien más
adelante sería consejero, además de historiador de la casa ducal. A la muerte
de Sofía Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad,
su papel como consejero de príncipes empezó a declinar. Dedicó sus últimos
años a su tarea de historiador y a la redacción de sus obras filosóficas más
importantes, que se publicaron póstumamente. Representante por excelencia
del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad del conocimiento en su
necesidad intrínseca y no en su adecuación con la realidad; el modelo de esa
necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las matemáticas. Junto a
estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que son contingentes
y no manifiestan por sí mismas su verdad.
El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió
afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente
humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de
los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar
relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un
conjunto de propiedades infinito. Frente a la física cartesiana de la extensión,
defendió una física de la energía, ya que ésta es la que hace posible el
movimiento. Los elementos últimos que componen la realidad son las
mónadas, puntos inextensos de naturaleza espiritual, con capacidad de
percepción y actividad, que, aun siendo simples, poseen múltiples atributos;
cada una de ellas recibe su principio activo y cognoscitivo de Dios, quien en el
acto de la creación estableció una armonía entre todas las mónadas. Esta
armonía preestablecida se manifiesta en la relación causal entre fenómenos,
así como en la concordancia entre el pensamiento racional y las leyes que
rigen la naturaleza.
Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas
con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del
análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notación
actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los trabajos que inició
en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la
ciencia y permitiese convertir la lógica en un cálculo, acabaron por desempeñar
un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica simbólica. Pueden
considerarse como sus obras maestras: "Discurso de metafísica (Discours de
métaphysique, 1686)Nuevo sistema de la naturaleza (Système nouveau de la
nature, 1695)Teodicea (Essais de théodicée sur la bonté de Dieu, la liberté de
l'homme et l'origine du mal, 1710)Monadología (Monadologie, 1714)Nuevo
tratado sobre el entendimiento humano (Nouveaux essais sur l'entedement
humain, 1765)".
Situación en el siglo XVIII
Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton
y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de
física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear
campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques
Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard
Monge la geometría descriptiva.
Monge, Gaspard(Beaune, Francia, 1746-París, 1818)
Matemático francés. Hijo de un comerciante, sus grandes dotes para el dibujo
(siendo muy joven realizó un perfecto mapa de su ciudad natal) le abrieron las
puertas de la Escuela Militar de Mezières. Allí empezó a desarrollar métodos de
representación de objetos tridimensionales mediante su proyección sobre dos
planos, métodos que fueron clasificados como de alto secreto por el ejército y
que constituyen los inicios de la geometría descriptiva. Afiliado a la causa
revolucionaria (fue miembro del club de los Jacobinos), tras el triunfo de la
misma, Monge desempeñó numerosos cargos gubernamentales; como ministro
de Marina, fue el encargado de firmar la condena oficial a muerte de Luis XVI.
Convencido de la importancia de la educación, intervino en la creación de
instituciones académicas como la École Normale Supérieure o la
Polytechnique.
Amigo personal de Napoleón Bonaparte, acompañó al entonces general en su
campaña de Egipto (1798-1801). A su regreso continuó dando clases en la
Polytechnique; su labor pedagógica resultó decisiva en la formación de una
espléndida generación de geómetras franceses, entre los que cabe citar a
Poncelet, Dupin, Meusnier y Rodrigues. La contribución de Monge a la
geometría fue inmensa, tanto en diversidad como en profundidad; amén de la
rama descriptiva, se le considera a menudo el fundador de la geometría
diferencial.
En su obra "Aplicaciones del análisis a la geometría", introdujo importantes
conceptos. Así mismo fue el primero en emplear de forma sistemática las
ecuaciones en derivadas parciales para el estudio de las superficies. En su
doble faceta de científico y pedagogo, se le considera el principal responsable
de la gran expansión experimentada por la geometría en el siglo XIX.
Joseph Louis Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente
analítico de la mecánica en su gran obra "Mecánica analítica" (1788), en donde
se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas
dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones
diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su
contemporáneo Laplace escribió "Teoría analítica de las probabilidades" (1812)
y el clásico "Mecánica celeste" (1799-1825), que le valió el sobrenombre de ‘el
Newton francés’.
Lagrange, Joseph-Louis de(Turín, 1736-París, 1813)
Matemático francés de origen italiano. Estudió en su ciudad natal y hasta los
diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas. Sin
embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó
su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático
consumado. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una
sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de
Turín.
En su obra "Miscellanea taurinensia", escrita por aquellos años, obtuvo, entre
otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su
adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo y la solución a
muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió así
mismo numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones
diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de
atracción mutuas.
A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de
Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente
trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna
siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un
premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se trasladó a la capital
francesa en 1787, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía,
resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden,
ecuaciones diferenciales y mecánica analítica.
En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que
ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de
la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron
a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus
enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras "Teoría de
las funciones analíticas" y "Resolución de ecuaciones numéricas" (1798). En
1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras
partes antes de su muerte.
Laplace, Pierre-Simon, marqués de(Beaumont-en-Auge, Francia, 1749París, 1827)
Matemático francés. Hijo de un granjero, inició sus estudios primarios en la
escuela local, pero gracias a la intervención de D’ Alembert, profundamente
impresionado por un escrito del joven sobre los principios de la mecánica, pudo
trasladarse a la capital, donde consiguió una plaza en la École Militaire. Entre
1771 y 1789 desarrolló la mayor parte de su trabajo sobre astronomía,
particularmente su estudio sobre las desigualdades planetarias, seguido por
algunos escritos sobre cálculo integral y ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales.
Destaca entre su producción del período 1784-1787 la determinación de la
atracción de un esferoide sobre una partícula situada en su exterior, para cuya
determinación introduciría el análisis de armónicos o coeficientes de Laplace y
el concepto de potencial. En 1796 publicó su "Exposición del sistema del
mundo", en el que ofreció una versión divulgativa de la mecánica newtoniana y
una exposición del sistema solar. Sus resultados analíticos sobre la mecánica
estelar se publicaron en los cinco volúmenes del "Tratado de mecánica celeste"
(1799-1825). En los dos primeros volúmenes describió métodos para el cálculo
del movimiento de los planetas y sus satélites, y determinó sus trayectorias. El
tercero contiene la aplicación de estos métodos y muchas tablas astronómicas.
En 1814, Laplace publicó un ensayo sobre probabilidades orientado al lector
profano, que le serviría de base para la segunda introducción de su "Teoría
analítica de las probabilidades" (tratado publicado en 1812), donde incluyó una
exposición del método de los mínimos cuadrados, base de toda la teoría de los
errores.
El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó
ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus
aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se
convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas
disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver
problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para
acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas
del cálculo.
La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de
Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente
algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos
sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la
geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
Euler, Leonhard(Basilea, Suiza, 1707-San Petersburgo, 1783) Matemático
suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las
matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann,
uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la
Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro
años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en
asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con
otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la
cátedra de matemáticas. A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos
años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la
calidad ni al número de sus hallazgos.
Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la
Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no
sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los
habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos
algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas
de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la
centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados
en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de
desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas
(introduciendo de paso la notación "e" para definir la base de los logaritmos
naturales).
En 1748 publicó la obra "Introductio in analysim infinitorum", en la que expuso
el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que
así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre
las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la
geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro
y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones
trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números
complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna
tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos
aritméticos. En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados,
como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la
determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus
innumerables obras, tratados y publicaciones, introdujo gran número de nuevas
técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de
conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del
número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de
números, campo en el cual su mayor aportación fue la "ley de la reciprocidad
cuadrática", enunciada en 1783.
A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó
nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro
ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el
tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su
actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus "Lettres à une princesse
d’Allemagne", en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de
la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo.
De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica
de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su
estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica
celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos –
resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar–, así
como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias,
que identificó con el centro de la masa solar. Tras su muerte, se inició un
ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta
por más de ochocientos tratados, lo cual le convierte en el matemático más
prolífico de la historia.
Las matemáticas en el siglo XIX
En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque
lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en
cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó
un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la
definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino
el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición
adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que
todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y
Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.
Un problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de
vibración de un muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de
definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático
francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán
Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.
Cauchy, Augustin-Louis, barón de(París, 1789-Sceaux, Francia, 1857)
Matemático francés. Era el mayor de los seis hijos de un abogado católico y
realista, que hubo de retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Allí
sobrevivieron de forma precaria, por lo que Cauchy creció desnutrido y débil.
Fue educado en casa por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece
años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos.
A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía
a una escuela de ingeniería civil, donde se graduó tres años después. Su
primer trabajo fue como ingeniero militar para Napoleón, ayudando a construir
las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro años volvió a París y dos más
tarde demostró una conjetura de Fermat que había superado a Euler y Gauss.
Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y
empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300
páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus
trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series
infinitas.
En 1830 se exilió en Turín, donde trabajó como profesor de física matemática
hasta que regresó a París (1838). Pasó el resto de su vida enseñando en La
Sorbona. Publicó un total de 789 trabajos, entre los que se encuentran el
concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas y los teoremas de
integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann. Su extensa
obra introdujo y consolidó el concepto fundamental de rigor matemático.
Dedekind, Julius Wilhelm Richard(Brunswick, actual Alemania, 1831-id.,
1916)
Matemático alemán. Estudió en la Universidad de Gotinga, donde tuvo como
profesor a Gauss. Mientras trabajaba como "privatdozent" en dicha institución
(1854-1858), entró en contacto con la obra de Dirichlet y se percató de la
necesidad de abordar una redefinición de la teoría de los números irracionales
en términos de sus propiedades aritméticas.
En 1872 desarrolló el método denominado "corte de Dedekind", mediante el
cual definió un número irracional en función de las propiedades relativas de las
dos particiones de elementos en que éste dividía el continuo de los números
reales. Siete años más tarde propuso el concepto de «ideal», un conjunto de
enteros algebraicos que satisfacen ecuaciones polinómicas que tienen como
coeficientes números enteros ordinarios; así, el ideal principal de un entero «a»
es el conjunto de múltiplos de dicho entero. Esta teoría posibilitó la aplicación
de métodos de factorización a muchas estructuras algebraicas anteriormente
descuidadas por el análisis matemático.
Cantor, Georg Ferdinand(San Petersburgo, 1845-Halle, Alemania, 1918)
Matemático alemán de origen ruso. El joven Cantor permaneció en Rusia junto
a su familia durante once años, hasta que la delicada salud de su padre les
obligó a trasladarse a Alemania. En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich,
pero tras la muerte de su padre, un año después, se trasladó a la Universidad
de Berlín, donde estudió matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y
empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle.
En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y
1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número
de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos
en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano
y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el
mismo tamaño». Consideró estos conjuntos como entidades completas con un
número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos
completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa.
Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879.
Sin embargo, el concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta
entonces, y por ello se granjeó algunos enemigos, especialmente
Leopold Kronecker, que hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en
una institución docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su
trabajo y constantemente atacado por Kronecker, sufrió su primera crisis
nerviosa en 1884. Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX,
y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y
admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de
Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la
teoría de conjuntos, punto de partida de exepcional importancia en el desarrollo
de la matemática moderna. Murió en una institución mental.
Weierstrass, Karl(Ostenfelde, actual Alemania, 1815-Berlín, 1897)
Matemático alemán. Hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el
mayor de cuatro hermanos. Más tarde, su padre ingresó en el servicio de
recaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la familia a trasladarse
constantemente. Con catorce años, Karl fue aceptado en la escuela católica de
enseñanza secundaria de Paderborn. Ganó algunos premios antes de
graduarse, y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la
Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas
materias no le interesaban y pasó la mayor parte del tiempo bebiendo,
practicando esgrima y leyendo libros de matemáticas.
En 1839 fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster,
donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman.
Éste le introdujo en la teoría de las series de potencias, que más tarde serían la
base de todo su trabajo. Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue
un ensayo sobre funciones elípticas. Durante los quince años siguientes se
dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria.
En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación
matemática de prestigio, y sorprendió a la comunidad matemática con su genio.
Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de
Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad
de Berlín. Abrumado por las enormes responsabilidades de su nuevo cargo,
sufrió una crisis nerviosa en 1861, que le apartó de las aulas dos años. A pesar
de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su
vida. Desafortunadamente, tras los ataques públicos de Kronecker por su
apoyo a las ideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se
hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que
murió víctima de una neumonía.
Fourier, Jean-Baptiste-Joseph(Auxerre, Francia, 1768-París, 1830)
Ingeniero y matemático francés. Era hijo de un sastre, y fue educado por los
benedictinos. Los puestos en el cuerpo científico del ejército estaban
reservados para familias de estatus reconocido, así que aceptó una cátedra
militar de matemáticas. Tuvo un papel destacado durante la revolución en su
propio distrito, y fue recompensado con una candidatura para una cátedra en la
École Polytechnique. Fourier acompañó a Napoleón en su expedición oriental
de 1798, y fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. Aislado de Francia por la
flota británica, organizó los talleres con los que el ejército francés debía contar
para sus suministros de munición. También aportó numerosos escritos sobre
matemáticas al Instituto Egipcio que Napoleón fundó en El Cairo.
Tras las victorias británicas y la capitulación de los franceses al mando del
general Menou en 1801, Fourier volvió a Francia, donde fue nombrado prefecto
del departamento de Isère, y empezó sus experimentos sobre la propagación
del calor.
Se trasladó a París en 1816, y en 1822 publicó "Teoría analítica del calor",
basándose en parte en la ley del enfriamiento de Newton. A partir de esta
teoría desarrolló la denominada «serie de Fourier», de notable importancia en
el posterior desarrollo del análisis matemático, y con interesantes aplicaciones
a la resolución de numerosos problemas de física (más tarde, Dirichlet
consiguió una demostración rigurosa de diversos teoremas que Fourier dejó
planteados). Dejó inacabado su trabajo sobre resolución de ecuaciones, que se
publicó en 1831 y que contenía una demostración de su teorema sobre el
cálculo de las raíces de una ecuación algebraica.
Dirichlet, Peter Gustav Lejeune(Düren, actual Alemania, 1805-Gotinga, id.,
1859)
Matemático alemán. Cursó sus estudios en París, relacionándose con
matemáticos como Fourier. Tras graduarse, fue profesor en las universidades
de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la
cátedra dejada por Gauss tras su muerte.
Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la
teoría de los números, prestando especial atención al estudio de las series, y
desarrolló la teoría de las series de Fourier. Consiguió una demostración
particular del problema de Fermat, aplicó las funciones analíticas al cálculo de
problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series. En
el campo del análisis matemático, perfeccionó la definición y concepto de
función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas
y en el concepto de potencial newtoniano.
Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de
entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a
cabo importantes avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich
Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos
números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los
trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann.
Gauss, Karl Friedrich(Brunswick, actual Alemania, 1777-Gotinga, id., 1855)
Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia
humilde, desde muy temprana edad dio muestras de una prodigiosa capacidad
para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre
cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error
de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus
profesores de la escuela primaria. El duque le proporcionó asistencia financiera
en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de
Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema
fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de
coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss
demostró.
En 1801 publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la
conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el
ámbito de la teoría de números, las "Disquisiciones aritméticas", entre cuyos
numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la
reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo
determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera
geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento
exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados
con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831,
describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los
mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el
punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.
Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando
fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide
Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el
método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún
hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación
astronómica. En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el
Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años
más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805,
falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y
tuvo tres hijos más. En esos años maduró sus ideas sobre geometría no
euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente
que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó
sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores
de Lobachewski y Bolyai.
Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la
forma y el tamaño del globo terráqueo, desarrolló numerosas herramientas
para el tratamiento de los datos observacionales, entre las cuales destaca la
curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el
apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la
estadística. Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la
invención del heliotropo, y, en el campo de la matemática pura, sus ideas sobre
el estudio de las características de las superficies curvas que, explicitadas en
su obra "Disquisitiones generales circa superficies curvas" (1828), sentaron las
bases de la moderna geometría diferencial. También mereció su atención el
fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo
eléctrico (1833). Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha
materia fueron los principios de la teoría matemática del potencial, que publicó
en 1840.
Otras áreas de la física que estudió fueron la mecánica, la acústica, la
capilaridad y, muy especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el
tratado "Investigaciones dióptricas" (1841), en las cuales demostró que un
sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las
características adecuadas. Fue tal vez la última aportación fundamental de un
científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de
tratamiento le merecieron en vida el apelativo de «príncipe de los
matemáticos».
Riemann, Georg Friedrich Bernhard(Breselenz, actual Alemania, 1826Selasca, Italia, 1866)
Matemático alemán. Su padre era pastor luterano, y su primera ambición fue la
de seguir sus pasos. Ingresó en el liceo de Hannover, donde estudió hebreo y
trató de probar la certeza del libro del Génesis por medio de razonamientos
matemáticos. En 1846 ingresó en la Universidad de Gotinga, que abandonó un
año después para trasladarse a la de Berlín y estudiar bajo la tutela de, entre
otros, Steiner, Jacobi y Dirichlet (quien ejerció una gran influencia sobre él). Su
carrera se interrumpió por la revolución de 1848, durante la cual sirvió al rey de
Prusia.
En 1851 se doctoró en Gotinga, con una tesis que fue muy elogiada por Gauss,
y en la que Riemann estudió la teoría de las variablea complejas y, en
particular, lo que hoy se denominan superficies de Riemann, e introdujo en la
misma los métodos topológicos. En su corta vida contribuyó a muchísimas
ramas de las matemáticas: integrales de Riemann, aproximación de Riemann,
método de Riemann para series trigonométricas, matrices de Riemann de la
teoría de funciones abelianas, funciones zeta de Riemann, hipótesis de
Riemann, teorema de Riemann-Roch, lema de Riemann-Lebesgue, integrales
de Riemann-Liouville de orden fraccional..., aunque tal vez su más conocida
aportación fue su geometría no euclidiana, basada en una axiomática distinta
de la propuesta por Euclides, y expuesta detalladamente en su célebre
memória "Sobre las hipótesis que sirven de fundamento a la geometría".
Esta geometría se sigue si se considera la superficie de una esfera y se
restringen las figuras a esa superficie. Medio siglo más tarde, Einstein
demostró, en virtud de su modelo de espacio-tiempo relativista, que la
geometría de Riemann ofrece una representación más exacta del universo que
la de Euclides. Murió de tuberculosis antes de cumplir los cuarenta años.
Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las
sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se
conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en
las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de
funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio
de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos.
La teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada
como "enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto", forma hoy
parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado
una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.
Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su
tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al
menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no
pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de
la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados
fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái
Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no
euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su
descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los
trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.
Lobachevski, Nikolai Ivanovich(Nizhni Novgorod, Rusia, 1792-Kazán, id.,
1856)
Matemático ruso. Hijo de una familia de funcionarios de baja cualificación, entró
en la Universidad de Kazán a la edad de 14 años. En 1820 fue nombrado
decano de la facultad de Física y Matemáticas; en 1827, rector. El tiempo y la
atención demandados por sus obligaciones administrativas no impidieron a
Lobachevski desarrollar una importantísima labor académica que cristalizó en
1829 con la publicación de una geometría particular, la denominada
hiperbólica, que no respetaba el postulado de las paralelas de Euclides, pero
que aun así era lógicamente correcta.
Al demostrar la coherencia interna de esta geometría «no-euclídea», probó
asimismo que el postulado de las paralelas no podía deducirse del resto de los
postulados propuestos por Euclides. A pesar de la trascendencia de sus
descubrimientos, la obra de Lobachevski fue poco apreciada en su tiempo y
apenas trascendió de un estrecho círculo de especialistas en su Rusia natal, y
tuvo que esperar a los trabajos de B. Riemann y F. Klein sobre los
fundamentos de la geometría para alcanzar una postrera repercusión.
Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios
de su juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes
descubrimientos en teoría de números, un área en la que su libro "
Disquisitiones arithmeticae" (1801) marca el comienzo de la era moderna. En
su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema
fundamental del álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y
matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo
que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos
en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la
geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones
topográficas.
De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema
fundamental por Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo
XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al estudio de la estructura
de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención
del álgebra simbólica por el inglés George Peacock.
Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que
tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se
encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el
análisis vectorial del matemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y
los espacios ordenados de n dimensiones del matemático alemán Hermann
Günther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo de la teoría de
grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a
menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos
con una fórmula algebraica.
Gibbs, Josiah Willard(New Haven, EE UU, 1839-id., 1903)
Físico y químico y matemático estadounidense. A la edad de quince años
ingresó en la Universidad de Yale, donde obtuvo el primer doctorado en
ingeniería concedido por la mencionada institución. Durante un viaje a Europa,
entró en contacto con los físicos y matemáticos de mayor prestigio de la época,
cuyas novedosas aportaciones estudió con interés. Centró durante un tiempo
su atención en el estudio de la máquina de vapor de Watt; ocupado en el
análisis del equilibrio de la máquina, Gibbs empezó a desarrollar un método
mediante el cual calcular las variables involucradas en los procesos de
equilibrio químico. Dedujo la regla de las fases, que permite determinar los
grados de libertad de un sistema fisicoquímico en función del número de
componentes del sistema y del número de fases en que se presenta la materia
involucrada. Así mismo, definió una nueva función de estado del sistema
termodinámico, la denominada energía libre o energía de Gibbs (G), que
permite prever la espontaneidad de un determinado proceso fisicoquímico
(como puedan ser una reacción química o bien un cambio de estado)
experimentado por un sistema sin necesidad de interferir en el medio ambiente
que le rodea.
En 1871 fue designado profesor de física matemática en Yale, tras la
publicación de su labor fundamental, que incluyó los títulos "Métodos gráficos
en termodinámica de fluidos" y "Sobre el equilibrio de sustancias
heterogéneas", este último de importancia trascendental para la posterior
evolución de la física y la química modernas. La descripción adecuada de los
procesos termodinámicos desde el punto de vista de la física llevó a Gibbs a
desarrollar una innovadora herramienta científica, la mecánica estadística, que
con posterioridad se reveló útil para la moderna mecánica cuántica.
Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para
estudiar la geometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius
Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar
las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa
Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales
mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de
Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la
geometría conocida como topología.
Klein, Felix(Düsseldorf, actual Alemania, 1849-Gotinga, id., 1925)
Matemático alemán. Tras graduarse en la Universidad de Bonn, se trasladó a
París para continuar sus estudios. Entre 1869 y 1870 cooperó estrechamente
con su colega noruego Sophus Lie, colaboración de la cual se derivó el trabajo
de este último sobre los denominados grupos continuos, trabajo que Klein
incorporaría posteriormente en su propia obra.
En 1872, tras ingresar como profesor en la Universidad de Erlangen, pronunció
una conferencia inaugural en la que ofreció una visión general de la geometría
desde el punto de vista de la teoría de grupos, que se conocería como
programa de Erlangen y que había de ejercer una poderosa influencia en el
desarrollo ulterior de la disciplina. El contenido del programa afirmaba que cada
geometría (esto es, la euclidiana tradicional y las noeuclidianas desarrolladas
con anterioridad por J. Bolyai y N. Lobachevski) podía ser explicada mediante
la teoría de los invariantes según un grupo particular de transformaciones. Klein
probó la independencia de la geometría proyectiva del axioma de Euclides de
las paralelas, demostrando así que tanto la geometría euclidiana como la no
euclidiana se encontraban comprendidas en la geometría proyectiva y que eran
igualmente verdaderas con respecto a una métrica particular. Realizó así
mismo destacadas aportaciones en los campos de las funciones elípticas,
modulares y muy especialmente en el de las funciones automorfas.
En 1880 se trasladó a Leipzig y, seis años después, a Gotinga, donde residió el
resto de su vida. En 1895 impulsó el proyecto de la Encyklopadie, que
supervisó hasta su muerte. Figura activa en el ámbito académico, destacó por
sus iniciativas en pro de la reforma educativa en Alemania.
Lie, Sophus(Nordfjodreid, Noruega, 1842-Oslo, 1899)
Matemático noruego. Estudió en la Universidad de Cristiania (actual Oslo),
antes de trasladarse a Berlín en 1869 donde conoció a Felix Klein. Ambos
viajaron a París y entraron en contacto con los recientes desarrollos en teoría
de grupos efectuados por Camille Jordan. Inspirado por la obra de ambos, en
1874 introdujo varios conceptos básicos en el campo de las transformaciones
geométricas que denominó grupos finitos y grupos continuos, a los que asoció
lo que actualmente se conoce como álgebra de Lie. En 1883 desarrolló los
grupos infinitos de transformaciones continuas como soluciones de ecuaciones
diferenciales.
También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente
transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George
Boole en su libro "Investigación sobre las leyes del pensamiento" (1854) y por
Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del siglo, se
descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. El matemático
inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al
propio concepto de conjunto. Los matemáticos resolvieron este problema
construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar
todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras
paradojas, es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hasta
nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de
consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es).
Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico
estadounidense Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistema de axiomas lo
suficientemente complicado como para ser útil a las matemáticas es posible
encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del
sistema.
Boole, George(Lincoln, Reino Unido, 1815-Ballintemple, actual Irlanda,
1864)
Matemático británico. Procedía de una familia venida a menos y tuvo que
desestimar la idea de convertirse en monje al verse obligado a mantener a sus
padres. A los dieciséis años enseñaba matemáticas en un colegio privado y
más tarde fundó uno propio. A los veinticuatro años, tras la publicación de su
primer escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero desestimó la oferta, de nuevo
a causa de sus deberes respecto a su familia.
En 1849 le nombraron profesor de matemáticas del Queen’s College, en Cork,
donde permaneció el resto de su vida. El gran descubrimiento de Boole fue
aplicar una serie de símbolos a operaciones lógicas y hacer que estos símbolos
y operaciones –por elección cuidadosa– tuvieran la misma estructura lógica
que el álgebra convencional. En el álgebra de Boole, los símbolos podían
manipularse según reglas fijas que producirían resultados lógicos.
En 1854 publicó "Investigación sobre las leyes del pensamiento", libro que
trataba por completo de la lógica simbólica y su álgebra. La influencia de esta
lógica matemática sobre las matemáticas modernas tendría una evolución
lenta: si en un primer momento no parecía más que un intrincado juego de
palabras, más adelante se vio que era de lo más útil, y hasta completamente
indispensable para conseguir la matemática lógica. Boole se casó a la edad de
cuarenta años y tuvo cinco hijas, a las que no llegó a ver adolescentes.
Russell, Bertrand Arthur
Penrhyndeudraeth, id., 1970)
William(Trelleck,
Reino
Unido,
1872-
Filósofo y matemático británico. De familia noble, quedó huérfano en su niñez y
fue educado por preceptores particulares. En 1890 ingresó en el Trinity College
de Cambridge, en el que ejerció la docencia desde 1910 hasta 1916, año en
que fue despedido por sus actividades pacifistas, que dos años más tarde le
costaron seis meses de prisión. Por entonces, había realizado ya sus
contribuciones filosóficas más importantes.
Interesado en proporcionar una fundamentación lógica a las matemáticas, trató
de mostrar (sin conseguirlo plenamente) que éstas podían deducirse en su
totalidad a partir de principios lógicos autoevidentes; junto con su amigo y
antiguo profesor Alfred North Whitehead, dedicó a ese objetivo una obra
fundamental para el desarrollo de la lógica moderna, los "Principia
mathematica" (1910-1913), donde propuso la llamada teoría de los tipos como
un nuevo fundamento de la teoría de conjuntos. Influido en un principio por el
idealismo vigente en Cambridge, de raíz hegeliana, pronto se rebeló contra el
monismo idealista y reivindicó una filosofía pluralista a la que llamó atomismo
lógico, según la cual la realidad está constituida por una pluralidad de
entidades independientes e indivisibles a las que denominó particulares, a los
cuales corresponden los nombres propios en el lenguaje.
Defendió la necesidad de elaborar un lenguaje perfecto a partir de la sintaxis
lógica de los Principia y con un vocabulario que evitase la ambigüedad,
convencido de que la mayoría de errores y falacias de los filósofos proceden
del mal uso del lenguaje. Sin embargo, no dejó muy claro en qué consistían los
particulares, que en sus textos se confunden a menudo con los datos de los
sentidos, y propuso como únicos nombres propios en sentido estricto deícticos
como «esto» o «aquello». A pesar de sus brillantes análisis sobre las falacias
producidas por el mal uso del lenguaje, su propuesta de un lenguaje perfecto
trajo consigo numerosos inconvenientes, lo cual no impidió que ejerciera una
importante influencia sobre los neopositivistas y empiristas lógicos del Círculo
de Viena y, en general, sobre la filosofía analítica anglosajona. Con todo,
Russell no se adhirió plenamente al neopositivismo, con cuya teoría
verificacionista del significado no estuvo de acuerdo.
Tras su salida de Cambridge y durante más de veinte años, su actividad se
desarrolló fuera de los círculos académicos; en esta etapa publicó algunas de
sus obras más importantes sobre temas sociales y puso en práctica sus ideas
sobre la educación en una escuela experimental que dirigió (1927-1934) junto
con su segunda esposa (a lo largo de su vida, contrajo cuatro veces
matrimonio).
En 1938 se trasladó a Estados Unidos y fue nombrado profesor del City
College de Nueva York, pero los tribunales anularon el nombramiento en un
juicio que tuvo como telón de fondo el escándalo provocado por sus opiniones
sobre la moral sexual; contratado entonces por la Barnes Foundation de
Pensilvania, en 1943 sufrió un nuevo despido, que esta vez la justicia declaró
improcedente. En 1944 regresó a Cambridge, donde había sido reelegido
miembro del Trinity College, y en 1950 le fue concedido el Premio Nobel de
Literatura. Inspirado en su juventud por el ideario liberal, Russell se acercó
luego al socialismo e ingresó en el Partido Laborista en 1914; pero su visita a la
Unión Soviética en 1920 le convirtió en crítico por adelantado del futuro
estalinismo.
A partir de 1954 alertó públicamente contra el peligro nuclear y luchó en favor
del desarme; su antimilitarismo y las campañas en favor de la desobediencia
civil le valieron un nuevo encarcelamiento, en esta ocasión por una semana, en
1961. La oposición a la violencia y a la carrera de armamentos le llevó a
presidir el Tribunal Internacional de Estocolmo de su mismo nombre, que se
ocupó de juzgar los crímenes de guerra en Vietnam. Pueden considerarse
como sus obras maestras: "Los principios de la matemática (The Principles of
Mathematics, 1903)Principia Mathematica (en colaboración con A. N.
Whitehead, 1910-1913)Los problemas de la filosofía (The Problems of
Philosophy, 1911)Nuestro conocimiento del mundo exterior (Our Knowledge of
the External World, 1914)Análisis del espíritu (The Analysis of Mind,
1921)Análisis de la materia (The Analysis of Matter, 1927)Por qué no soy
cristiano (Why I Am Not a Christian, 1927)Matrimonio y moral (Marriage and
Morals, 1929)La educación y el orden social (Education and the Social Order,
1932)Investigación sobre el significado y la verdad (An Inquiry into Meaning
and Truth, 1940)Historia de la filosofía occidental (History of Western
Philosophy, 1945)El conocimiento humano (Human Knowledge, Its Scope and
Limits, 1948)Ética y política en la sociedad humana (Human Society in Ethics
and Politics, 1955)La evolución de mi pensamiento filosófico (My Philosophical
Development, 1959").
Gödel, Kurt(Brünn, actual Austria, 1906-Princeton, EE UU, 1978)
Lógico y matemático estadounidense de origen austriaco. En 1930 entró a
formar parte del cuerpo docente de la Universidad de Viena. Por su condición
de judío se vio obligado a abandonar la ciudad durante la ocupación alemana
de Austria y a emigrar a Estados Unidos, donde pasó a ocupar una plaza de
profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, institución que ya
había visitado con anterioridad.
En 1931 publicó el artículo «Sobre proposiciones formalmente indecidibles del
Principia Mathematica y sistemas relacionados», en el que propuso sus dos
teoremas de la iocompletitud, el primero de los cuales establece que ninguna
teoría finitamente axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Peano
(esto es, abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la vez consistente y
completa. En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría fundacional de las
matemáticas que establezca los axiomas y las reglas de inferencia asociadas a
los mismos, de modo que sea posible estipular con precisión qué es y qué no
es un axioma, la teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar los
postulados de Peano), incompleta (existirá al menos una proposición
matemáticamente válida que no será derivable de la teoría) o inconsistente.
El segundo teorema de la incompletitud, corolario del primero, afirma que si
una teoría es finitamente axiomatizable, consistente y capaz de derivar los
postulados de Peano, entonces dicha teoría no puede probar su propia
consistencia. Mediante la demostración de las imperfecciones del sistema
axiomático como herramienta, heredada de los antiguos griegos, para la
elaboración de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de Gödel
echó definitivamente por tierra las empresas formalistas (Hilbert) y logicistas
(Russell y Whitehead) y, en definitiva, más de un siglo de intentos de
desarrollar una fundamentación de las matemáticas basada en dichos
instrumentos.
Las matemáticas actuales
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en
1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era
catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había
contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas,
desde su clásico "Fundamentos de la geometría" (1899) a su "Fundamentos de
la matemática" en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en
París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían
ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos
problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos
del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los "problemas
de Hilbert" ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera los
detalles con impaciencia.
Hilbert, David(Wehlan, actual Alemania, 1862-Gotinga, id., 1943)
Matemático alemán. Su padre era juez, y fue destinado al poco de su
nacimiento a Königsberg, donde David recibió su educación y en cuya
universidad inició los estudios de matemáticas. Estudió también en las
universidades de Heidelberg y de Berlín, asistiendo en esta última a los cursos
de Weierstrass, Kummer, Helmholtz y Kronecker. A finales de 1884 se doctoró
en Königsberg, poco antes de que hiciera lo propio su amigo
Hermann Minkowski. La tesis de Hilbert trataba de los invariantes algebraicos,
un tema que le propuso su joven profesor F. Lindemann, quien dos años antes
había demostrado que «pi» es un número trascendente. Viajó después a
Leipzig, donde asistió a las clases de Felix Klein, y a París, donde conoció a
Henri Poincaré, Camille Jordan y Charles Hermite. De regreso a Königsberg,
en 1886 inició allí su carrera académica como "privatdozent"; siete años más
tarde, cuando Lindemann marchó a Berlín, Hilbert accedió al cargo de profesor
ordinario por recomendación de Klein, por entonces profesor en Gotinga; a esta
universidad se incorporó también Hilbert en 1895, de nuevo por intervención de
Klein, y en ella desarrolló el resto de su carrera profesional.
En Gotinga, centró su atención en la geometría, tratando de plasmar en ese
nuevo interés una idea que alimentaba desde mucho antes: lo importante no es
la naturaleza de los objetos geométricos, sino la de sus interrelaciones. En su
obra de 1899, dedicada a proporcionar a la geometría euclidiana una
fundamentación estrictamente axiomática y que ha ejercido una gran influencia
sobre el desarrollo de la matemática en el siglo XX, realizó el primer esfuerzo
sistemático y global para hacer extensivo a la geometría el carácter puramente
formal que ya habían adquirido la aritmética y el análisis matemático. En el
Congreso internacional de matemáticas celebrado en París en 1900, Hilbert
presentó una lista de veintitrés problemas que a la sazón no habían sido
resueltos todavía; a su juicio, las probables líneas de desarrollo que iba a
seguir la matemática del siglo XX habrían de estar en buena medida vinculadas
a la resolución de dichas cuestiones. Sus trabajos posteriores desembocaron
en la concepción de los espacios de infinitas dimensiones llamados espacios
de Hilbert, base del moderno análisis funcional.
A partir del año 1904, empezó a desarrollar un programa para dotar de una
base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos, con el
objetivo último de axiomatizar toda la matemática. Aunque su propósito de
demostrar la consistencia de la aritmética había de verse frustrado por los
resultados posteriores (1931) obtenidos por Kurt Gödel, el programa de
formalización de Hilbert contribuyó al desarrollo de la llamada metamatemática,
como método para establecer la consistencia de cualquier sistema formal.
Obras maestras: "Cuestiones naturales (Naturalium quaestionum libri septem,
siete libros)Diálogos morales (Dialogorum libri duodecim, doce libros)Cartas
morales (Epistolae morales ad Lucilium, 124 cartas)Metamorfosis en calabaza
(Apocolocyntosis)y las tragedias:Hércules furioso (Hercules furens)Las
troyanas
(Troades)Las
fenicias
(Phoenissae)MedeaAgamenón
(Agamemnon)Tiestes (Thyestes)Hércules en el Eta (Hercules oetaeus)Edipo
(Oedipus)Fedra (Phaedra)".
A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que
Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital
programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de
las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el
siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una
máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente
siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La
imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta
la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la
computación programable a gran escala se hizo realidad.
Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas,
como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas
áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha
convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la
teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta.
Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas
matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el
problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX.
El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa,
con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.
Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran
capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido
que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para
formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los
problemas más importantes han sido resueltos, otros, como las hipótesis de
Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y
estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas
están encontrando aplicación.
GEOMETRIA
Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas
que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la
geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y
diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.
Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría
descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones,
geometría fractal, y geometría no euclídea.
Geometría demostrativa primitiva
El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los
primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del
tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los
edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto,
Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI
a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica
al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría
empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado
de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras
y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento
matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero
arbitrarios.
Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los
matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia
más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades
de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de
estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos
de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado
de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría
demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus
correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el
matemático griego Euclides, en su libro "Elementos". El texto de Euclides, a
pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de
geometría hasta casi nuestros días.
Primeros problemas geométricos
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea
o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un
compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces
más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en
dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de construcción que datan de la
época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de
matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un
cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo
(construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección
del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas
construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la
cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.
Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas
conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades
fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las
ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son
fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable
número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de
ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados
por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un
método para calcular una aproximación del valor de pi (p), la proporción entre
el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número
estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
Geometría analítica
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad
media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y
matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método",
publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la
geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina
en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las
figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en
la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades
de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas
de un plano a otro. Un ejemplo sencillo: si los puntos A, B, C y a, b, c se
colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y
dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos
de las intersecciones de dichas líneas están en una recta. De la misma
manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica, y se trazan
rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas líneas se
cortan en un punto único. Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto
para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando
las proyecciones apropiadas.
Modernos avances
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los
matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski y János Bolyai,
trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no
euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado
"postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos
extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la
geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una
línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se
sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio
bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por
una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más
lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea
perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es
físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de
conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de
aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de
la relatividad.
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras
geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras
similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como
geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es
la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en
espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En los cuatro
primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y
tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede
demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como
vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco
tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por
cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el
siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría
fractal.
ALGEBRA
Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar
relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones
fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y
cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las
relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un
triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la
suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da
casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52).
El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las
condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se
denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la
notación de 3 × 3 es 32; de la misma manera, a × a es igual que a2.
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en
vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo
usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra
clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos
consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los
conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de
álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
Historia
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron
capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c),
así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas.
Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando
esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron
capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la
tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es
de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para
ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de
ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le
llamó "ciencia de reducción y equilibrio". (La palabra árabe al-jabru que
significa ‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el
matemático al-Jwarizmì; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra,
una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con
ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático
egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades
del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z
que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas
utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media,
los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la
incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque
sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y
extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema
del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam, mostró
cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos
obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de
encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del " Álgebra" de
al-Jwarizmì fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el
matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación
cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + bx2 + cx = d. Fibonacci había
viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de
aproximaciones sucesivas.
A principios del siglo XVI, los matemáticos italianos Scipione del Ferro,
Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en
función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari,
alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de
cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos
posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de
quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático
noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de
dicha fórmula.
Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de
símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas.
Debido a este avance, el Libro III de la "Geometría" (1637), escrito por el
matemático y filósofo francés René Descartes, se parece bastante a un texto
moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de
Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica,
que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de
problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los
fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio
Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces
verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo
XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el
matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda
ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo.
En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El
foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la
estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban
basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números
complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones
polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas,
que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque
también difieren de ellos de manera sustancial.
Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de
las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más
importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los
matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y
los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su
estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo
irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números
complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la
forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.
Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann
Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto,
el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un
sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había
hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a
George Boole a escribir "Investigación sobre las leyes del pensamiento" (1854),
un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra
moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se
han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en
todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.