Download Algebra Lineal y Geometría Analítica

1
Algebra Lineal y Geometría Analítica
VECTORES
1. Sabiendo que | u | = 3 y | v | = 5, para que valores de β los vectores u   v y u   v son
perpendiculares
β = 3/5 y -3/5
Rta
2. ¿Para que valores de α los vectores 2i   j  3k y
 i   j  k son perpendiculares?
Rta α = -1 α = 3
3. Dado un vector a tal que | a | = 2 , siendo ( a , i ) = 45º, ( a , j ) = 60º , ( a , k ) = 120º. Calcular las
proyecciones del a sobre los ejes coordenados. ( es decir las componentes de a )
Rta
4. Los vectores u y v forman un ángulo ( u, v ) =
abcd-
a = ( 2 , 1,-1)

, siendo | u | = 2 y | v | = 1/3. Calcula:
4
u.v =
u.u =
v.v =
( u  v).(u  v) =
e- ( 3u  v).(u  2v) =
f- ( u  v).(u  v) =
Rta a- 1/3, b- 2, c- 1/9, d- 25/9, e- 67/9, f- 17/9
5. Un vector w  V2 forma con los ejes coordenados x e y los ángulos ( w, i ) = 150º y ( w, j ) = 120º.
Calcular sus coordenadas sabiendo que
| w |= 6
Rta
w = ( -3 3 , -3 )
6. Hallar el módulo de un vector de origen P (20,-5,-8) y extremo P1 (-4,-3,2)
7. Un vector tiene un módulo | u | = 13 y sus dos primeras componentes son u1= 3 y u2 = 4, ¿cuál es su
tercera componente?
Rta u3 = 12, -12
8. Un vector tiene sus tres componentes iguales y su módulo es 5, ¿cuánto valen sus componentes?
5 3 5 3
y
Rta
3
3
9. Hallar los cosenos directores del vector de componentes (1,-1,3)
10. Un vector forma ángulos iguales con los tres ejes coordenados. Hallar sus cosenos directores.
Suponiendo que tiene módulo 5, ¿cuáles serán sus componentes?
11. Hallar las componentes del vector de módulo 2 situado en el plano xy que forma un ángulo de 30º
con el eje x.
12. Sea el vector de componentes (1/3, -2/3, 2/3). Hallar las componentes del vector de módulo 5 que
tiene la misma dirección y sentido.
13. Siendo u = (-2,-4,5) y v = (-1, λ, 2), calcular el valor de λ para el cual u  v
Rta λ = 3
14. Sabiendo que la distancia entre dos punto P1 y P2 es 11, siendo P1 (3, -5, 2) y P2 ( 9, 2, z2), calcular
z2
Rta z2 = 8 , -4
15. Sabiendo que α1 = 4/9, α2 = 2/9; calcular α3
61  61
,
9
9
16. Decir si un vector u puede formar con los ejes coordenados los siguientes ángulos y justificar
Rta
2
a- ( u, i ) = 45º ; ( u, j ) = 135º ; ( u , k ) = 60º
b- ( u, i ) = 90º ; ( u, j ) = 150º ; ( u , k ) = 60º
c- ( u, i ) = 30º ; ( u, j ) = 45º
d- ( u, j ) = 60º ; ( u , k ) = 60º
e- ( u, i ) = 150º ; ( u , k ) = 30º
17. Hallar las coordenadas del punto P si su vector posición forma con los ejes coordenados ángulos
iguales y su módulo es 3
Rta ( 3 , 3 ,. 3 ) o (  3 , 3 ,. 3 )
18. Hallar las componentes de v sabiendo que | v | = 51 ; v  eje z ; v  a ; a = (8, -15, 3) y forma
un ángulo agudo con el eje x
Rta v = (45, 24, 0)
19. Hallar las componentes de u , si | u | = 50 ; u es colineal con b = ( 6, -8, -15/2) y u forma un
ángulo agudo con el eje z
Rta u = (-24, 32,30)
20. Calcular el ángulo interior del vértice B del triángulo ABC ; y el exterior del vértice C, siendo A(1, -2, 4) ; B(-4, -2, 0) y C (3, -2, 1)
Rta 45º y 135º ( resp.)
21. Hallar las componentes del vector de módulo 25 que tiene la misma dirección y sentido que el
vector (2, 6, 3)
Rta (50/7, 150/7, 75/7)
22. Dados P (1, 0, 0); Q (0, 1, 0) y R (0, 0, 1),
a) determinar los cosenos directores de
̅̅̅̅ sobre𝑅𝑃
̅̅̅̅
b) la proyección de 𝑃𝑄
QR ; RP y PQ
 2 2
2
2
 2 2
,
,0,
,
); (
); (
,0)
2
2
2
2
2
2
23. Calcular la componente del vector 𝑎̅+𝑏̅ en la dirección de 𝑐̅, siendo 𝑎̅ =(3, −6, −1); 𝑏̅ = (1, 4, −5) y
𝑐̅ = (3, −4,12).
Rta (0,
Rta: -4
24. . Verificar que los puntos A(8, 7, 6); B(10, 7, 4); C(6, 3, 0) y D(4, 3, 2) son los vértices del
paralelogramo ABCD
25. Calcular:
a) 2 i  3k
b) (2 j  i )  3k
c) 2 j  3k
d) k  (i  j )
Rta a) -6 j ; b) -5 k ; c) 6 i ; d) j  i
26. Si a  i  2 j  3k
a)
b)
c)
d)
b  2i  4 j  k
c  2i  4 j  k , calcular:
ab
ac
bc
(a  2b  3c)  (3a  4b  2c)
27. Determinar las componentes de un versor perpendicular a los vectores a = (2, -6,-3) y b =(4, 3, -1)
Rta (3/7, -2/7, 6/7) o (-3/7, 2/7, -6/7)
3
28. Hallar las componentes de w si | w | = 26, w  a , a = (4, -2, -3); w  b , b = (0, 1, 3); w forma
un ángulo obtuso con el eje y
Rta w = (-6, -24, 8)
29. Determinar el x perpendicular a los vectores u  (2,3,1) y v  (1,2,3) sabiendo que verifica:
x.(i  2 j  7k )  10
Rta x  (7,5,1)
30. Dados los vectores: u  (2,0,3) , v  (1,5,2) y w  (0.  4.1) : calcular:
a)
u.(v  w)
e) (u  v). (u  v)
b)
u  (v  w)
f)
c)
(u  v)  w
d) u  (u v)
(u  v )  (u  v)
31. Hallar las componentes del versor perpendicular a los vectores u  (0,1,5) y v  (3,0,2)
32. Hallar el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores: u  (1,1,2) y v  (3,0,4) .
33. Determinar si los vectores u , v, w son coplanares en los siguientes casos:
a)
u  (2,3,1); v  (1,1,3); w  (1,9,11)
Rta: Si
b)
u  (3,2,1); v  (2,1,2); w  (3,1,2)
Rta: No
c)
u  (2,1,2); v  (1,2,3); w  (3,4,7)
Rta : Si
34. Calcular el producto mixto de los vectores: u  (0,1,2) , v  (3,5,0) y w  (4,2,5) .
35. Los tres vectores anteriores,¿son paralelos a un mismo plano?
36. Se dan los vectores: u  (5,0,1) , v  (3,2,0) y w  (4,1, x) . Hallar x con la condición de que los
tres vectores resulten paralelos a un mismo plano.
37. El volumen de un tetraedro, tres de cuyos vértices son: A =(2,1,-1); B(3,0,1) y C(2,1,5), es V= 5.
Determinar las coordenadas del cuarto vértice si el mismo pertenece al eje y.
Rta: (0,8,0) o (0,-7,0)
38. El volumen de un paralelepípedo es 18, siendo sus lados los vectores:
u  (1,2,3); v  (2,3,1); w  ( ,1,2)
Rta :
39. Hallar el vector de módulo 3 perpendicular a u  (3,1,0) y v  (1,4,2) .
  3    15 / 7