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1º BI-NS – Números Complejos
Ejercicios de números complejos
1
Dado el nº complejo
conjugado.
2
a) Calcula
3
Calcula x para que el producto (2x – 3i )( 4 + i ) sea un número imaginario puro
4
Sea
i123 ,i100 ,i 33
z3
P( z)
3 i,
z
escribe su opuesto, su conjugado, su inverso y el inverso de su
b) Calcula la suma
az 2
i 3 ............ i 44
1 i i2
un polinomio de variable compleja z con
bz c
. Dos de sus raíces
a, b, c
son -2 y -3 + 2i. Halle el valor de a, b y c.
5
El número complejo z satisface la ecuación:
10
z
6
z 1
1 i.
Exprese z en la forma x + iy donde
x, y
6
Calcula el nº complejo cuyo cubo es un nº real, sabiendo que la componente real es superior en una unidad
a la componente imaginaria.
7
¿Es cierto que Re(z1 z2) = Re(z1) Re(z2)? De no serlo, busca una fórmula alternativa.
8
Resuelve en el conjunto de los números complejos:
obtenidas cumplen la ecuación.
9
Poniendo primero z² = w , o de otra manera, halla los valores de z para los que 4z
las respuestas en forma cartesiana con los valores redondeados con tres decimales.
10
Encuentra las cuatro raíces del polinomio:
11
Sabiendo que
9x 2
12x 13
0
4
z
4z 4
8z 3
z2
2z 2
2
0
dando
3z 10
5 , halle el número complejo que satisface la ecuación
el conjugado de z
12
comprobando que las soluciones
Halla la ecuación que deben satisfacer las componentes de z, si:
z
125
z
2
50
z
9 28i
3Re(z 2 )
4
siendo
z
y represéntala
mediante un programa informático adecuado.
13
Halla los valores de n tales que
14
Dados los números complejos
a)
a)
z5
3130 º
z
b)
z w
n
1 i 3
y
es un número real.
w
c)
z w
2 312 º
escribe en forma binómica y polar:
z
w
15
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los números complejos
16
Resuelve
17
Resuelve:
18
Se sabe que –3 – 4i es una de las raíces quintas de un número complejo z. Halla z y las restantes raíces
escritas en forma polar.
19
Dados
20
a) De
21
z5
z4
z1
6
1 i
64z 2
0
dando las soluciones en forma cartesiana.
256
0
dando las soluciones en forma polar.

r cos
3


isen

 y z 2
3 
i 1 , halle el valor de r si z1 z 2 4
3
2i
12
halla sólo las dos raíces que pertenecen al segundo cuadrante escritas en la forma
b) Halla las cinco soluciones de
5
Halla los números complejos
y
z1
i
z2
r cis
escritas en forma binómica redondeando con dos decimales.
solución del sistema
1
 2z1 iz 2 10

3z1 4z 2 1 13i
1º BI-NS – Números Complejos
22
Sabiendo que
sen6
sen
a cos 5
b cos 3
, donde
c cos
0,
sen
utilice el teorema de
Moivre con n=6, para hallar el valor de las constantes a, b y c.
23
Utiliza números complejos para hallar las coordenadas del punto que resulta de girar A(2,0) un ángulo de
60º en sentido antihorario con centro en C(0, 0)
24
Sea
u
y
1 i 3
a) Compruebe que
v 1 i , donde i 2
u
v
3 1
2
1
3 1
i
2
b) Expresando tanto u como v en forma módulo-argumental, compruebe que

2  cos
 12
u
v

c) A partir de lo anterior, halle el valor exacto de
tg
12
isen


12 
, expresando la respuesta en la forma
a b 3 , donde a, b
d)
Utilice
1 i 3

e) Sea
25
z
n
la
inducción
n

2 n  cos
3

2v u
2v u
matemática
. Compruebe que
Sea la serie geométrica 1
para
n 
isen
 para n
3 
1 i
e
3
Re( z)
1 2i
e
9
demostrar
que
se
0
...
a) Halle la razón común, z, de la serie y compruebe que
z
1
3
b) Halle una expresión para los infinitos términos de esta serie.
c) A partir de lo anterior, demuestre que:
1
sen2
3
sen
2
1
sen3
9
...
9sen
10 6 cos
cumple
que