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SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
“Puntos en la circunferencia”
Docente
Edwin Carranza
Equipo de trabajo
Diana carolina Rubiano
Andrea torres
Andrés Rodríguez
Jhorman Quitian Cifuentes
1
Problemas del continuo
Universidad distrital francisco José de caldas
Facultad de ciencias y educación
Proyecto curricular L.E.B.E.M.
Bogotá D.C 2011
ABORDAJE DEL PROBLEMA
Descripción: De acuerdo a la propuesta del profesor que consistía en abordar la
circunferencia y ver allí a partir de puntos pertenecientes a ella, regularidades que
llevarán al grupo a razonar sobre el contexto infinito que envuelve la elección que se
puede realizar al elegir un punto cualquiera de la esfera, la situación fue la siguiente:
Figura 1
Dada una circunferencia, dividirla en cuatro partes iguales y congeturizar sobre lo que
ocurre al tomar punto medio de puntos medios o punto tercio de puntos tercios,
incluso tomar dichos puntos y analizarlos de manera libre, intentando hallar
regularidades en su comportamiento, el problema estaba dado de manera abierta para
que cada grupo tomara el camino que deseará, algunas de las sugerencias del profesor
fueron, hallar longitud de arco, la distancia entre puntos, observar el área y perímetro
de la circunferencia y localizar un punto cualquiera en ella dando su posición, con
respecto al cuadrante donde esté ubicado.
Lo primero que hizo el grupo resoluctor fue buscar generalidades al hallar puntos de la
circunferencia por medio de la partición de los arcos encatrados al dividir la
circunferencia en cuatro partes iguales, este proceso se ve reflejado en la siguiente
grafica, donde se pretendía hallar generalidad en los puntos encontrados.
2
De este primer acercamiento se
puede concluir los siguientes
aportes de cada participante:
Carolina: “Se pueden construir
infinitos polígonos regulares con
la unión de puntos inscritos en la
circunferencia obteniendo un
patrón de crecimiento en el área”
Esta conjetura fue seleccionada
para analizarla a fondo “al final”
del proceso de resolución. En el
presente avance se muestra un
ataque a la conjetura con el
análisis recaído en los “polígonos
estrellados”
Figura 2
Andrés: “Es posible encontrar el
arco de la circunferencia en que se encuentra cualquier punto mediante un proceso
analítico.
El primer acercamiento que se tuvo del problema fue la posible ubicación de puntos de
manera general se planteo trabajar a partir de módulos; así pues para ubicar un punto y
conocer de ante mano en cual cuadrante quedará, se divide el número dado en el
numero de cuadrantes que es 4, de donde el residuo nos dice el cuadrante en el que se
está ubicado el número, por ejemplo el número 1583 dividido en cuatro nos arroja un
residuo de 3, este será el cuadrante donde estará ubicado 1583 dentro de la
circunferencia, sin embargo esto no se cumplía para todos los números por lo tanto
decidimos dejar a un lado la idea.
A su vez se pensó en definir el arco en el que iba a estar inscrito determinado número
para ello nos dimos cuenta que lo más cercano que podía estar era entre sus mitades; de
esta manera los números pares iban a estar en el arco comprendido entre su mitad
exacta y la mitad del siguiente numero a ella, por ejemplo el numero 54 estaba en el
arco comprendido entre su mitad 27 y la mitad de 28 (siguiente numero par) que es 14,
para el caso de los impares se iban a estar en el arco comprendido por la mitad del
siguiente numero par y la mitad exacta de esta, por ejemplo el numero 43 se encontraba
en el arco comprendido entre 22 (mitad de 44 siguiente numero par) y 11 que es la
mitad de 22.
3
Jhorman: “Para ubicar un punto y conocer de ante mano en cual cuadrante quedará, se
divide el número dado en el numero de cuadrantes que es 4, donde el residuo arroja el
cuadrante en el que se está ubicado el número, por ejemplo el número 1583 dividido en
cuatro nos arroja un residuo de 3, este será el cuadrante donde estará ubicado 1583
dentro de la circunferencia”.
Andrea: observando el comportamiento que tienen los puntos al realizar la partición de
la circunferencia en cuatro partes iguales y luego tomar puntos medios de esas
particiones se presenta como regularidad que todas las potencias de dos se ubicaban en
el cuarto cuadrante, pero al tratar de generalizar otras observaciones, como por ejemplo
que pasa con las potencias de 5, de 7 de 6 etc. No se tiene ninguna regularidad por lo
cual, se decide tomar otro camino para abordar el problema.
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Figura 3
se
decide tomar otro camino para abordar el problema, es entonces cuando se decide
observar lo que ocurría al dividir la circunferencia por grados y unir puntos de la
circunferencia para formar cuerdas, sabiendo además que le mediatriz de esas cuerdas
pasan por el centro de la circunferencia se decide analizar el comportamiento de los
triángulos formados por el centro de la circunferencia y la cuerda, como lo muestra la
figura 4, para luego decir que si conocemos el diámetro de la circunferencia, trazamos
una cuerda puede ser entre ángulos medios o tercios y a esa cuerda le trazamos la
mediatriz, tenemos dos lados de la figura y un ángulo por lo tanto podemos hallar por
teorema del coseno el lado restante que sería la media de la cuerda y de esta manera
hallar el área de la figura formada como lo muestra el siguiente proceso.
Figura 4
Lue
go
de dividir la circunferencia en grados, se trazaron las cuerdas, que nos dieron como
resultado un polígono regular, del cual decidimos tomar uno de los triángulos que
formaban una cuerda con el centro de la figura, para trazar la altura. Ahora el radio de la
circunferencia que tomamos es 3cm y sabemos que al tomar los puntos medios de
manera repetitiva por tres veces, la circunferencia se divide en 16 ángulos que miden cada
uno 22, 5°, lo que nos indica que tenemos la medida de un ángulo y de dos de sus lados,
nos resta hallar la media del tercer lado y la apotema para poder calcular el área del
polígono que tenemos, por esta razón decidimos aplicar teorema de coseno para
encontrar la medida de la cuerda o tercer lado del triangulo:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴
Al reemplazar los datos en la ecuación tenemos:
𝑎2 = 32 + 32 − 2.3.3. 𝑐𝑜𝑠22.5
Teniendo como resultado que a es igual a: 1.17 cm, esta es la medida del tercer lado del
triangulo, para hallar la medida de la apotema debemos tomar uno de los triángulos que
resultaron al dividir la cuerda por la bisectriz y aplicar teorema de Pitágoras para hallar la
media de uno de los catetos que es finalmente el apotema del polígono.
32 = 0,6852 + 𝑥 2
La expresión nos da como resultado que la apotema mide 2,92cm, por tal razón el área
del polígono se define de la siguiente manera:
El área del triangulo que tomamos tiene un área de:
1,37𝑐𝑚 𝑥 2,92𝑐𝑚
2
= 2,0002 cm2
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Y como tenemos 16 triángulos iguales multiplicamos el área de un triangulo por 16
dando como resultado el área total del polígono de la siguiente manera:
2,0002 𝑐𝑚2 x 16 = 32,0032 𝑐𝑚2
Figura 5
6
Pensando en hacer una aplicación de los hechos trigonométricos evidenciados, el equipo
de trabajo piensa en la aparición de los triángulos circulares que se forman en la figura –
punto centro, 22.5°, 0°- cuya área estará determinada por:
𝜋𝑟 2
𝑛, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
360
𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
De esta manera se determinará la fracción a la cuál corresponde el triángulo circular para
luego restar el área del triángulo isósceles (por radios de la misma circunferencia) para
obtener un nuevo concepto adquirido “Segmento circular”, pero esta sustracción
sobraría si ya por trigonometría se ha encontrado la medida del cateto restante.
La figura 6 supondrá que la apotema del polígono regular (octágono) formado por
segmentos circulares producto de tomar como ángulo 22.5° y por el proceso
trigonométrico enunciado líneas anteriores, el cateto menor del triángulo o el
segmento circular equivale a 1.17 cms mientras que analógicamente la apotema
equivaldrá a 2.92 cms
Figura 6
El perímetro del
octágono
será
rígido a
la definición de perímetro (suma de todos sus lados) o en el caso de los regulares:
Longitud de un lado multiplicado por la cantidad de lados.
Es decir; el perímetro del polígono magenta es 9.36 cms
Mientras tanto, se aprovecha que el polígono escogido es regular para hacer uso de la
fórmula para el área para una figura rectilínea regular de más de 4 lados:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝐴
2
Es decir que el área de la figura es 9.36 𝑐𝑚𝑠 𝑥 2.92 𝑐𝑚𝑠⁄2, obteniendo 13.6656 cms2
A continuación se muestra en la figura 7 la posibilidad de construir un polígono
irregular, donde la hipótesis grupal es “En comparación al caso anterior, igualmente se
podría hallar el perímetro con la misma facilidad que se hizo, pero para hallar el área es
sumamente necesario dividir el polígono en triángulos” En efecto se hace un análisis de
la situación y se deduce que el procedimiento abordado acertó con arrojarnos nuevos
conceptos y se deja a un lado la idea de hallar el área de un polígono como la figura 7
debido a que difícilmente se establecería una generalización que se aparte de tomar el
conjunto de los posibles cuadrados, posibles heptágonos, etc.
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Figura 7
Investigando acerca de los polígonos posibles internos en la circunferencia y cuyos
vértices se encuentren inscritos en la circunferencia se obtiene la idea de Polígonos
estrellados:
Polígonos regulares estrellados.
Sea la circunferencia dividida en 5 partes iguales. Si, partiendo del punto A, se unen
consecutivamente los puntos divisorios de dos en dos por medio de las rectas AC, CE,
EB, BD y DA, se vuelven al punto de partida A y se forma un polígono con ángulos
salientes, como FAJ, y los ángulos entrantes como AFB. Este polígono se denomina
polígono regular estrellado.
Figura 8
Construcción de
8
polígonos regulares estrellados
Si se divide la circunferencia de la figura en 8 partes iguales se unen los puntos
divisorios de3 3 en 3 desde 1, se obtiene el octágono regular estrelladlo 147258361.
Generalizando se puede decir que da lo mismo unir puntos de m e m de unir los de
n-m en n-m; lo cual significa que basta considerar los valores de m inferiores a la mitad
de n en la construcción de polígonos regulares estrellados.
Situaciones:
1.
Si n y m son primos entre sí, el polígono regular estrellado tiene n lados;
Para n = 10 y m = 3 se obtiene un decágono regular estrellado.
2.
Si n y m no son primos entre sí, el polígono regular
estrellado tiene tantos lados como indique el cociente de n
entre el máximo común divisor de n y m; para n =10 y m=4
, se obtiene un pentágono regular estrellado, por ser 5 el
cociente de 10 entre 2, ya que dos es el m. c. d. de 10 y de
4.
3.
Se pueden trazar tantos polígonos regulares estrellados de n lados como sean los
números primos con n, menores que la mitad de dicho numero; si n=7, se
pueden trazar dos heptágonos regulares estrellados, porque m puede ser igual a
2 y a 3.
Estos polígonos inicialmente pautan la existencia de un “n” que será la cantidad de
puntos inscritos en la circunferencia mientras que la m identificará “cada cuántos
números uno segmentos”
Por lo anterior se deja como compromiso analizar las situaciones propuestas por la
bibliografía consultada gráficamente (software) y analíticamente:
Además se supone que la conjetura de Carolina tendrá un acercamiento a su afirmación
en la medida que se establezcan relaciones entre conjuntos de números:
Si m es par y n impar  viceversa
Si m es triangular y n primo  viceversa
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Tres semanas después a la presentación se prosigue con las ideas alrededor de los
polígonos estrellados en procura de dar respuesta y/o solución a las inquietudes que se
plantearon en el transcurso del documento.
Se deduce que a partir de un polígono se puede conformar un polígono estrellado, en
este caso se toma como ejemplo el hexágono y al trazar todas sus diagonales posibles se
obtiene el estrellado.
Para obtener el total de las diagonales que tiene el hexágono y en general los polígonos
se aplican la siguiente fórmula:
n(n-3)/2 En este caso la aplicamos así;
6(6-3)/2=6(3)/2 =18/2=9
Esto quiere decir que el hexágono tiene 9 diagonales.
En la figura se ve que desde cada vértice del polígono se puede trazar (n-3) diagonales;
y como hay n vértices, todas las diagonales están repetidas dos veces, el número total de
ellas es la formula anterior dicha.
Luego de esto se quería hallar la relación que existe entre el hexágono y el polígono
estrellado y el trabajo nos llevo a encontrar en cuantas partes divide el polígono
estrellado al hexágono o a cualquier polígono se procedió de la siguiente manera:
6(6-3)/2=6(3)/2 Para este caso solo tomamos 6 x 3 y empezamos a disminuir hasta
6 x 1:
6 x 3 = 18 – 4 =14
6 x 2 = 12 – 4 = 8
6x1= 6 -4 = 2
14+ 8+ 2 = 24
¿Por qué se resta por el cuatro? Porque 4 son las partes en las que se divide el hexágono
con las diagonales del primer vértice, luego se suman los resultados y ese es el número
de partes en las que se divide el hexágono.
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Por otra parte se quería hacer una relación entre los ángulos exteriores e interiores de
los polígonos; cada uno de los ángulos exteriores del polígono es suplemento de su
correspondiente interior, es decir, que juntos suman 2 rectos por tanto la suma, la
suma total de los ángulos interiores y exteriores es igual a 2rn, y la de los ángulos
exteriores es la diferencia entre esa suma total y la de los ángulos interiores ósea:
2rn - 2r (n-2) = 2rn - 2rn + 4r = 4r
En este punto se ha hecho ya un barrido de las exposiciones de los demás grupos y en
procura de resolver la situación planteada acerca de saber si los conjuntos de los
números inscritos en la circunferencia producto de hacer dobleces por mitades son
menores, mayores o iguales a la cantidad de puntos que están fuera de la circunferencia.
Para ilustrar este acontecimiento, se notan los números de la siguiente manera
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 2; donde 2 es la manera como se realiza el dobles (2 partes iguales) y 1 =
cantidad de dobleces; obteniendo así la potencia que simboliza la cantidad de puntos
que han aparecido.
Caracterizando los elementos de la potencia se obtiene que:
22  4
23 
8
24  16
25  32
2n  2n
De esta notación se extrae el hecho que se conocen ya la cantidad de puntos que tiene la
circunferencia si se hacen particiones por mitades: 2n
Igualmente se ubican los números que no se encontrarán en la circunferencia:
Evidentemente no hay cavidad para los números racionales e irracionales, puesto que no
existe una potencia de 2 de este tipo. Entonces resta por determinar los números
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naturales que no se encuentran en la circunferencia, para lo que el grupo hace el
siguiente razonamiento:
No se encuentra el número 1, ni el 3, ni el 5 que resultan ser primos; por lo que ningún
número primo se encontrará en la circunferencia, y su razón radica en que el hecho de
ser primos los hace número que no se pueden descomponer en factores.
Además tampoco es posible encontrar el 10 ni el 18 que resultan ser producto de
primos, llegando a la conclusión final que:
Los puntos ¬p serán más grandes a los puntos p encontrados en la circunferencia
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