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Situación problema: VA Y VIENE… y en un punto se detiene.
¿Cómo saber cuándo una parábola abre hacia arriba o hacia abajo, si es más
estrecha o más ancha, si toca o no el eje de las abscisas y si tiene un eje de
simetría diferente al eje y?
Gráfica de funciones cuadráticas
Identificación de la gráfica de una función cuadrática.
Con tu equipo de trabajo haz las construcciones que te sugiero y de sus
observaciones deduzcan las características de las funciones cuadráticas.
1. Haz la gráfica de la función y = x2, en tu cuaderno. Elabora una tabla dando
valores a la variable independiente x para hallar el respectivo valor de la
variable dependiente y.
x
-2
y
4
Puntos
(- 2, 4)
Si x = –3 => y = (–3)2 = 9
Si x = –2 => y = (–2)2 = 4
Si x = –1 => y = (–1)2 = 1
Si x = 0 => y = 0 = 0
Si x = 1 => y = 12 = 1
Si x = 2 => y = (2)2 = 4
Si x = 3 => y = (3)2 = 9
2. Haz la gráfica de la función y = – 2x2 – 1
Completa una tabla como la siguiente:
x
–2
y
–9
Puntos
(–2, –9)
Si x = –2 => – 2 (–2)2 – 1 = –9
¿Cómo resultó la curva obtenida?
¿Cuál es su vértice? ¿Hacia dónde abre esta curva?
¿Corta en algunos puntos al eje de las abscisas?
Compara las gráficas de las funciones:
y = x2
y
y = – 2x2 – 1
¿Qué tienen en común? ¿Qué las hace diferentes?
¿Por qué una abre hacia arriba y otra hacia abajo?
3. El análisis de las dos gráficas que has hecho te da argumentos para hacer
predicciones sobre las gráficas de las siguientes funciones.
a) y = – x2 ¿Hacia dónde abre su gráfica? ¿Por qué?
¿Cuál es el vértice?
y = 2x2 + 1 ¿Hacia dónde abre la parábola?
¿Cuál es su vértice? ¿Por qué?
¿Corta la parábola las abscisas?
4. Grafica y = x2 + 2x
Haz la tabla de valores x y y que te ayudará en la construcción de la gráfica.
¿Hacia dónde abre la parábola?
¿Corta esta gráfica el eje de las abscisas?
¿En qué puntos?
¿Cuál es el vértice de esta parábola?
Si aseguramos que la gráfica de cualquier función de la forma y = ax2 + bx
pasa por el punto (0,0), ¿podrías explicar por qué ocurre este hecho?
5. Haz la gráfica de y = x2 – x + 1.
¿Hacia dónde abre esta parábola?
¿Corta el eje de las abscisas?
La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola, el sentido de
ésta lo determina el coeficiente del término cuadrático; cuando éste es
negativo, la parábola abre hacia abajo, esto es, su vértice es el punto más alto
de ella; si el coeficiente del término cuadrático es positivo abre hacia arriba. Así
mismo, el vértice puede quedar en el origen, sobre el eje de las ordenadas, en
el de las abscisas o en cualquier otro punto del plano cartesiano.
1. En la función y = – 3x2, ¿hacia dónde abrirá la parábola?
¿Por qué?
2. El vértice de la misma función, ¿en dónde queda localizado?
3. En la función y = 3x2 + 1, ¿en dónde queda localizado el vértice?
4. En la función y = x2 + 5x, ¿en dónde queda localizado el vértice?
Compara tus respuestas con las de otro equipo; si existen dudas, coméntalas.
Ecuaciones completas de segundo grado
Se llama ecuación completa de segundo grado con una incógnita, aquella
operación en que, después de haber realizado las transformaciones y
reducciones posibles, se cuenta con un término cuadrático (tc), con un término
lineal (tl) y con un término independiente (ti).
Ejemplos:
(tc)
(tl)
(ti)
1. x2 – 3x + 6 = 0
x2
–3x
6
2. x2 – x – 2 = 0
x2
–x
–2
2
3. 3x + 5x – 28 = 0
3x2
5x
–28
4. 2 x2 – 6x – 30 = 0
2x2
–6x
–30
La forma general de la ecuación completa de segundo grado es la siguiente:
a x2 + bx + c = 0
Ecuaciones incompletas de segundo grado
En toda ecuación de segundo grado, después de haber hecho las
transformaciones y reducciones posibles, debe figurar necesariamente el
término de segundo grado, pero puede faltar el término de primer grado o el
término independiente; estos casos reciben la denominación de incompleta.
3x2 – 6x = 0 Ecuación incompleta de segundo grado por carecer de término
independiente.
X2 – 25 = 0 Ecuación incompleta de segundo grado por carecer de término de
primer grado.
La forma general de una ecuación incompleta de segundo grado en la que no
existe término independiente, es:
a x2 + bx = 0
Si la ecuación carece del término de primer grado, la forma general es:
a x2,+ c = 0
Ejemplos:
X2 + 5x = 0 Carece de término independiente,
X2 – 2x = 0 por lo tanto pertenecen a la forma
3 x2 + 9x = 0 a x2 + bx = 0
9 x2 – 7 = 0 Carecen de término lineal, por lo
4 x2 + 25 = 0 tanto pertenecen a la forma
m2 – 12 = 0 a x2 + c = 0
Situación problema: SE NECESITAN NUEVOS NÚMEROS.
___
Un nuevo número: √− 1
Los números complejos
¿Habrá en los reales algún número que multiplicado por sí mismo sea
negativo?
¿Qué hacer?
Con tu grupo resuelve las siguientes incógnitas:
1. Encuentra un número tal que si lo elevas al cuadrado y le sumas 1 te da
cero.
Escribe la ecuación que te permitirá hallar este número buscado.
¿Qué ocurre cuando tratas de encontrar el valor de x?
2. Tienes otras herramientas para buscar qué ocurre con esta ecuación que te
traduce el problema inicial.
¿Qué tal si representas la función asociada a la ecuación? ¿Podrás visualizar
los ceros de la función?
Haz la gráfica de x2 + 1 = y
Apóyate en una tabla con valores de x y y
Si x = 5, entonces y= 52 + 1=
Si x = 3, entonces y= 32 + 1=
Si x = 1, entonces y= 12 + 1=
Si x = 0, entonces y= 02 + 1= 1
Si x = - 1, entonces y= (- 1)2 + 1=
x
5
3
1
0
- 1
- 3
- 5
y
1
Si x = - 3, entonces y= (- 3)2 + 1=
Si x = - 5, entonces y= (- 5)2 + 1=
¿Cómo es la figura que representaste en la gráfica? ¿Hacia dónde se abre?
¿Cuál es el vértice?
¿Corta la gráfica el eje de las abscisas?
¿Dónde se representan los ceros de una función cuadrática?
¿Puedes por medio de este procedimiento encontrar las raíces de x2 + 1 = 0?
Comenta tus hallazgos con tus compañeros(as). ¿Qué conclusión proponen?
UN NUEVO NÚMERO: √− 1
Procederemos como lo hicieron los primeros algebristas cuando intentaron
resolver ecuaciones de segundo grado y no encontraron raíces en los números
reales.
La más sencilla de ellas es la que trataste de resolver en la sesión anterior:
x2 + 1 = 0? x2 = −1 ⇒ x = √ −1
Cuando se llegó a esta situación se analizó la imposibilidad de encontrar en los
números reales uno cuyo cuadrado sea un número negativo.
Así que la expresión √−1 no tenía ningún sentido en los números reales.
Entonces hubo necesidad de inventar unos nuevos números. Fue así como se
definió y se le dio nombre al primero de ellos, al más sencillo de ellos: se llamó
entonces:
__
Unidad imaginaria: i = √−1
Y mira lo que pasa cuando tratamos de encontrar el cuadrado de i
__
2
i = (√−1)2 = – 1
En conclusión: se construirán los nuevos números partiendo de las siguientes
definiciones:
El cuadrado de la unidad imaginaria i es la unidad negativa –1
i2 = –1
Una raíz de la unidad negativa –1 es la unidad imaginaria i
Otros nuevos números.
Al resolver una ecuación como x2 + 4 = 0
Se tiene: x2 = – 4
x = + √− 4 = + √4 (−1) = +/- √4 √−1= +/- 2i
Es así como la ecuación x2 + 4 = 0 tiene dos raíces, no reales, sino imaginarias
x1 = + 2i ; x2 = – 2i
Admitimos nuevos números como + 2i y – 2i y todos aquellos que van a tener
como forma general:
(Número real) ⋅ i
__
Por ejemplo: 2i, 7i, –3i, 3i/5, √7i, a los cuales llamaremos números
imaginarios.
Estos números están constituidos por dos partes:
a se llama parte real.
a + bi
b se llama parte imaginaria.
Les daremos un nombre:
Números complejos.
Veamos cómo son estos números complejos cuando a ó b son 0.
Si a = 0 entonces a + bi = bi, tendremos un número imaginario puro.
Si b = 0 => a + bi = a, tendremos un número real, es decir el número complejo
sólo tiene parte real.
Este hecho nos permite considerar que los números reales forman parte de los
números complejos.
¿Cómo llamamos a los números complejos cuando b es diferente a 0?
Todos los complejos, de la forma a + bi, con b ≠ 0 como por ejemplo:
3 + 2i; –5 –i, 4i, i se llaman números imaginarios. En los ejemplos 4i, i son
imaginarios puros porque su parte real es 0.
Con tus compañeros(as) de grupo resuelve:
1. ¿Cómo son las raíces de las siguientes ecuaciones?
a) x2 – 4 = 0, x2 + 4 = 0
b) 3x2 – 2 = 0, 3x2 + 2 = 0
2. Encuentra las raíces de las siguientes ecuaciones:
a) x2 – 3x + 4 = 0
b) x2 – x + 7 = 0
c) x2 – 2x + 2 = 0