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Hay que tener en cuenta que cuando el enunciado del problema no
especifique los números a combinar utilizaremos los dígitos del 0 al 9.
Las técnicas de conteo son herramientas que permiten encontrar la
cantidad de elementos que tiene el espacio muestral de un experimento
aleatorio. Las principales técnicas de conteo son: el principio multiplicativo,
las variaciones, las permutaciones y las combinaciones. Las técnicas de
conteo se definen teniendo en cuenta dos conceptos importantes:
ORDEN: Se dice que una muestra n es ordenada cuando se tiene en cuenta
el orden en su selección.
REPETICIÓN: Se dice que en una muestra n hay repetición si es posible que
algunos elementos de la población se repitan.
Cuando se realizan este tipo de conteos debemos tener en cuenta que:
 En cuanto al “orden”: El orden es valor posicional del número en el
sistema numérico decimal
 En cuanto a la “repetición”: el enunciado del problema indicará si los
dígitos pueden repetirse o no. Si en el enunciado aparece por ejemplo la
palabra “diferente”, los dígitos no pueden repetirse.
Cuando se realizan este tipo de conteos debemos tener en cuenta que:
 En cuanto al criterio “orden”: El orden es importante si no se pueden
repetir las letras.
 En cuanto al criterio “repetición”: se debe mirar detenidamente el
enunciado del problema para observar si las letras pueden o no
repetirse. Por ejemplo cuando se van a hacer combinaciones a partir de
una palabra que no tiene letras repetidas o porque así lo pida el
enunciado del problema.
Hay que tener en cuenta que cuando el enunciado del problema no
especifique las letras a combinar utilizaremos las letras del alfabeto (27
letras de A a la Z).
“No hay nada tan difícil que,
buscándolo, no pueda encontrarse.”
—Terencio
6x6x2=72. Con 6 números se pueden formar 72 cifras
de 3 dígitos que pueden repetirse y son números
pares.
1. SI se permiten repeticiones ¿Cuantos números de 3 dígitos pueden
formarse a partir de los números 2,3,5,6,7, y 9?
c. ¿Cuántos terminan en 5?
En este ejercicio me están pidiendo que forme números de 3 dígitos con los
6 números que me dan (2,3,5,6,7, y 9), sabiendo que estos números los
puedo repetir. Por lo tanto utilizo un diagrama con tres casillas.
El enunciado me indica que la tercera casilla tiene una condición que solo el
número 5 puede cumplir; las demás casillas no tienen condición, por lo
tanto:
Dígito 1
Dígito 2
Dígito 3
n1 = 6
n2 = 6
n3 = 6
6x6x6= 216. Con 6 números se pueden formar 216
cifras de 3 dígitos que pueden repetirse.
Dígito 1
Dígito 2
Dígito 3
n1 =6
n2 = 6
n3 = 1
6x6x1=36. Con 6 números se pueden formar 36 cifras
de 3 dígitos que pueden repetirse y terminan en 5.
a. ¿Cuantos de estos son menores de 400?
En este ejercicio existe una condición, y es que los números que forme
deben ser menores de 400. Para que un número sea menor de 400 debe
ser iniciar por 1, 2 ó 3, pero el 1 no hace parte de los números que me
dieron (2,3,5,6,7, y 9) por lo tanto solo quedan el 2 ó el 3. Esto me indica
que la primera casilla tiene una condición que solo dos de los números que
me dieron la cumplen; las demás casillas no tienen condición, por lo tanto:
Dígito 1
Dígito 2
Dígito 3
n1 = 2
n2 = 6
n3 = 6
2x6x6=72. Con 6 números se pueden formar 72 cifras
de 3 digitos que pueden repetirse y son menores de
400
2. Un sistema de alarma de seguridad se activa u desactiva introduciendo
el código numérico de tres dígitos apropiados en el orden correcto en
un tablero digital. Calcule el número total de posibles combinaciones
del código si ningún dígito se puede repetir.
En este ejercicio no me dieron los números con los cuales puedo formar el
código numérico, por lo tanto utilizo los 10 dìgitos del sistema decimal que
en total son 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), sabiendo que estos números NO
pueden repetirse. Por lo tanto utilizo un diagrama con tres casillas
Dígito 1
Dígito 2
Dígito 3
n1 = 10
n2 = 9
n3 = 8
10x9x8= 720. Con los 10 dígitos del sistema decimal se
pueden formar 720 códigos que no repiten dígitos.
b. ¿Cuántos son números pares?
Para que un número sea par debe terminar en 0,2,4,6,8. De los números
que me dieron (2,3,5,6,7, y 9) solo el 2 ó el 6 son pares. Esto me indica que
la tercera casilla tiene una condición que solo dos de los números que me
dieron la cumplen; las demás casillas no tienen condición, por lo tanto:
Dígito 1
n1 = 6
Dígito 2
n2 = 6
Dígito 3
n3 = 2
3. Si no se permiten repeticiones ¿Cuantos números de tres dígitos
pueden formarse a partir de los números 2,3,5,6,7 y 9?
En este ejercicio me están pidiendo que forme números de 3 dígitos con los
6 números que me dan (2,3,5,6,7, y 9), sabiendo que estos números NO
pueden repetirse. Por lo tanto utilizo un diagrama con tres casillas
Dígito 1
Dígito 2
Dígito 3
n1 = 6
n2 = 5
n3 = 4
6x5x4=120. Con 6 números se pueden formar 120
cifras de 3 dígitos que no pueden repetirse.
4.
¿Cuántos números de 4 dígitos diferentes pueden formarse con los
dígitos 0,1,2,3,4,5,6 tal que sean múltiplos de 5 y menores que 3000?
En este ejercicio me están pidiendo que forme números de 4 dígitos con los
7 números que me dan (0,1,2,3,4,5,6), sabiendo que estos números NO
pueden repetirse (porque en el enunciado aparece la palabra “diferente” y
eso me indica que no puedo repetir números).
En este ejercicio existe dos condiciones:
Primera condición: los números que forme deben ser múltiplos de 5. Para
que un número sea múltiplo de 5 debe terminar en 5 o en 0. Estos dos
números se encuentran entre los dígitos que me dieron y son los números
que van en la última casilla.
Segunda condición: los números que forme deben ser menores que 3000.
Para que un número sea menor que 3000 debe empezar por 0, 1, ó 2. Como
vemos el 0 hace parte de las dos condiciones, lo que obliga a partir el
problema en dos partes ya que si ponemos el 0 en el primer digito ya no
puede ser usado para el cuarto digito y como ambas situaciones deben
tenerse en cuenta procedamos de la siguiente forma.
Primera parte: en el digito 1 se tendrán en cuenta las opciones: 0-1-2. Para
el digito 4 solo queda disponible el 5.
Recordemos que las casillas 2 y 3 no tienen ninguna condición, pero como
en este ejercicio no se pueden repetir dígitos debo tener en cuenta que por
cada casilla que ya ha sido ocupada con una condición, yo debo descontar
un dígito.
Dígito 1
Dígito 2
Dígito 3
Digito 4
n1 = 3
n2 = 5
n3 = 4
n4 = 1
3x5x4x1=60. Con 7 dígitos se pueden formar 60 números de 4 dígitos
diferentes que empiecen en 0 ó 1 ó 2 y terminen en 5
Segunda parte: para el digito 1 se tendrán en cuenta las opciones: 1-2. Para
el digito 4 se tendrán en cuenta las opciones 0-5.
Dígito 1
Dígito 2
Dígito 3
Digito 4
n1 = 2
n2 = 5
n3 = 4
n4 = 2
2x5x4x2=80. Con 7 dígitos se pueden formar 80 números de 4 dígitos
diferentes que empiecen en 1 ó 2 y termine en 0 ó 5
Entonces el total de posibilidades es 60 + 80 = 140. Con 7 dígitos se pueden
formar 140 números de 4 dígitos diferentes que sean múltiplos de 5 y sean
menores que 3000
5. Hallar el número de palabras de cuatro letras que se pueden formar
con la letras de la palabra CRISTAL
Si no hay restricciones
Cuando me dicen que el ejercicio no tiene restricciones, es que no tiene
condiciones en ninguna casilla y que puedo utilizar todas las letras de la
palabra CRISTAL, las cuales son 7. Como vemos la palabra CRISTAL no
tienen ninguna letra repetida, por lo tanto utilizo un diagrama de 4 casillas
asi:
letra 1
letra 2
letra 3
letra 4
n1 = 7
n2 =6
n3 =5
n4 =4
7x6x5x4=840. Con las 7 letras de la palabra CRSTAL se pueden formar
840 palabras de 4 letras. (estas palabras pueden ser con o sin sentido)
¿Cuántas contienen solo consonantes?
En este ejercicio me están pidiendo que forme palabras de 4 letras
utilizando solo las consonantes de la palabra CRISTAL. La palabra CRISTAL
tiene 5 consonantes las cuales no se repiten, por lo tanto utilizo un
diagrama de 4 casillas así:
letra 1
letra 2
letra 3
letra 4
n1 = 5
n2 =4
n3 =3
n4 =2
5x4x3x2=120. Con las letras de la palabra CRISTAL se pueden hacer 120
palabras utilizando solo consonantes.