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UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MAT.
CURSO : MA22A-02 CALCULO EN VARIAS VARIABLES
PROFESOR: MARCELO LESEIGNEUR
TIEMPO: 3 horas
CONTROL #2
1.- Sea f : U  a, b  R contínua con U  R n abierto, tal que existen las derivadas parciales de primer orden y
son contínuas. Sea g : U  a, b y h : U  a, b de clase C 1 (U ).
Se definen:
h( x)
g ( x)
 ( x) 
 f ( x, t )dt
a
 ( x) 
 f ( x, t )dt
g ( x)
Calcule:

a)
(x) i=1,...,n. Justificar
xi

b)
(x) i=1,...,n. Justificar
xi
c)  ( ) para   0 si  ( ) 
2
'
senx
 x dx
2.I.- Para la siguiente función estudie la diferenciabilidad, derivadas direccionales y derivadas parciales en el
origen. Concluya.
 
f ( x, y )  x 2 y
1/ 3
(2 puntos)
II.- Sea f : R 2  R definida por:
i)
ii)
 x3 y

( x, y )  (0,0)
f ( x, y )   x 4  y 2

( x, y )  (0,0)
 0
Determinar para qué direcciones existe la derivada direccional de f en (0,0).
Sea  : R  R 2 definida por:
1 T

2

Si
t0
 (t )   (t , t sen( t ))

Si
t0
(0,0)
Muestre que λ es diferenciable en t = 0
iii)
Encuentre las derivadas parciales de f donde existan.
iv)
Estudie la diferenciabilidad de ( fo ) en t = 0. Concluya acerca de la diferenciabilidad de f en (0,0)
(4 puntos)
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FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MAT.
3.En la figura se observan dos placas metálicas separadas por un ángulo
 0 (fijo) y una carga eléctrica q>0 de masa m, ubicada inicialmente en
reposo en la bisectriz del ángulo  0 . La Fuerza neta que actúa sobre la
masa m de carga q es la fuerza ejercida por las placas y está dada por :


Feléctrica  qEeléctrico
donde E : R 3  R 3 se denomina campo eléctrico, el cual es
conservativo, por lo tanto existe una función  : R 3  R de clase C2
denominado potencial eléctrico y se relaciona con campo por:

E  
V=V0
q,m
θ0
V=0
Como la fuerza eléctrica es conservativa, se define la Energía Potencial
Eléctrica como U ( x, y, z )  q ( x, y, z )
Finalmente, la energía total de la partícula es:
donde v: Velocidad
1
mv 2  q  Cte.
2
 : Potencial
Nos proponemos determinar la velocidad que alcanza la partícula justo antes de chocar con la placa inferior.
Para ello debemos determinar una expresión para el potencial eléctrico entre ambas placas, el cual satisface la
ecuación:
 2  2  2
  2  2  2  0 (*)
x
y
z
Para resolver proceda con lo siguiente:
a) Considere el cambio de variables a coordenadas cilíndricas
y
zz
x
Demuestre que la ecuación (*) se transforma en:
r
x2  y2
  arctg ( )
 2 1  1  2  2



0
r 2 r r r 2  2 z 2
(2 puntos)
b) Por la geometría, suponga que el potencial sólo depende del ángulo, es decir,  (r , , z )  V ( ) .
Determine explícitamente V ( ) si V (0)  0 V ( 0 )  V0 . Dibuje las curvas de nivel para V ( ) con
  0, 0 . (2 puntos)
c) Aplicando conservación de la energía, calcule la velocidad v de la partícula justo antes de chocar con la
placa inferior. (1 punto)

d) A partir de V ( ) calcule V ( x, y, z ) . Determine E ( x, y, z ) . (1 punto)