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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA –MECÁNICAMÓDULO # 3: MOVIMIENTO CIRCULAR
Diego L. Aristizábal R.
Profesor asociado con tenencia de cargo, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Septiembre de 2014
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Temas
Introducción
Movimiento circular: Definiciones básicas de las variables angulares
Aplicación de las ecuaciones básicas del movimiento
Relaciones entre variables angulares y las lineales
Introducción
En el módulo # 2 se desarrolló la teoría básica para analizar gráficamente la cinemática del movimiento
rectilíneo y en las prácticas # 2 y # 3 se realizaron medidas de aceleraciones de móviles usando
diferentes métodos. En este módulo se analizará gráficamente la cinemática del movimiento circular con
aceleración angular constante; adicionalmente en la práctica # 4 se verificará experimentalmente la
relación entre la aceleración angular y la aceleración tangencial.
Movimiento circular: Definiciones básicas de las variables angulares
Posición angular 
Sea una circunferencia de radio R, centro C fija en un marco de referencia. Se elige un origen O sobre la
circunferencia, Figura 1. Si una partícula se mueve sobre esa trayectoria circular, su posición general en un
punto P puede darse mediante la posición angular  (expresado en radianes), ángulo medido respecto a una
línea de referencia CO:  es una función del tiempo, (t)
Figura 1
Desplazamiento angular 
Al cambio de la posición angular se le denomina desplazamiento angular, Figura 2. Se mide en radianes.
1
2
Figura 2
Velocidad angular w
Al desplazamiento angular dividido por el intervalo de tiempo empleado para realizarlo se le denomina
velocidad angular media de la partícula,
wm =
Δθ
Δt
wm ,
[1]
y en el SI se mide en rad.s-1.
Si el intervalo de tiempo t es muy pequeño la velocidad angular se denomina velocidad angular instantánea,
w.
Aceleración angular 
Al cambio en la velocidad angular instantánea dividido por el intervalo de tiempo empleado para realizarlo
se le denomina aceleración angular media de la partícula,
αm =
Δw
Δt
αm ,
[2]
y en el SI se mide en rad.s-2.
Si el intervalo de tiempo t es muy pequeño la aceleración angular se denomina aceleración angular
instantánea, .
Aplicación de las ecuaciones básicas del movimiento rectilíneo
En esta sección se aplicarán las ecuaciones [1] y [2] a movimientos circulares especiales: MCU y MCUV.
El MCU (Movimiento Circular Uniforme) se hace con velocidad angular constante y por lo tanto aceleración
angular igual a cero.
El MCUV (Movimiento Circular Uniformemente Variado) se hace con aceleración angular constante.
Las gráficas básicas que corresponden a estos movimientos se ilustran en las tablas 1 y 2. Observar que
tienen el mismo comportamiento matemático que sus homólogas en el movimiento rectilíneo (ver módulo #
2) y por lo tanto un análisis gráfico idéntico permite también obtener ecuaciones homólogas a éste:
θ = θo + w o t +
w = w o + αt
1 2
αt
2
w 2 = w o2 + 2α  θ-θo 
[3]
[4]
[5]
Si el movimiento es circular uniforme (MCU) las ecuaciones anteriores se reducen a la siguiente:
θ = θo + wt
[6]
Adicionalmente el MCU es un movimiento periódico, es decir cada vuelta se hace en el mismo tiempo y
repitiendo los valores de todas sus variables cinemáticas. Con base en esto se define el PERIODO P como
el tiempo para que el móvil haga una vuelta completa, =2,
Δθ = θ - θo = 2π
y por lo tanto de la ecuación [6] se obtiene para el MCU,
w=
2π
P
[7]
3
Tabla 1
TIPO DE
MOVIMIENTO
 VS t
w VS t
 vs t
MCU
(velocidad
angular
constante)
4
Tabla 2
MCUV
(aceleración
angular
constante)
MCUV (movimiento Circular Uniformemente Variado): velocidad angular aumentando
MCUV (movimiento Circular Uniformemente Variado): velocidad angular disminuyendo
Relaciones entre variables angulares y variables lineales
De la geometría se sabe que,
s =  θ  R
[8]
Dividiendo entre el intervalo de tiempo (este muy pequeño) se obtiene,
V = wR
[9]
La aceleración tangencial es igual al cambio en la magnitud de la velocidad lineal instantánea en el intervalo
de tiempo,
aT =
  wR 
V
ω
=
=R
t
t
t
5
Y tomando intervalo de tiempo muy pequeño se obtiene,
a T = αR
[10]
Resumiendo, la relación entre las variables lineales y angulares es,
s=θR
[8]
V=ωR
[9]
aT = α R
[10]
Ver regla nemotécnica en la Figura 3.
Figura 3
Adicionalmente la aceleración centrípeta, que corresponde al cambio en la dirección de la velocidad
instantánea en el intervalo de tiempo, es,
aN =
V2
R
[11]
o reemplazando [9],
a N = ω2 R
[12]
La demostración de la ecuación [11] no está dentro de los objetivos de este.
Un comentario sobre las variables lineales y angulares
Como consecuencia de la propiedad de los ángulos que expresa que el valor de éstos no depende de la
longitud de sus lados sino de su apertura, si un cuerpo rígido está en rotación respecto a un eje, todos sus
puntos rotarán haciendo los mismos desplazamientos angulares, con la misma velocidad y aceleración
angular independientemente de que tan cerca o lejos se encuentren del centro de rotación, es decir,
independientemente del radio de su trayectoria circular. Sin embargo, el valor de la longitud del arco
recorrido, de la velocidad y de la aceleración lineal es mayor para los puntos que estén más alejados del
centro: varían proporcionalmente al radio de la trayectoria circular, Figura 4
Figura 4
Representación vectorial de las variables angulares
La posición, la velocidad y la aceleración angular en el sentido estricto no son vectores. Esto se debe a que
no cumple la propiedad conmutativa. Para comprender se puede realizar el siguiente experimento:

Ubicar un libro sobre una mesa y definir un sistema de coordenadas cartesiano XYZ. Para facilitar el
experimento colocar un eje en la dirección del lomo del libro, por ejemplo el eje X estando el plano XY
sobre la pasta del libro.

Rotar el libro alrededor del eje Z y luego alrededor del eje Y.

Repetir pero conmutar las rotaciones, es decir, primero alrededor del eje Y y luego alrededor del eje
Z.

El resultado es diferente. Es decir la rotación no conmuta
Sin embargo el comportamiento de las variables angulares es muy similar a la de un vector, por lo que en
muchas aplicaciones se les trata como tal: a este tipo de comportamientos se les denomina pseudovectores.
En este curso no se ahondará en este asunto y en el fondo de este se tiene que estos pseudovectores
tienen su origen en productos vectoriales, que como bien se debe recordar, el producto vectorial NO
CONMUTA, sin embargo su resultado se comporta como un vector. Ejemplos de pseudovectores: torque,
desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, momento angular (este, se tratará en la
última unidad del curso).
6
Habiendo realizado la anterior aclaración, se tratarán las variables angulares como vectores y para el caso
de movimiento circular, considerando como eje de rotación el que pasa por el centro de la trayectoria
circular, estos vectores angulares tienen la siguiente orientación:

El desplazamiento y la velocidad angular están en la dirección del eje de rotación y apuntan hacia donde
se desplaza un tornillo de rosca derecha, Figura 5.
7
Figura 5

La aceleración angular apunta en el mismo sentido del cambio de velocidad angular.
En la Figura 6 se ilustran los vectores velocidad lineal, aceleración centrípeta y velocidad angular en una
partícula que se mueve con movimiento circular uniforme.
Figura 6
Se recomienda ver la simulación de SimulPhysics que ilustra lo este comportamiento vectorial. Para
acceder a ésta se hace clic en el ítem Movimiento circular ilustrado en la Figura 7: se desplegará la ventana
de la Figura 8.
8
Figura 7
Figura 8
FIN.