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Los números naturales
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Historia de los números naturales.
Justificación de su introducción.
Para ampliar.
Historia de los números naturales
En la Prehistoria, las tribus más primitivas, apenas si sabían distinguir entre uno y muchos. Más adelante, utilizaron un
lenguaje corporal (dedos, mano, codo, pie...) y con ayuda de ramas, piedras, etc. consiguieron contar números cada vez
mayores.
Los babilónicos fueron los primeros que utilizaron el cero para los cálculos matemáticos. Los símbolos que representan a
los números no han sido siempre los mismos:
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En Mesopotamia se representaban en forma de cuña.
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En Egipto mediante jeroglíficos.
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En Grecia, las letras de su alfabeto.
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En Roma los símbolos que se usaron fueron: I=1;V=5; X=10; L=50; C = 100; D=500; M= 1000.
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Nuestro sistema de numeración actual que lo introdujeron los árabes y es de origen Hindú es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 y 9
Ya en los papiros egipcios, como el de Rhind, aparecen ejemplos del uso de las potencias y de extracciones correctas de
las raíces cuadradas.
En las tablillas mesopotámicas existen tablas de cuadrados, de raíces cuadradas, de cubos y de raíces cúbicas de
números naturales.
Los griegos clasificaron algunos números según sus propiedades. Los más importantes son los números triangulares y
los cuadrados, aunque también distinguieron entre números perfectos ( cuando es igual a la suma de sus divisores sin
incluir el propio número), abundante ( si es mayor que la suma de sus divisores), defectuoso ( si es menor que la suma de
sus divisores), amigos ( cuando cada uno coincide con la suma de los divisores del otro) , primos y compuestos.
Eratóstenes de Cirene ( 276 - 194 a. C.) estudió los números primos y compuestos e ideó un método para encontrar los
números primos llamado criba de Eratóstenes).
Fermat matemático del siglo XVII fue el creador de la moderna teoría de números.
Justificación de su introducción
La necesidad de perpetuar el conocimiento adquirido, en particular en lo concerniente a este sistema de números, obligó a
utilizar ciertas grafías para representar, tanto a sus elementos, como a las operaciones relacionadas (comentadas en el
punto anterior). Símbolos que fueron evolucionando hasta nuestros días, en que se representó a dicho conjunto con la letra
N, a sus elementos por los signos 1, 2, 3, 4, ..., y a las operaciones entre ellos con los signos + y -.
Los números enteros
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Historia de los números enteros.
Justificación de su introducción.
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Historia de los números enteros
Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con
magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el mérito de
transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.
Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos
matemáticos muy conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los signos + y - y llamaba a los
números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su
abreviatura
m.
Justificación de su introducción
En el sistema de los números naturales ecuaciones del tipo X + 1 = 0, no tienen solución, así como otras situaciones de
la vida real como, deudas, depresiones del terreno nivel bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, que no es posible
representarlas con tales números.
Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a un nuevo sistema en el que tales ecuaciones
y situaciones sea posible. Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los númenros enteros y que se simboliza por
la letra Z.
Los números racionales
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Historia de los números racionales.
Justificación de su introducción.
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Historia de los números racionales
Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre
todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o
partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.
Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.
En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en
Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.
A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los
conocemos hoy.
A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de
números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765
escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).
A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto
o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al
adoptarse
el
Sistema
Métrico
Decimal,
en
el
siglo
XVIII,
concretamente
en
1792.
Justificación de su introducción
Al estudiar la operación de multiplicar en los números enteros, se observa que la operación inversa, la división, no es
siempre posible. Por ejemplo, 4 : 5 carece de sentido en los enteros. Surge, por tanto, la necesidad de extender el sistema
de los números enteros, a un nuevo sistema en el que tengan sentido tales operaciones.
Este nuevo sistema recibió el nombre de sistema de los números racionales, y que se simboliza con la letra Q.
Los números irracionales
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Historia de los números irracionales.
Justificación de su introducción.
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Historia de los números irracionales
La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos
descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al
comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también,
familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números negativos y
el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.
El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la Aritmética y el Álgebra no se desarrollara
independientemente. Por ejemplo, los elementos que intervienen en los cálculos se representaban geométricamente y las
magnitudes irracionales las tomaban como segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en día representamos por:
X2 + a X = b2
para ellos significaba hallar un segmento X tal que si al cuadrado construido sobre él, se le suma un rectángulo construido
sobre ese mismo segmento y sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área coincidente con la de un
cuadrado de lado "b" conocido.
Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso de coeficientes negativos y se dan reglas para
operar con ellos, pudiendo resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las soluciones positivas.
También conocían técnicas rudimentarias para la resolución de las ecuaciones de tercer grado.
Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y
empezó a desarrollar las reglas del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de
una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca científicamente y el desarrollo matemático se desplaza hacia la India, Asía
Central y los países árabes, inpulsándose sobre todo la Astronomía.
Fueron los indios, entre los siglos V- XV, los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números
negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales sin
representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación.
encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula del binomio de Newton (en forma verbal).
Durante el periodo renacentista, entre los siglos XVI y XVIII, los europeos toman contacto con las ideas griegas a través
de traducciones árabes reemplazándolas, paulatinamente, por los métodos indios.
A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron resolver por radicales, de forma general, las
ecuaciones de tercer y cuarto grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles (imaginarios), aunque sin
fundamento lógico. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de la actual.
A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de
logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra debido
al interés sobre los estudios de magnitudes variables.
Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado hasta
veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que
culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteroros, racionales e
irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.
Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así como una operación denominada paso al
límite, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las matemáticas conocida
como
Cálculo
diferencial
e
Integral.
Justificación de su introducción
Hay muchas razones, que obligaron a su introducción, nos centraremos en la original. La razón de origen, fue motivada
por el uso de cálculos geométricos que aparecían en la época griega relacionados con el llamado número áureo o número
de oro, el cual era el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado del mismo, que coincidía con la razón
entre el segmento mayor y el menor de un segmento AB, dividido por un punto C, interior al mismo, en proporción áurea, es
decir
cumpliendo
que
AC/CB
=
AB/AC.
A
título
de
ejemplo,
veamos
su
valor.
Llamemos a = AC y b= CB, con lo que la expresión anterior se transforma en: a/b = (a + b)/a, con lo que si llamamos x
al número áureo, tendremos x =1 + 1/x, llegando así, a la ecuación de segundo grado: x 2 - x -1 = 0, cuyas soluciones son
(1 + sqr(5))/2 y (1 - sqr(5))/2, donde sqr(5) simboliza la raíz cuadrada de cinco. Descartando la negativa, obtenemos así el
buscado número de oro.
Pero sqr(5), no se podía expresar como cociente de dos enteros, pues, si así fuese, tendríamos que sqr(5) = a/b, donde
a y b son primos entre si (simplificando si es necesario). Por lo tanto 5 = a2 / b2, o bien a2 = 5 b2, es decir a2 es múltiplo de
cinco, y por lo tanto a también debe de serlo ( a2 = a . a ). Sea, entonces a = 5 k, con lo que (5 k )2 = 5 b2, es decir 5 k2 = b2,
llegando a que también b es múltiplo de cinco, en contradicción con el hecho de que a y b eran primos entre si. Por lo tanto
sqr(5), no es un número racional y en consecuencia el número de oro tampoco. A tal número, le llamaron irracional, por no
ajustarse a los esquemas que, hasta entroncas, tenían de los números.
Otro problema que se relacionó con su introducción, fue el cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado uno, que por el
teorema de Pitágoras conduce al número sqr(2), que por un razonamiento análogo al anterior tampoco es un número
racional.
También justifico su introducción, la necesidad de asociar a todo segmento orientado de la recta con origen un punto fijo de
la misma, y con respecto a un segmento tomado como unidad, un número único (su longitud) y recíprocamente.
Es de hacer notar que los razonamientos anteriores, los hicieron a través de métodos geométricos y no algebraicos, como
hemos hecho.