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FACULTAD:
CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
ASIGNATURA:
ESTADISTICA II
TÍTULO:
PROYECTO
AUTOR:
AQUINO ORTEGA ANDREINA
BASTIDAS QUILLIGANA XIMENA
VERA VELASCO PABLO
ZAMORA PEREZ NOHELY
PROFESOR:
ING. ROSERO VILLAMAR ILIANA
FECHA:
18-JUNIO-201
INTRODUCCIÓN
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden
representarse como resultado de un experimento .Si embargo, en vez de
describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el
futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que
se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las
tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.
Los objetivos de distribuciones de probabilidad son:
a) Introducir las distribuciones de probabilidad que más se utilizan en la
toma de decisiones.
b) Utilizar el concepto de valor esperado para tomar decisiones.
c) Mostrar qué distribución de probabilidad utilizar, y cómo encontrar sus
valores.
d) Entender las limitaciones de cada una de las distribuciones de
probabilidad que utilice.
El tema a estudiar son las variables aleatorias discretas especiales las cuales
son:
 Distribución binomial
 Distribución hipergeométrica
 Distribución POISSON
DESARROLLO
La distribución binomial
Es la que maneja la distribución de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de éxitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de éxito
constante y con ensayos independientes.
La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" de veces
el experimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. La
variable puede tomar valores entre:
0: si todos los experimentos han sido fracaso
n: si todos los experimentos han sido éxitos
se tira una moneda 10 veces: ¿cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la
variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si
todas han sido cara la variable toma el valor 10
2
FORMULA BINOMIAL
P(x) = nCx*𝒑𝒙 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙
n= tamaño de la muestra
x= números de éxitos en la muestra
p= probabilidad de éxito
(1-p)= probabilidad de no éxito
CARACTERISTICAS



Dos posibles resultados
N es finito y conocido
Probabilidad de éxito p es constante
EJEMPLO
¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?
La probabilidad de no éxito de que un estudiante obtenga el título de licenciado
en Farmacia es 0.3 . hallar la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes
matriculados en primer curso finalicen la carrera:
a)
b)
c)
d)
Ninguno de los siete finalice la carrera
Finalicen todos
Al menos dos acaben la carrera
Hallar la media y la desviación estándar del número de alumnos que
acaben la carrera.
DATOS
n= 7
p=0.3
Solución:
a) x=0
p(x) = nCx*𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
p(0) = 7C0*0.30 (1 − 0.3)7−0
3
p(0) = 0.0824
La probabilidad de que ninguno de los 7 finalice la carrera es de 8.24%
b) x=7
p(x) = nCx*𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
p(7) = 7C7*0.37 (1 − 0.3)7−7
p(7) = 0.00022
La probabilidad de que finalicen todos la carrera es de 0.022%
c) x≥2
p(x≥2) = 1-(p(x=0)+p(x=1))
La probabilidad de que no termine ninguno lo hemos calculado en el
literal a)
p(x=0) = 0.0824
La probabilidad de que termine uno
p(x) = nCx*𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
p(1) = 7C1*0.31 (1 − 0.3)7−1
p(1) = 0.2471
p(x≥2) = 1-(p(x=0)+p(x=1))
p(x≥2) = 1-(0.0824+0.2471)
p(x≥2) = 0.6705
La probabilidad de que al menos dos finalicen la carrera es de 67.05%
d) Hallar la media y la desviación estándar del número de alumnos que
acaben la carrera.
MEDIA
U=e(x) = n*p
4
U=e(x) = 7*0.3
U=e(x)=2.1
v(x)= n*p(1-p)
v(x)= 7*0.3(1-0.3)
v(x)= 1.47 varianza
DESVIACION ESTANDAR
√𝒗(𝑿)
√𝟏. 𝟒𝟕
1.2124
2.1-2.1(1.2124) = -0.4460 =0
2.1+2.1(1.2124)= 4.64= 5
x(0 – 5 ) = 95% el valor se considera un valor común
La distribución hipergeométrica
Es similar a la binomial, pero con un tamaño de muestra grande en relación al
tamaño de la población.
En estadística, la distribución hipergeométrica es una de las distribuciones de
probabilidad discreta. Esta distribución se utiliza para calcular la probabilidad
de una selección aleatoria de un objeto sin repetición. Aquí, el tamaño de la
población es el número total de objetos en el experimento.
CARACTERISTICAS
Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos
de resultados.
Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
5
El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
FORMULA HIPERGEOMETRICA
h(x;N;n;p) = [pCx] [N-pCn-x] / [NCn]
N = es el tamaño de la población total.
n =es el tamaño de la muestra total.
p= es el número de elementos seleccionados de la población (probabilidad de
éxito)
x =es una variable aleatoria. Números de éxitos en la muestra
EJEMPLO
Consideremos, 5 bolas se eligen al azar del total de 10 bolas sin repetición.
Calcular la probabilidad de obtener exactamente dos bolas rojas de 6 bolas
rojas.
DATOS
N= 10
n= 6
p=5
x=2
h(x;N;n;p) = [pCx] [N-pCn-x] / [NCn]
h(x;N;n;p) = [5C2] [10-5C6-2] / [10C6]
h(x;N;n;p) = (10 *5) / 210
h(x;N;n;p) = 0.2381
Por lo tanto hay posibilidades de 23.8% para elegir exactamente dos bolas
rojas sin repetición.
La distribución de POISSON
Esta función de distribución de variable discreta se emplea para calcular las
probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo
de tiempo o espacio; este intervalo es generalmente una unidad de medida
conocida: cm2, km, gramos, litros, pulgadas, etc.
Algunos de los problemas que presentan como un fenómeno con distribución
de Poisson son:
6
- Los embotellamientos que se producen por día.
- Número de llamadas por hora.
- Defectos por m2 de tela.
- Número de defectos por lote de un proceso de producción.
- Número de negocios cerrados por semana.
A este tipo de problemas se les conoce el número de éxitos x obtenidos por
unidad de medida en n ensayos; pero es totalmente imposible conocer el
número de fracasos (n - x).
Se dice que se da un proceso de Poisson si se pueden observar eventos
discretos en un intervalo continuo en forma tal que si se acorta el intervalo lo
suficiente:
1.- La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable.
2.- La probabilidad de observar dos o más éxitos en el intervalo es cero.
3.- La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente
independiente de que suceda en cualquier otro intervalo.
FORMULA DE POISSON
p(E) = p(x; n ∗ p) =
(n ∗ p)x e−n∗p
x!
n = tamaño de la muestra
x = Número de éxitos esperados en la muestra
e = 2.71828...
n* p = Constante igual al número de éxitos promedio por unidad de medida
p = Probabilidad de número de éxitos promedio por unidad de medida.
EJEMPLO
Un conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados por
hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora tomada al azar reciba?
a) Ninguna llamada.
b) Exactamente 3 llamadas.
c) No más de 3 llamadas.
DATOS
n= 5
p= 1 hora
n*p= 5
7
a) Ninguna llamada x = 0
(n ∗ p)x e−n∗p
x!
(5 ∗ 1)0 2.7182−5
p(E0) =
0!
50 ∗ 2.7182−5
p(E0) =
1
p(E0) = 0.00674
La probabilidad de que en una hora se reciban ninguna llamada es del
0.674%
p(E) =
b) Exactamente 3 llamadas: x = 3
(n ∗ p)x e−n∗p
p(E) =
nCx
(5 ∗ 1)3 2.7182−5
p(E3) =
3!
p(E3) =
53 ∗ 2.7182−5
3∗2∗1
p(E3) = 0.1404
La probabilidad de que en una hora se reciban 3 llamadas es del 14.04%
c) No más de 3 llamadas: x < 4
P(x < 4) = P(x ≤3) = P(x0 = 0) + P(x1 = 1) + P(x2 = 2) + P(x3 = 3)
La probabilidad de que existan 3 y o llamadas están calculados en el literal a) y
b) respectivamente
(5 ∗ 1)1 2.7182−5
p(E1) =
1!
p(E1) =
51 2.7182−5
1
p(E1) = 0.337
8
p(E2) =
(5 ∗ 1)2 2.7182−5
2!
p(E2) =
52 2.7182−5
2∗1
p(E2) = 0.0842
P(x < 4) = 0.0067+ 0.0337 + 0.0842 + 0.1406 = 0.2652 = 26.52 %
La probabilidad de que en una hora se reciban no mas de 3 llamadas es
del 26.52%
CONCLUSIÓN
La Estadística es la ciencia que se trata de cuantificar la probabilidad de
ocurrencia o el efecto de cualquier evento, sujeto, proceso o fenómeno. Hay
que recalcar que la estadística es un medio y no el fin. Sin embargo algunos
investigadores se involucran tanto que tratan de ajustar la realidad con los
métodos estadísticos. En otras palabras hemos sido testigos de abuso mal uso
y sobre uso de esta herramienta en las investigaciones. Los ejemplos de este
mal uso de la estadística abundan en las mejores revistas científicas del
mundo. Es con este objetivo que debemos utilizar de forma adecuada las
diferentes distribuciones probabilísticas de uso actual en nuestras
investigaciones.
BIBLIOGRAFÍA
Biometrika:
Badii, M.H. & J. Castillo (eds.). 2007. Técnicas Cuantitativas en la Investigación. 348 pp. UANL,
Monterrey. ISBN: 970-694-377-3.
Badii, M.H., J. Castillo, J. Landeros & K. Cortez. 2007a. Papel de la estadística en la investigación
científica. Innovaciones de Negocios.
Badii, M.H., J. Castillo, A. Wong & J. Landeros. 2007b. Precisión de los índices estadísticos: técnicas de
jacknife & bootstrap. Innovaciones de Negocios. 4(1): 63-78.Badii, M.H., J. Castillos, R. Foroughbakhch
& K. Cortez. 2007c. Probability and scientific research. Daena, 2(2): 358-369.
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