Download TEORÍA DE CONJUNTO

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA AGROPECUARIA
DE MANABÍ MANUEL FÉLIX LOPEZ ESPAM “MFL”.
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMICIÓN
Tema:
TEORÍA DE CONJUNTO
AUTORA:
AVELLÁN ZAMBRANO GEMA NOELA
CEDEÑO ZAMBRANO GEMA GABRIELA
CEVALLOS MORA DIANA CAROLINA
TUTOR:
ING. BENIGNO JAVIER ALCÍVAR MARTÍNEZ
Calceta, 08 de junio de 2014
TEORÍA DE CONJUNTO
2.1.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto se puede determinar de dos maneras: Por extensión y por
comprensión.
2.1.1. INTRODUCCIÓN
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas
como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales
son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para
construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números,
funciones, figuras geométricas; y junto con la lógica permite estudiar los
fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de
la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que
comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda
mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e
influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la
teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los
trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a
principios del siglo XX.
2.1.2. DEFINICIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que
se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la
agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.
Cuando un elemento
simbólica como:
pertenece a un conjunto
. En caso de que un elemento
mismo conjunto se utiliza la notación:
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
se expresa de forma
no pertenezca a este
1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves
y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos
sus elementos entre llaves.
2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición
que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que
significa
“tal
que".
En
forma
simbólica
que significa que el conjunto
conjunto de todos los elementos
verdadera, como
es:
es el
tales que la condición es
, etc.
3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el
contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica
que es común para los elementos.
Ejemplo
Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por
extensión, comprensión y por diagrama de Venn.
Solución
Por extensión:
Por comprensión:
Por diagrama de Venn:
2.1.3. NOTACIÓN
Notación es la acción y efecto de notar (señalar, advertir, apuntar). El término
proviene del latín y hace referencia al sistema de signos convencionales que se
adopta para expresar algún concepto.
Se conoce como notación científica al modo de representar un número utilizando
potencias de base diez. En este sentido, los números se escriben como el
producto de un número real denominado coeficiente (el cual puede ser igual o
mayor a 1 y menor a 10) por 10 elevado a un número entero llamado orden de
magnitud o exponente; esto se representa con la fórmula a x 10 elevado a n.
La notación matemática es el lenguaje simbólico formal que sigue convenciones
propias. Los símbolos permiten representar conceptos, operaciones y todo tipo
de entidades matemáticas.
2.1.4. DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN
Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran cada uno de sus
elementos.
Ejemplo
Determinar por extensión al conjunto de las vocales teniendo en cuenta que a
dicho conjunto le vamos a llamar el conjunto “V”.
Hagámoslo:
V = {a, e, i, o, u}
Determinación por extensión. Es decir, Escribiendo todos los elementos
2.1.5. DETERMINACIÓN POR COMPRESIÓN
Un Conjunto queda determinado por comprensión cuando se indica la propiedad
que caracteriza a todos sus elementos y solo a ellos.
De esta forma si queremos determinar por comprensión el Conjunto “V” de las
vocales decimos:
V= {x/x es Vocal}
La raya se lee: “Tal que” Volvamos a escribirlo:
V= {x / x es vocal}
Se lee: El conjunto “V” formado por las “x” tal que “x” es vocal.
2.1.6. DIAGRAMA DE VENN
Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema
de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos
diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de
líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo
consideración, el conjunto universal U.
2.2.
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTO
La clasificación de los conjuntos está fundamentada en el análisis de sus
elementos o miembros, por ejemplo si no tiene miembros, el conjunto es vacío,
si sus miembros son innumerables infinito, etc.
2.2.1. CONJUNTO FINITO Y INFINITO
Un conjunto A es un conjunto finito si existe una bisección entre él y el conjunto
(1,2,3…n).
Con n=un numero natural, que representa la cordialidad del conjunto es decir
(A)= n
Sin=0 entonces A es un conjunto vació todo conjunto fino es además un conjunto
numerables ( pero no todo conjunto numerable es infinito )
Conjunto infinito es un conjunto que no es finito. Algunos ejemplos son:

Los números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} forman un conjunto
infinito y numerable.

Los puntos en una recta, representados por un número real, forman un
conjunto infinito y no numerable.
2.2.2. CONJUNTO VACÍO
Es el conjunto que carece de elementos. Este conjunto se denotará por 0. Un
conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria,
por ejemplo:
Sea A = {x / x2 = 4 Ù x es impar}.
2.2.3. CONJUNTO UNIVERSO
Es el conjunto de todos los elementos en discusión. También se le llama dominio
de discusión o referencial. El conjunto universal se designa con el símbolo 1.
Ejemplos
1. En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.
2. En los estudios de población humana el conjunto universal estará formado por
todos los seres humanos del mundo.
2.3.
RELACIONES ENTRE CONJUNTO
En las matemáticas, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A «está
contenido» dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un
superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B.
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto del «conjunto de todas
las personas».
{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}
{2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )
2.3.1. SUBCONJUNTO
En las matemáticas, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A “está
contenido” dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un
superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B.
Definición
La diferencia entre los conjuntos es conformando por los elementos que
pertenecen
a
uno
y
a
los
otros
no.
Otras maneras de decirlo son “A está incluido en B”, “B incluye a A”, etc.
Ejemplos
El “conjunto de todos los hombres” es un subconjunto del “conjunto de todas las
personas”.
{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}
{2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )
2.3.2. SUBCONJUNTO PROPIO
Es obvio que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una
afirma bioladoración tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:
Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.
Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.
Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los
elementos de B:
Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Entonces se dice que A es un
subconjunto
propio
de
B,
y
se
denota
por
A
⊊
B.
(A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A)
Es obvio que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho
subconjuntos propios.
También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede
denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos
elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que
pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.
En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
A = {1, 2, 3, 4} C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} E = {vocal de la palabra mundo}
B
=
{3,
4,
1,
2}
D
=
{1,
2,
2,
3,
4,
4,}
F
=
{u,
o}
A=B C no es igual a D. E = F
2.3.3. IGUALDAD DE CONJUNTOS
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es
decir, si cada elemento de A es también elemento de B y recíprocamente. Luego,
podemos escribir:
(A = B) Û (" x)(x Î A Û x Î B).
2.3.4. PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
Sean A y B dos conjuntos, si cada elemento de A es elemento de B diremos que
A está incluido en B, o bien que A es parte de B, o que A es un subconjunto de
B, y lo escribimos A ” B.
2.3.5. CONJUNTO INTERSECANTE
Los conjuntos intersecantes son aquellos que tienen elementos en común. Se
llaman así porque su intersección es un conjunto no vacío.
2.3.6. CONJUNTOS DISJUNTOS
En matemáticas, dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en
común.
Equivalentemente,
dos
conjuntos
son
disjuntos
si
su intersección es vacía. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.
A menudo será necesario demostrar que un conjunto es parte de otro entonces,
de acuerdo a la definición, será suficiente demostrar que cualquier elemento del
primero pertenece al segundo.
2.4.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
O también conocidos como Algebra de conjuntos, las operaciones entre
conjuntos son: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
2.4.1. UNIÓN
La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A + B y se
llama unión de A y B.
En consecuencia,
x Î ( A + B) Û x Î A Ú x Î B.
Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:
A + B = {x / x Î A Ú x Î B }
Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:
En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los
conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual
se seleccionan los conjuntos A y B
2.4.2. INTERSECCIÓN
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son
comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también
pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A · B y se lee "A
intersección B".
En consecuencia,
x Î A· B Û x Î A Ù x Î B.
El conjunto A· B está dado por:
A· B = { x / x Î A Ù x Î B }.
Gráficamente, una representación de A· B es:
La región rayada corresponde a A· B. Cuando A y B no tienen elementos
comunes, se dice que son disjuntos.
2.4.3. DIFERENCIA
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los
elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B .
Esto es:
2.4.4. COMPLEMENTOS
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el
conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como ’A.
Esto es:
2.4.5. DIFERENCIA SIMBÓLICA
La lógica simbólica (o matemática; es lo mismo) es un sistema de representación
sintáctica formalizada de las formas de pensamiento y argumentación humanas.
Con "formalizada" me refiero a que este sistema se constituye de fórmulas
(semejante a las matemáticas o físicas) en las cuales un puede sustituir
metaproposiciones por proposiciones (premisas de un argumento) sin tener q
atender a su semántica sino simplemente ocupandose del modo en que las
proposiciones estan relacionadas entre sí.
Se
le
llama
simbólica
o
matemática
porque
utiliza
simbolos
como
representaciones de Proposiciones (Enunciados: A, B,C, D...Z), de funciones o
constantes lógicas (conectivas entre proposiciones) tales como "&" (conjunción)
para "y" o "pero", o "v" para "o" (disyunción) y porque con las proposiciones
conectadas por constantes lógicas se hace un "calculo" a modo mecánicomatemático para determinar los valores de verdad (verdadero o falso; bivalencia)
de alguna proposicion compleja, la validez de un argumento, etc.
Estos cálculos son realizables por medio de tablas de verdad, árboles de verdad
y derivación natural.
2.5.
LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTO
Es el estudio de las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos,
como la unión, intersección y complementación.
2.5.1. LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Si 1 designa al conjunto universal y 0 al conjunto vacío, las siguientes identidades
son válidas en el álgebra de conjuntos para conjuntos arbitrarios X, Y, Z.
Leyes conmutativas
XY = YX
X + Y = Y + X.
Leyes asociativas
X(YZ) = (XY)Z
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z.
Leyes distributivas
X(Y + Z) = XY + XZ
X + YZ = (X + Y) (X + Z).
Leyes de idempotencia
XX = X
Leyes de complementación
X + X = X.
XX' = 0
X + X' = 1.
Leyes de absorción
X (X + Y) = X
X + XY = X.
Leyes de D'Morgan
( XY)' = (X' + Y')
(X + Y )' = X'Y'.
Leyes con 0 y 1
X1=X
X0=0
0' = 1
X + 0 = X.
X + 1 = 1.
1' = 0.
Ley de complemento doble
(X')' = X.
Es importante destacar la dualidad dada en estas leyes, es decir, si en cualquiera
de las identidades, cada unión se reemplaza por una intersección, cada
intersección por una unión, cada 0 por 1 y cada 1 por 0, la expresión resultante
es también una identidad.
2.5.2. SIMPLIFICACIÓN DE PROPORCIONES
La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la simplificación de
una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más
simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas.
La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante
la sustitución en cada paso de una expresión lógica equivalente a la anterior,
hasta llegar a una expresión lógica irreducible.
A través de la simplificación podemos también demostrar una equivalencia lógica
sin usar tablas de verdad.
Simplificar la expresión:
[(p p)  q]  [q  (r  q)]  [p  (p  q)] Recuerde Ubicar la ley que utiliza
[(p  p)  q]  [q  (r  q)]  [p  (p  q)]  Impla. Material
[(p  p)  q]  [q  (r  q)]  [(p  p)  q]  Asociativa
(v  q)  [q  (r  q)]  (v  q)  Complemento
v  [q  (r  q)]  v  Dominancia
v  v  [q  (r  q)]  Asociativa
v  [q  (r  q)]  Idempotencia
q  (r  q)  Elemento Neutro
(q  r)  (q  q)  Distributiva
(q  r)  v  Complemento
q  r
Elemento Neutro
Simplificar
[(p  q)  (p  q)]  (p  q)
[(p  q)  (p  q)]  (p  q)  Ley de Morgan
[p  (q  q)]  (p  q)  Distributiva
(p  v)  (p  q)  Complemento
p  (p  q)  Elemento Neutro
(p)  (p  q)  Implicación Material
p  (p  q)  Doble Negación
(p  p)  (p  q)  Distributiva
v  (p  q)  Complemento
p  q Elemento Neutro
2.5.3. DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES
Es una relación de igualdad entre expresiones trigonométricas que se cumple
cualquiera sea el valor de la variable o ángulo que aparece en las expresiones,
salvo para aquellos valores en los cuales las funciones trigonométricas no se
encuentran definidas.
El estudio de las identidades trigonométricas es importante para el estudiante de
las matemáticas, porque mediante él, es posible transformar expresiones que
contienen funciones trigonométricas en otras equivalentes, que hacen que
ciertas operaciones (diferenciación, integración, etc.) puedan realizarse con
mayor facilidad.
CONCLUSIONES

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y
diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

La proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto.

La teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos.

Los conceptos nombrados con anterioridad funcionan elementalmente
como una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría
matemática.
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____,s/f. Clases de conjuntos. Consultado, 6 de junio de 2014. Disponible en:
http://artigoo.com/clases-de-conjuntos
ANEXOS
1. Estudiantes conectadas en línea
2. Verificación de conexión
3. Creación de un nuevo muro de trabajo
4. Se agregó a los integrantes del trabajo a realizar, y otras
configuraciones del sitio.
5. Agregar un tema de fondo al área de trabajo
6. Agregar un título y descripción del área de trabajo
7. Comprobación de fecha de creación del Sitio de trabajo.
Computadora de Estudiante (Gema Avellán)
8. Comprobación de existencia del área de trabajo
9. Entrar al área de trabajo para subir posteriormente el archivo
10. Envió de la dirección web de creación del sitio de trabajo, por
parte del líder a los demás integrantes del proyecto
Computadora de Estudiante (Carolina Cevallos) y Computadora de Estudiante (Gema Cedeño)
11. Visualización del área de trabajo por parte de las demás
integrantes del informe
Computadora de Estudiante (Carolina Cevallos) y Computadora de Estudiante (Gema Cedeño)
12. Preparación y subida del documento al sitio de trabajo.
13. Archivo cargando
14. Archivo subido