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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 3º
Una casa rectangular cuyos lados miden 14m y 18m, se encuentra rodeada por un jardín de anchura constante,
superficie es de 228 m2. ¿Qué anchura tiene el jardín?
Solución:
Anchura del jardín: x
Área del jardín: El perímetro de la casa por el ancho, más los cuatro cuadrados de las esquinas.
(2  14  2  18)x  4x2  228
Operando y simplificando obtenemos:
Resolvemos:
x
x2  16 x  57  0.
 16  256  228  16  22  19


2
2
3
.
La solución x = - 19 no tiene sentido en este problema.
x=3 m
Un ciclista marcha escapado en una carrera, pasando por un punto situado a 30 Km. de la meta a 48 Km./h. El pelotón pasa por dic
punto 7 minutos después, a una velocidad de 60 Km./h. ¿Cuánto tarda el pelotón en alcanzar al escapado, si mantienen constantes s
velocidades? ¿Ganará el escapado la carrera?
Solución:
Representamos por x el tiempo desde que pasa el pelotón por el punto del enunciado, hasta que lo alcanza, expresado en h
Los espacios (velocidad por el tiempo) recorridos por el ciclista escapado y el pelotón, desde el punto del enunciado hasta q
7
48( x 
)  60 x
60
pelotón lo alcanza, son iguales:
7
7·48
28
48
 (60  48 )x  x 

horas  28 min utos
60
12·60 60
Operando:
La distancia recorrida será:
28
60km. / h· h  28 km
60
.
El escapado no ganará la carrera, le alcanzan a 2 Km de la meta.
Al dividir la cifra de las decenas entre la de las unidades de un número de dos cifras, obtenemos de cociente 2 y resto 1. Si cambiam
orden las dos cifras, obtenemos un número que doblado sobrepasa en una unidad al número dado. Halla dicho número.
Solución:
Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.
El número en cuestión es: 10x+y.
El número con las cifran en orden inverso: 10y+x. Y el doble menos 1: 2(10y+x) - 1.
Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:
x  2y  1

10 x  y  2(10 y  x )  1
Sustituyendo la 1ª ecuación en la 2ª:

10(2y + 1) + y = 20y + 2(2y + 1) - 1
21y + 10 = 24y + 1
Obtenemos para y el valor 3; para x, 7; por lo tanto, el número es 73.
Si dividimos un número de dos cifras por la cifra de las unidades, obtenemos 8 de cociente y 2 de resto. Cambiando el orden de las c
de dicho número, se obtiene un número 9 unidades mayor. ¿De qué número se trata?
Solución:
Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.
El número en cuestión es: 10x+y.
El número con las cifran en orden inverso: 10y+x.
Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:
10 x  y  8 y  2

10 y  x  10 x  y  9
Agrupando los términos y simplificando, resulta:
10 x  7 y  2

 x  y  1
Multiplicando por 10 la 2ª ecuación y sumando: 3y = 12
El número pedido es el 34.
 y = 4, x = 3.
Un depósito tiene dos grifos de llenado y un desagüe. Uno de los grifos lo llena en 3 h, el otro en 4, y si se dejan abiertos los grifos y e
desagüe se llena al cabo de 2,5 h. ¿Cuánto tarda en vaciarlo el desagüe?
Solución:
Representamos el tiempo pedido expresado en horas por x.
1 1
1
y

3 4
x
En una hora los grifos llenan
, respectivamente, del depósito; el desagüe
.
1 1 1 2
  
3 4 x 5
La suma de las fracciones individuales debe ser igual a la fracción del conjunto:
60
60
60
20  15 
 24 
 11  x 
horas
x
x
11
Multiplicamos por el m.c.m.(3, 4, 5)= 60:
.
La suma de las edades en años de los cuatro miembros de una familia es 100. Si el padre es 2 años mayor que la madre, y la misma diferenc
entre la hija mayor y su hermano, que nació cuando su madre tenía 28 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Solución:
Representamos con x la edad de la madre.
El padre tendrá x+2 años, el hijo pequeño x - 28 y la hija x - 26. La suma es: (x + 2)+ x + (x - 26) +(x - 28) =100
Agrupamos y resolvemos:
 x  38
4x = 152
años.
Las edades del padre, la hija y el hijo son: 40, 12 y 10 años, respectivamente.
Un depósito de 12 m3 de capacidad tiene dos grifos, A y B, y un desagüe que vierte la misma cantidad de agua por minuto que mana
grifo B. Los dos grifos manando juntos llenan el depósito en 4 h., y si se dejan abiertos el grifo A y el desagüe, el depósito se llena de
de 9 h. ¿Qué cantidad de agua por minuto vierten los grifos?
Solución:
Sean x e y el número de litros de agua por minuto que manan A y B, respectivamente.
En 4 h.= 240 minutos, A y B manan 12.000 litros.: 240x+240y = 12.000
En 9 h. A llena el depósito y compensa lo que vierte el desagüe: 540x = 12.000 + 540y
x  y  50

9 x  9 y  200
Simplificando, resulta el sistema de ecuaciones:
x

650
 36,1 litros / min uto
18
Multiplicando la 1ª ecuación por 9, y sumando: 18x = 650

125
y
 13,8 litros / min uto
9
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación:
Para que las soluciones de
ax2  bx  0
, a  0 , sean números enteros, ¿qué condición deben cumplir a y b?
Solución:
Se trata de una ecuación incompleta de segundo grado, cuyas soluciones se obtienen sacando factor común:
b
x
a
 x = 0,
x(ax + b) = 0
. Para que la última sea un número entero, b debe ser un múltiplo de a.
Un triángulo rectángulo tiene las medidas de sus lados iguales a tres números pares consecutivos. ¿Cuáles son?
Solución:
Sean los tres números pares consecutivos: 2x, 2x - 2 y 2x + 2.
(2x)2  (2x  2)2  (2x  2)2
El teorema de Pitágoras dice:
x2  4x  0.
Operando llegamos a la ecuación incompleta:
Las soluciones son: x = 0; x = 4. La primera no tiene sentido en este problema. La segunda nos da para los lados los valores
y 10.
Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras, el número disminuye en 9. ¿Qué número es?
Solución:
Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.
El número en cuestión es: 10x+y.
El número con las cifran en orden inverso: 10y+x.
Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:
xy9


10 y  x  10 x  y  9
Agrupando los términos y simplificando, resulta:
 xy9

  x  y  1
Sumando las dos ecuaciones: 2y = 8
 y = 4, x = 5.
El número pedido es el 54.
La edad de una mujer era hace 10 años cinco veces la de su hija, y dentro de 11 años será solamente el doble. ¿Qué edades tienen
actualmente?
Solución:
Llamamos x e y a las edades actuales de madre e hija, respectivamente.
En el pasado, las edades cumplían la condición siguiente: x - 10 = 5(y - 10)
En el futuro, la relación que da el enunciado es: x + 11 = 2(y+11)
x  5 y  40

x  2y  11
Agrupando los términos obtenemos:

Restamos las ecuaciones: 3y = 51
y = 17. Con este valor la 2ª ecuación nos da: x = 11+34 = 45.
La edad de la mujer es 45 años, y la de su hija 17años.
Marta tiene 7 años. Cuando alcance la edad de su madre, la suma de ambas edades será de 104 años. ¿Cuál es la edad actual de su
madre?
Solución:
Si x es la edad actual de la madre, el tiempo que ha de transcurrir para que Marta tenga la edad de su madre es x7.
Edad actual
Edad dentro de x7 años
Marta
7
7+x7=x
Madre
x
x+x7=2x7
Dentro de x7 años la suma de sus edades será 104: x+2x7=104
La madre tiene ahora 37 años.
 x=37
Halla un número, tal, que la suma de su mitad, su tercera parte y su quinta parte, resulta cuatro unidades mayor que dicho número
Solución:
Representamos el número pedido con x.
Escribimos el enunciado en lenguaje algebraico:
x x x
  x4
2 3 5
Multiplicamos por m.c.m.(2, 3, 5) = 30: 15x + 10x + 6x = 30x+120
Agrupamos y resolvemos:
x = 120.
Halla dos números cuya suma sea 50, y la diferencia entre el mayor y el menor sea la mitad del menor.
Solución:
Sean los números pedidos: x e y, con x>y.
x  y  50


y
x  y 
2

El enunciado nos da las dos condiciones siguientes:
x
3y
2
3y
 y  50
2
En la segunda podemos despejar x:
. Sustituyendo en la primera:
Sustituyendo el valor hallado: x = 30. Los números pedidos son: 30 y 20.
 y = 20
2
El perímetro de un campo rectangular mide 340 m., y su superficie es de 7000 m . Halla sus dimensiones.
Solución:
Sea x uno de los lados del rectángulo.
Dos lados contiguos del rectángulo (semiperímetro) suman 170 m., luego, el segundo lado del rectángulo es 170 - x.
La superficie nos proporciona la siguiente ecuación: x(170 - x) = 7000.
x2  170 x  7000  0.
Operando obtenemos:
Resolvemos:
170  28900  28000 170  30 
100
x


2
2

70
.
Los lados del rectángulo miden 100 m y 70 m.
Divide 64 en dos sumandos, de modo que al dividir el mayor entre el menor se obtenga 3 de cociente y 8 de resto.
Solución:
Representamos con x el mayor de los sumandos (dividendo), el otro será 64 - x.
El planteamiento se obtiene de la ley de la división: Dividendo = Cociente · divisor + resto: x = 3(64-x) + 8
 x  50
Operando: 4x = 200
. El segundo sumando será 14.
La suma de un número más su inverso es 13/6. Calcúlalo.
Solución:
Lamamos x al número pedido.
1 13
x 
x
6
El enunciado dice:
Quitamos denominadores y ordenamos los términos:
Resolvemos:
3

13  169  144 13  5  2
x


12
12
2
 3
6x2  13 x  6  0
.
10
11
Si a cada uno de los dos términos de una fracción le sumamos 3, la fracción resultante es equivalente a
; pero si a cada uno le
3
4
restamos 4, resulta otra fracción equivalente a
. Halla la fracción.
Solución:
 x  3 10


11x  3   10 y  3
 y  3 11

 x4 3 
 4x  4  3y  4



 y4 4
x
y
11x  10 y  3

 4x  3y  4
Si la fracción es

Por reducción, multiplicando la primera ecuación por r y la segunda por 11:
 44 x  40 y  12

 44 x  33 y  44
7 y  56  y  8  4 x  3·8  4  4 x  28  x  7
7
8
La fracción buscada es
Con el número de fichas cuadradas que tengo, al formar un cuadrado me sobran 15, y si quiero formarlo con una ficha más por lad
faltan 26. ¿Cuántas fichas tengo?
Solución:
Sea x el número de fichas en uno de los lados del cuadrado completo.
x2  15
El número de fichas que tengo es:
.
( x  1)2  26
El cuadrado incompleto tiene:
fichas, que también son las que tengo
x2  15  ( x  1)2  26
Igualando las expresiones anteriores:
Operando y agrupando los términos obtenemos: 2x = 40, es decir, x = 20.
Tengo, por lo tanto, 415 fichas.
2
Un cuadrado tiene 144 m más de superficie que otro, y éste 4 m menos de lado que el primero. Halla los lados de d
cuadrados.
Solución:
Sea x el lado del cuadrado mayor. El lado del segundo cuadrado es: x - 4.
x2  ( x  4)2  144.
La relación que hay entre las superficies es:
Operando y simplificando queda: 8x = 160, es decir, x = 20.
El lado del primer cuadrado mide 20 m y el del segundo 16 m.
La diagonal de un rectángulo mide 35 cm y sus lados son proporcionales a 3 y 4. Halla sus lados.
Solución:
Sea la constante de proporcionalidad x.
Los lados del rectángulo serán: 3x y 4x.
(3 x )2  ( 4 x )2  35 2
Por el teorema de Pitágoras:
 25 x2  352
x
35 2
52
 7
Resolvemos la ecuación:
Los lados miden 21 cm y 28 cm.
. La solución negativa no tiene sentido en este problema.
En un edificio se dedican a garaje 2/7 del número de plantas que tiene, para oficinas se dedican 2/5 de las restantes, y para vivienda
seis últimas. ¿Cuántas plantas tiene?
Solución:
Representamos el nº de plantas del edificio con x.
2
2
2
x  ( x  x)  6  x
7
5
7
Garaje + Oficinas + Viviendas, se plantea:
Multiplicando por el m.c.m.(5, 7) = 35, y operando: 10x + 14x - 4x + 210 = 35x
Agrupando términos:
 x  14
15x = 210
.
Halla dos números pares consecutivos tal que la diferencia de sus cuadrados sea 100.
Solución:
Los números pares pedidos los representamos con 2n y 2n+2.
(2n  2)2  (2n)2  100 .
El enunciado dice:
4n2  8n  4  4n2  100 
 n = 12
Operamos y obtenemos la ecuación:
8n = 96
Los números son: 2n = 24 y 2n + 2 = 26. También lo cumplen - 26 y - 24.
Queremos mezclar dos aceites industriales, A y B, de densidades 1,1kg/litro y 1,3 kg/litro, respectivamente, para obtener 50 litros de
aceite cuya densidad sea 1,16kg/litro. ¿Qué cantidad de aceite se debe tomar de cada clase?
Solución:
Llamamos x e y a las cantidades en litros de aceite A y B, respectivamente.
El volumen debe ser el mismo antes y después de la mezcla: x + y = 50.
Lo mismo debe ocurrir con el peso: 1,1x + 1,3y = 1,16·50.
Multiplicamos por 10 la última, y resulta el sistema:
x  y  50

11x  13 y  580
Sustituimos y = 50 - x en la 2ª ecuación:
 2x = 70  x = 35 litros
11x + 13(50 - x) = 580
Sustituyendo: y = 15 litros.
Divide el número 392 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menor obtengas 11 de cociente y 8 de resto.
Solución:
Sean x e y con x > y las partes buscadas del número dado: x + y =392
La ley de la división aplicada a los datos del enunciado nos da: x = 11y + 8
x  y  392

x  11y  8
Debemos resolver el sistema:
Restamos la segunda de la primera:
12y = 384
 y = 32. Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 360.
En un campamento de verano hay tiendas dobles y triples. Si en total hay 20 tiendas y 52 sacos de dormir, ¿cuántas tiendas hay de c
clase?
Solución:
Si x es el número de tiendas dobles e y el de triples:
x  y  20
Hay 20 tiendas:
2x  3y  52
Hay 52 sacos de dormir:
y  20  x


2
x

320  x   52

Por sustitución despejando y en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:
2x  60  3 x  52  x  8
Resolviendo la segunda ecuación:
y  20  8  12
Sustituyendo ese valor en la primera ecuación:
Hay 8 tiendas dobles y 12 triples.
La densidad del alcohol puro es 0,79 kg./litro y la del agua 1 kg./litro. Si tenemos un alcohol cuya densidad es de 0,86 kg./litro, ¿qué
proporción de alcohol puro y de agua contiene?
Solución:
Llamamos x e y a las cantidades de alcohol y de agua, respectivamente, en un litro del alcohol del problema.
Entonces: x + y = 1, y la igualdad de pesos por litro nos da la ecuación: 0,79x + y = 0,86.
Multiplicamos por 100 la última, y tenemos el sistema:
x  y  1

79 x  100 y  86
y
Sustituimos x = 1 - y en la 2ª ecuación: 79(1 - y) + 100y = 86
1 2
x  1 
3 3
Sustituyendo:
.
Es decir, contiene 2/3 de alcohol puro y 1/3 de agua.
 21y = 86 - 79 = 7 
1
3
Un cesto tiene 72 unidades entre manzanas, peras y naranjas. Sabiendo que el número de manzanas es cinco veces el de peras y que
naranjas es la semisuma de los otros dos, halla las unidades de cada tipo de fruta que contiene el cesto.
Solución:
Número de peras, x
Número de manzanas, 5x
x  5x
2
Número de naranjas,
x  5x
x  5x
 72
2
En el cesto hay 72 unidades:
Multiplicando por 2 y quitando denominadores:
2x  10 x  x  5 x  144
Despejando: x = 8
Por tanto, el cesto tiene 8 peras, 40 manzanas y 24 naranjas.
Los lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 5, 12 y 13, y su área es
lados.
270 cm 2
. Calcul
Solución:
Llamamos x a la constante de proporcionalidad.
Los lados son: 5x, 12x y 13x, los menores serán los catetos.
5 x·12 x
 270
2
 x 2  9  x  3
El área es:
. La solución negativa no tiene sentido en este problema.
Los lados son: 15, 36 y 39.
Al dividir dos números obtenemos de cociente 3 y 6 de resto. Si el divisor disminuye tres unidades, los nuevos cociente y resto aume
en una unidad cada uno. Halla dichos números.
Solución:
Sean D y d, dividendo y divisor, respectivamente, los números buscados.
Aplicando la ley de la división las dos veces que propone el enunciado, obtenemos el siguiente sistema de ecuac
D  3d  6

D  4(d  3)  7
.
Igualando los segundos miembros de ambas: 3d+6 = 4d - 5
Sustituyendo el valor calculado en la 1ª ecuación: D = 39.
 d = 11
Un padre tiene 47 años y su hijo 20. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era cuatro veces la del hijo?
Solución:
Representamos el nº de años transcurridos con x.
Hace x años sus edades eran: 47 - x y 20 - x, respectivamente.
El enunciado dice: 47 - x = 4(20 - x)
Agrupando términos:
 x  11
3x = 33
años.
Halla un número tal que el triple de él sea la sexta parte de su cuadrado.
Solución:
Representamos el número pedido con x.
x2
3x 
6
El enunciado dice:
.
Operamos y obtenemos una ecuación de segundo grado incompleta:
Resolvemos sacando factor común: x(18 - x) = 0
18 x  x 2  0
 x = 0; x = 18.
Un ganadero quiere mezclar cierta cantidad de maíz de 0,17 euros el kilo, con 300 kilos de cebada de 0,13 euros el kilo, para obtene
pienso para gallinas que resulte a 0,15 euros el kilo. ¿Qué cantidad de maíz necesitamos?
Solución:
Representamos la cantidad de maíz con x.
El coste del pienso debe ser igual al valor del mismo después de la mezcla: 300·0,13 + 0,17·x = 0,15(300 + x)
Agrupando términos y resolviendo:
 x  300
0,02x = 6
kilos.
La suma de un número más la mitad de su cuadrado es 84. Calcúlalo.
Solución:
Llamamos x al número pedido.
x2
x
 84
2
El enunciado dice:
x2  2x  168  0
Quitamos denominadores:
x
 2  4  672  2  26 12


2
2
 14
Resolvemos:
Hay dos números que lo cumplen, 12 y -14.
.
En la última temporada, un equipo marcó 88 goles. En casa marcó el triple que fuera. ¿Cuántos goles marcó fuera?
Solución:
Si x es el número de goles que marcó fuera, 3x es el número de goles que marcó en casa.
x  3 x  88
La ecuación a resolver es:
La solución de la ecuación: x = 22
Por tanto, marcó 22 goles fuera.
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 60 y cuya altura es 2 unidades mayor que la base.
Solución:
2x  2y  60
 x  y  30


 y  x2
 x  y  2
Si x es la base e y, la altura, el sistema a resolver es:
Por reducción:
 x  y  30

 x  y  2
2y  32  y  16  x  16  30  x  14
La base mide 14 cm y la altura,16 cm.
Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.
Solución:
 x  y  19

x  y  67
Si x e y son los dos números, el sistema a resolver es:
Por reducción:
 x  y  19

x  y  67
2x  258  x  129  129  y  191  y  191  129  y  62
Los números son 129 y 62
Al aumentar 3 cm el lado de un octógono regular, su perímetro resulta ser de 104 cm. ¿Cuál era el lado del octógono primitivo?
Solución:
Llamando x al lado del octógono inicial, x+3 es el lado del nuevo octógono
8x  3  104
La ecuación es:
Su solución: x = 10
Por tanto, el lado del octógono inicial era de 10 cm.
Si 3 periódicos y 4 revistas cuestan 11 euros, y que 1 periódico y 2 revistas cuestan 5 euros, ¿Cuánto valen cada periódico y cada rev
Solución:
Sean x el precio de un periódico e y el de una revista.
3 x  4 y  11

 x  2y  5
El sistema a resolver es:
Por reducción, multiplicando la segunda ecuación por -2:
 3 x  4 y  11

 2x  4 y  10


x  1  1  2y  5  2y  5  1  y  2
El precio de un periódico es 1 euro y el de una revista 2 euros.
El perímetro de un rectángulo mide 90 m. Si el lado mayor mide 5m más que el menor, ¿cuánto miden sus lados?
Solución:
Representamos el lado menor del rectángulo con x. El mayor será x+5.
El perímetro es: 2x + 2(x+5) = 90
Agrupando los términos:
4x  80  x  20m.
La suma de tres números pares consecutivos es 54. Halla dichos números.
Solución:
Si el primer número es 2x, el segundo es 2x+2 y el tercero 2x+4
2x  2x  2  2x  4  54
La ecuación es:
Resolviendo se obtiene: x=8
Los números son: 16, 18 y 20
1
Resolver la siguiente ecuación:
3x  1 1  4 x 1  x 14  x



4
5
4
6
Solución:
Multiplicamos por el m.c.m.(4, 5, 6)=60: 15(3x-1) - 12(1-4x) = 15(1-x) -10(14 -x)
Quitamos los paréntesis:
45x - 15 - 12 +48x = 15 - 15x -140+10x
Agrupamos y resolvemos:
98x = -98
2
 x = -1.
Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
a)
b)
69  4x2  5
3x2  12 x
Solución:
a) Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta. Despejamos:
69  5
x
  16  4
4
b) Pasamos el término del segundo miembro al primero, y sacamos factor común al ser incompleta:
3x(x-4) = 0, de donde x = 0; x = 4.
3
Resolver la siguiente ecuación de segundo grado sin usar la fórmula:
6x 2  5  9  2x 2
Solución:
Pasando todos los términos al primer miembro y agrupando los semejantes:
4
x 2   1  x   1  1
4
Despejando:
4
4x 2  4  0
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado, formando un cuadrado perfecto:
Solución:
Buscamos el cuadrado de un binomio con los términos con x: ( x
2
+2·3x + ) - - 27 = 0
2
Lo completamos con el cuadrado del segundo término del binomio: ( x +2·3x + 9) - 9 - 27 = 0
Despejamos el paréntesis en:
x  3
 x  3   36  
x  9
(x + 3)2 - 36 = 0
5
Resuelve la siguiente ecuación:
10
15

2
x3
x
.
x2  6x  27  0
.
Solución:
Multiplicamos por x(x - 3): 10x - 15(x - 3) = 2x(x - 3)
2x 2  6 x
Operamos y agrupamos términos: 10x - 15x + 45 =
Resolvemos:
1  1  360 1  19 
5
x


9
4
4

 2
 2x2  x  45  0
.
Se comprueba que las dos soluciones son válidas.
6
Resuelve la siguiente ecuación:
x  2 14
2


5
5
x3
Solución:
Multiplicamos por 5(x-3): (x - 3)(x + 2) - 14(x - 3) = 2·5
x2  x  6  14 x  42  10  0
Operamos y agrupamos términos:
Resolvemos:
15  225  104 15  11 13
x


2
2
2
 x2  15 x  26  0
.
Se comprueba que las dos soluciones son válidas.
7
Resuelve la siguiente ecuación:
1
1
2
19

(2x  )(2x  )  4 x(x  )    x 
2
2
3
34

Solución:
Operamos:
1
8
3 1
4x 2   4x 2  x   x
4
3
4 3
Simplificamos y multiplicamos por el m.c.m.(3, 4) = 12: - 3 + 32x = 9 - 4x
Agrupamos y resolvemos:
12 1
x

36 3

36x = 12
.
8
Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
3 x 2  4 2 x 2  10

9
5
3

a)
b)
Solución:
 
(2x  3)(3x  2)  6

a) Multiplicamos por m.c.m.(3, 5) = 15:
9x2  36  10 x2  100  135
2
Agrupando los términos resulta una ecuación incompleta de segundo grado: x  1
Resolvemos: x  1
6x 2  9x  4x  6
 6x 2  5x  0
b) Operando:
=-6
Resulta una ecuación incompleta de segundo grado, en la que sacamos factor común y resolvemos:
5
x  0; x 
6

x(6x + 5) = 0
.
9
Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los cuadrados ni utilizar la fórmula general:
4(x  1)2  25  0
a)
5(x  3) 2  10(x  3)  0
b)
Solución:
( x  1)2 
25
25
5
 x  1 

4
4
2
a) Despejamos y hallamos el valor del paréntesis:
Ahora, podemos despejar x:
7
3
x , x
2
2
b) Podemos despejar el paréntesis como en una ecuación de segundo grado incompleta sin término
independiente.
Sacamos factor común y operamos: 5(x - 3)[(x - 3) + 2] = 0
Alguno de los factores debe ser cero:
x = 3; x = 1.
10
 5(x - 3)(x - 1) = 0
Resolver la siguiente ecuación sin utilizar la fórmula general:
x3
2

3
2x
Solución:
Multiplicamos en cruz los términos: (x + 3)(2 - x) = 6
Operamos y resulta una ecuación incompleta de segundo grado:
Sacamos factor común y resolvemos:
x(x + 1) = 0
11
 x = 0; x = -1.
Resuelve la siguiente ecuación:
5 x 20
 3x  2

5
 2(4  3x )  2(

)  10
2
3
 9

Solución:
2x  x2  6  3x  6  x2  x  0
10(3x  2)  180(4  3x)  90 x  240  180
Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 9) = 18:
Quitamos los paréntesis y dividimos por 10:
3x - 2 - 72 + 54x = 9x - 42
Agrupamos y resolvemos:
32 2·16 2
x


48 3·16 3

48x = 32
.
12
Resolver la siguiente ecuación sin utilizar la fórmula general:
3x  2
3

7
3x  2
Solución:
Multiplicamos en cruz los términos: (3x + 2)(3x - 2) = 21
Operamos y resulta una ecuación incompleta de segundo grado:
Resolvemos:
25
25
5
x2 
x

9
9
3
9x 2  25
.
13
Resuelve la siguiente ecuación:
2 1
1 4 1  4
1

 x   x        2x 
5 3
6 9 3  3
2

Solución:
1
1
12 x  36 x    16  40  60 x
2
6


Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 5, 6, 9) = 90:
Quitamos los paréntesis y dividimos por 2:
6x - 9x + 3 + 8 = 20 - 30x
Agrupamos y resolvemos:
9
1
x

27 3

27x = 9
.
14
Resolver la siguiente ecuación:
4x  1 5x2 51  2x  x  1



3
2
6
3
Solución:
Multiplicando por el m.c.m.(2,3,6) = 6 y quitando paréntesis:
8x  2  15 x 2  5  10 x  2x  2
Pasando todos los términos al primer miembro y agrupando los semejantes:
9
x2 
15
Despejando:
 15 x 2  9  0
Como no existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, la ecuación no tiene solución
15
Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:
4x2  (x  2)2  4x(x  2).
Solución:
Operamos:
4x2  x 2  4x  4  4x 2  8x
Agrupamos los términos:
Resolvemos:
x
x 2  4x  4  0
 4  16  16
2
2
.
16
Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
4(x2  5x)  x2  x
a)
b)
6x2  5  35  4x2
Solución:
3x2  21x  0
a) Operamos y agrupamos términos:
Es incompleta. Ponemos x como factor común: 3x(x - 7) = 0, luego, x = 0; x = 7.
b) Al agrupar los términos resulta una ecuación incompleta de segundo grado:
10 x 2  40  x   4  2
17
Resolver la siguiente ecuación:
4x2  2x  3  3  4x  x2  2x3x  1
Solución:
Quitando paréntesis:
4x 2  2x  6  3  4x  x 2  6x 2  2x
Pasando todos los términos al primer miembro y agrupando los semejantes:
x
4
 42  4· 1·9
2· 1
x1 
Las soluciones son:
18

4  52
2
4  52
2
x2 
y
Resolver la siguiente ecuación:
5 
3

 x   x    x  5 x  3  33  1
2 
2

Solución:
4  52
2
 x 2  4x  9  0
x2 
3x 5x 15


 x 2  3x  5x  15  9  3
2
2
4
Quitando paréntesis:
Multiplicando por el m.c.m.(2,4) = 4:
4x 2  6x  10 x  15  4x 2  12 x  20 x  60  36  12
8 x  27  x 
27
8
Agrupando términos semejantes a ambos lados de la igualdad:
19
Una solución de la ecuación
2x2  5x  c  0
1
2
es
. ¿Cuánto vale c? ¿Cuál es la otra solución?
Solución:
2
 1
 1
2   5   c  0
2
 
 2
Para calcular c sustituimos la solución conocida en la ecuación:
Operando: c = - 6/2 = - 3.
2x 2  5 x  3  0
La ecuación es:
, y sus soluciones:
1
 5  25  4·2( 3)  5  7  2
x


4
4
 3
.
20
Resolver la siguiente ecuación:
1
x  2  2 2x  6  x  4
3
3
Solución:
Multiplicando por 3 y quitando paréntesis: x  2  4x  12  x  4
 2x  10  x 
10
 5
2
Agrupando términos semejantes a ambos lados de la igualdad:
21
Resuelve la siguiente ecuación:
5
5
26
53(x  )  2(x  )  12(3  2x ) 
2
3
3
Solución:
5
5
90( x  )  60( x  )  72(3  2x )  52
2
3
Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3) = 6:
Quitamos los paréntesis:
90x + 225 - 60x + 100 = 216 + 144x + 52
Agrupamos y resolvemos:
x
114x = 57
22

1
2
.
Resuelve la siguiente ecuación:
5x  7 3
2x  4
 ( x  3) 
1
2
4
3
Solución:
Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 4)=12: 6(5x+7) - 9(x+3) = 4 (2x+4) + 12
Quitamos los paréntesis:
30x + 42 - 9x - 27 = 8x + 16 + 12
Agrupamos y resolvemos:

13x = 13
x = 1.
23
Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
2(6  x 2 )
a) (x -6)(x + 6) =
2
b) 3x(2x + 1) = x
Solución:
c) Operamos:
x2  36  12  2x2
Agrupamos los términos y resulta una ecuación incompleta:
Resolvemos:
3x 2  48
x   16  4
6x2  3x  x2
d) Operamos:
Agrupamos los términos y resulta una ecuación en la que podemos sacar factor común x: x(5x + 3) = 0
Entonces, x = 0 ó 5x + 3 = 0, es decir, x = -3/5.
24
Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
1
1
 x2  0
27 3
a)
x2
x

0
5
15
b)
Solución:
e) Multiplicamos por el m.c.m.(3, 27) = 27:
1  9x2  0
x
Resulta una ecuación de segundo grado incompleta que resolvemos:
1
1

9
3
f)
25
3x 2  x  0
Multiplicamos por el m.c.m.(5, 15) = 15:
Resulta una ecuación incompleta en la que podemos sacar factor común x: x(3x - 1) = 0
Entonces, x = 0 ó 3x - 1 = 0, es decir, x = 1/3.
Resuelve la siguiente ecuación:
3x  5  2x 3

2 5(3  2x ) 


4 
3
4

Solución:
Multiplicamos por el m.c.m.(3, 4) = 12:
120(3  2x)  6(3x  5)  8x  9
Quitamos los paréntesis:
360 - 240x - 18x + 30 = 8x - 9
Agrupamos y resolvemos:
399 3·133 3
x


266 2·133 2

266x = 399
.
26
Determina el valor de c para que la ecuación
soluciones).
Calcula el valor de dicha solución.
4x2  12x  c  0
tenga una solución doble (iguales las dos
Solución:
b2  4ac  (12)2  4  4c  0
c 
El valor del discriminante debe ser cero:
4x2  12 x  9  0
La ecuación es:
, y su solución:
12  144  144 12 3
x


8
8
2
.
27
Resuelve la siguiente ecuación:
3
1
1 1
(x  2)  (2x  1)   (x  1)
2
3
3 4
Solución:
Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 4)=12: 18(x+2) - 4(2x-1) = 4 - 3(x+1)
Quitamos los paréntesis:
18x +36 - 8x + 4 = 4 - 3x - 3
Agrupamos y resolvemos:
13x = - 39
28

x = - 3.
Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
a) (2x -1)(2x + 1) = 24
144
9
16
b) x(3x + 1) = x(2x + 3)
Solución:
2
g) Operamos: 4x  1  24
Agrupamos los términos y resulta una ecuación de segundo grado incompleta:
25
5
x

4
2
Resolvemos:
4x2  25
3x2  x  2x2  3x
h) Operamos:
Agrupamos los términos y resulta una ecuación en la que podemos sacar factor común x: x(x - 2) = 0
Entonces, x = 0 ó x - 2 = 0, es decir, x = 2.
29
Resolver la siguiente ecuación sin utilizar la fórmula:
1  x1  x  3  x2  35  2x
Solución:
Quitando paréntesis:
1  x 2  9  6x  x 2  15  6x
 2x 2  23 x  0
Pasando todos los términos en el primer miembro y agrupando los semejantes:
23
x2 
2
Despejando x:
No existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo. Por tanto, la ecuación no tiene solución.
30
Halla el valor de b para que la ecuación
soluciones). Calcula dicha solución.
4x2  bx  1  0
tenga una solución doble (iguales las dos
Solución:
b2  4ac  b2  4  4  1  0  b2  16  b  4.
El discriminante debe ser nulo:
4x 2  4x  1  0
4x2  4x  1  0
Las ecuaciones son:
y
Sus soluciones:
 4  16  16  1
4  16  16 1
x

x

8
2
8
2
y
, respectivamente.
31
Sin resolverlas, indica si las siguientes ecuaciones no tienen solución, tienen una o dos soluciones:
a)
b)
c)
2x2  x  45  0
x 2  2x  8
4x(x  5) = -25
Solución:
b2  4ac  (1)2  4  2(45)  1 360  361.
a) Calculamos el discriminante:
Como es positivo tiene dos soluciones distintas.
x2  2x  8  0.
b) La ecuación es:
(2)2  4  1 8  4  32  28.
El discriminante es:
Como es negativo no tiene soluciones reales.
4x2  20 x  25  0
c) Operando se obtiene:
.
2
(20)  4  4  25  400  400  0
El discriminante es:
. La ecuación tiene solamente una solución.
32
Resolver la siguiente ecuación sin utilizar la fórmula:
x  22  4
Solución:
2
Quitando paréntesis: x  4x  4  4
x 2  4x  0
Pasando todos los términos al primer miembro y agrupando los semejantes:
x0

x x  4   0  
x  4  0  x  4
Sacando factor común e igualando cada uno de ellos a 0:
33
Resolver la siguiente ecuación:
1  3x 2  5  2x 2  3
Solución:
Pasando todos los términos al primer miembro y agrupando los semejantes:
x 2  1  x   1  1
Despejando:
34
x2  1  0
Resolver la siguiente ecuación:


3 x 2  x  2x  0
Solución:
Quitando paréntesis y agrupando los términos semejantes:
3x 2  x  0
x0

xx  3   0  
x

3

0  x  3

Sacando factor común e igualando cada uno de ellos a 0:
35
Resolver la siguiente ecuación:
12  x  x 2  0
Solución:
x
 12  4· 1·12
2· 1
1
x1 

1  49 1  7

2
2
1  7
 3
2
Las soluciones son:
36
x2 
1  7
4
2
y
Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de grado dos: 5x(x + 1) + 10(2x + 3) + 60 = 20(1 - x).
Solución:
Operamos:
5x2  5x  20 x  30  60  20  20 x.
Agrupamos los términos: 5x2 + 45x + 70 = 0. Simplificamos:
Resolvemos:
 9  81  56  9  5  2
x


2
2
 7
x2  9x  14  0.
.
37
Resolver la siguiente ecuación:
4  x 5  x 3x  1


 10  x
3
3
6
Solución:
Multiplicamos por el m.c.m.(3,6) = 6 la ecuación y se quitan denominadores:
65
9 x  65  x 
9
Agrupando términos semejantes a ambos lados de la igualdad :
38
8  2x  10  2x  3x  3  60  6x
Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
27  3x2  0
a)
b)
5x2  15 x  0
Solución:
x   9  3
a) Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta. Despejamos:
b) Como carece de término independiente, sacamos x como factor común: 5x(x-3) = 0, luego x = 0; x = 3.
39
Resolver la siguiente ecuación:
321  x   104  3x  7  510  x
Solución:
Quitando paréntesis:
63  3x  40  12 x  7  50  5 x
14 x  66  x 
66 33

14
7
Agrupando términos semejantes a ambos lados de la igualdad:
40
Resolver la siguiente ecuación:
3x  3  42  3x  21  2x
Solución:
Quitando paréntesis:
3 x  9  8  12 x  2  4 x
19 x  19  x 
19
1
19
Agrupando términos semejantes a ambos lados de la igualdad:
41
Resolver la siguiente ecuación:
8x  5 2  5 x
x

2
10
6
5
Solución:
Multiplicamos por el m.c.m.(5,6,10)=30: 3(8x+5) - 5(2-5x) = 60 -6x
Quitamos los paréntesis: 24x + 15 - 10 +25x = 60 - 6x
Agrupamos y resolvemos:
55x = 55
42
 x = 1.
Resolver la siguiente ecuación:
3x  2
 5  2x  4
4
Solución:
Multiplicando por 4 y quitando paréntesis:
3 x  6  20  8 x  16
5 x  10  x 
10
 2
5
Agrupando términos semejantes a ambos lados de la igualdad:
43
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a)
b)
6x 2  x  1  0
(3x - 5)(2x - 3) = 0
Solución:
a) Sustituimos en la expresión que nos da las soluciones:
1
 1  ( 1)2  4·6( 1) 1  5  2
x


2·6
12
 1
 3
b) Nos da un producto de dos factores igual a cero, luego, se puede resolver sin desarrollar y aplicar la fórmula de resolución:
3x - 5 = 0
1
 x = 5/3, y 2x - 3 = 0  x = 3/2.
Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:
3x  5 y  1

4 x  2 y  16
Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 5:

6x  10 y  2


20 x  10 y  80

Sumamos y obtenemos: 26x = 78
x=3
Sustituimos en la 1ª ecuación el valor hallado:
9 + 5y = -1
2
 y = -2. Solución: (3, -2).
Resuelve utilizando el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:
x  4 y  7

 x  y  8
Solución:
x  7  4 y

 x  8  y
Se despeja x en las dos ecuaciones:
7  4 y  8  y  4 y  y  8  7  5 y  15  y 
15
 3
5
Se igualan los resultados:
x  7  4·3  5
Se calcula x:
La solución es x = 5, y = 3
3
Resuelve utilizando el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:
4 x  y  15

 3 x  y  1
Solución:
y  15  4 x

 y  1  3x
Se despeja y en las dos ecuaciones:
15  4x  1  3x  4x  3x  1  15  7x  14  x 
14
 2
7
Se igualan los resultados:
y  1  3·2  5
Se calcula y:
La solución es x = -2, y = -5
4
Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:
5 x  y  15

10 x  3 y  55
Solución:
Despejamos y en la 1ª ecuación: y = 5x - 15
Sustituimos en la segunda: 10x + 3(5x - 15) = 55
Operamos y agrupamos términos: 25x = 100
Sustituimos en y: y = 5. Solución: (4, 5).
5
x=4
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
32  x   4y  2  0

 3x  2 y  1  1

4
2

Solución:
6  3 x  4 y  8  0

 3x  4y  2  4
Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones:
 3 x  4 y  14

 3x  4y  2
Agrupando los términos:
 3x  4y  14

 3x  4y  2
0  12
Sumando:
Como resulta una igualdad falsa, el sistema no tiene solución
6
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x  y x  y
 2  3 5
 xy

y3
7

Solución:
3 x  3 y  2x  2y  30

x  y  7 y  21

Quitando denominadores en las ecuaciones:
5 x  5 y  30

 x  7 y  21
Agrupando los términos:
  x  y  6

 x  7 y  21
8 y  15  y 
15
8
Dividiendo por 5 la 1ª ecuación y sumando:
15
15 63
x
6 x 6

8
8
8
Se calcula x:
63
15
8
8
La solución es x =
,y=
7
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3(x  6)  2 y  3(2x  y)  8


x  6y
 y2
2x 
3

Solución:
Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones:
3 x  18  2y  6 x  3 y  8

6 x  x  6 y  3 y  6
Agrupamos los distintos términos:
 3 x  y  26

5 x  3 y  6
(*)
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3, y restamos:
 9 x  3 y  78

5 x  3 y  6
 -14x = 84  x = -6
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación de (*):
18 + y = 26
8
 y = 8. Solución: (-6, 8)
Escribe un sistema de dos ecuaciones compatible y otro incompatible en los que una de las ecuaciones
sea:
xy5
Solución:
Hay muchas soluciones para el enunciado.
Por ejemplo:
Sistema compatible:
x  y  3

x  y  5
Sistema incompatible:
x  y  5

x  y  2
9
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3x  2  5y  1  9

 4x  5  3y  5

2

Solución:
3 x  6  5 y  5  9

 8 x  5  3 y  10
Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones:
3 x  5 y  8

8 x  3 y  5
Agrupando los términos:
 9 x  15 y  24

 40 x  15 y  25
31x  1  x 
Multiplicando por 3 la 1ª ecuación y la 2ª por 5 y sumando:
1
3
245
245 49
3·  5 y  8  5 y  8 
 5y 
y

31
31
31
155
31
Se calcula y:
1
31
1
31
La solución es x =
10
49
31
,y=
Resuelve, si es posible, y comenta los siguientes sistemas:
2x  3 y  1

3x  5 y  1

5x  8y  0
a)
2x  3 y  1

3x  5 y  1

x  2 y  2
b)
Solución:
a) Hallamos x e y con las dos primeras ecuaciones.
Multiplicamos para aplicar el método de reducción:
6 x  9 y  3

6 x  10 y  2

Restamos las ecuaciones anteriores: y = 5. Sustituyendo en la 1ª: 2x - 15 =1
x=8
Comprobamos si la pareja de números (8, 5) verifica la tercera ecuación: 5·8 - 8·5 = 0, luego, si es solución.
b) Las dos primeras ecuaciones son las mismas. La solución de ambas, (8, 5), ahora, no verifica la tercera ecuación, por lo
tanto, el sistema dado no tiene solución.
11
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x3

5

y

2x  3 y  x  9
Solución:
 x  3  5y

2x  3 y   x  9
Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones:
 x  5y  3

3 x  6 y  9
Agrupando los términos:
 3 x  15 y  9

 3x  6y  9
9 y  18  y  2
Multiplicando por 3 la primera ecuación y sumando:
x  5·2  3  x  3  10  7
Se calcula x:
La solución es x = 7, y = 2
12
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 5x  3
 2  2 x  21  y 
 2x
1

 2y   x
3
3

Solución:
5 x  3  6 x  6  6 y

 2x  6 y  1  3 x
Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones:
11x  6 y  9

  x  6y  1
Agrupando los términos:
11x  6 y  9

  x  6y  1
10 x  10  x  1
Sumando:
 1  6y  1  y 
2 1

6 3
Se calcula y:
1
3
La solución es x = 1 y =
13
Escribe un sistema de dos ecuaciones compatible y otro incompatible en los que una de las ecuaciones
sea
2x  5y  1
Solución:
Hay muchas soluciones para el enunciado.
Por ejemplo:
Sistema compatible:
2x  5 y  1

 x  y  3
Sistema incompatible:
 2x  5 y  1

2x  5 y  4
14
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
y

 2x  1  3
 3x

 y  10
 2
Solución:
 6x  6  y

3 x  2y  20
Quitando paréntesis y denominadores:
Como y está despejada en la primera ecuación, se sustituye en la segunda:
32
3 x  26 x  6   20  3 x  12 x  20  12  15 x  32  x 
15
y  6·
32
102 34
6 y 

15
15
5
Se calcula y:
32
15
La solución es x =
15
34
5
,y=
Justifica que los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes:
4 x  10 y  2

 2x  6 y  2
a)
,
4 x  10 y  2

 4 x  12 y  4
b)
,
4 x  10 y  2

 2 y  6
c)
Solución:
En el sistema b) se ha multiplicado la segunda ecuación por 2, luego, es equivalente al primero. En el sistema c) la segunda
ecuación se ha obtenido sumando las dos del sistema b), luego, es equivalente al b), y, por lo tanto, también al sistema a).
16
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 5x  2y  2

4 x  20  2 y
Solución:
 5 x  2 y  2

4 x  2y  20
Agrupando términos:
5x  2y  2

4x  2y  20
9x  18  x  2
Sumando las dos ecuaciones:
Sustituyendo en la 2ª ecuación, se calcula y:
La solución es x = 2, y = 6
17
4·2  2y  20  2y  20  8  2y  12  y  6
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 3x  6
5 x  4 y  14

3
Solución:
3x  6


15 x  4 y  42
Quitando denominadores:
x
6
2
3
Despejando x de la primera ecuación:
15·2  4y  42  4y  12  y  3
Sustituyendo en la 2º:
La solución es x = 2, y = 3.
18
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 y  3 x  8

y  5x   y  3
Solución:
  3 x  y  8

 5 x  2y  3
Agrupando los términos:
 y  8  3 x

 5 x  2y  3
Despejando y de la primera ecuación:
5x  23x  8  3  5x  6x  3  16  x  13
Sustituyendo en la 2ª y resolviendo:
y  3·13  8  y  31
Se calcula y:
La solución es x = 13, y = 31
19
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 3x  5   4 y  8

 x  15  2x  2y  2
Solución:
 3 x  15  4 y  8

 x  15  2x  2y  4
Quitando paréntesis:
 3 x  4 y  23

 3 x  2y  19
Agrupando los términos:
 3 x  4 y  23

 3 x  2y  19
 2y  4  y  2
Sumando:
3x  4·2  23  3x  15  x  5
Se calcula x:
La solución es x =5, y = 2
20
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x  3y  2  4

5x  1  2 y  6
Solución:
 x  3y  6  4

5 x  5  2y  6
Quitando paréntesis:
 x  3 y  10

5 x  2y  1
Agrupando los términos:
 x  10  3 y

5 x  2y  1
Despejando x de la primera ecuación:
510  3y   2y  1  15 y  2y  1  50  17 y  51  y  3
Sustituyendo en la segunda:
x  10  3·3  x  1
Se calcula x:
La solución es x = 1, y = 3
21
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3x  4 y  2x  4

 2x  2  3 y
Solución:
 x  4 y  4

2x  3 y  2
Agrupando los términos:
 x  4  4 y

2 x  3 y  2
Despejando x en la 1ª ecuación:
Sustituyendo en la 2ª se calcula y:
x  4·2  4  4
Se halla x:
La solución es x = 4, y = 2
22
24y  4  3y  2  8y  3y  2  8  5y  10  y  2
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 5x y
 3 2 8
  3x 3 y


 6
4
 2
Solución:
 10 x  3 y  48

 6 x  3 y  12
Quitando denominadores:
10 x  3 y  48

 6 x  3 y  12
16 x  60  x 
60
15
x
16
4
Multiplicando por 1 la 2ª ecuación y sumando:
15
90
42
42 7
6·  3 y  12  3 y  12 
 3y 
y

4
4
4
4
6
Se calcula y:
7
15
6
4
La solución es x =
,y=
23
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2
 4x
 3 y 3


 5x y
 2  4  11
Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3, y la 2ª por 4, para eliminar los denominadores:
4 x  3 y  2

10 x  y  44
Multiplicamos la segunda por -3, para aplicar el método de reducción:
4 x  3 y  2

 30 x  3 y  132

Sumamos las ecuaciones: -26x = -130
x=5
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación:
20
2
y
3
3
 y = 6. Solución: (5, 6)
24
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
  x  3  3y  4

4x  3   y  2 y  12
Solución:
  x  3  3y  4

4 x  12  y  2y  12
Quitando paréntesis:
  x  3 y  1

4 x  3 y  24
Agrupando los términos:
 x  3y  1

4 x  3 y  24
5 x  23  x 
Multiplicando por 1 la 1ª ecuación y sumando:
23
23
28
28
 3y  1  3y  1 
 3y 
y
5
5
5
15
Se calcula y:
 23
5
23
5
La solución es x =
25
28
15
,y=
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 2x  18  4x  3 y  4

  12 x  y  9  4
Solución:
 2x  18  4 x  12 y  4

  12 x  12 y  9  4
Quitando paréntesis:
  6 x  12 y  22

 12 x  12 y  5
Agrupando los términos:
  6 x  12 y  22

 12 x  12 y  5
 18 x  17  x 
 17
18
Sumando:
 12·
17
204
294
294 49
 12 y  5  12 y  5 
 2y 
y

18
18
18
16
36
Se calcula y:
17
18
La solución es x =
26
49
36
,y=
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x  1 y  1


 1
 3
2

 4x  2y  3
Solución:
2x  2  3 y  3  6

4 x  2y  3

Quitando denominadores:
2x  3 y  11

 4 x  2y  3
Agrupando los términos:
 4 x  6 y  22

 4 x  2y  3
8 y  25  y 
25
8
Multiplicando por 2 la 1ª ecuación y sumando:
25
25
13
13
4 x  2·
 3  4x  3 
 4x 
x
8
4
4
16
Se calcula x:
13
25
8
16
La solución es x =
,y=
27
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
1
 2y x

 
 5
3 15

15 x  15 y  2
Solución:
 6y  5x  1

15 x  15 y  2
Quitamos paréntesis:
 15 x  18 y  3

 15 x  15 y  2
3y  5  y 
5
3
Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando:
5
27 9
15 x  15·  2  15 x  2  25  x 

3
15 5
Sustituyendo en la 2ª ecuación se calcula x:
5
9
3
5
La solución es x = , y =
28
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x
 4  y  2
 2x 2 y


4
5
3
Solución:
 x  4 y  8

10 x  6 y  60
Quitando denominadores:
 x  8  4 y

10 x  6 y  60
Despejando x de la primera ecuación:
10  8  4 y   6 y  60  40 y  6 y  60  80  34 y  140  y 
Sustituyendo en la 2ª:
70
144
x  8  4·  x 
17
17
Se calcula x:
144
17
La solución es x =
29
70
17
,y=
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x y
 2  3  11


x y
 3  5  7
Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 6, y la 2ª por 15, para eliminar los denominadores:
3 x  2y  66

5 x  3 y  105
Multiplicamos en el último sistema la 1ª ecuación por 5, y la 2ª por 3:
15 x  10 y  330

15 x  9 y  315
Ahora, aplicamos método de reducción. Restamos las ecuaciones: y = 15
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación:
x
 5  11
2
 x = 12. Solución: (12, 15)
30
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
140 70

34
17
x y
3  2 2
 2x y

 1
2
3
Solución:
2x  3 y  12

 4x  3y  6
Quitando denominadores:
2x  3y  12

 4x  3y  6
6x  18  x  3
Sumando:
2·3  3y  12  3y  6  y  2
Se calcula y:
La solución es x = 3, y = 2
31
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 2x  1  5 y  3

 2x  y  1  x
Solución:
 2x  2  5y  3

4x  3y  1  x

Quitando paréntesis:
 2x  5y  5

 3x  y  1
Agrupando los términos:
 2x  5y  5

y  1  3x

Despejando y de la segunda ecuación:
2x  5 1  3x   5

-2x+15x=5+5
Sustituyendo en la primera:
10
-17
y  1  3·
 y=
13
13
Se calcula y:
17
10
13
13
La solución es x =
,y=
32
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

13x=10
 x=
10
13
 x2 y


 3
5

7x  4 y  14
Solución:
5 x  10  3 y

7 x  4 y  14
Quitando denominadores:
5 x  3 y  10

7 x  4 y  14
Agrupando los términos:
20 x  12 y  40

 21x  12 y  42
41x  82  x  2
Multiplicando por 4 la 1ª ecuación y la 2ª por 3 y sumando:
5·2  3y  10  3y  0  y  0
Se calcula y:
La solución es x = 2, y = 0
33
Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:
 2x  y  5

 x  2 y  2
Solución:
x  2y  2
Se despeja x en la segunda ecuación:
Se
sustituye
en
la
primera
y
22y  2  y  5  4y  4  y  5  3y  9  y  3
se
resuelve
la
ecuación
que
resulta:
que
resulta:
x  2·3  2  4
Se calcula x:
La solución es x = 4, y = 3
34
Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:
3x  y  4

xy0
Solución:
y  4  3x
Se despeja y en la primera ecuación:
Se
sustituye
en
la
segunda
y
x  4  3 x  0  x  3 x  4  2x  4  x  2
se
resuelve
la
ecuación
y  4  3·2  2
Se calcula y:
La solución es x = 2, y = 2.
35
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
7x  2 y  4

 2x  3 y  1
Solución:
Multiplicando la 1ª ecuación por 3 y la 2ª por 2 y sumando los resultados:
21x  6 y  12

 4x  6y  2
25 x  14  x 
14
25
14
28
3
3 1
2·  3 y  1  3 y  1 
 3y 
y

25
25
25
75 25
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y:
14
1
25
25
La solución es x =
,y=
36
Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:
  3x  y  0

4 x  2 y  10
Solución:
Multiplicando la 1ª ecuación por 2 y sumando el resultado se obtiene:
 6 x  2 y  0

 4 x  3 y  10
 2x  10  x  5
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y:
La solución es x = 5, y = 35
37
35  y  0  y  35
Resuelve por el método que prefieras el siguiente sistema de ecuaciones:
 3x  y  5

5 x  2 y  3
Solución:
y  3x  5
Se despeja y en la primera ecuación:
Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuación:
5x  243 x  5  3  5x  6x  3  10  11x * 13  x 
13
11
13
39 55 16
y  3·  5 


11
11 11
11
Se calcula y:
16
11
13
11
La solución es x =
38
,y=
.
Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:
2x  3 y  4

 xy7
Solución:
Multiplicando la 2ª ecuación por 3 y sumando el resultado se obtiene:
 2x  3 y  4

3 x  3 y  21
5x
 25
 x5
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y:
La solución es x = 5, y = 2
39
5y 7 y 2
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 2x
 3 y8


9y

4 x  2  6
Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3, y la 2ª por 2:
2x  3 y  24

8 x  9 y  12
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3 para aplicar el método de reducción:
6 x  9 y  72

8 x  9 y  12

Sumamos las dos ecuaciones: 14x = 84
x=6
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación:
4-y=8
40
 y = -4. Solución: (6, -4)
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x y
2  5  7


3x  2 y  10
Solución:
Multiplicamos por 10 la 1ª ecuación:
5 x  2y  70

3 x  2y  10

Sumamos las dos ecuaciones: 8x = 80
x = 10
Sustituyendo el valor hallado en la segunda ecuación:

30-2y = 10
y = 10. Solución: (10, 10)
41
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
6x  5 y  28

 4 x  9 y  6
Solución:
28  5 y

x

6

 6  9y
x 

4
Se despeja x en las dos ecuaciones:
Se igualan los resultados:
28  5y 6  9y

 428  5y   6 6  9y   112  20 y  36  54 y  20 y  54 y  36  112 
6
4
74 y  148  y  2
x
28  5·2
3
6
Se calcula x:
La solución es x = 3, y = 2
42
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
 2x  3 y  4

6x  5 y  40
Solución:
Multiplicando la 1ª ecuación por 3 y sumando el resultado:
 6 x  9 y  12

 6 x  5 y  40
 14 y  28  y  2
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula x:
La solución es x =5, y = 2
2x  3·2  4  2x  10  x  5