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LA GEOMETRÍA EN GRECIA
La geometría (Del griego : γεωμετρία : geo = Tierra, Metria = medida). Se plantea
como el ámbito de los conocimientos relativos a las relaciones espaciales. La geometría
fue unos de los dos campos antecedentes a la moderna matemática, el otro campo es el
estudio de los números.
Los antecedentes de la geometría clásica se centraron en la orientación y en la correcta
construcción de edificios. Ahora en los tiempos modernos, los conceptos geométricos se
han generalizado con un alto nivel de abstracción y complejidad, y han sido sometidos a
los métodos de cálculo y álgebra abstracta, de modo que muchas modernas ramas son
apenas reconocibles como las descendientes de los principios de la geometría.
desarrollados para satisfacer algunas necesidades en la agrimensura, la construcción, la
astronomía, y diversas artesanías.
La Geometría griega antes de Euclides
Tales permaneció en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los
conocimientos de sacerdotes y escribas. También se le atribuye la predicción de un
eclipse solar.1
La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos
y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámica, y da un paso de abstracción al
considerar los objetos como entes ideales –un cuadrado ideal, en lugar de una pared
cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo, etc.– que pueden ser
manipulados mentalmente, con la sola ayuda de regla y compás. Aparece por primera
vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento aunque, en
un primer momento, fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas
demostraciones formales.
La figura de Pitágoras y de la secta por él creada: los pitagóricos, tiene un papel central,
pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número (filosofía que
de forma más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática y de
la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina –en este momento inicial
de la historia de la Matemática aún no hay una distinción clara entre Geometría y
Aritmética–, y asienta definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí coincide
con el concepto de demostración formal) como única vía de establecimiento de la
verdad en Geometría.
Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición del radio de la Tierra por
Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la Luna, y la investigación y
establecimiento de la teoría de las palancas, por Arquímedes, varios siglos después.
En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la
aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de carácter más aritmético que
geométrico.
Surge entonces un pequeño problema de Lógica, que consiste en lo siguiente: una
demostración parte de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado
tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha
extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las
hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con
rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que
considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos
también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que,
indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.
Euclides y Los elementos
Fragmento de uno de los Papiros de Oxirrinco con unas líneas de Los elementos de
Euclides.
Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al
proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas
proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás
resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, Los elementos, modelo de sistema
axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa
construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en
trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.
Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae
problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero tal y como
aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del
resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de
la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros
cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es
decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados
de la obra.
Después de Euclides
Euclides casi cierra definitivamente la Geometría griega - y por extensión la del mundo
antiguo y medieval-, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio.
Arquímedes estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría
las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso cálculo
del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.
Esquema de las cuatro secciones cónicas.
Apolonio trabajó en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en
secciones cónicas y otras curvas.
Los tres problemas de la Antigüedad
La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarán los
matemáticos posteriores. Es importante observar que los tres problemas deben ser
resueltos utilizando únicamente la regla y el compás, únicos instrumentos (además del
papel y el lápiz, por supuesto) válidos en la Geometría de Euclides. Además de los tres
problemas, la disputa de si el V postulado era o no un teorema (de si se podía o no
deducir de los otros cuatro) también se considera uno de los problemas clásicos de la
Geometría griega. Estos tres problemas son los siguientes:
La duplicación del cubo
Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el punto de
llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al oráculo de Delos,
consagrado a Apolo (en ciertas fuentes aparece el oráculo de Delfos, en lugar del de
Delos, también consagrado a Apolo), para consultar qué se debía hacer para erradicar la
mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el
altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma
cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el
doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera.
Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de
grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3
= 23l3 = 8l3). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el
doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos
(no así la enfermedad).
La trisección del ángulo
Este problema consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales,
empleando únicamente la regla y el compás, de manera que la suma de las medidas de
los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero.
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a
la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del
triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo
tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
Teorema de Thales
Existen dos teoremas que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos atribuidos
al matemático griego Thales de Mileto en el siglo VI a. C.
Primer Teorema de Thales
Una aplicación del Teorema de Thales.
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos
triángulos se llaman semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus
lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Thales recoge uno de los
resultados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos
triángulos semejantes.
Según parece, Tahles descubrió el teorema mientras investigaba la condición de
paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Thales puede enunciarse
como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición
suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón
de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos
Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene
constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de
Thales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce
que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente
entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Thales
ambos triángulos son semejantes, se cumple que:
Segundo teorema
Ilustración del enunciado del segundo teorema de Thales de Mileto.
El segundo teorema de Thales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a
los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos
Euclides
El nombre de Euclides está indisolublemente Ligado a la geometría, al escribir su
famosa obra Los Elementos. Este es el libro más famoso de La Historia de la
Matemática. Esta obra está constituida por trece libros, cada uno de los cuales consta de
una sucesión de teoremas y en éL se exponen las bases esenciales de la geometría.
Se enuncia el postulado de Euclides: por un punto del plano sólo se puede trazar una
paralela y una sola, a una recta. Este postulado es la base de La geometría euclideana
A Continuación enunciamos los famosos cinco Postulados de Euclides
I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.
II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada
en la misma dirección.
III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.
IV.- Todos los ángulos rectos son iguales.
V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado
menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado
en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Arquímedes
De las espirales: genera la espiral, conocida como la espiral de Arquímedes, por
movimientos.
Es la curva que describe un punto que se mueve, con velocidad constante, sobre una
recta que a su vez gira con velocidad constante. Combina dos movimientos, el circular
uniforme de la semirrecta alrededor del origen y el rectilíneo uniforme del punto sobre
la semirrecta.
De la esfera y el cilindro: se dedica a La geometría y completa la obra de Euclides.
Elabora una geometría del espacio con rigor. Relaciona áreas de distintas figuras. Busca
una relación entre las áreas del cilindro y de La esfera.
Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un
cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:
El área lateral del cilindro es igual al área de la esfera inscripta.
Arquímedes estaba tan orgulloso de este descubrimiento que mandó se inscribiera en su
tumba: volumen de la esfera es 2/3 del cilindro.