Download Problema de sistema de numeración

Determinar el sistema de numeración de base menor que 10 (n<10), en el cual la diferencia entre el número formado por 5
cifras consecutivas escritas de mayor a menor y el formado por las mismas 5 cifras en el orden inverso es 41643. Comprobar
que, encontrado n, hay 2 valores para el número. Dar dichos números en base decimal.
¿n?
n<10
n>6
porque 41643(n la cifra de orden 3, el 6, así lo determina
y
(a-4)≠0  a≠4
porque si no los números de la resta propuesta no serían de 5 cifras
a
(a-1)
(a-2)
(a-3)
(a-4)
(n
(a-4)
(a-3)
(a-2)
(a-1)
a
(n
(*) a≠0
-
además
----------------------------------------------------------------------------------------------4
-
1
6
4
3
(n
a·n^4
(a-1)·n^3
(a-2)·n^2
(a-3)·n
(a-4)
(n
(a-4)·n^4
(a-3)·n^3
(a-2)·n^2
(a-1)·n
a
(n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4·n^4
1·n^3
6·n^2
4·n
3
(n
a·n^4+(a-1)·n^3+(a-2)·n^2+(a-3)·n+(a-4)- (a-4)·n^4-(a-3)·n^3-(a-2)·n^2-(a-1)·n-a = 4·n^4+1·n^3+6·n^2+4·n+3
4·n^4+2·n^3-2·n-4 = 4·n^4+n^3+6·n^2+4·n+3
n^3+6·n^2-6·n-7=0
 (n-7)·(n^2+n+1)=0  n=7
Comprobemos ahora que hay 2 posibilidades para los números de 5 cifras descritos en el enunciado.
En primer lugar recordemos los números que tenemos en base 7  0 1 2 3 4 5 6
(*) a≠0
y
(a-4)≠0  a≠4
También podemos deducir que a≠1, a≠2, a≠3 pues:
Si a=1
a-2, a-3, a-4 serían negativos
Si a=2
a-3, a-4 serían negativos
Si a=3
a-4 sería negativo
Con lo cual a=5 y/o a=6
-
5
4
3
2
1 (7
1
2
3
4
5 (7
----------------------------------------------------------------------------------
-
4
1
6
4
3 (7
6
5
4
3
2 (7
2
3
4
5
6 (7
CORRECTO
---------------------------------------------------------------------------------4




1
6
4
3 (7
54321(7 = 5·2401 + 4·343 + 3·49 + 2·7 + 1 = 12005 + 1392 + 147 + 14 + 1 = 13559 (10
12345(7 = 1·2401 + 2·343 + 3·49 + 4·7 + 5 = 2401 + 686 + 147 + 28 + 5 = 3267 (10
65432(7 = 6·2401 + 5·343 + 4·49 + 3·7 + 2 = 14406 + 1735 + 196 + 21 + 2 = 16360 (10
23456(7 = 2·2401 + 3·343 + 4·49 + 5·7 + 6 = 4802 + 1049 + 196 + 35 + 6 = 6088 (10
CORRECTO