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Trigonometría 2012
LA TRIGONOMETRÍA
Origen de la palabra TRIGONOMETRÍA
Proviene de los vocablos griegos "trigonos" (triángulos) y "metría" (medición). Que
significa “medición de triángulos”.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los
ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y
para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía
mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la
exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y
astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era
utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa
de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del
siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También
descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto
los
cálculos
trigonométricos
recibieron
un
gran
empuje.
A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos
x y la tan x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al
análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras
como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de
la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las
funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Tiene amplia aplicación en física, química, ingeniería y astronomía, para medir enormes
distancias.
El estudio de trigonometría involucra el concepto de plano cartesiano o sistema de
coordenadas rectangulares o cartesianas.
Un sistema de coordenadas o cartesianas lo forman dos ejes perpendiculares
entre sí, que se cortan en el origen.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones
de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.
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El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas .
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por P(x, y).
La primera
coordenada se
mide
sobre
el
eje
de
abscisas,
y
se
la
ordenadas,
y
se
le
denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.
La segunda
coordenada se
mide
sobre
el
eje
de
llama coordenada y del punto u ordenada del punto.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a
cada una de ellas se les llama cuadrante.
90º
180º
0º o 360º
270º
Signos
Abscisa
Ordenada
1 e r cuadrante
+
+
2º cuadrante
−
+
3 e r cuadrante
−
−
4º cuadrante
+
−
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Conceptos básicos
Ángulo: Formado por dos rayos que tiene un punto en común llamado vértice. Los dos rayos
que forman el ángulo se llaman lados uno inicial y el otro terminal.
Lado terminal
Lado inicial
Los ángulos (trigonométricos) se clasifican a su vez en:
Ángulo positivo: Es aquel que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Ejemplos: 90º, 45º, 120º, 245º, 300º
Ángulo negativo: Es aquel que tiene rotación en sentido a las manecillas del reloj.
Ejemplos: -45º, -280º, -300º, -580º
Ángulo en su posición normal: un ángulo está en su posición normal, si su vértice
coincide con el origen y el lado inicial con el eje de las X positivo. Y su lado terminal
en cualquier posición del sistema de coordenadas rectangulares.
Ángulos cuadrantes: son aquellos que su lado terminal coincide con uno de los ejes.
Ejemplo: 90º, 180º, 270º y 360º, 450º
Ángulos de referencia o relacionado:
Es aquel ángulo positivo que se forma solamente y exclusivamente con el eje de las
X.
Dependiendo del cuadrante se puede utilizar lo siguiente:
Q1 : 𝜽𝑹 = 𝜽
Q3 : 𝜽𝑹 = 𝜽 − 𝟏𝟖𝟎
Q2 : 𝜽𝑹 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝜽
Q4 : 𝜽𝑹 = 𝟑𝟔𝟎 − 𝜽
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Ejemplos: Halle el ángulo relacionado de: 330º, 225º, 150º,, -300º
Ángulos Coterminales: Son aquellos que colocados en su posición normal tienen el mismo
lado terminal: Ejemplos: 450º con _______
-900º con _____
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MEDICÍON DE ÁNGULOS
Para medir ángulos se utilizan varios sistemas, los más conocidos son El sistema
sexagesimal y el circular. Para esto es necesario conocer la rotación del ángulo, que
anteriormente se había mencionado tomando en cuenta las manecillas del reloj.
SISTEMA SEXAGESIMAL: Su unidad de medida es el grado que corresponde a 1 de 360
partes. El grado se divide a su vez en 60 minutos y este en 60 segundos.
90º = 89º 59´60”
SISTEMA CIRCULAR: Su unidad de medida es el radián. El radián es un ángulo central que
tiene como laso 2 radios de una circunferencia, cuyo arco es igual al radio del a circunferencia
que pertenece. C = 2𝜋𝑟
Revoluciones por minutos: Es la cantidad de vueltas que gira un ángulo en la
circunferencia. 1 revolución = 2𝝅
RELACIONES ENTRE LAS MEDIDAS EN GRADOS Y RADIANES.
1º =
𝝅
𝟏𝟖𝟎
radianes
1 radián =
𝟏𝟖𝟎
𝝅
1 rad = 57º 17´45” = 57,2958 aprox
Un ángulo recto tienes 90º o
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𝝅
𝟐
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Consigna de Aprendizaje
I PARTE: Construya los ángulos dados señalando su lado inicial y su lado terminal o final e indique con una fecha el
sentido de rotación.
45º,
-135º, 405º, -300º, 120º, -420º, 780º
II PARTE: Señale en qué cuadrante se encuentra el lado final de cada ángulo en su posición normal. (Haga la gráfica) y
encuentre un ángulo coterminal.
76º, 265º, 719º, 810º, -300º, -901º, 1926º
III PARTE. Encuentra el ángulo relacionado de:
125º, 250º, 310º, 150º, 430º, -405º,
-120º, -620º.
IV PARTE: Exprese en radianes los siguientes ángulos dados en grados.
40º
465º
18º
135º
42º
144º
45º
216º
84º
378º
V PARTE: EXPRESEN GRADOS LOS SIGUENTES ÁNGOLOS DADOS EN RADIANES.
𝜋
𝜋
6
4
𝜋
2𝜋
9
5
5𝜋
5𝜋
9
6
7𝜋
𝜋
20
36
5𝜋
17𝜋
36
30
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RELACIÓN ENTRE LA ABSCISA, ORDENADA Y RADIO VECTOR.
Dado un punto P(x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares se puede obtener el valor del a abscisa, ordenada y
el radio vector. Es importante tomar encuentra que la abscisa y ordenada dependen del cuadrante donde esté
ubicado el radio vector y el radio vector siempre es positivo.
r = radio vector
y = ordenada
x = abscisa
r
y
x
Por construcción, el triángulo formado es rectángulo, por lo que se aplica el teorema de PITÁGORAS
TEOREMA:
EN UN TRIÁNGULO RECTANGULO, EL CUADRADO DE LA LONGITUD DE LA HIPOTENUSA(r) ES IGUAL A LA SUMA DE
LOS CUADRADO DE LAS LONGITUDES DE LOS CATETOS( x, Y).
𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2,
De la ecuación anterior, despejando, se concluye que:
𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑥 = √𝑟 2 − 𝑦 2
𝑦 = √𝑟 2 − 𝑥 2
Ejemplo: Hallar el valor faltante x = -10, r = 15, el punto P está en el tercer cuadrante.
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Ejemplo : Encuentre el número faltante. Trace el punto. Y = 6 y r = √85 . P está en 𝑄2 .
POR SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Cuando se dan las coordenadas en uno de los puntos se aplica la semejanza de triángulos. Como los triángulos AOD y
BOE son triángulos rectángulos entonces son semejantes. Por el principio que establece que dos triángulos son
semejantes cuando tienen un par de ángulos congruentes (igual medida) y se establece que:
𝑋𝐴
𝑋𝐵
=
𝑌𝐴
𝑌𝐵
=
𝑅𝐴
B
𝑅𝐵
𝑅𝐵
A
𝑅𝐴
𝑌𝐴
O
D
𝑋𝐴
𝑌𝐵
C
𝑋𝐵
EJEMPLO: Las coordenadas de A son (6,8); la abscisa de B es -12. Encuentre la ordenada de B el radio vector de A y
de B. tome en cuenta que A y B están sobre una recta que pasa por el origen. Use la semejanza de triángulos.
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EJEMPLO: La abscisa de A es 1,6; el radio vector de A es 3,4; el radio vector de B es 1,7. Encuentre las coordenadas de
B. Los puntos A y B están sobre una recta que pasa por el origen. Use la semejanza de triángulos.
Soluciones: B(0,8; 1,5), B(-0,8; 1,5), B(-0,8;-1,5), B(0,8; -1,5)
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son seis razones trigonométricas que se pueden dar de un ángulo en su posición normal.
A continuación se definen las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo
Las razones inversas del seno, coseno y tangente se denominan cosecante, secante y cotangente respectivamente.
Por lo tanto:
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SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Dependiendo en que cuadrante esté la abscisa, la ordenada y el radio vector se puede obtener el signo
de las funciones trigonométricas y con un análisis, obtenemos que:
I
II
III
IV
seno
+
+
-
-
coseno
+
-
-
+
tangente
+
-
+
-
cotangente
+
-
+
-
secante
+
-
-
+
cosecante
+
+
-
-
Ejemplos:



El lado final de un ángulo contiene el punto P(-5,-12). Determine el valor de las funciones
trigonométricas.
La ordenada de un punto en le lado terminal es -1, el radio vector 2,6. P en 𝑄4 . Constrúyase el
ángulo en su posición normal y encuentre las demás funciones trigonométricas.
Construya el ángulo en su posición normal y encuentre las demás funciones trigonométricas,
sabiendo que:
4
 𝑐𝑜𝑡𝜃 = , 𝜃 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑄3
 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
3
7
,
24
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CONSIGNA DE APRENDIZAJE
I PARTE: Encuentre en valor faltante, trace el punto. El ángulo está en su posición normal.
x = -8 , y = 15
x = -5, y = -12
y = -7, r = √74 P en 𝑄4
x = -6,
r = √100 P en 𝑄3
II PARTE: Utilizando la semejanza de triángulos, teorema de Pitágoras y tomando en cuenta que los puntos
A y B están sobre una recta que pasa por el origen. Determine los valores que se le indique. Trace el punto.
1. Las coordenadas de A son (5, -12), la ordenada de B es -6. Encuentre la Abscisa de B, radio vector de
A y de B.
2. Las coordenadas de A son (-8, 15, la abscisa de B es -4. Encuentre la ordenada de B, radio vector de
A y de B.
3. La ordenada de A es 8 y el radio vector de A es 10, la abscisa de B es -1,5. Encuentre la ordenada de
B y el radio vector de B.
4. La abscisa de A es -1, su radio vector es 2,6. La abscisa de B es 2,5. Encuentre la ordenada y radio
vector de B.
5. La ordenada de A es -16, el radio vector es 20. El radio vector de B es 1. Encuentre las coordenadas
de B.
III PARTE: Construya el ángulo en su posición normal y calcule el valor de las funciones trigonométricas.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
El punto (12,5) está en el lado terminal.
El punto (-4,- 3) está en el lado terminal.
La ordenada de un punto en el lado terminal es 8 y el radio vector es 17, P en 𝑄2 .
La abscisa de un punto en el lado terminal es -3, el radio vector es 3,4. P en 𝑄3
La ordenada de un punto es √3 veces la abscisa y ambas son negativas.
El radio vector de un punto es el doble de la abscisa y P esta en 𝑄4
IV PARTE: Construya el ángulo en su posición normal y encuentre el valor de las demás funciones
trigonométricas.
12
1. cos 𝜃 = − 13 𝑃 𝑒𝑛 𝑄2
7
2. sen 𝜃 = − 25 𝑃 𝑒𝑛 𝑄4
8
3. tan 𝜃 = 15 𝑃 𝑒𝑛 𝑄2
4. sec 𝜃 = √5 𝑃 𝑒𝑛 𝑄1
13
5. csc 𝜃 = − 2 𝑃 𝑒𝑛 𝑄3
6. sec 𝜃 = −
5
√29
7
𝑃 𝑒𝑛 𝑄2
7. tan 𝜃 = − 24
8. sen 𝜃 =
7
√58
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VALORES NUMÉRICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º Y 60º Y DE LOS
ÁNGULOS CUADRANTES.
2
2
√2
30º
45º
Función
√3
sen
cos
tan
cot
sec
csc
60º
1
Ángulos del 1er. cuadrante
0º
30º
45º
60º
√3
1
1
1
90º
180º
270º
360º
0

6

4

3

2

3
2
2
0
1
2
2
2
3
2
1
0
1
0
1
3
2
2
2
1
2
0
1
0
1
0
3
3
1
3
_
0
_
0
_
3
1
3
3
0
_
0
_
1
2 3
3
2
2
_
1
_
1
_
2
2
2 3
3
1
_
1
_
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CONSIGNA DE APRENDIZAJE
DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
𝑠𝑒𝑛2 225º + 𝑐𝑜𝑠 2 315º = 1
1 + 𝑐𝑜𝑡 2 150º = 𝑐𝑠𝑐 2 330º
csc 120º − cot 240º = tan 390º
𝑠𝑒𝑛 120º = 2 𝑠𝑒𝑛 60º 𝑠𝑒𝑛 30º
csc 60º − tan 30º = tan 210º
𝑠𝑒𝑛 120º = 𝑠𝑒𝑛 90º cos 30º + cos 90º 𝑠𝑒𝑛 30º
𝑠𝑒𝑛 60º − cos 60º tan 30º = tan 30º
sen 90º = 3 𝑠𝑒𝑛 150º − 4 𝑠𝑒𝑛3 30º
cos 135º = 4 𝑐𝑜𝑠 3 45º − 3 cos 315º
10.𝑠𝑒𝑛 60º = √
11.tan 120º =
12.tan 210º =
13.
1+𝑠𝑒𝑛 150º
2
tan 60º+cot 30º
1−tan 60º 𝑡𝑎𝑛30º
𝑠𝑒𝑛 120º
*
1+cos 60º
cos 315º−cos 225º
𝑠𝑒𝑛 135º−𝑠𝑒𝑛 315º
= tan 45º
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ASIGNACIÓN 1
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ASIGNACIÓN 3
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