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10. Apantallamiento magnético
1
APANTALLAMIENTO MAGNÉTICO
Juan Bisquert
http://www.elp.uji.es/jb.htm
MATERIAL
1
osciloscopio
1
teslámetro
1
generador de funciones
1
tubo de cobre
10
solenoide de test
-
cables de conexión
1. OBJETIVOS
-
Observar el apantallamiento de un campo magnético en el interior de un conductor cilíndrico.
Determinar la conductividad del cobre.
2. FUNDAMENTO TEÓRICO
2.1.
Origen físico del apantallamiento electromagnético
Un buen conductor, como p. ej. un metal, posee cargas libres que responden rápidamente a la aplicación de un campo
eléctrico. Así, cuando se coloca una muestra metálica en el interior de un campo eléctrico, las cargas móviles se
reorganizan en un tiempo del orden de 10-12 s, hasta que adoptan una configuración que anula el campo neto en el interior
del material (con lo cual se impide cualquier movimiento ulterior).
El argumento sigue aplicándose en el caso de una muestra con un hueco en su interior o, lo que es lo mismo, una
superficie metálica cerrada. Las cargas móviles en el metal contrarrestan el campo en el interior de la superficie, con lo cual
el apantallamiento del campo externo es prácticamente total. Esta configuración recibe el nombre de «jaula de Faraday».
Existe un fenómeno similar en el caso de campos magnéticos. Vamos a discutirlo con referencia a la situación de la Fig.
1. Un par de bobinas de Helmholtz producen un campo magnético muy uniforme en su interior. La alimentación de las
bobinas es una fuente de ca (p. ej., un generador de funciones), por lo tanto la intensidad en las bobinas I(t) presenta una
variación sinusoidal con el tiempo, con cierta frecuencia . En consecuencia, esa misma dependencia temporal se traslada
al campo magnético Bext(t) en el interior de las bobinas. Tenemos, pues, una variación con el tiempo del flujo magnético en
el interior del tubo, y por la ley de Faraday, aparece una fem
 = - Error!
(1)
Como el tubo es metálico, la fem (1) da lugar a una corriente cuyo sentido, según la ley de Lenz, se opondrá en cada
instante a la variación de flujo magnético en el interior del tubo. Dado que no hay cambio de la sección del tubo, la
variación de flujo es debida siempre a la del campo. Vemos así que la corriente inducida en la superfie del tubo se opone a
la variación del campo en su interior.
Fig. 1: Tubo metálico sometido a la acción
de un campo magnético uniforme no
estacionario.
Las corrientes inducidas producen cierto campo magnético en el interior del tubo. De lo que se dijo antes sabemos que este
campo siempre se opone a la variación del externo, de modo que disminuye el módulo del campo total en el interior del
tubo. Así, en la situación de la Fig. 1 la corriente en las bobinas I(t) está aumentando, por tanto Bext(t) está aumentando, y
se inducen corrientes que producen un campo en el interior Bap(t) que se opone a Bext(t).
En definitiva, el campo neto en el interior del tubo Bint(t) es, en cualquier instante, menor que el campo en el exterior.
Sea un tubo de radio interior R y grosor de la chapa d. El campo que producen las bobinas tendrá la forma
Bext(t) = B0,ext cos t
(2)
donde  es la frecuencia angular de la tensión aplicada por el generador. El campo en el interior presentará un módulo
distinto, además de cierto desfase ,
Bint(t) = B0,int cos (t - )
(2)
Demostraremos después que la relación entre los módulos viene dada por:
Error!= Error!
(3)
en donde la cantidad , denominada profundidad de penetración (skin depth), es
2 = Error!
Aquí,  es la conductividad del metal, y 0 es la permitividad magnética del vacío,
0 = 1.26 10-6 H/m
(4)
(5)
La profundidad de penetración es una magnitud que aparece a menudo en el estudio de campos electromagnéticos en la
materia (y en particular en óptica)1.  expresa la longitud en la que una onda electromagnética que incide sobre la
superficie de un material se amortigua, en el interior, hasta un valor 1/e del inicial. Sin embargo, hay que advertir que en el
presente problema, la aplicabilidad de las ecs. (3) y (4) requiere que se cumplan dos condiciones:
a) En primer lugar, que la longitud de onda de la radiación aplicada sea mucho mayor que el radio del tubo,
 >> R
b) Asimismo,  debe tomar un valor intermedio entre R y d,
(6)
R >>  >> d
(7)
Vamos a calcular el valor de  en un caso concreto. La conductividad del cobre puro es
 = 5.9 107 -1 m-1
La ec. (4) puede escribirse en términos de la frecuencia f = /2,
(8)
 = Error!
Sustituyendo (5) y (8) en (9), hallamos
(en cm) = 6.53 Error!
(10)
En la Tabla 1 se ha calculado el valor de  a varias frecuencias. Si consideramos un tubo de cobre con R = 2 cm y d = 1
mm, la condición (7) se cumple a frecuencias del orden de 1 kHz.
TABLA 1: VALORES DE  A VARIAS FRECUENCIAS (COBRE)
f (Hz)
1
10
100
1k
10 k
1M
 (cm)
6.5
2.1
0.65
0.21
0.065
0.021
Supongamos ahora que se cumple también
Rd >> 2
entonces la ec. (3) puede aproximarse a una forma muy sencilla,
(11)
Error!= Error!
y tomando logaritmos,
ln(B0,int/B0,ext) = - ln(0Rd) - ln (f)
(12)
(13)
Por lo tanto, una representación logarítmica de la relación entre módulos frente a la frecuencia debe dar una recta inclinada
45o; del valor de la ordenada en el origen es posible hallar enseguida la conductividad del metal.
El cálculo que conduce a la ec. (3), que veremos a continuación, lo dieron por primera vez Fahy, Kittel y Louie2. Algún
tiempo después, Rochon y Gauthier3 realizaron el experimento, hallando una excelente acuerdo de la ec. (12) con la
experiencia.
2.b. Cálculo de la relación de apantallamiento
Conviene expresar en notación compleja los campos magnéticos involucrados (ecs. (2) y (3)):
Bext(t) = B0,ext ejt
Bint(t) = B0,int ej(t - )
(14)
(15)
(ya sabemos que tomando la parte real se obtiene siempre el campo físico). Estos campos se han representado en la Fig. 2.
10. Apantallamiento magnético
3
B
ext
B
R
int
d
Fig. 1: Sección transversal del tubo, mostrando el campo magnético
externo e interno.
El flujo magnético en el tubo en cualquier instante viene dado simplemente por
 = R2 Bint
(16)
(nótese que hemos dejado de indicar explícitamente la dependencia temporal de Bint). De acuerdo con la ec. (1), la fem
inducida a lo largo de la circunferencia indicada en la Fig. 2 es
 = Error!= Error!=
= jR2 Bint
(17)
(la derivada se ha calculado en la ec. (15)). Por otra parte, la fem en la ec. (17) también puede calcularse integrando el
campo eléctrico inducido Eind a lo largo de la circunferencia de la Fig. 2,
 = Error!
(18)
Sea I la corriente total (circular) a lo largo del interior del tubo. Llamemos i a la densidad de corriente por unidad de
superficie, Fig. 3,
i = Error!
(19)
La densidad de corriente es precisamente la cantidad directamente relacionada con el campo eléctrico mediante la
conductividad ,
i =  Eind
(20)
J =id
d
A
i=I/A
Fig. 3: Sección del tubo mostrando las distribuciones de
corriente inducida.
Resultará útil definir una corriente superficial J (Fig. 3), mediante
J = i d = Error!I
(21)
Se ve enseguida que J es la corriente total por unidad de longitud, considerando la longitud a lo largo del eje del tubo. Con
las definiciones (19)-(21), podemos calcular de la ec. (18)
 = Error!= Error!=
= Error!2R = Error!
de forma que
J = Error!
y de la ec. (17)
(22)
(23)
J = Error!Bint =
= Error!Bint
(24)
Ahora observamos lo siguiente: el tubo metálico con sus corrientes inducidas funciona exactamente igual que un solenoide.
Por tanto, estas corrientes producirán un campo uniforme en el interior del tubo, precisamente el campo de apantallamiento
Bap (que también emplearemos en forma compleja).
La expresión del campo magnético en el interior de un solenoide que lleva una corriente por unidad de longitud J es
bien conocida,
Bap = 0 J
(25)
y de la ec. (24)
Bap = jError!Bint
(26)
Por último, el principio de superposición nos dice que el campo total en el interior es la suma del campo externo y el de
apantallamiento
Bint = Bext + Bap =
= Bext + jError!Bint
(27)
Así obtenemos la deseada relación entre los dos campos que podemos medir directamente: el externo y el interno,
Error!= Error!
(28)
La ec. (28) es una relación entre los valores complejos de los campos de interés. Obsérvese que hay un desfase entre ellos
(puesto que su razón no es un número real). La relación entre los módulos que ya se dio en la ec. (3) se obtiene tomando
módulos en la ec. (28).
Hay que recordar que la ec. (28) sólo es válida cuando se dan las condiciones (6) y (7). La resolución del problema en el
caso general requiere la aplicación de las ecs. de Maxwell: puede verse dicha solución en la Ref. 2 (solución que recupera
la ec. (28) cuando se cumplen (6) y (7)). El cálculo es bastante más complicado. Para nuestros propósitos basta con la ec.
(28).
3. MÉTODO
Emplearemos el dispositivo experimental de la Fig. 4. El generador envía una tensión alterna a las bobinas, que
producen el campo Bext. La frecuencia f de este campo la podemos variar a voluntad con el generador. Visualizaremos la
tensión que llega a las bobinas en el canal 1 del osciloscopio, por medio de una sonda aplicada a las conexiones de entrada
de las bobinas. Atención: ajustar el Probe del canal 1 correctamente.
El solenoide de test mide el campo en la zona central de las bobinas. Debe estar lo más centrado y alineado con eje de
las bobinas que sea posible. asimismo, el solenoide no debe sobresalir de las bobinas. Se conecta mediante un cable coaxial
al canal 2. No olvidar que hay que ajustar el Probe del canal 2 correctamente. Mediremos la tensión pico-pico en el
solenoide de test, Vp-p(2).
bobinas de Helmholtz
solenoide
de test
osciloscopio digital
generador de
funciones
cable
BNC
1
cables
2
sonda
Fig. 4: Esquema del dispositivo experimental.
El solenoide de test es una antena que recibe mucho ruido electrónico. A fin de paliar este problema, emplearemos el
siguiente procedimiento de medida:
1. Colocamos Display en modo Normal. Manipulando el generador, ajustamos la frecuencia deseada: obtenemos la
señal en pantalla con escalas adecuadas y medimos la frecuencia (canal 1, Time). Medimos también la tensión picopico de entrada a las bobinas (Vp-p(1)), tensión que denominaremos Vbob.
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2.
Sin cambiar de frecuencia cambiamos Display a modo Average. Cuando queda nítida la señal que proviene del
solenoide de test, medimos Vp-p(2). Llamaremos Vext a estos valores.
Hacemos las medidas indicadas en 1. y 2. para cada una de las frecuencias f= 1, 2, 3, 4, 5, y 6 kHz.
Ahora colocamos el tubo de cobre cubriendo el solenoide de test. Repetimos las medidas indicadas en 1. y 2., a las
mismas frecuencias que antes, llamando Vint a los valores de Vp-p(2).
Al terminar las medidas deberemos tener una tabla de datos con entradas:
f
(kHz)
Vext (mV)
Vint (mV)
Vbob
(V)
La tensión pico-pico en el solenoide de test, en cada caso, es proporcional al campo magnético en su interior. Por tanto,
tendremos que a cada frecuencia
Error!= Error!
(29)
Hay que representar y ajustar por mínimos cuadrados los valores de ln(B0,int/B0,ext) frente a ln(f). Mediante la ec. (12), hay
que hallar la conductividad de esta muestra de cobre, con su error. Téngase en cuenta que
R = (1 ± 0.05) cm,
d = (1 ± 0.05) mm.
Avisos complementarios al guión
Hay que conectar la tierra del generador de funciones al borde derecho de las bobinas. A este mismo punto se mandará
la tierra de la sonda del osciloscopio ( pinza negra). La conexión de la pinza debe hacerse en el cable de cobre, donde este
no está recubierto ( para que sea metal-metal).
La otra pinza de la sonda del osciloscopio se conectará al almbre en el borne izquierdo.
La señal que llega a las bobinas ha de ser del orden de 10 V.
El solenoide de test ha de estar lo más alineado posible con el eje de las bobinas. En cualquier caso, su posición antes y
después de cubrirlo con el tubo de cobre ha de ser la misma ( dentro de lo posible).
Referencias
1 J. R. Reith, F. J. Milford y R. W. Christy, Fundamentos de la Teoría Electromagnética 3a. ed., Fondo Educativo Interamericano, México (1984).
2 S. Fahy, C. Kittel y S. G. Louie, "Electromagnetic screening in metals", Am. J. Phys. 56 989-992 (1988).
3 P. Rochon and N. Gauthier, "Strong shielding due to an electromagnetically thin metal sheet", Am. J. Phys. 58 276-277 (1990).