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MAGNETISMO
Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas cargadas, como por ejemplo electrones, lo que
indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo. El marco que aúna ambas fuerzas se denomina teoría
electromagnética. La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que actúa entre
los materiales magnéticos como el hierro. Sin embargo, en toda la materia se pueden observar efectos más sutiles del
magnetismo. Recientemente, estos efectos han proporcionado claves importantes para comprender la estructura
atómica de la materia.
Teoría electromagnética
Hans Christian Oersted descubrió que una aguja magnética podía ser desviada por una corriente eléctrica. Este
descubrimiento, que mostraba una conexión entre la electricidad y el magnetismo, fue desarrollado por Ampère, que
estudió las fuerzas entre cables por los que circulan corrientes eléctricas, y por Arago, que magnetizó un pedazo de
hierro colocándolo cerca de un cable recorrido por una corriente. Faraday descubrió que el movimiento de un imán en
las proximidades de un cable induce en éste una corriente eléctrica; este efecto era inverso al hallado por Oersted. Así,
Oersted demostró que una corriente eléctrica crea un campo magnético, mientras que Faraday demostró que puede
emplearse un campo magnético para crear una corriente eléctrica. La unificación de las teorías de la electricidad y el
magnetismo se debió a Maxwell, que predijo la existencia de ondas electromagnéticas e identificó la luz como un
fenómeno electromagnético.
Los estudios posteriores se centraron en la comprensión del origen atómico y molecular de las propiedades magnéticas
de la materia. Langevin desarrolló una teoría sobre la variación con la temperatura de las propiedades magnéticas de
las sustancias paramagnéticas, basada en la estructura atómica de la materia. Esta teoría es un ejemplo de la
descripción de propiedades macroscópicas a partir de las propiedades de los electrones y los átomos. La teoría de
Langevin fue ampliada por Pierre Ernest Weiss, que postuló la existencia de un campo magnético interno, molecular, en
los materiales como el hierro. Este concepto, combinado con la teoría de Langevin, sirvió para explicar las propiedades
de los materiales como la piedra imán.
La teoría de Neils Bohr sobre la estructura atómica, hizo que se comprendiera la tabla periódica y mostró por qué el
magnetismo aparece en los elementos de transición como el hierro o los lantánidos o en compuestos que incluyen
estos elementos. Samuel Abraham Goudsmit y Uhlenbeck demostraron que los electrones tienen espín y se comportan
como pequeños imanes con un momento magnético definido.
El momento magnético de un objeto es una cantidad vectorial que expresa la intensidad y orientación del campo
magnético del objeto. Werner Karl Heisenberg dio una explicación detallada del campo molecular de Weiss basada en la
mecánica cuántica.
El campo magnético
Una barra imantada o un cable que transporta corriente pueden influir en otros materiales magnéticos sin tocarlos
físicamente porque los objetos magnéticos producen un campo magnético. Los campos magnéticos suelen
representarse mediante líneas de flujo magnético. En cualquier punto, la dirección del campo magnético es igual a la
dirección de las líneas de flujo, y la intensidad del campo es inversamente proporcional al espacio entre las líneas de
flujo.
En el caso de una barra imantada, las líneas de flujo salen de un extremo y se curvan para llegar al otro extremo; estas
líneas pueden considerarse como bucles cerrados, con una parte del bucle dentro del imán y otra fuera.
En los extremos del imán, donde las líneas de flujo están más próximas, el campo magnético es más intenso; en los
lados del imán, donde las líneas de flujo están más separadas, el campo magnético es más débil. Según su forma y su
fuerza magnética, los distintos tipos de imán producen diferentes esquemas de líneas de flujo. La estructura de las
líneas de flujo creadas por un imán o por cualquier objeto que genere un campo magnético puede visualizarse
utilizando una brújula o limaduras de hierro. Los imanes tienden a orientarse siguiendo las líneas de flujo magnético.
Por tanto, una brújula, que es un pequeño imán que puede rotar libremente, se orientará en la dirección de las líneas.
Marcando la dirección que señala la brújula al colocarla en diferentes puntos alrededor de la fuente del campo
magnético, puede deducirse el esquema de líneas de flujo. Igualmente, si se agitan limaduras de hierro sobre una hoja
de papel o un plástico por encima de un objeto que crea un campo magnético, las limaduras se orientan siguiendo las
líneas de flujo y permiten así visualizar su estructura.
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Los campos magnéticos influyen sobre los materiales magnéticos y sobre las partículas cargadas en movimiento. En
términos generales, cuando una partícula cargada se desplaza a través de un campo magnético, experimenta una fuerza
que forma ángulos rectos con la velocidad de la partícula y con la dirección del campo. Como la fuerza siempre es
perpendicular a la velocidad, las partículas se mueven en trayectorias curvas. Los campos magnéticos se emplean para
controlar las trayectorias de partículas cargadas en dispositivos como los aceleradores de partículas o los
espectrógrafos de masas.
Brújula
Instrumento que indica el rumbo, empleado por marinos, pilotos, cazadores, excursionistas y viajeros para orientarse.
Hay dos tipos fundamentales de brújula: la brújula magnética y el girocompás o brújula giroscópica.
Brújula magnética: En su forma más sencilla este tipo de brújula está formado por una aguja magnetizada montada en
un pivote situado en el centro de un círculo graduado fijo (denominado rosa de los vientos) de modo que la aguja pueda
oscilar libremente en el plano horizontal. En la brújula magnética el rumbo se determina a partir de una o varias agujas
magnetizadas que señalan al polo norte magnético bajo la influencia del campo magnético terrestre. El compás náutico,
una brújula magnética utilizada en la navegación, tiene varios haces de agujas magnetizadas paralelas fijados a la parte
inferior de la rosa que pivota sobre su centro en un recipiente de bronce cubierto de vidrio. El recipiente está montado
en un balancín, por lo que la rosa mantiene una posición horizontal a pesar del balanceo y cabeceo del barco.
En el compás líquido, el más estable de los compases náuticos, el recipiente está lleno de líquido, una mezcla de alcohol
y agua. El líquido ayuda a sostener la rosa, que en este tipo de brújula pivota sobre su centro y flota en el líquido, con lo
que se reduce la fricción en el pivote y se amortiguan las vibraciones de la rosa causadas por el movimiento del buque.
Estas ventajas hacen que el compás líquido se emplee más que el compás seco. En ambos tipos hay trazada una línea
negra vertical, conocida como línea de fe, en la superficie interior del recipiente, orientada según la proa del barco. El
rumbo del buque se obtiene leyendo los grados que marca la rosa frente a la línea de fe. La brújula magnética sólo
apunta al norte magnético si el barco está libre de magnetismo y si no hay objetos grandes de hierro o acero en las
proximidades. Si el barco está magnetizado o la aguja se ve afectada por objetos de hierro o acero, se produce el error
conocido como desviación. Para corregir la desviación la brújula se instala en un soporte denominado bitácora de
compensación, equipado con un sistema de imanes que compensan las influencias perturbadoras.
Para obtener el norte verdadero en una brújula magnética también hay que efectuar las correcciones debidas a la
declinación magnética (el ángulo formado entre el meridiano magnético y el meridiano verdadero). Este ángulo
(también llamado variación magnética) puede ser positivo o negativo, y varía con la posición geográfica y en cierta
medida con el tiempo. Se han determinado la magnitud, el signo y el cambio anual de la declinación de la mayoría de
los lugares de la superficie terrestre, y estos datos están registrados en todas las cartas náuticas. Las tormentas
magnéticas provocan cambios transitorios e impredecibles de la declinación, sobre todo en las latitudes más elevadas.
El compás náutico convencional resulta poco fiable en las aeronaves debido a los errores introducidos por los giros y
aceleraciones bruscas del avión. Para eliminar estos errores, los compases aeronáuticos tienen un diseño especial, con
unidades direccionales magnéticas estabilizadas respecto al movimiento del avión mediante péndulos o giróscopos.
Girocompás: Este dispositivo, dotado de uno o más giróscopos, se emplea para la navegación de todos los buques de
cierto tamaño. El girocompás, que no resulta afectado por el magnetismo terrestre, consiste en un giróscopo cuyo rotor
gira alrededor de un eje confinado al plano horizontal de forma que dicho eje se alinea con la línea Norte-Sur paralela al
eje de rotación terrestre, con lo que indica el norte verdadero, sin estar sometido a los errores inherentes de desviación
y declinación que afectan a la brújula magnética. Los girocompases cuentan con dispositivos de corrección para
compensar la deriva hacia el Este debida al movimiento de la Tierra y los errores de velocidad y rumbo. En la mayoría de
los barcos oceánicos, el girocompás está conectado eléctricamente con un piloto automático, un dispositivo que dirige
el timón del barco de forma automática y mantiene su rumbo de acuerdo a las señales del girocompás.
Tipos de materiales magnéticos
Las propiedades magnéticas de los materiales se clasifican siguiendo distintos criterios. Una de las clasificaciones de los
materiales magnéticos (diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos) se basa en la reacción del material ante un
campo magnético. Cuando se coloca un material diamagnético en un campo magnético, se induce en él un momento
magnético de sentido opuesto al campo magnético. En la actualidad se sabe que esta propiedad se debe a las corrientes
eléctricas inducidas en los átomos y moléculas individuales. Estas corrientes producen momentos magnéticos opuestos
al campo aplicado. Muchos materiales son diamagnéticos; los que presentan un diamagnetismo más intenso son el
bismuto metálico y las moléculas orgánicas que, como el benceno, tienen una estructura cíclica, que permite que las
corrientes eléctricas se establezcan con facilidad.
El comportamiento paramagnético se produce cuando el campo magnético aplicado alinea todos los momentos
magnéticos ya existentes en los átomos o moléculas individuales que componen el material. Esto produce un momento
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magnético global que se suma al campo magnético. Los materiales paramagnéticos suelen contener metales de
transición o lantánidos con electrones no emparejados. El paramagnetismo en sustancias no metálicas suele
caracterizarse por una dependencia de la temperatura: la intensidad del momento magnético inducido varía
inversamente con la temperatura. Esto se debe a que al aumentar la temperatura, cada vez resulta más difícil alinear
los momentos magnéticos de los átomos individuales en la dirección del campo magnético.
Las sustancias ferromagnéticas son las que, como el hierro, mantienen un momento magnético incluso cuando el
campo magnético externo se hace nulo. Este efecto se debe a una fuerte interacción entre los momentos magnéticos
de los átomos o electrones individuales de la sustancia magnética, que los hace alinearse de forma paralela entre sí. En
circunstancias normales, los materiales ferromagnéticos están divididos en regiones llamadas dominios; en cada
dominio, los momentos atómicos están alineados en paralelo. Los momentos de dominios diferentes no apuntan
necesariamente en la misma dirección. Aunque un trozo de hierro normal puede no tener un momento magnético
total, puede inducirse su magnetización colocándolo en un campo magnético, que alinea los momentos de todos los
dominios. La energía empleada en la reorientación de los dominios desde el estado magnetizado hasta el estado
desmagnetizado se manifiesta en un desfase de la respuesta al campo magnético aplicado, conocido como histéresis.
Un material ferromagnético acaba perdiendo sus propiedades magnéticas cuando se calienta. Esta pérdida es completa
por encima de la temperatura de Curie (la temperatura de Curie del hierro metálico es de 770 °C).
Otros ordenamientos magnéticos
La mejor comprensión de los orígenes atómicos de las propiedades magnéticas ha llevado al descubrimiento de otros
tipos de ordenamiento magnético. Se conocen casos en los que los momentos magnéticos interactúan de tal forma que
les resulta energéticamente favorable alinearse entre sí en sentido antiparalelo; estos materiales se
llaman antiferromagnéticos. La temperatura por encima de la cual desaparece el orden antiferromagnético se
denomina temperatura de Néel.
También se han hallado otras configuraciones más complejas de los momentos magnéticos atómicos. Las sustancias
ferrimagnéticas tienen al menos dos clases distintas de momento magnético atómico, orientados entre sí de forma
antiparalela. Como ambos momentos tienen magnitudes diferentes, persiste un momento magnético neto, al contrario
que en un material antiferromagnético, donde todos los momentos magnéticos se anulan mutuamente. Curiosamente,
la piedra imán es ferrimagnética, y no ferromagnética; en este mineral existen dos tipos de ion hierro,con momentos
magnéticos diferentes. Se han encontrado disposiciones aún más complejas, en las que los momentos magnéticos están
ordenados en espiral. Los estudios de estos ordenamientos han proporcionado mucha información sobre las
interacciones entre los momentos magnéticos en sólidos.
Aplicaciones
El electroimán es la base del motor eléctrico y el transformador. El desarrollo de nuevos materiales magnéticos ha
influido notablemente en la revolución de los ordenadores o computadoras. Es posible fabricar memorias de
computadora utilizando dominios burbuja. Estos dominios son pequeñas regiones de magnetización, paralelas o
antiparalelas a la magnetización global del material. Según que el sentido sea uno u otro, la burbuja indica un uno o un
cero, por lo que actúa como dígito en el sistema binario empleado por los ordenadores. Los materiales magnéticos
también son componentes importantes de las cintas y discos para almacenar datos.
Los imanes grandes y potentes son cruciales en muchas tecnologías modernas. Los imanes superconductores se
emplean en los aceleradores de partículas más potentes para mantener las partículas aceleradas en una trayectoria
curva y enfocarlas.
ELECTROMAGNETISMO
Desde la Antigüedad se conocen las propiedades de la magnetita (Fe3O4) Thales de Mileto intentó explicar este
fenómeno pero con un concepto insuficiente de la materia, incapaz de separar los conceptos de materia y fuerza.
Atribuía el magnetismo a la presencia de un alma en la piedra imantada Sócrates (470-399 a.C.) observó que atraía
objetos de hierro y les transfería propiedades atractivas, consiguiendo suspender una ristra de anillos de un solo imán.
Leyendas chinas hablan de su uso como brújula (83 a.C) que marca el sur y en un libro militar del 1084 se describe cómo
fabricar una brújula.
Podemos definir un imán como una sustancia capaz de ejercer una atracción sobre el hierro y algunas otras sustancias,
que llamaremos sustancias férricas. La fuerza que ejercen los imanes depende de la distancia; si separamos el imán del
hierro disminuye la fuerza con que lo atrae, que aumenta cuando lo acercamos. Los imanes pueden ser naturales o
artificiales. La magnetita es un imán natural. Algunos imanes son permanentes y otros temporales. Los primeros
mantienen sus propiedades magnéticas a lo largo del tiempo (Acero) y los segundos solo actúan como imanes en
determinadas circunstancias (Hierro dulce)
El empleo de los imanes en navegación se remonta por lo menos al siglo XI.
En 1269, Pierre de Maricourt, al dar forma esférica a un imán y aproximarle pequeñas agujas de acero, comprobó que
estas se orientaban sobre su superficie de un modo determinado en cada punto. Al dibujar las líneas que sugerían
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dichas orientaciones, encontró que se cortaban en dos puntos opuestos de la esfera, justo
donde se mantenía la aguja vertical. También observó que esos puntos se orientaban siempre
al norte y al Sur. Los llamo Polo Norte y Polo Sur y comprobó que al acercar dos polos iguales
entre sí, los imanes se repelen y si son opuestos se atraen.
En 1600, William Gilbert, postuló que la Tierra actuaba como un potente imán esférico. Las
brújulas se orientaban hacia los polos magnéticos terrestres. Afirma que los trozos de imán se
comportan también como imanes, es decir, sabemos que hay cargas eléctricas aisladas , pero
no existen polos magnéticos aislados, siempre hay imanes (dipolos completos), nunca un polo
norte o sur solo. Esto hoy en día está en discusión, pues en ciertos experimentos se han
detectado monopolos magnéticos. Esto aún necesita confirmación.
Los polos magnéticos no coinciden con los polos geográficos, es decir que
las brújulas no indican con exactitud el norte geográfico. A esto se le
llama declinación magnética.
La conexión entre la electricidad y el magnetismo no llegó hasta el siglo
XIX de la mano de Oersted, (1819) al observar que la corriente eléctrica
circulando por un elemento conductor crea a su alrededor un campo
magnético similar al de un imán. Ampere aportó la idea de que el
magnetismo natural puede estar producido por pequeñas corrientes a
nivel molecular.Faraday a partir de 1821, empezó a desarrollar ideas
sobre la teoría de campos y concluyó diciendo que campos magnéticos
variables crean campos eléctricos. Maxwell, en 1860, indicó que se podían
crear campos magnéticos a partir de campos eléctricos variables y por
tanto concluyó diciendo que la interacción eléctrica y magnética están
relacionadas y tienen que ver con la carga eléctrica.
El experimento de Oersted
En 1820, Oersted, impartiendo una clase de Física en la Universidad de Copenhague, y tratando de explicar que era la
corriente eléctrica que había descubierto Volta, acercó por casualidad una brújula a un conductor por el que circulaba
corriente y observó que la aguja imantada sufría una desviación.
A raíz de esto Oersted siguió investigando y llegó a las siguientes conclusiones:
Cuando colocamos una brújula cerca de un conductor por el que pasa una corriente
eléctrica, la brújula se orienta perpendicularmente al conductor y deja de señalar hacia el
polo norte.
Si aumentamos la intensidad de la corriente eléctrica que circula por el conductor , la
brújula gira más rápidamente hasta colocarse perpendicular a si mismo.
Si invertimos el sentido de la corriente eléctrica . la brújula sigue orientada
perpendicularmente al conductor , pero en sentido opuesto al caso anterior.
La conclusión fue : “Una corriente eléctrica produce un campo magnético “
A partir de los trabajos de Oersted se demostraron
experimentalmente otra serie de fenómenos:
Ampere comprobó que al situar dos conductores paralelos
por los que circulan corrientes de intensidades grandes
aparecen fuerzas entre ellos, que son de atracción si las
corrientes tienen el mismo sentido y de repulsión si las
corrientes tienen sentido contrario.
Si deja de haber corriente desaparecen las fuerzas.
Entre dos conductores circulares (espiras) paralelos, recorridos por sendas corrientes, se
producen fuerzas de atracción , si las corrientes tienen el mismo sentido y de repulsión si tienen sentido contrario.
Biot y Savart formularon el campo magnético producido por una corriente cualquiera
Faraday realizó el siguiente experimento. Cogió una espira metálica con un galvanómetro. Al aproximar un imán a la
espira metálica se observa que la aguja del galvanómetro se mueve. Si dejamos quieto el imán la aguja del
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galvanómetro se va a O. Si sacamos el imán la aguja del galvanómetro se mueve en sentido contrario, y si se separa
mucho vuelve al cero. Por tanto se llega a la conclusión de que “un campo magnético en movimiento produce una
corriente eléctrica“.
Maxwell constató el efecto contrario, un campo eléctrico genera un campo magnético.
Por tanto podemos concluir:
 Los imanes y las corrientes eléctricas generan un campo magnético.
 Los campos magnéticos en movimiento producen corriente eléctrica.
Campo Magnético
Coulomb intentó averiguar la fuerza magnética que existe entre dos imanes. Como las cargas magnéticas de un imán
están prácticamente concentradas en los extremos, se diseñaron imanes muy largos y delgados de modo que la acción
de uno de los polos fuera despreciable en la posición del otro polo del mismo imán. Con la balanza de torsión encontró
una ley semejante a la de Gravitación Universal y a la Ley de Coulomb Electrostática.
F = Km.(p.p´/r2).ur
p y p’ son cargas magnéticas.
Km cte característica del medio
r la distancia entre ellas
Esta ley está en desuso ya que hoy se sabe que los campos eléctricos tienen relación con los magnéticos.
A partir de aquí se definió la Intensidad de campo magnético B (también llamado vector de inducción magnética)
B = Km.(p/r2).ur
La fuerza sobre un polo magnético p’ colocado en sus proximidades es F = p´.B
Se representa por líneas de campo (o líneas de inducción magnética).
1. No tienen ni principio ni fin, porque son líneas cerradas. Salen del polo Norte del imán, recorren el espacio
exterior, entran por el polo Sur y continúan por el interior del imán hasta su polo Norte.
2. Las líneas de inducción no nos indican la dirección de las fuerzas magnéticas, ya que estas son perpendiculares
aB (lo veremos con la F de Lorentz).
3. La densidad de las líneas de inducción es proporcional al módulo de B en dicha región.
La unidad de intensidad del campo magnético se llama tesla (T).
Se dice que un campo magnético es de 1 tesla si ejerce una fuerza de 1 N sobre una carga de
1 C que entra en dirección perpendicular al campo con una velocidad de 1 m/s.
La unidad de polo magnético es
Definimos momento magnético m = p´.l A.m2
Supongamos un campo magnético uniforme B y un imán de radio despreciable comparado con su longitud.
El campo magnético actuará sobre los polos norte y sur con fuerzas iguales y opuestas que forman un par. Su momento
es: M = l.Fn = l.p.B = p.l.B = m.B
Ejemplo: Se tiene un imán de momento magnético 0,5 A.m2 formando un ángulo de 45° con la componente horizontal
de la intensidad del campo magnético terrestre. Suponiendo este campo uniforme, calcular el valor del par de fuerzas
que es necesario ejercer para mantener el imán en esa posición. Si el imán tiene una longitud de 10 cm, ¿cuánto vale la
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fuerza sobre cada polo? Suponiendo el imán delgado con relación a su longitud, de manera que las cargas magnéticas
se puedan considerar puntuales. La componente horizontal de la intensidad de
campo magnético terrestre vale 0,2.10-4 T.
El momento del par de fuerzas viene dado por:
M = m.Bh
Tomando módulos, resulta:
M = m.Bh.sen 45° = 0,5 A.m2.0,2.10-4 T.(√2/2) = 7,1.10-6 N.m
Para calcular la fuerza, recordar M = l.Fn, de donde, tomando módulos:
M = l.Fn.sen α
Despejando Fn:
Fn = M/(l.sen α)
Fn = [7,1.10-6 N.m]/[0,1 m.(√2/2)] = 1,0.10-4 N
La Ley de Biot y Savart
Supongamos un pequeño elemento conductor de longitud dl, recorrido por una intensidad de corriente I. Vamos a
calcular el campo magnético que producen en un punto cualquiera del espacio. Llamamos elemento de corriente a I.dl.
Se calcula mediante la Ley de Biot y Savart.
Experimentalmente se observó:
 El campo es directamente proporcional al elemento de corriente que produce el campo e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia al punto.
 El vector dB es al elemento de corriente y al vector unitario ur.
Por tanto;
dB = [μ0/(4.π)].[(I.dI•ur)/r²]
μ0 = cte de proporcionalidad que se llama permeabilidad. En el vacío vale: 4.π.10-7 T.m/A
El módulo de dB = [μ0/(4.π)].[(I.dI.sen α)/r²]
αr: ángulo entre dI y ur.
B = ∫C dB = ∫C [μ0/(4.π)].[(I.dI•ur)/r²]
Campo creado por una corriente rectilínea indefinida de intensidad I en un punto situado a una distancia a del centro
del conductor
Utilizando la regla de Biot y Savart
B = M0.l/2.π.a
B al hilo y a a. Sentido regla la mano derecha
Campo creado por una espira de radio R por el que circula una intensidad de corriente en
un punto exterior a ella, que pasa por su eje
Utilizando la ley de Biot y Savart
Bx = (μ0.I.R²)/[2.(x² + R²)3/2]
Sentido el eje x
Si lo queremos en el centro de la espira x = 0
B = (μ0.I.R2)/(2.R³) μ0.I/2.R
Resolver los siguientes problemas:
1) ¿Cuál es la masa magnética del polo de un imán si, colocada a 2 cm de otra cuyo valor es
de 200 ues(m), se repelen con una fuerza de 2 gf?
Respuesta: 39,2 ues(m)
2) Dos imanes poseen igual masa magnética y, colocados 1,5 cm, se repelen con una fuerza de 5 gf. ¿Cuál es la masa de
cada uno?
Respuesta: 105 ues(m)
3) Dos imanes rectos iguales se colocan enfrentando sus polos de igual nombre y a una distancia de 3 cm. Si se rechazan
con una fuerza de 0,5 gf, ¿Cuál es la masa magnética de esos polos?
Respuesta: 66,4 ucgs(m)
4) Calcular la fuerza de atracción mutua originada por dos polos magnéticos de masas m 1 = 30 ucgs(m) y m2 = ucgs(m)
situados a 5 cm de distancia en el aire.
Respuesta: 60 dyn
5) La intensidad (H) del campo terrestre, en cierto lugar, es de 0,35 Oe y el ángulo i es de 42° 27´. ¿Cuál es la intensidad
total?
Respuesta: 0,474 Oe
6) ¿Cuál es la intensidad de un campo magnético originado por una masa magnética de 5 ucgs a 3 mm de ella?
Respuesta: 55,5 Oe
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7) ¿Cuál es la intensidad del campo magnético creado por un imán de 15 cm de largo, en un punto situado a 9 cm de
cada polo, si las masas de sus polos son de 40 ucgs?, efectuar la construcción.
Respuesta: 0,568 Oe
8) Calcular la intensidad de un campo en un punto situado sobre el eje del imán y 10 cm del polo norte. Las masas
magnéticas de sus polos son de 300 ucgs y la longitud del imán de 12 cm.
Respuesta: 2,38 Oe
9) Dos polos magnéticos están situados a 12 cm de distancia y se atraen con una fuerza de 100 dyn, si una de las masas
magnéticas es de 20 ues(m), ¿Cuál es el valor de la otra?
Respuesta: 720 ues(q)
10) ¿A qué distancia se encuentran dos masas de -250 ues(m) y 400 ues(m) que se atraen con una fuerza de 4 N?
Respuesta: 0,5 cm
11) Dos masas magnéticas de -80 ues(m) y -30 ues(m) están a 5 cm de distancia. ¿Se atraen o se repelen?, ¿con qué
fuerza?
Respuesta: se repelen con 96 dyn
12) ¿Cuál es la intensidad del campo magnético originado por una masa de 200 ues(m) a 2 cm, 8 cm y 20 cm de
distancia respectivamente?
Respuesta: 50 Oe, 3,12 Oe y 0,5 Oe
13) ¿A qué distancia una masa de 240 ues(m) crea un campo de 15 Oe?
Respuesta: 4 cm
14) ¿A qué distancia deben colocarse dos masas magnéticas de 100 ues(m) y 300 ues(m) para que se repelan con una
fuerza de 300 dyn?
Respuesta: 10 cm
15) Dos masas magnéticas iguales se atraen con una fuerza de 20 gf. ¿Cuál es el valor de esas masas si están colocadas a
5 cm de distancia?
Respuesta: 700 ues(m)
Problema n° 1) El filamento de una lámpara incandescente es perpendicular a un campo magnético de densidad de
flujo 0,3 Wb/m ². Calcule la fuerza lateral que experimenta una porción de filamento de 4 cm de longitud cuando la
corriente que pasa por él es de 0,5 A.
Datos:
B = F/i.l
B = 0,3 Wb/m ² = 0,3 N/m.A
F = B.i.l
L = 4 cm = 0,04 m
F = 0,3 (N/m.A).0,04 m.0,5 A
i = 0,5 A
F = 0,006 N
Problema n° 2) Un alambre que pesa 0,25 kg/m conectado con conductores flexibles, se encuentra en un campo
magnético de densidad de flujo 2 Wb/m ². Calcule la corriente necesaria para que el alambre quede sin peso y cómo
debe ir dirigida esa corriente.
Datos:
F=P
mL = 0,25 kg/m
B.i.l = g.l.mL
B = 2 Wb/m ²
i = g.l.mL/B.l
F = B.i.l
i = 9,8 (m/s ²).0,25 (kg/m)/2 (N/A.m)
P = g.l.mL
i = 1,225 A
Si la dirección del campo es de este a oeste, la corriente debe ir de sur a norte, si la dirección del campo es de oeste a
este, la corriente debe ir de norte a sur.
Problema n° 3) Un alambre recto horizontal de 0,5 m de largo lleva corriente de 5 A de sur a norte en un campo
magnético cuya inducción magnética es de 0,5 N/Am hacia arriba. Encuentre:
a) La magnitud de la fuerza de deflexión.
b) La dirección y sentido de esa fuerza.
Datos:
a) F = B.i.l
L = 0,5 m
F = 0,5 (N/A.m).5 A.0,5 m
i=5A
F = 1,25 N
B = 0,5 N/A.m
b) Oeste - este
Problema n° 4) ¿Cuánto vale la fuerza resultante que obra sobre un imán cuando el campo magnético es uniforme?.
"La fuerza resultante es nula"
Problema n° 5) La fórmula de Albert Einstein para la variación de la masa es: m = m/(1 - v ²/c ²)1/2
Si la constante c es 3.1010 cm/s, calcular la relación de masa de un e- respecto a la de uno en reposo si se mueve a una
velocidad v = 0,8.c.
Datos:
m er = m em/[1 - 0,8 ²]1/2
c = 3.1010 cm/s
m er = m em/0,6
v = 0,8.c
1,67.m er = m em
1/2
m er = m em/[1 - (0,8.c) ²/c ²]
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Problema n° 6) Con el galvanómetro utilizado en los problemas 7.2 y 7.3 construir un multímetro capaz de medir
tensiones desde 100 mV a 1 kV y corrientes de 1 mA hasta 10 A. Calcúlelo y haga un diagrama eléctrico de construcción.
Datos:
Rc = 20 ω
Rx2 = 100 ω
i - para 1 A
ic = 0,1 A
R2 = 100 ω - 1 ω
Rs1 = 0,1 A.20 ω /(1 A - 0,1 A)
a) Voltímetro
R2 = 99 ω
Rs1 = 2,222 ω
Rx = V escala/ic
iii - 1000 V
ii - para 2 A
i - para 100 mV = 0,1 V
Rx3 = 1000 V/0,1 A
Rs2 = 0,1 A.20 ω /(2 A - 0,1 A)
Rx1 = 0,1 V/0,1 A
Rx3 = 10000 ω
Rs2 = 1,053 ω
Rx1 = 1 ω
R3 = 10000 ω - 1 ω
iii - para 10 A
R1 = 1 ω
R3 = 9999 ω
Rs3 = 0,1 A.20 ω /(10 A - 0,1 A)
ii - para 10 V
b) Amperímetro
Rs3 = 0,202 ω
Rx2 = 10 V/0,1 A
Rs = ic.Ri/(I escala - ic)
Problema n° 7) Un alambre lleva 200 A. ¿Cuál es la inducción magnética en un punto situado a 1,5 m del alambre?.
Datos:
B = μ o.I/2.π.r
I = 200 A
B = 4.π.10-7 (N/A ²).200 A/2.π.1,5 m
r = 1,5 m
B = 2,67.10-5 N/A.m
Problema n° 8) Sobre una barra de madera de 100 cm de longitud y 1 cm2 de sección transversal se enrollan 10000
vueltas de alambre. La corriente es de 2 A. Se pregunta: a) ¿Cuál es la inducción magnética?. b) ¿Qué flujo total
produce la corriente en la bobina?.
Datos:
r = (0,0001 m ²/ π)1/2
b)
l=1m
r = 0,0056 m
Φ = B.S
S = 0,0001 m ²
a)
Φ= 0,2227 (N/A.m).0,0001 m ²
N = 10000 vueltas
B = μ o.I.N/2.r
Φ = 2,227.10-5 Wb
-7
I = 0,2 A
B
=
4.π.10 (N/A
²).0,2
S círculo = S cuadrado
A.10000/2.0,0056 m
π.r ² = 0,0001 m ²
B = 0,2227 N/A.m
Problema n° 9) El número de líneas magnéticas que pasan por una sola espira de alambre cambia de 2.10 -³ a 5.10-³ Wb
en 1/6 de segundo. ¿Cuál es la fem media inducida?.
Datos:
ε = -N.ΔΦ/t
Φ 1 = 2.10-³ Wb
ε= -N.(Φ 2- Φ 1)/t
Φ 2 = 5.10-³ Wb
ε= -6.(5.10-³ Wb - 2.10-³ Wb)/s
t = 1/6 s
ε = -1,8.10-2 V
Problema n° 10) Una bobina de inducción tiene 1.105 vueltas. El número de líneas que pasan por ella cambia de 4.10-³
Wb a cero en 0,01 s. ¿Cuál es la fem media inducida?.
Datos:
ε = -N.ΔΦ/t
5
N = 1.10 vueltas
ε= -N.(Φ 2- Φ 1)/t
Φ 1 = 4.10-2 Wb
ε = -1.105.(0 Wb - 4.10-2 Wb)/0,01s
Φ 2 = 0 Wb
ε = 4.104 V
t = 0,01 s
8
Problema n° 11) La resistencia de un motorcito es de 10 ω. Cuando se lo conecta a una batería de 12 V y marcha en
régimen, la corriente es de 1 A. ¿Cuál es la fcem en esas condiciones?.
Datos:
V = fcem + I.r
r = 10 ω
fcem = V - I.r
V = 12 V
fcem = 12 V - 1 A.10 ω
I=1A
fcem = 2 V
Problema n°12) El voltaje entre los terminales de una armadura de un generador a circuito abierto es de 14 V. Cuando
la corriente es de 50 A la tensión es de 11,5 V. ¿Cuál es la resistencia de las bobinas de la armadura?.
Datos:
V = ε - I.r
ε = 14 V
R = (ε - V)/I
I = 50 A
R = (14 V - 11,5 V)/50 A
V = 11,5 V
R = 0,05 Ω
ELECTROESTÁTICA
Problema n° 13) Calcular la fuerza que produce una carga de 10 μ C sobre otra de 20 μ C, cuando esta última se
encuentra ubicada, respecto de la primera, a:
a) 1 cm.
b) 2 cm.
c) 0,1 cm.
Datos:
Fb = 9.109 (Nm ²/C ²).1.10-5 C.2.10-5 C/(2.10-2 m) ²
-5
-5
q1 = 10 μ C = 1.10 C q2 = 20 μ C = 2.10 C
Fb = 18.10-1 (Nm ²/C ²).C ²/4.10-4 m ²
-2
-2
xa = 1 cm = 10 m xb = 2 cm = 2.10 m xc = 0,1 cm = 10 ³
Fb = 4,5.10³ N
m
Fb = 4,5.10³ N
a) Fa = k.q1.q2/xa ²
c) Fc = k.q1.q2/xc ²
Fa = 9.109 (Nm ²/C ²).1.10-5 C.2.10-5 C/(10-2 m) ²
Fc = 9.109 (Nm ²/C ²).1.10-5 C.2.10-5 C/(10-³ m) ²
Fa = 18.10-1 (Nm ²/C ²).C ²/10-4 m ²
Fc = 18.10-1 (Nm ²/C ²).C ²/10-6 m ²
Fa = 18.10³ N
Fc = 18.105 N
Fa = 1,8.104 N
Fc = 1,8.106 N
b) Fb = k.q1.q2/xb ²
Problema n° 14) Calcular el campo eléctrico de una Carga de 6 coulomb aplicada a una carga de prueba inicial que se
encuentra a (-4i+2j).
Las fórmulas para el caso son:
E = F/qF
F = k0.qF.q/r2 (1)
F = E.qF (2)
E = F/qF (2)
Igualando (1) y (3):
k0 = 9.109 N.m ²/C ²
k0.qF.q/r2 = E.qF
Despejando la fuerza F (entre las cargas) de la ecuación Cancelamos qp:
(2):
k0.q/r2 = E (4)
Como r es la distancia entre ambas cargas la hallamos como el módulo del vector (4i + 2j) utilizando sus componentes, y como no se aclara la unidad adoptamos m,
es decir que la longitud de sus componentes estará dada en metros:
r ² = (-4 m) ² + (2 m) ²
Resolviendo la ecuación (4):
r ² = 16 m ² + 4 m ²
E = (9.109 N.m ²/C ²).(6 C/20 m ²)
r ² = 20 m ²
E = 2,7.109 N/C
Nota: Cuando dos cargas se enfrentan a una determinada distancia r una ejerce sobre la otra una fuerza F igual y
contraria a la que la otra carga le ejerce a la primera (ecuación 1), si una carga es positiva genera un campo eléctrico
saliente que afectará a la carga que tiene enfrente (ecuación 2).
La carga de prueba se toma simbólicamente y en estos casos se anula (ecuación 4).
En el vector (-4i + 2j) los números que acompañan a las letras son los módulos de las componentes de dicho vector.
Las letras indican sobre que eje de coordenadas está cada componente, se utiliza i para el eje "x" y j para el eje "y", así:
-4i indica cuatro unidades sobre el eje "x" hacia el extremo negativo.
2j indica dos unidades sobre el eje "y" hacia el extremo positivo.
9
Problema n° 15) Se coloca un voltímetro en las terminales de un acumulador de 10 V que tiene una resistencia interna r
= 0,1 Ω que está cargando con una corriente de 1 A. ¿Qué se lee en el voltímetro?.
Datos:
V = ε + I.r
ε = 10 V
V = 10 V + 1 A.0,1 ω
I=1A
V = 10 V + 0,1 V
r = 0,1 Ω
V = 10,1 V
Problema n° 16) Cada una de las tres celdas de un acumulador instalado en un tractor tiene una resistencia interna r =
0,15 Ωy una fem de 2,1 V. Si se conecta una resistencia de 7 Ωen serie con la batería, ¿qué voltaje sería necesario si se
pretende cargar la batería con 15 A?.
Datos:
V = ε + i.r
R=7Ω
V AB = i.R + 3.(ε + i.r)
i = 15 A
V AB = 15 A.7 Ω + 3.(2,1 V + 15 A.0,15 Ω)
r = 0,15 Ω
V AB = 118,05 V
ε = 2,1 V
Problema n° 17) Seis pilas AA se conectan en serie con una resistencia de 3 Ω. Se sabe que la fem de cada pila es de 1,5
V y que su resistencia interna es de 0,06 Ω. Calcule la corriente y diferencia de potencial entre los terminales de cada
pila.
Datos:
R=3Ω
ε c/p = 1,5 V
rc/p = 0,06 Ω
(1) V AB = i.R
(2) V AB = 6.(ε - i.r)
Igualando (1) y (2)
i.R = 6.(ε - i.r)
i = 6. ε /(R + 6.r)
i = 6.1,5 V/(3 Ω + 6.0,06 Ω)
i = 2,68 A
Vp = ε - i.r
Vp = 1,5 V + 2,68 A.0,06 Ω
Vp = 1,34 V
Problema n° 18) Una lámpara requiere 5 A y presenta una resistencia de 20 Ω, cuando trabaja.
a) ¿Qué resistencia adicional requiere si se desea operar a 120 V?. b) ¿Y 110 V?.
Datos:
R = V/i
b) Ra2 = V2/i - R
i=5A
R + Ra1 = V1/i
Ra2 = 110 V/5 A - 20 ω
R = 20 Ω
Ra1 = V1/i - R
Ra2 = 22 Ω- 20 ω
V1 = 120 V
Ra1 = 120 V/5 A - 20 ω
Ra2 = 2 Ω
V2 = 110 V
Ra1 = 24 Ω - 20 ω
a) V =i.R
Ra1 = 4 Ω
10
Problema n° 19) Una plancha eléctrica de resistencia 20 Ω se conecta 220 V. ¿Qué corriente pasa por el toma?.
Datos:
i = V/R
R = 20 Ω
i = 220 V/20 ω
V = 220 V
i = 11 A
V = i.R
Problema n° 20) Se requiere una fuerza de 0,01 N para sostener una carga de 12 μ C,calcule la intensidad del campo
eléctrico.
Datos:
E = F/q
-2
F = 0,01 N = 10 N
E = 10-2 N/1,2.10-5 C
-5
q = 12 μ C = 1,2.10 C
E = 833,33 N/C
Problema n° 21) ¿Cuánto trabajo se requiere para transportar una carga de 12 C de un punto a otro cuando la
diferencia de potencial entre ellos es de 500 V?.
Datos:
L = V.q
q = 12 C
L = 500 V.12 C
V = 500 V
L = 6000 J
V = L/q
Problema n° 22) Se requiere un trabajo de 600 J para transportar una carga de 60 C desde una terminal a otra de una
batería. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales?.
Datos:
V = L/q
q = 60 C
V = 600 J/60 C
L = 600 J
V = 10 V
Problema n° 23) En una batería la diferencia de potencial entre bornes es de 6,3 V. ¿Cuánto trabajo se requiere para
transportar 12 C entre terminales?.
Datos:
L = V.q
q = 12 C
L = 6,3 V.12 C
V = 6,3 V
L = 75,6 J
V = L/q
Problema n° 24) a) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en un punto colocado a la mitad entre una carga positiva
de 100 μ C y una negativa de 50 μ C separadas 20 cm?.
b) ¿Y si ambas fueran negativas de 50 μ C?.
Datos:
E = F/q
E = 4,5.107 N/C
-4
q1 = 100 μ C = 10 C
E = (F1 + F2)/q
b) si q1 = q2 = -5.10-5 C
q2 = -50 μ C = -5.10-5 C
E = (k0.q1.q/rm ² + k0.q2.q/rm ²)/q
E = k0.(q1 + q2)/rm ²
r = 20 cm = 2.10-1 m
E = q.k0.(q1 + q2)/q.rm ²
E = k0.2.q1/rm ²
rm = r/2
E = k0.(q1 + q2)/rm ²
E = 9.109 (Nm ²/C ²).2.(- 5.105
rm = 2.10-1 m/2
E = 9.109 (Nm ²/C ²).(10-4 C - 5.10C)/(10-1 m) ²
-1
5
-1
rm = 10 m
C)/(10 m) ²
E = -9.109 (Nm ²/C ²).10-4 C/10-2 m
a) F1 = k0.q1.q/rm ² y F2 =
E = 9.109 (Nm ²/C ²).5.10-5 C/10²
2
k0.q2.q/rm ²
m²
E = -9.107 N/C
Problema n° 25) Tres capacitores de 2, 3 y 6 μ F se conectan en serie a una fuente de 10 V.
a) Encuentre el número de μ C de carga de cada uno.
b) Calcule la caída de tensión en cada capacitor.
11
Datos:
C1 = 2 μ F
C2 = 3 μ F
C3 = 6 μ F
V = 10 V
a) C = q/V
q = C.V
q1 = C1.V
q1 = 2 μ F.10 V
q1 = 20 μ C
q2 = C2.V
q2 = 3 μ F.10 V
q2 = 30 μ C
q3 = C3.V
q3 = 6 μ F.10 V
q3 = 60 μ C
b) 1/C = 1/C1 + 1/ C2 + 1/C3
1/C = 1/2 μ F + 1/3 μ F + 1/6 μ F
1/C = (3 μ F + 2 μ F + 1 μ F)/6 μ F ²
1/C = 6 μ F/6 μ F ²
1/C =1/ μ F
C=1μF
q = C.V
q = 1 μ F.10 V
q = 10 μ C
V = q/C
V1 = q/C1
V1 = 10 μ C/2 μ F
V1 = 5 V
V2 = q/C2
V2 = 10 μ C/3 μ F
V2 = 3,33 V
V3 = q/C3
V3 = 10 μ C/6 μ F
V3 = 1,66 V
Problema n°26) Encuentre la capacitancia, expresada en μ F de un capacitor que tiene 240 μ C con una batería de 120
V.
Datos:
C = q/V
q = 240 μ C
C = 240 μ C/120 V
V = 120 V
C=2μF
Problema n° 27) Encuentre la capacitancia, expresada en Faradios, de un capacitor que fue construido pegando una
hoja de papel de estaño en ambos lados de una de papel de parafina de área 625 cm ² y de espesor s = 0,0025 cm.
Datos:
A = 625 cm ² = 6,25.10-2 m ²
s = 0,0025 cm = 2,5.10-5 m
C = Κ.ε0.A/s
C = 2,1.8,85415.10-12 (C ²/Nm ²). 6,25.10-2 m ²/2,5.10-5 m
C = 4,65.10-8 C ²/Nm
Problema n° 28) Una batería de automóvil de 12 V de fem proporciona 7,5 A al encender las luces delanteras. Cuando el
conductor opera el motor de arranque con las luces encendidas, la corriente total llega a 40 A. Calcule la potencia
eléctrica en ambos casos.
Datos:
P1 = 12 V.7,5 A
fem = 12 V
P1 = 90 W
i1 = 7,5 A
P2 = V.i2
i2 = 40 A
P2 = 12 V.40 A
P1 = V.i1
P1 = 480 W
Problema n° 29) Una instalación eléctrica genera 1 kW.h de energía eléctrica por cada 500 g de carbón que quema.
Calcule la eficiencia si se sabe que el pcs (poder calorífico superior) del carbón es de 6100 Cal/g.
Datos:
pcs R = 3.600.000 J/0,5 kg
L = 1 kW.h = 3.600.000 J
pcs R = 7.200.000 J/kg
pcs = 6100 Cal/g = 25.522.400 J/kg
η = pcs R/pcs
m = 500 g = 0,5 kg
η = 7.200.000 (J/kg)/25.522.400 (J/kg)
pcs R = L/m
η = 0,2821
Problema n° 30) Una bola de médula de sauco, A, tiene una carga de 40 μ C y está suspendida a 6 cm de otra bola, B,
que ejerce una fuerza de 500 N sobre la carga A, ¿cuál es la carga de la bola B ?.
Datos:
qA = 40 μ C = 4.10-5 C
qB = F.r ²/ k.qA
-2
r = 6 cm = 6.10 m
qB = 5.10 ² N.(6.10-2 m) ²/9.109 (Nm ²/C ²).4.10-5 C
F = 500 N = 5.10 ² N
qB = 5.10-2 N.36.10-4 m ²/36 (Nm ²/C ²).C
F = k.qA.qB/r ²
qB = 5.10-6 C
Problema n° 31) Una bola de médula de sauco, A, tiene una masa de 0,102 g y una carga de 0,1 μ C. A está ubicada a 50
cm de otra bola, B,de 0,04 μ C.
12
a) ¿qué fuerza ejerce B sobre A?.
b) ¿cuál será la aceleración de A en el instante en que se suelta? (no tener en cuenta la aceleración de la gravedad).
Datos:
F = 36.10-6 (Nm ²/C ²).C ²/25.10-2 m ²
-7
qA = 0,1 μ C = 10 C
F = 1,44.10-4 N
qB = 0,04 μ C = 4.10-8 C
b) F = m.a
r = 50 cm = 5.10-1 m
a = F/m
mA = 0,102 g = 1,02.10-4 kg
a = 1,44.10-4 N/1,02.10-4 kg
a) F = k.qA.qB/r ²
a = 1,412 m/s ²
F = 9.109 (Nm ²/C ²).10-7 C.4.10-8 C/(5.10-1 m) ²
Problema n° 32) Un electróforo se puede descargar y cargar repetidas veces produciendo chispas. ¿De dónde se
obtiene la energía que produce las chispas?
Respuesta: Por el trabajo entregado para realizar la carga y descarga.
Problema n° 33) En los vértices de un cuadrado imaginario de 0,1 cm de lado hay cargas de 30, -10,40 y 0 C. Encuentre
la fuerza resultante sobre el vértice de -10 C.
Datos:
q1 = 30 C
q2 = -10 C
q3 = 40 C
q4 = 0 C
r = 0,1 cm = 10-³ m
F32 = k.q3.q2/r ² y F32 = FR.sen α
F12 = k.q1.q2/r ² y F12 = FR.cos α
FR ² = F12 ² + F32 ² y α = arctg(F12/F32)
F32 = 9.109 (Nm ²/C ²).40 C.(-10 C)/(10-³ m) ²
F32 = -9.109 (Nm ²/C ²).400 C ²/10-6 m ²
F32 = -3,6.1018 N
F12 = 9.109 (Nm ²/C ²).30 C.(-10 C)/(10-³ m) ²
F12 = -9.109 (Nm ²/C ²).300 C ²/10-6 m ²
F12 = -2,7.1018 N
FR ² = (-3,6.1018 N) ² + (-2,7.1018 N) ²
FR ² = 1,29637 N ² + 7,2936 N ²
FR ² = 2,02537 N ²
FR = 4,518 N
α = arctg(-2,7.1018 N/-3,6.1018 N)
α= arctg 0,75
α = 36,87
Problema n° 34) La carga de un electrón es de -1,6.10-13 μ C y se mueve en torno a un protón de carga igual y positiva.
La masa del electrón es de 9.10-28 g y esta a una distancia de 0,5.10-8 cm. Se pide encontrar:
a) La fuerza centrípeta que opera sobre el electrón.
b) La velocidad del electrón.
c) La frecuencia de revolución (frecuencia del electrón).
Datos:
qe = -1,6.10-13 μ C = -1,6.10-19 C
b) a = v ²/r y F = me.a
qp = 1,6.10-13 μ C = 1,6.10-19 C
F = me.v ²/r
-8
-11
r = 0,5.10 cm = 5.10 m
v ² = r.F/me
me = 9.10-28 g = 9.10-31 kg
v ² = 5.10-11 m.9,216.10-8 N/9.10-31 kg
v ² = 5,12.1012 (m/s) ²
a) F = k.qe.qp/r ²
v = 2.262.741,7 m/s
F = 9.109 (Nm ²/C ²).(-1,6.10-19) C.1,6.10-19 C/(5.10-11 m) ²
F = -2,304.10-28 (Nm ²/C ²).C ²/2,5.10-21 m ²
c) v = e/t = e.1/t y f = 1/t
F = -9,216.10-8 N
v = e.f
f = v/e
f = v/2.π.r
f = 2.262.741,7 (m/s)/2.3.14159.5.10-11 m
f = 7,203.1015 /s
13