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FAC. INGENIERÍA
ÁLGEBRA -2016-
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: LÓGICA - PARTE A
Ejercicio 1: Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas y diga si
son tautologías, contradicciones o contingencias.
a) p  ( p  q)  p  q
b)  (p  q)  p   q
c) (p  q)  (q  r)  (p  r)
d) (p   r)  (p  q)  p  ( r  q)
Ejercicio 2: Complete la siguiente tabla:
(p  q  p  r) es F
p es ........
q es ............
r es ............
(p  q)  r   r es V
p es .............
q es .........
r es F
[( p  q)  (q  r)]  p es F
p es .........
q es ...........
r es ............
Ejercicio 3: Simplifique las siguientes proposiciones
a) (p  q)  [(p  q)  q]
b) (p  q)  [ (p  q)  q]  p
c) (r  -r )  q  p
Ejercicio 4: Determine si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas. Si son falsas dar
un contraejemplo
a) a. b > 0  a > 0 y b > 0
b) a2 = b2  a = b
Ejercicio 5: Dada la proposición “Si la tangente de un ángulo es negativa entonces el ángulo
pertenece al segundo cuadrante”, exprese en símbolos las implicaciones contraria, recíproca y
contrarrecíproca.
Ejercicio 6: Complete para la siguiente proposición
La negación de  x: - P(x)  - Q(x)  - R(x)  es ….
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: LÓGICA - PARTE B
Ejercicio 1: Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas y diga si
son tautologías, contradicciones o contingencias.
a)  (p   q)  q
b)  (p  q)  p   q
c) (p   q  r )  p  p
d) p  (q   r)  p   q  r
Ejercicio 2: Complete la siguiente tabla:
 p   ( q   r) es F
p es ........
q es ............
r es ..F.....
 r  (p  q) es V
p es .............
q es .........
r es F
(p  q)  r  p es F
p es .........
q es ...........
r es ............
Ejercicio 3: Simplifique las siguientes proposiciones
a) [(p  q)  (r  s  u)]  [(p  q)   r   s   u]
b) (p  q)  (-p  -q)  q]
c) [- ( p  - q) ]  - ( -q)
Ejercicio 4: Determine si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas. Si son falsas dar
un contraejemplo
a)
a < b  a2 < b2
b) a. b > 4  a > 2 y b > 2
Ejercicio 5: Dada la proposición “Si es agua entonces contiene hidrógeno y oxígeno”, exprese
en símbolos las implicaciones contraria, recíproca y contrarrecíproca.
Ejercicio 6: Complete para la siguiente proposición
La negación de x/ P(x)  R(x)  Q(x) es ….
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: MATRICES - PARTE A
Ejercicio 1: Para A, B y C resuelva las operaciones. Justifique si no puede realizarlas.
2 5  1
A 
;
0 3 1 
 0 4 2
B

  6 6 0
 3 0
D

0 2
 3 2
C

4 7
5A + 2.B
2B – A
C D2
C. B
B.C
D.C
(BT. C)2
(I - C)2
(A.BT)T
B AT
Ejercicio 2: Completar las siguientes afirmaciones
a) La matriz A de orden 3x3 tal que aij = 2 i - j es ....
3i
b) La matriz A de orden 3x3 tal que aij = 

0
i j
i j
es …..
Ejercicio 3: Para las siguientes afirmaciones que son falsas, dar un contraejemplo:
a) Si A. B = 0 entonces A = 0 o B = 0.
b) Si A. B = I entonces A y B son cuadradas
c) La suma de matrices diagonales inversibles, es una matriz diagonal inversible.
Ejercicio 4: Resuelva las siguientes ecuaciones para X, suponiendo que M y P son todas
matrices cuadradas invertibles
a) M-1 ( X + M ) P = P
b) (XT + XT ) -1. X T P2 = X-1
Ejercicio 5: Determine el rango de las siguientes matrices y calcule su inversa si es posible
 2 1 0 

2  1
B=  0
 1  1 1 
1 2
A= 

3 7 
1
 7 2 4 


C = 1 5  4


3
0 
 6
3
T
Ejercicio 6: Si B = 
 es la matriz inversa de 5 A, entonces la inversa de A es …
2
12


Ejercicio 7: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si A nxn es inversible entonces la forma escalonada reducida es ……
b) Si A nxn es inversible entonces el rango de A es ……..
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: MATRICES - PARTE B
Ejercicio 1: Para A, B y C resuelva las operaciones. Justifique si no puede realizarlas
1  2 3
A
;
0 5 7 
 4 7  2
B

 1 6 8 
6 1 
C

3  5
6 0
D

0 5
2A + 3B
B – 2A
C2 - 5.I
C. D
D.C
B. C
(C. B)2
(I - C)2
(A+BT)T
AT + B
Ejercicio 2: Completar las siguientes afirmaciones
a) La matriz A de orden 3x3 tal que aij = 1/(i+j) es ....
5 i j
b) La matriz A de orden 3x3 tal que aij = 
es …..

3 i  j
Ejercicio 3: Determine el rango de las siguientes matrices y calcule su inversa si es posible.
1 1 1


B= 1 2 2


2 3 4
3 4 
A= 

5 7
0
2
5

6
C= 2 4


 3  4  4
Ejercicio 4: Resuelva las siguientes ecuaciones para X, suponiendo que M, P y Q son todas
matrices invertibles nxn.
a) M + 5 X P = 10 Q. Q-1
b) (M -1 X) -1 = M (M2 P) -1
Ejercicio 5: Para las siguientes afirmaciones que son falsas, dar un contraejemplo:
a) Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden entonces A2 . B2 = (A. B)2
b) Si A es una matriz antisimétrica no nula entonces admite matriz inversa
c) Si A de 2x2 tiene traza nula, entonces tiene matriz inversa.
1 4 
es la matriz inversa de (3A)-1, entonces 2A es ….

2 9 
Ejercicio 6: Si 
Ejercicio 7: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si A nxn es inversible entonces es equivalente a la matriz ……
b) Si A nxn es inversible entonces la cantidad de filas no nulas después de escalonarla es...
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 -DETERMINANTES - PARTE A
Ejercicio 1: Complete y determine el signo de los siguientes productos elementales.
a63. a21 . a12 . a 54. a36.a…
a13 . a24 .a 41.a......
Ejercicio 2: Calcule el determinante de las siguientes matrices:
3  2 1 

2
a) 5 6


1 0  3
1 2 3


b)  2 3 1


 4 5  2
Ejercicio 3: Si A y B son de orden 3 x 3 y det(A) = 5 , det(B)= 2 entonces:
a) det (4.A) = ........
b) det( 6. A- 4 A) = ........
c) det ( 1/7. B2 ) = ........
d) det ( 7. A B) = ........
e) det B – det (- B) = ........
f)
det (A . BT) = ........
g) det ( - 4. A . A-1 - 2 . I ) =…..
Ejercicio 4: Dar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones que son falsas:
a) Si A es de orden 2 y det(A)= 0, entonces la matriz A tiene dos columnas iguales.
b) Si A es de orden 2 y det( A + B )2= det(A2)+ 2 det(AB)+ det(B2)
Ejercicio 5: Determine la matriz inversa de las matrices del ejercicio 2 si es posible.
Ejercicio 6: Halle los valores de  para que la siguiente matriz no admita inversa
0
0 
  6
 0
 5
1 


 7   2
 0
Ejercicio 7: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si A nxn es inversible entonces el determinante de A es ……
b) Si A nxn y det(A) ≠0 entonces el rango de A es ……..
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: DETERMINANTES - PARTE B
Ejercicio 1: Complete y determine el signo de los siguientes productos elementales
a34.a52.a11 a 43. a ...
a61 .a22 .a33. a.... a14 .a56
Ejercicio 2: Calcule el determinante de las siguientes matrices:
1 2  1


a) 2 2 4


1 3  3
 5  3 2


b) 1 0 2


2  1 3
Ejercicio 3: Si A y B son de orden 4 x 4, A es simétrica y det(A) = 3 , det(B)= 5 entonces:
a) det (2.A) = ........
b) det( A + 4 AT) = ........
c) det ( B-1 ) = ........
d) det ( 3 A + B) = ........
e) det A – det (- A) = ........
f)
det (A . BT) = ........
g) det ( 3. AT . A-1 - 5 . I ) =…..
Ejercicio 4: Dar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones que son falsas:
a) Si una matriz es antisimétrica, se verifica que det(A)=0
b) La función determinante es inyectiva
Ejercicio 5: Determine la matriz inversa de las matrices del ejercicio 2 si es posible.
3 5
-1
Ejercicio 6: Si la matriz M= 
 es la inversa de (A.B ) y det (A) = 9 entonces det(B)=
7
8


Ejercicio 7: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si el det(A) ≠ 0 entonces A es ……
b) Si A nxn y det(A) ≠ 0 entonces A es equivalente a la matriz ……..
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES- PARTE A
Ejercicio 1: Las siguientes son matrices ampliadas escalonadas de sistemas lineales.
a) Escriba el sistema correspondiente.
b) Determine las incógnitas principales y libres.
c) Encuentre el conjunto solución.
d) Clasifique el sistema.(T de RF)
1 0 0 0

i) 0 1 6 3

0 0 0 1
2

3
1
1 0  3 9

ii) 0 0 0 1

0 0 0 0
1

0
0
0 1 4

iii) 0 0 0

0 0 0
8

5
0
Ejercicio 2: Dar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones que son falsas:
a) Si AX = 0 con A de orden 3 entonces tiene solución única.
b) Si AX = 0 no cuadrado entonces tiene infinitas soluciones.
Ejercicio 3: Elija los números a, b, c, d en esta matriz ampliada de tal modo que no tenga
solución, tenga infinitas soluciones o tenga solución única
1 5 0

A'  0 1 3
0 0 d
a

b
c 
Ejercicio 4:¿Qué condiciones hay sobre b1, b2, b3 para que tengan solución?
1 1 1  x   b1 
0 0 0  y   b 

   2 
0 0 0  z  b3 
1 3 2  x   b1 
1 3 2  y   b 

   2 
3 9 6  z  b3 
1 1 1  x   b1 
0 1 1  y   b 

   2 
0 0 1  z  b3 
Ejercicio 5: Las siguientes son proposiciones falsas, dar un contraejemplo para cada uno.
a) Si A es de orden 2 x 4 entonces AX = B tiene solución única o incompatible.
b) Si A es de orden 4 x 2 entonces AX = B es indeterminado o incompatible.
c) Si A tiene una fila de ceros, entonces AX = B es indeterminado o incompatible.
Ejercicio 6: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si A es inversible entonces AX=B tiene solución única para cualquier ……
b) Si A es inversible entonces la solución de AX=0 es ……..
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES- PARTE B
Ejercicio 1: Las siguientes son matrices ampliadas escalonadas de sistemas lineales.
a) Escriba el sistema correspondiente.
b) Determine las incógnitas principales y libres.
c) Encuentre el conjunto solución.
d) Clasifique el sistema.(T de RF)
1 0 0 0

i) 0 1 1 0
0 0 0 1
2

5
0
1 2 3 4

ii) 0 0 1 0

0 0 0 0
2

5
0
1 3 0

iii) 0 1 0

0 0 0
7

3
1
Ejercicio 2: Proponga y resuelva un sistema tal que sea:
a) Homogéneo 2 x 4 con 3 grados de libertad.
b) Homogéneo 3 x 2 con solución trivial.
c) No homogéneo 1 x 4 con 3 grados de libertad.
Ejercicio 3: Elija los números a, b, c, d en esta matriz ampliada de tal modo que no tenga
solución, tenga infinitas soluciones o tenga solución única
1 3 8

0 0 1
0 0 d
a

b
c 
Ejercicio 4: ¿Qué condiciones hay sobre b1, b2, b3 para que estos sistemas tengan solución?
1 6 9   x   b1 
0 1 3  y   b 

   2 
0 0 0  z  b3 
1 2 3  x   b1 
3 6 9  y   b 

   2 
0 0 0  z  b3 
1 0 7   x   b1 
0 1 5   y   b 

   2 
0 0 1   z  b3 
Ejercicio 5: Las siguientes son proposiciones falsas, dar un contraejemplo para cada uno.
a) Si AX = B tiene solución única entonces A es cuadrada.
b) Si A es de orden 3 x 5 y rango 3, entonces AX = B es determinado.
c) Si A es de orden 5 x 3 y rango 3, entonces AX = B es indeterminado.
Ejercicio 6: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si AX=B con A inversible entonces X= ……
b) Si AX = 0 es un sistema cuadrado con solución trivial entonces A es ……..
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 TRANSFORMACIONES LINEALES PARTE A
Ejercicio 1: Para las siguientes funciones, determine si son transformaciones lineales.
a) T: R3  R3 tal que T(x, y, z) = (x + y , y - z, x - z)
b) T: R3  R2 tal que T(x, y, z) = (x + 2z , y)
c) T: R3  R3 tal que T (x, y, z) = (x + 1, y + 2, z+7)
d) T: Mn  R tal que T(A) = det(A)
Ejercicio 2: Para aquellas funciones que sean transformaciones lineales en el ejercicio 1
a) Determine N(T), encuentre una base y la dimensión.
b) Determine la imagen de T, encuentre una base y la dimensión.
Ejercicio 3: Encuentre la ley de la transformación tal que T (3, 0, 0) = (2,1) , T (2, 0, 5) = (5,4) y
T (0, 1, 0) = (9, 6). ¿Cuál es la imagen de T( 8, 1, 5) ?
Ejercicio 4: Para T: R4  R2 tal que T(X)= A.X con A= 1 2 5 6 , determine dim(N(T)) y
 0 0 0 0


dim(Im(T))
Ejercicio 5: Complete las siguientes proposiciones: “La ley de la transformación lineal en R2 que
corresponde a una
a) Reflexión respecto del eje x es T(x, y) = …..
b) Rotación de 180° respecto al origen es T(x, y) = …..
c) Proyección sobre el eje x es T(x, y) =….
d) Contracción vertical de k = 1/3 es T(x,y) =….
e) Expansión horizontal de k= 5 es T(x, y)
Ejercicio 6: Las siguientes son proposiciones falsas, dar un contraejemplo para cada uno
a) Si T: V  W es tal que T(0) = 0 entonces es T una transformación lineal.
b) Si T: R3  R2 es una transformación lineal entonces Im(T) = R2
Ejercicio 7: Complete las afirmaciones sabiendo que T: Rn  Rn es tal que T(X)= A.X:
a) Si A es inversible entonces la nulidad de T es……
b) Si A es inversible entonces el rango de T es ……
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 TRANSFORMACIONES LINEALES - PARTE B
Ejercicio 1: Para las siguientes funciones, determine si son transformaciones lineales.
a) T: R3  R3 tal que T(x, y, z) = ( x + y , y + z, z)
b) T: R2  R3 tal que T(x, y ) = ( x + y , 2x +2y, 3x + 3y )
c) T: R2  R2 tal que T (x, y) = ( x+1 , y )
d) T: Mn  Mn tal que T(A) = A-1
Ejercicio 2: Para aquellas funciones que sean transformaciones lineales en el ejercicio 1
a) Determine N(T) , encuentre una base y la dimensión.
b) Determine la imagen de T, encuentre una base y la dimensión
Ejercicio 3: Si T ( 1, 1) = (2, 6) y T (0, 5) = (2, 2) entonces T(5, 21)=…….………y T(x, y)=………
Ejercicio 4: Para T: R3  R3 tal que T(X)= A.X con A= 1 2 5 6  , determine el rango y la
3 6 15 18
nulidad de T
Ejercicio 5: Complete las siguientes proposiciones: “La ley de la transformación lineal en R2 que
corresponde a una
a) Reflexión respecto del eje y es T(x, y) = …..
b) Rotación de 90° respecto al origen es T(x, y) = …..
c) Proyección sobre el eje y es T(x, y) =….
d) Contracción horizontal de k = 1/3 es T(x,y) =….
e) Expansión vertical de k= 5 es T(x, y)
Ejercicio 6: Proponga un ejemplo de una transformación lineal de R2 en R2
a) cuyo núcleo sea el eje x.
b) cuya imagen sea R.
Ejercicio 7: Complete las afirmaciones sabiendo que T: Rn  Rn es tal que T(X)= A.X
a) Si A es inversible entonces el núcleo de la T es …..…
b) Si A es inversible entonces las ……………..de A forman una base para Im(T)
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 6: MATRIZ ASOCIADA - PARTE A
Ejercicio 1: Encuentre la representación matricial de las siguientes transformaciones lineales
a) T: R3  R4 tal que T (x, y, z) = ( 2x, 3y, z, x + z)
b) T: R3  R3 tal que T (x, y, z) = ( x, y, 0)
c) Las correspondiente al ejercicio 5 del práctico anterior
Ejercicio 2: Encuentre la matriz A que representa la transformación T: R2  R2 tal que
T (x, y) = ( 2x, 3y) usando la base {(1, 0), (0, 1)} en el dominio y en el codominio
Ejercicio 3: Encuentre la matriz M que representa la transformación T: R2  R2 tal que
T (x, y) = (2x, 3y) usando la base {(1, 0), (3, 2 )} en el dominio y en el codominio
Ejercicio 4: Encuentre la representación matricial de la transformación Id: R2  R2 tal que
Id (x, y) = (x , y) usando la base {(1, 0), (3, 2)} en el dominio y {(1, 0), (0, 1)} en el codominio
Ejercicio 5: Encuentre la representación matricial de la transformación Id: R2  R2 tal que
Id (x, y) = (x , y) usando la base {(1, 0), (0, 1)} en el dominio y {(1, 0), (3, 2) }en el codominio
Ejercicio 6: Verifique que las matrices A y M son semejantes.
Ejercicio 7: Encuentre el transformado del vector v = (9, 6) usando la matriz A y luego M.
Ejercicio 8: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) Si A y B son dos matrices semejantes entonces det(A) = det(B)
b) Si A y B son dos matrices semejantes entonces AT y BT son dos matrices semejantes
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 6: MATRIZ ASOCIADA -PARTE B
Ejercicio 1: Encuentre la representación matricial de las siguientes transformaciones lineales
a) T: R2  R3 tal que T (x, y) = (3x , 5 y, x + y )
b) T: R2  R 2 tal que T (x, y) = (2x, 0)
c) Las correspondiente al ejercicio 5 del práctico anterior
Ejercicio 2: Encuentre la representación matricial de la transformación T: R2  R2 tal que
T (x, y) = (5x , y) usando la base {(1, 0), (0, 1)} en el dominio y en el codominio
Ejercicio 3: Encuentre la representación matricial de la transformación T: R2  R2 tal que
T (x, y) = (5x , y) usando la base {(0, 1), (2, 5)} en el dominio y en el codominio
Ejercicio 4: Encuentre la representación matricial de la transformación Id: R2  R2 tal que
Id (x, y) = (x , y) usando la base {(0,1), (2,5)} en el dominio y {(1, 0), (0, 1)} en el codominio
Ejercicio 5: Encuentre la representación matricial de la transformación Id: R2  R2 tal que
Id (x, y) = (x , y) usando la base {(1, 0), (0, 1)} en el dominio y {(0, 1), (2, 5) } en el codominio
Ejercicio 6: Verifique que las matrices encontradas en los ejercicios 2 y 3 son semejantes.
Ejercicio 7: Encuentre el transformado del vector v = (8, 21) usando la matriz ejercicio 2 y
luego usando la matriz del ejercicio 3
Ejercicio 8: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) Si A y B son dos matrices semejantes entonces det(A) - det(B)= 0
b) Si A y B son dos matrices semejantes entonces A2 y B2 son dos matrices semejantes.
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 7: DIAGONALIZACIÓN- PARTE A
Ejercicio 1: Para la siguiente matriz, determine si los vectores dados son vectores propios y en
ese caso dar los valores propios.
3
B  0

4
1
1
2
0
 1
1 
0; v   2 ; u  0; w 

 
 
1
 0 
2
1 
 2
 
 3
Ejercicio 2: Diagonalice si es posible las siguientes matrices
1
A  1

4
2
0
4
 1
1

5 
8
B  0

0
7
3
0
8
2

8 
Ej 3: De la matriz A si los pares de valores y vectores propios son
 1 
 2
0




(0,  2 ); (3, 0 ); (0, 0 )


 
 
 0 
4
1
6  
Ejercicio 4: Determine el valor de λ para que la siguiente matriz B  
 sea diagonalizable
0 6 
Ejercicio 5: Si A es una matriz 3x3 cuyos valores propios son p, q y r entonces
a) La tr(A)=…….
b) Det(A)=…….
c) los valores propios de -2.A son.............
d) los valores propios de A2 son........
e) los valores propios de A-1 son.......
f) los valores propios de AT son........
Ejercicio 6: Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) Si λ = 0 es un valor propio de A entonces A no es una matriz diagonalizable.
b) Los valores propios siempre están en la diagonal principal.
c) Si A es diagonalizable, entonces A es inversible.
d) Si A es inversible entonces es diagonalizable.
Ejercicio 7: Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
a) Si A es inversible entonces los valores propios de A son distintos de cero.
b) Si A es diagonalizable entonces es semejante a una matriz D.
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 7: DIAGONALIZACIÓN- PARTE B
Ejercicio 1: Para la siguiente matriz, determine si los vectores dados son vectores propios y en
ese caso dar los valores propios.
1
A  0

1
1
0
1
1
 3
 2



1 ; v  1 ; u  1;

 
 
0
2
2
Ejercicio 2: Diagonalice si es posible las siguientes matrices
0
A  2

2
2
0
2
2
2

0
7
B  0

0
1
7
0
1
1

3
Ej 3: De la matriz A si los pares de valores y vectores propios son
 3
1
0
( 2, 1 ); (0,  1 ); ( 1,  1  )
 
 
 



 2

0

 1

5 k 
 sea diagonalizable
0 5
Ejercicio 4: Determine el valor de k para que la siguiente matriz B  
Ejercicio 5: Para la matriz A del ejercicio 2, completar
a) Los valores propios de A-1….
b) Los valores propios de AT…..
c) Los valores propios de k.A……
d) La matriz Ak…..
e) det(A)….
f)
Tr(A)……..
Ejercicio 6: Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.
a) Si P-1 A P = D, entonces A 2 = (P-1) 2 D2 P2
b) Los valores propios deben ser escalares diferentes de cero.
c) Los valores propios siempre están en la diagonal principal
d) Si A es de orden n y el rango de A es n , entonces A es diagonalizable.
Ejercicio 6: Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones sobre la matriz A
a) Si X es un vector propio asociado a λ, kX (k0) también es vector propio asociado a λ .
b) Si X e Y son vectores propios asociados a λ, X +Y también es vector propio asociado a λ
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TRABAJO PRÁCTICO 8: NÚMEROS COMPLEJOS- PARTE A
Ejercicio 1: Complete las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas:
a) El módulo de z =
5i  1
es ......
i
b) La parte imaginaria de w = -2 i Re (1 / i ) es igual a ......
c) El argumento de Z = ( 1, 1 ) / (1 , 1 ) es igual a ........
d) Si z = 1 – i, su forma polar es igual a ………
e) Si z = 2 e i 3/2, su forma cartesiana es igual a….
Ejercicio 2: Calcule:
a) La forma polar del complejo ln ( 4 i ) es ……
b) La cuarta potencia del complejo z = -2+ 2i es……….
c) Las raíces cúbicas del complejo z = 27 son ….
Ejercicio 3: Encuentre módulo y argumento de :
a)  = ( 2 i ) 3 i
b)  = (3) 1+ i
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 8: NÚMEROS COMPLEJOS- PARTE B
Ejercicio 1: Complete las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas:
a) El argumento de z = ( 3 + i ) –1 es………
b) Si z = x - y i entonces la parte imaginaria de  =  Im ( i z ) – i 31 Re (z )  / [i 3 Im (z)] es…
c) Si z = (- 3 + i ) /( 3 + i ) entonces el módulo es……
d) Si z = e 3 i , su forma cartesiana es ………
e) Si z = ( 6 ,  ) , su forma binómica es………
Ejercicio 2: Calcule:
a) La forma polar del complejo ln ( -2. i )
b) Las raíces cuartas del complejo z = - 64 son ….
c) La tercera potencia del complejo z =
1
es……….
1 i
Ejercicio 3: Encuentre módulo y argumento de :
a)  = (
3 i) i
b)  = (1  2i) 1+ i
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 9: ECUACIONES E INECUACIONES –PARTE A
Ejercicio 1: Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) bicuadrada: (x – 3)4 + 10 (x3)2 + 9 = 0
b) binómica: 4x8 + 324 x4 = 0
c) trinómica: x6  28 x3 + 27 = 0
d) recíproca de 3er grado: 5x3  21x2  21x + 5 = 0
e) recíproca de 4º grado: 4x4  17x3 + 8x2  17x + 4 = 0
Ejercicio 2: Determine gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas de
inecuaciones:
 x2 y2
 4  9 1

 y  4  x
 x1


1  Re( z )  4

2  Im( z )  3
 z 1

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 9: ECUACIONES E INECUACIONES-PARTE B
Ejercicio 1: Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) bicuadrada: (x+1)4  21 (x+1)2  100 = 0
b) binómica: 2x7 + 512 x3 = 0
c) trinómica: x6 + 56 x3  512 = 0
d) recíproca de 3er grado: 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0
e) recíproca de 4º grado: 3x4  2x3  34x2  2x + 3 = 0
Ejercicio 2: Determine gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas de
inecuaciones
x  2 y  3

 x0
 y 1

x  y  0

x  y  2
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 10: COMBINATORIA- PARTE A
Ejercicio 1: Encuentre el valor de n que verifica:
a) 3 V n , 4 = V n – 1 , 5
b) C n , 3 + 2 C n , 4 = P 5 / 3!
c) P (n + 3) = 12 P (n + 1)
 10   10 
  

 x  2  x  4
Ejercicio 2: Determine los valores de x que verifican 
Ejercicio 3: Resuelva los siguientes problemas:
a) Una empresa de autos remises tiene 7 choferes distintos disponibles. Se solicitan 3
choferes para una ceremonia. ¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir los 3
choferes?
b) Se sirve café para 6 personas. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar los 6
pocillos sobre los 6 platos?
c) Quince adolescentes van a un campamento y para organizarse deben elegir un jefe, un
subjefe, un encargado de cocina y un encargado de excursiones. ¿De cuántas maneras
diferentes pueden ser cubiertos estos cargos?
d) ¿Cuántos anagramas pueden formarse con la palabra CATARATAS?
e) ¿Cuántos números de dos cifras puedo formar con las cifras 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ?
f)
En una carrera de autos se tienen que colocar para la salida: 3 autos azules, 2 rojos y 1
verde. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ubicar?
Ejercicio 4: Desarrolle (1 + x 2 ) – 3 hasta el 5º término
Ejercicio 5: Encuentre, sin efectuar el desarrollo:
a)
Los términos centrales de: (2 x 2 – ½ x 4 ) 8.
b)
El término que contiene x – 3 de (2 x – 2 + 3/2 x) 20
c)
La potencia a que fue elevado (4 x 2 – 3z) n , si su 6º término es de grado 15
d)
El término de grado 20 de (3 x 2 – 2 / x 3 ) 25
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 10: COMBINATORIA- PARTE B
Ejercicio 1: Encuentre el valor de n que verifique
a)
1
/5 Cn+3 , 2 + ¼ Vn+2 , 2 = 8
b) Vn + 6 , 3  1/5 Cn + 5 , 3 = 3/2 Vn + 4 , 2
P3 n  1
c)
n(3n  1)!
 10
Ejercicio 2: Resuelva los siguientes problemas:
a) ¿De cuántas maneras se pueden izar 6 banderas distintas para hacer señales, pudiendo
levantar un número cualquiera de ellas por vez?
b) Un inspector visita durante el día cinco máquinas diferentes: M1 M2 M3 M4 y M5. Para
impedir que los operarios conozcan el momento de la inspección varía el orden de las
visitas.
1
¿De cuántas maneras se pueden realizar las inspecciones?
2
¿De cuántas maneras si comienza con la máquina M 3 ?
c) Una caja fuerte contiene una cerradura de “combinación” compuesta por tres discos
numerados de 0 a 10. ¿De cuántos modos posibles puede disponerse la clave para abrir la
caja?
d) ¿Cuántos posibilidades hay para elegir la clave de identificación personal que se utiliza en
los cajeros electrónicos? (Es un número de cuatro dígitos)
e) ¿Cuántos anagramas pueden formarse con la palabra CONSONANTES?
12
1 
 1
Ejercicio 3: En el desarrollo de 

 , determinar:
 2x
2
a) El cuarto término.
b) El término de grado 10.
c) El término central.
1 

Ejercicio 4: Hallar el desarrollo hasta el cuarto término de  4m 

2m 2 

4
Ejercicio 5: Hallar la potencia a que fue elevado el binomio (2x3 + 3a2 ) si su décimo término
es de grado 9.
20