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Transcript
2007
ALGEBRA II
(PI – LSI)
F.C.E y T – UNSE
Autoevaluación
Temas:
Estructuras algebraicas. Grupo, anillo,
cuerpo, espacio vectorial, álgebra de Boole.
Subestructuras
Para resolver esta autoevaluación tienen dos opciones:
realizarla en forma completa verificando al final las
respuestas o bien corroborar los resultados a medida
que se va resolviendo cada actividad.
Un parcial está aprobado cuando se han resuelto bien el
60% de las actividades planteadas.
1
María Inés Morales
El aula virtual de Álgebra Lineal
Actividades
1. Dado el conjunto P1(x) (conjunto de polinomios de grado menor o igual que
1) y la ley interna asociativa  definida por:
p(x)  q(x) = p(x) + q(x) – x
a) Pruebe que ( P1(x),  ) tiene estructura de grupo.
b) Determine si (H,) es un subgrupo de ( P1(x), ), siendo
H = { ax + b / b = 0 }
Verifica la
respuesta
2. Considere el anillo (A, +, . ) donde A = {a, b, c } y las leyes están definidas en
las siguientes tablas:
+
A
B
C
a
c
a
b
b
a
b
c
c
b
c
a
.
a
b
c
a
a
b
c
b
b
b
b
c
c
b
a
i) Pruebe que (A,+,. ) es un cuerpo
ii) Halle el valor de x en cada caso:
x
a)   a  x
b)  x  c  ( a  c )2
c
Verifica la
respuesta
3. Considere el anillo (R, + , . )
Determine si el conjunto A = {a + b  3 / a, b  Q } con la suma y
producto usual de números reales constituye un subanillo de R.
Verifica la
respuesta
2
María Inés Morales
El aula virtual de Álgebra Lineal
4. Establezca la forma canónica y la canónica dual de la siguiente función
booleana sin hacer uso de la tabla.
F( x, y,z )  ( x  y )'  z
Verifica la
respuesta
5. Pruebe que en un álgebra de Boole es válido siguiente enunciado. Escriba el
dual correspondiente:
Verifica la
a  b  0  a  b'  a'  b  a  b
respuesta
6. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales.
Sean   R y u,v V / u  0v . Determine el o los valores de  de modo que:
  ( u  v )  u    v (Justifique cada paso con los axiomas o propiedades de
espacio vectorial empleados).
Verifica la
respuesta
7. Dado el conjunto U = 


a
c

b
d 
 R2 x 2
ab  0  c 
d 

2 
Pruebe que es un subespacio de R2x2
Verifica la
respuesta
3
María Inés Morales
El aula virtual de Álgebra Lineal
Respuestas:
1.a) ( P1(x),  ) tiene estructura de grupo si verifica que: a1)  es asociativa, a2)
P1(x) posee neutro respecto de  , a3) todo elemento de P1(x) posee inverso
respecto de .
a1)  es asociativa de acuerdo al enunciado del problema
a2) Se debe verificar que:
e( x )  P1( x ) / p( x )  P1( x ) : p( x )* e( x )  e( x )* p( x )  p( x )
tomando la primera igualdad:
p( x )* e( x )  p( x )
y aplicando la definición de  se tiene:
p( x )  e( x )  x  p( x )
donde + es la suma usual de polinomios, con lo que:
e( x )  p( x )  p( x )  x
e( x )  x
En forma análoga se obtiene el neutro por izquierda: e( x )  x
Finalmente existen el neutro por derecha y el neutro por izquierda y son
iguales, por lo tanto existe el neutro e( x )  x .
a3) Se debe verificar que:
p( x )  P1( x ), p'( x )  P1( x ) / : p( x )* p'( x )  p'( x )* p( x )  e( x )
tomando la primera igualdad:
p( x )* p'( x )  e( x )
aplicando la definición de  y reemplazando con el neutro obtenido se
tiene:
p( x )  p'( x )  x  x
luego
p'( x )  2 x  p( x )
En forma análoga se obtiene el inverso por izquierda: p'( x )  2 x  p( x )
Por último, todo elemento de P1(x) tiene inverso respecto de  .
De acuerdo a lo desarrollado en a1), a2), a3) puede afirmarse que ( P1(x),  ) tiene
estructura de grupo.
b) Para que (H,) sea un subgrupo de ( P1(x), ) se debe verificar que:
b1) H  P1(x) Esto es verdadero ya que los elementos de H son
polinomios de grado menor o igual que 1.
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María Inés Morales
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b2) H   . El polinomio nulo es un elemento de H ya que se puede decir
que tiene término independiente cero.
b3) p( x ),q( x )  H: p( x )* q'( x )  H
Sean p( x ), q( x )  H  p( x )  ax  q( x )  mx
Entonces :
p( x )* q'( x )  p( x )*  2 x  q( x )  ax   2 x  mx   x 
 ax  mx  x   a  m  1 x  H
Luego (H,) es un subgrupo de ( P1(x), )
Volver
2. i) Probar que (A,+,. ) es un cuerpo implica probar que:
a) (A,+) es grupo abeliano
Esto se verifica ya que (A,+, .) es un anillo
b) (A – {0}, .) es grupo abeliano
Como (A,+, .) es un anillo, se tiene que (A, .) es semigrupo, luego debe probarse
que en A – {0} se verifican los axiomas del neutro, inverso y conmutatividad.
Es importante tener en claro que el cero de este anillo (elemento neutro
respecto de la suma) es b con lo que A – {0} es equivalente a A – {b} y la tabla
para este conjunto de la ley “.” resultaría:
.
a
b
c
a
a
b
c
b
b
b
b
c
c
b
a
Neutro:
En la tabla puede verse claramente que:
a.a=a.a=a
c.a=a.c=a
luego a es el neutro respecto de “ . ”
Inverso:
De la observación de la tabla:
a.a=a
c.c=a
por lo tanto a-1 = a y c-1 = c
Conmutatividad:
La tabla representa una matriz simétrica respecto de la diagonal principal,
luego “.” Es conmutativa
c) . es distributiva respecto de +
Se verifica al ser (A,+, .) es un anillo
5
María Inés Morales
El aula virtual de Álgebra Lineal
ii)
a)
b)
 x  c  ( a  c )2
x
 a  x
c
x  c 1  a  x
 x  c  b2
x  c  b
x  c  a  x
 x  c  c 1  b  c 1
x  c  x  a  ( x  x )
x  a  b
x  c  x  a  a  ( x  x )
 x  b  x  b  x  b
x   c  a   a  b
x  c  c  c  b
xa  c
x  a  a 1  c  a 1
x  ca
xc
Volver
3.Para que (A, + , . ) sea un subanillo de (R, + , .) se debe verificar que:
a) A  R ,
Esto es cierto ya que cualesquiera sean a y b racionales, a + b  3 es un
número real.
b) A  
Se verifica ya que 0 = 0 + 0  3  A
c) m,n : m,n  A  m  n  A  m  n  A
Sean m,n  A  m  a  b 3  n  c  d 3 con a,b,c,d  Q
Restando:
m  n  a  b 3  c  d 3 =  a  c  +  b  d  3 con a  c  Q,b  d  Q

 

luego m  n  A
Multiplicando:



2
m  n  a  b 3  c  d 3 =ac  ad 3  bc 3  bd 3 
  ac  3bd    ad  bc  3 con ac  3bd  Q y ad  bc  Q
luego: m  n  A
Por a), b) y c) puede asegurarse que (A, + , . ) es un subanillo de (R, + , .)
6
María Inés Morales
El aula virtual de Álgebra Lineal
Volver
4.- F( x, y,z )  ( x  y )'  z
F( x, y,z )  ( x  y )'  z   x'  y'   z  x'  z  y'  z 
x'   y  y'   z   x  x'   y'  z  x'  y  z  x'  y'  z  x  y'  z  x'  y'  z 
 x'  y  z  x'  y'  z  x  y'  z
luego la forma canónica de función dada es:
F( x, y,z )  x'  y  z  x'  y'  z  x  y'  z
por otra parte, la función complementraria de F es:
Fc ( x, y,z )  x  y  z  x  y  z'  x'  y  z'  x  y'  z'  x'  y'  z'
por lo que la forma canónica dual de F es:
Fc '( x, y,z )   x'  y'  z'    x'  y'  z    x  y'  z    x'  y  z    x  y  z 
Volver
5.- Se debe probar que en un álgebra de Boole se verifica:
a  b  0  a  b'  a'  b  a  b
Prueba:
a  b'  a'  b   a  a'    a  b    b'  a'    b'  b  
1
1
 a  b    b'  a'    a  b   ( b  a )' =  a  b  1  a  b
0
por hip
Se aplicó: distributividad de + respecto de  , la suma de elementos
complementarios, leyes de De Morgan, neutro del producto.
Volver
6.- Sean   R y u,v V / u  0v se debe determinar el valor o valores de  para que
 ( u  v )  u    v .
Aplicando la distributividad del producto de un escalar por la suma de dos
vectores:
u  v  u  v
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Aplicando la propiedad cancelativa de la suma en un espacio vectorial:
 u   v  u   v
 u  u
Sumando a ambos miembros el opuesto de u:
 u  u  u  u
Empleando el axioma del elemento neutro, la propiedad según la cual  1  u  u
y la distributividad, se tiene:
  1  u  0v
En un espacio vectorial, si el producto de un escalar por un vector da por resultado
el vector nulo entonces el escalar es cero o el vector es el vector nulo. Como por
hipótesis u  0v entonces,
 1  0    1
Volver
7.- Se debe probar que U= 


a
c

b
d 
 R2 x 2
ab  0  c 
d  es

2 
un
subespacio de R2x2.
Es evidente que U  R 2 x 2 y U   (la matriz nula pertenece a U).
a
Ahora bien sean  R y  d

2
a   a'
 , d '
d  
 2
a' 
 U
d' 

Sumando:
a
d

2
a   a'
  d'
d  
 2
a'   a  a'
  d d'
d'   
 2
2
a  a'   a  a'

d  d'
d  d'  
  2
  a  a'  
 U
d  d' 

Multiplicando escalar por vector:
a
d

2
a   a
   d
d  
  2
a 
 U
d 

Con lo que queda probado que U es un subespacio de R2x2.
Volver
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