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Transcript
Universidad de Costa Rica
Estructuras Discretas
Kryscia Ramírez Benavides
Actividad Colaborativa
Tema: Combinatoria y Probabilidad
Integrantes:
Paulo Barrantes Aguilar
Ivannia Calderón Marín
Aarón Gutiérrez Richmond
Esteban Aguilar Castro
25 de agosto
2016
1
4) Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se
colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:
a. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. (207360)
b. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos. (8709120)
c. Cuatro deben ocupar los mismos lugares, aun cuando estos 4 puedan
intercambiarse entre sí. (967680)
Hay 4 libros de matemáticas, 6 libros de física y 2 libros de química.
a) Para que los libros de cada asignatura estén juntos
4! * 6!*2! Dentro de cada grupo de asignaturas
existe una permutación sin repetición
(4!*6!*2!)*3!  207360 Pero también hay
diversas formas de acomodar esos grupos en el
estante por eso se usa 3!
b)
4! * 9!  8709120 Dentro del grupo de
matemáticas hay 4 libros, estos se pueden
acomodar de 4! formas, y hay 8 libros que pueden
revolverse, pero al acomodar el estante se toma
en cuenta como un libro el grupo de libros de
matemática por eso se suma 1 a los 8 libros
c) 4 libros ocupan el mismo lugar, pero estos se pueden cambiar entre ellos. Esos 4 libros
son como un grupo, solo que al contrario del caso anterior, estos tienen que quedarse
en el mismo lugar
4!*8!  967680 Se sacan las maneras de acomodar los 4 libros que se quedan en el mismo
lugar y se obtiene el número de formas posibles con los 8 libros restantes
9) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en hilera todas las fichas blancas de ajedrez, si no son
distinguibles entre sí las del mismo tipo (por ejemplo: los 8 peones)? (64864800)
En el ajedrez existen 16 fichas blancas
Como las 16 fichas no son distinguibles entre ellas, se utiliza una permutación con repetición y se
utilizan todos los elementos por eso es una permutación
8 Piones
𝑛!
16!
2 Caballos
64864800
𝑛1 !∗𝑛2 !∗…∗𝑛𝑘 !
8!∗2!∗2!∗2!∗1∗1
2 Torres
2 Alfiles
1 Reina
1 Rey
2
14) ¿Cuántos números de ocho cifras se pueden escribir con las cifras 2, 3, 4 y 6, sabiendo que el 3
aparece dos veces y el 6 aparece cuatro veces? (840)
Permutación con repetición, debido a que se utilizan todas las cifras y se pueden repetir cifras
˽ ˽ ˽ ˽ ˽ ˽ ˽ ˽  Números de 8 cifras con las cifras 2,3, 4 y 6
˽ ˽ ˽ ˽ ˽ ˽ ˽ ˽  Pero el 6 aparece cuatro veces y el 3 dos veces
𝑛!
𝑛1 ! ∗ 𝑛2 ! ∗ … ∗ 𝑛𝑘 !
8!
= 840 → 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟
2! ∗ 4!
n= 8
2!  Es el número de veces que aparece 3
4!  Es el número de veces que aparece 6
19) De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta, se anota el resultado y se guarda la
carta sin devolverla a la baraja; después se extrae otra carta y se hace lo mismo. Así hasta extraer
cuatro cartas. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener, teniendo en cuenta el orden en
que sacamos las cartas? (2193360)
Este caso es una variación sin repetición ya que se usa una muestra de la población y además se
extraen cartas sin devolverlas a la baraja
n = 40 cartas
r = 4 cartas extraídas
𝑛!
0<𝑟 ≤n
(𝑛 − 𝑟)!
40!
(40 − 4)!
 2193360
3
24) En una ciudad A los números telefónicos se forman con 4 números (0 a 9) no pudiendo ser cero
el primero de ellos, y en otra ciudad B con 5 números con las mismas condiciones ¿cuántas
comunicaciones pueden mantenerse entre los abonados de ambas ciudades? (810000000)
Ciudad A 
˽ ˽ ˽ ˽  El primer número no puede ser 0 y se usan los 10 dígitos para el
resto
Ciudad B 
˽ ˽ ˽ ˽ ˽ El primer número no puede ser 0 y se usan los 10 dígitos para
el resto
Número de dígitos disponible en el primer digito del número telefónico
Se utiliza la regla del producto para la ciudad A y para la ciudad B
A  9 * 10 * 10 * 10 = 9000
B  9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90000
9000 * 90000 = 810000000 comunicaciones entre los números de las 2 ciudades por la regla del
producto
29) Un estudiante para aprobar un examen que consta de 10 preguntas, debe contestar 7 de ellas.
¿De cuántas maneras puede hacer la selección para aprobar el examen? (120)
Debido a que no influye el orden de colocación de los elementos en la agrupación y no se pueden
repetir los elementos en el conjunto de que se dispone.
Por lo tanto la fórmula para calcular el número de maneras en las que el alumno puede hacer la
selección para aprobar el examen es:
𝑛!
0 <r≤ n
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Donde r son las preguntas a contestar (7) del total n de preguntas (10).
𝐶𝑛,𝑟 =
Por lo que
𝐶𝑛,𝑟 =
10!
7! (10 − 3)!
120  Maneras que puede hacer la selección para aprobar el examen
4
34) Una heladería prepara copas de helados con 3 bolas de helado elegidas de entre 18 sabores
diferentes. ¿Cuántas copas distintas pueden preparar si las 3 bolas que se eligen son de diferentes
sabores? (816)
n= 18 sabores
r = 3 bolas de helado
Es una combinación sin repetición ya que no influye el orden de colocación de las bolas de helado
y además tienen que ser sabores diferentes
𝐶→
𝑛!
0 <r≤ n
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
18!
3! (18 − 3)!
816  Copas de helado distintas
39) En un bar de zumos preparan batidos a partir de 14 clases de frutas, de las cuales se eligen 5
(iguales o distintas) y se mezclan en el batido. ¿Cuántos batidos distintos se pueden preparar? (8568)
n = 14 clases de frutas
r = 5 frutas elegidas (iguales o distintas)
Es una combinación con repetición ya que no influye el orden y se pueden repetir clases de frutas
CR 
(𝑛 + 𝑟 − 1)!
n, r > 0
𝑟! (𝑛 − 1)!
(14 + 5 − 1)!
5! (14 − 1)!
8568 Batidos distintos
44) Para abrir una cerradura de combinación se requiere de la selección correcta de cuatro dígitos
en sucesión. Los dígitos se fijan girando el tambor alternativamente en el sentido de las manecillas
del reloj y en el sentido opuesto. Encuentre el número total de las posibles combinaciones si:
a. No es posible repetir dígitos. (5040)
b. Es posible repetir dígitos. (10000)
La combinación es de 4 dígitos que debemos seleccionar entre 10 disponibles para cada dígito
5
a) Como no podemos repetir dígitos, tenemos una variación sin repetición y no vamos a
utilizarlos todos, solo una muestra
n = 10
r=4
˽˽˽˽
De las 10 opciones solo podemos elegir 4 distintas
𝑉𝑛,𝑟
𝑛!
0<𝑟≤n
(𝑛 − 𝑟)!
10!
(10 − 4)!
5040  Combinaciones
b) Como es posible repetir dígitos, es una variación con repetición
VRn, r = nr
104 = 10000  Combinaciones posibles
Probabilidad
4) Un entrenador dirige a cuatro atletas: José, Jorge, María y Marta; a los que va a entrenar: lunes,
martes, miércoles y jueves. A cada atleta lo entrenará uno de los días
a. ¿Cuántas asignaciones distintas atleta-día son posibles? (24)
b. Si las asignaciones son hechas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que María entrene
los martes? (0.25)
a) Existen 4 días para 4 atletas
Lunes  martes miércoles jueves
4 atletas 3atletas2atletas1atleta
4*3*2*1 = 24 asignaciones posibles por día
6
Asignación
b) La probabilidad de que María entrene los martes es de 0.25 = n/N  1/4
0.25
José
0.25
María
0.25
Jorge
0.25
Marta
9) Hallar la probabilidad de que al levantar una ficha de dominó se obtenga un número de puntos
mayor que 9 o que sea múltiplo de 4. (5/14)
N = 28 fichas de domino
4/28  Probabilidad de sacar un número de puntos mayor que 9
1. 6 / 6  1/28
2. 6 / 5  1/28
3. 6 / 4  1/28
4. 5 / 5  1/28
4/28
6/28  Probabilidad que sea múltiplo de 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2 / 6  1/28
6 / 6  1/28
2 / 2  1/28
4 / 4  1/28
3 / 1  1/28
5 / 3  1/28
6/28
4
6
5
+
=
→ 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 2 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
28 28
14
7
14) Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está
cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda y se
lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara. (11/18)
0.5
Cara
Moneda normal
0.5
1/3
1
Cruz
Cara
Moneda con 2
caras
Cruz
0
Cara
Moneda cargada
2/3
Cruz
Pero en la caja solo se extrae una moneda, cada una con una probabilidad de 1/3
1
1 1
11
( +1+ )∗ =
2
3 3
18
Siendo estos las probabilidades de sacar cruz en cada una de las monedas
La probabilidad de
sacar una moneda
de la caja
19) Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo
B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del
mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B.
a. ¿Cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? (9)
b. ¿Cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? (6)
c. ¿Cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B? (11)
S = 30 días del mes de abril
|A|= 15
|B|= 20
|AUB| = 26
8
|AUB| = |A|+|B|-|A∩B|  Utilizamos esta fórmula para encontrar la ∩
26 = 15 + 20 - X
X=9
S
|A|-|A∩B|  15 – 9 = 6
|B|-|A∩B|  20 – 9 = 11
a) 9 días
b) 6 días
c) 11 días
6
9
11
4