Download Matemáticas V - Universidad de Londres

UNIVERSIDAD DE LONDRES – PREPARATORIA
Clave incorporación UNAM 1244
ACADEMIA DE CIENCIAS
GUÍA- PROBLEMARIO MATEMATICAS V
Ciclo escolar: 2007-2008
Año: 5 ° Año
Unidad I
1. ¿Cuál es la diferencia que existe entre relación y función?
2.
Obtener el producto cartesiano entre A = { 1, a, c } y B = { x, y, z }
3. Obtener el producto cartesiano entre A = { c, f, k } y B = { 1, b, q }
4.
El intervalo (-, ) simbólicamente es el campo de los números …
5.
El campo de números X/ X = a/b con b  0 se refiere a los números…
6. ¿Qué diferencia existe entre función explicita y función implícita?
7. ¿Qué caracteriza a las funciones trascendentes?
8.
¿Qué condición debe cumplir una función biyectiva?
9.
Escriba un ejemplo de cada una de las clasificaciones de las funciones
10. ¿Qué variable indica el dominio de la función y cuál el contradominio?
11. Grafique las funciones indicadas, determinando el dominio y su rango.
f(x) = X2 + 1
g(x) = 4 sen 
h(x) = 3 X2 + X - 4
f(x) = (3X +2)2
h(x) = - (2x – 5)2
g(x) = 2X3 – 15
f(x) = x + 9
i. x -2
h) f(x) = x___
x2 - 4
g(x) = √ 9 – x2
f(x) = √x2 -16
g(x) = √ x2 - 4
a) ¿ Cómo se define una función?
b) ¿ Cuándo una función es suprayectiva?
Determina si las siguientes funciones son : inyectiva, suprayectiva o biyectiva; hacer la gráfica y
encontrar su dominio y contradominio.
f(x) = x2 –4x +4
f(x) = x3
f(x) = 5x +4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21. Clasifica las siguientes gráficas en funciones o relaciones:
22. 13. Relaciona las columnas colocando en el paréntesis la letra correspondiente a la respuesta correcta
de la clasificación de las funciones
a) implícita
b) algebraica
c) logarítmica
d) trigonométrica
e) Exponencial
f) lineal
f) cuadrática
g) creciente
h) decreciente
(
) x2y + 5xy –3x = x3 –3
( ) 2x + 3y –6 =0
( ) y = ln sen x
( ) 7x = 19
( ) y = ln 2x +5
(
) y = cos x
( ) y = 2x + 3
( ) y = 3x2+ 2x -9
( ) 2 – log  3 -y 2+ 2y +x
Unidad II
1.- Deducir los valores de las funciones trigonométricas de
a)α = 300
b)  = 600
c)  = 450
2.- Determine los ángulos  y β y los lados a y b en el triángulo.

8
β
1100
9
3.- Determine los ángulos  y β y los lados a y b en el triángulo.

β
9
1050
8
4.- Si los catetos adyacente y opuesto de un triángulo rectángulo son: a = 4 y b = 3 respectivamente,
determine los elementos faltantes
5.- Hallar los elementos faltantes de un triángulo rectángulo si: a = 4.7 y c = 5.3
.
6.- Para el triángulo rectángulo mostrado, determine la longitud del lado a tomando  = 53.130
a=?
c=5

3
7.- Para el triángulo rectángulo mostrado, determine la longitud del lado a tomando  = 16.260.
c = 25
a=?

24
8- Para el triángulo mostrado, obtener el ángulo  así como los lados faltantes.
a = ? 420
c

5.8
9.- Para el triángulo mostrado, obtener el ángulo  así como los lados faltantes.
a=?
300
c

3.2
10.- El minutero de un reloj es de 12 cm de longitud. ¿Qué recorrido realiza la punta de la manecilla en 20
minutos si su posición actual es 12:00?
11.- Un cable de sujeción, se amarra a 12 m de la base de un mástil, y el cable forma un ángulo de 15º con el
suelo. ¿Cuánto mide dicho cable?
12.- Un árbol de 100 m de altura proyecta una sombra de 120 m de longitud. encontrar el ángulo de elevación
del árbol.
13.- De lo alto de un faro de 120 m sobre el nivel del mar el ángulo de depresión de un bote es 15º. ¿A qué
distancia está el bote del faro?
14.- Tres barcos están situados de tal manera que A se encuentra a 225 Km al norte de C, y B a 375 Km al este
de C. ¿Cuál es la orientación de (a)B con respecto a A y (b) A con respecto a B?
15.- Una persona de 1.80 m de estatura, proyecta una sombra de 0.60m. En ese mismo momento, un árbol
proyecta una sombra de 2.50 m. Calcule la altura del árbol.
16.- Un reflector está colocado a 4 m de un tinaco que tiene 1.50 m de altura. ¿De qué tamaño proyecta su
sombra en una pared situada a 7 m del reflector?
17.- Una regla de un metro de longitud, al colocarse verticalmente se observa que proyecta una sombra de 0.80
m, en ese momento un poste de teléfonos proyecta una sombra de 4.20 m. Calcule la altura del poste.
18.- Uno de los lados de un terreno que tiene forma de triángulo equilátero, mide 30 m. Calcule el área y el
perímetro del terreno.
19.- Una escalera de 7 m de longitud descansa sobre la pared de un edificio, si el pie de la escalera está a 3 m
de la base del edificio. ¿Qué altura alcanza la escalera?
20.- Una antena de televisión de 12 m de altura se va a fijar por medio de tres cables. Si las bases para sujetar
los cables están a una distancia de 6 m del pie de la antena, determine la cantidad de cable que se necesita
para realizar el trabajo.
21.- Un barco recorre 315 km en dirección N 56º E, en seguida avanza 640 km en dirección S 37º E. ¿Qué
distancia debe de recorrer para llegar al punto de partida?
22. Determinar los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 0o , 90º, 180º, 270º y 360º.
23. Utilizando las identidades básicas demostrar las siguientes igualdades:
a) sen A + cos AcotA = csc A
b) csc A • sec A = cot A + tan A
c) sen x • sec X = 1
d) sen x • sec x = tan x
e) tan A = sec A
sen A
f) tan A cosA csc A = 1
g) sec2A csc2 A = sec2A + csc2 A
h) tan2 A +cot 2A = sen2A + cos2A
24. Utilizando las fórmulas de suma y diferencia de ángulos determinar las funciones trigonométricas del:
a) ángulo de 75º .
b) ángulo de 15º .
c) ángulo de 120º .
d) ángulo de 150º .
UNIDAD III
1. Defina función exponencial.
2. Defina función logarítmica.
3.
Indique que condición debe cumplir b en la propiedad (a / b )X = aX / bX .
4.
Indique que condición debe cumplir a en la función f(x) = aX.
5.
¿Cuáles son las 4 propiedades básicas de los logaritmos?
6.
Resuelve la sig. operación aplicando logaritmos:
log (234.25)( 27.18)2.5 =
32.19
7. Dada la función y = f(x) = 2-X, obtener su gráfica
8.Dada la función y = f(x) = 10e-0.5X, obtener su gráfica.
9. Dada la función y = f(x) = log2 X, obtener su gráfica.
10.Escribe en forma logarítmica las siguientes ecuaciones:
a) 23 = 8
b) 32 1/5 = 2
c) (2/3) 3 = 8/27
d) 8 2/3 = 4
11. Escribe en forma exponencial cada una de las siguientes ecuaciones:
a) log 2 (¼) = -2
b) log 7 7 = 1
c) log 6 36 = 2
d) log 1/3 27 = -3
12. Hallar el valor de “x” en las siguientes ecuaciones:
a) log 10 x = 2
b) log 4 x = -2
c) log 25 x = - 3/2
13. Aplicando logaritmos, determina el valor de “x” de : a) 2 x = 4x-1
d) log 2 x = 3
b) 5 2x-1 = 3 x-2
c) 10 = 2 x ;
14.- Si $P se invierten al 100 % de interés compuesto de manera continua entonces el valor de la cantidad
A al final de t años está dado por A = P ert.
15.Si $100 se invierten al 12 % de interés compuesto de manera continua, grafique el valor de la cantidad
con respecto a un periodo de tiempo de 15 años.
log F – log I
16. Dada la expresión n = ----------------- se requiere saber cuanto tiempo tardó un capital de 40 000
log i
colocado a un interés compuesto de 2% semestral, para convertirse en 68 280,
17. Una compañía hace una cotización para un banquete, de manera que el costo es $12 000 para 100
personas, o de $16 500 para 150 personas.
a) Encuentra la ecuación que determina el costo del banquete para x personas, suponiendo que está
dado por la ecuación de una recta.
b) ¿Cuánto costará el banquete para 125 personas?
Unidad IV
1. Cambiar la coordenada polar ( 3, 1200 ) a coordenada rectangular. Grafique.
2. Cambiar la coordenada polar ( 5, 600 ) a coordenada rectangular. Grafique.
1. Transformar la coordenada rectangular (- 1, 5 ) a coordenada polar.
2. Transformar la coordenada rectangular (- 1.5, 2.6 ) a coordenada polar.
3.
Para el triángulo de vértices A (1, -2), B (4, -2) y C (4, 2), obtener el punto medio del segmento BC.
4.
Para el triángulo de vértices A (1, -2), B (4, -2) y C (4, 2), obtener el punto medio del segmento BC.
5.
Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son ( -2, 3 ) y ( 6, -3 ).
6.
Para el triángulo de vértices A (1, -2), B (4, -2) y C (4, 2), obtener la distancia del lado AC y BC.
7.
Grafique y determine la distancia del punto A (- 4, 3, 3 ) al punto B (3, 4, - 4 ).
8.
Hallar el perímetro y el área del triángulo formado por los vértices:A(-2,-5), B(3,4), C(8.-3)
9.
Comprobar mediante la fórmula para “ángulo entre dos rectas”, que el ángulo A del triángulo cuyos
vértices A (3,2), B (5, -4) y C (1,-2) es A = 45º
10. Comprobar que las rectas AB y CD son perpendiculares, siendo A (1,1) y B (4, 4); C (0, 4) y D (3,1).
11. Determinar si las rectas AB y CD son paralelas, siendo A (2, 3) y B (7, 5); C (-1, 4) y D (4, 6).
12. Determinar el área de los polígonos cuyos vértices son:
a) A(-1,3), B(6,4), C(-2,-5), D(8, 2)
b) E(5,-2), F(-3,3), G(-2,5),H(4,6), I(6,0)
13. Escribe a)la clasificación de los polígonos(nombre y fórmula para calcular su perímetro y su área)
14. Para el triángulo mostrado, determinar mediante semejanza de triángulos la altura h y θ.
h
1.5
θ
6.5
1.75
15.- Para el triángulo mostrado, determinar mediante semejanza de triángulos la altura h y θ.
5.57
h
6.5
θ
1.75
16.- Para el triángulo mostrado, determinar mediante semejanza de triángulos la base b y θ.
11.14
3
θ
13
b
17.- Para el triángulo mostrado, determinar mediante semejanza de triángulos la base b y θ.
11.14
3
θ
b
3.5
18. Define los siguientes conceptos:
a) mediana
b) altura
c) mediatriz
d) bisectriz.
19. Escribe el nombre del punto donde se cruzan:
a) las medianas
b) las alturas
c) las mediatrices
d) las bisectrices.
UNIDAD V
1. Analiza cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 3x + 2y = 12
b) y = (x – 1)2
c) x2 + y2 = 9
d) –x + 4y -28 = 0
e) y = x2 – 3
f) 9 x2 + 16y2 = 144
g) y = x3
h) x2 y – x + 6y = 0
i) x2 + y2 -2x – 6y + 9= 0
j) y2 – 4x -6y + 5= 0
k) 2xy – y = 4
l)
y =( x2 – 4) / (x + 2)
m) y x2 + 2y = 4
n) 4 x2 + 9 2 = 0
o) xy – x = 6
UNIDAD VI
1. Dados pos puntos A( -3,5), B(2,-6), C(7,8): Hallar:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
La ecuación general de la recta AB
La ordenada al origen de la recta BC
La abscisa al origen de la recta AC
La distancia del punto C a la recta AB
La ecuación de la recta perpendicular a BC en su punto medio
La ecuación que pasa por R(-3,-8) y es paralela a la recta 2x – 5y + 8 =0
La ecuación de la altura que pasa por el punto A
El área del triángulo ABC aplicando la fórmula A = b * a
2
2. Hallar la distancia del punto P(2,5) a la recta que pasa por los puntos Q(-5,-8) y R ( 6, -11)
3.- Determinar si las rectas AC y AB son perpendiculares en el triángulo cuyos vértices son: A (1, 2),
B (4, -1) y C (3, 4).
4. Obtener la ecuación general de la recta así como su gráfica de manera que satisfaga:
a) Pase por los puntos (1, - 5) y (-2, 1).
b) Tenga pendiente m = - 2 y ordenada b = - 3
c) Pase por el punto (1, - 5) y tenga pendiente m = - 2
5. Obtener la ecuación general de la recta así como su gráfica de manera que satisfaga:
a) Pase por los puntos (2, - 10) y (-2, 2).
b) Tenga pendiente m = - 3 y ordenada b = - 4
c) Pase por el punto (-2, 2) y tenga pendiente m = - 3
6. Dados pos puntos G( 3,8), H(-6,-2), I(-1,-6): Hallar:
a) las coodenadas del ortocentro.
b) las coordenadas del baricentro.
c) las coordenadas del circuncentro.
d) las coodenadas del incentro.
e) la ecuación de la recta de Euler.
7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,5) y es perpendicular a la recta B(3,4),
C(-8.-3)
8. Obtener m y b de la recta que pasa por los puntos (1, - 5) y (-2, 1)
9. Obtener m y a de la recta que pasa por los puntos (2, - 10) y (-2, 2)
UNIDAD VII y vIII
1. Obtener la ecuación de la circunferencia de centro el origen y radio 5.
2.
Obtener la ecuación de la circunferencia de centro el origen y radio 4.
3.
Obtener la ecuación de la circunferencia de diámetro 8 y centro el origen.
4. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento limitado por los puntos
P(7, -4) y Q(-2,8)
5. Hallar el centro y el radio de la circunferencia x 2 + y 2 +8x – 4y + 4 = 0
6.
7.
Obtener la ecuación de la circunferencia de diámetro 10 y centro el origen.
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-2,6) y es tangente a la recta
que pasa por
P(-9, -4) y Q(-12,8)
8. Hallar el centro y el radio de la circunferencia
a. x 2 + y 2 +6x – 4y + 4 = 0
b. 2x 2 + 2y 2 +8x – 12y -10 = 0
9.
Obtenga la ecuación que describa la trayectoria de un barco B que se mueve en forma circular
alrededor de un faro en posición C, si de dicho faro a otro barco anclado A al Este existe una distancia
entre ambos de 516 km. y el barco A se encuentra al sur del barco B. El ángulo de referencia del faro al
barco B es 45º . Verifique al menos su ecuación para al menos 3 posiciones del barco A.
10. Dadas las siguientes ecuaciones determina a qué cónica pertenece y encuentra sus elementos, así como su
gráfica:
a) y2 –4x –2y –11= 0
b) 4x2 + 4y2 – 6x + 2y –1 = 0
c) 9x2 + 5y2 – 18x - 40y +44 = 0
d) 5x2 - 4y2 – 20x + 8y - 4 = 0
Unidad IX
1. Hallar las coordenadas del foco, la longitud del lado recto, la gráfica y la ecuación de la parábola de :
-3,9) , D: y -8 = 0
V(
2. Hallar: la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices, el lado recto y la excentricidad, si las
coordenadas de sus focos son: F(-3,5), F’(5,5) y el semieje mayor a = 10
3. Hallar las coordenadas del foco, la longitud del lado recto, la gráfica y la ecuación de la parábola de :
3,-5) , D: y +6 = 0
V(
4. Escribe la definición de una parábola.
5. ¿ cómo se define la directriz?
6. Hallar los elementos y la ecuación de la parábola que tiene su V( -3, 5) y D: y-10 =0
7. Hallar todos los elementos de la parábola cuya ecuación es: y2 +16x + 6y +41 =0
8. ¿ cómo se define el lado recto?
9. Hallar los elementos y la ecuación de la parábola que tiene su V( -5, 3) y D: x -12 =0
10. Hallar todos los elementos de la parábola cuya ecuación es: x 2 -4x + 12y +52 =0
11. ¿ cómo se define la cuerda focal?
12. Hallar todos los elementos de la parábola cuya ecuación es: x2 +4x + 12y - 20 =0
13. ¿ Qué determina la excentricidad?
14. Hallar los elementos y la ecuación de la parábola que tiene su V( 2, 3) y F(5,3)
15. Hallar todos los elementos de la parábola cuya ecuación es: y2 + 8x –8y -24=0
16. Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del vértice, el lado recto si F(5,-4) y
D: x +12 =0
17.- Una antena parabólica tiene un diámetro de un metro. Si tiene una profundidad de 20 centímetros, ¿ a qué
altura debemos colocar el receptor?, es decir, ¿a qué distancia está el foco del vértice?
18.- Si las torres de un puente colgante tienen una separación de 400 metros y los cables están atados a ellas a
200 metros arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntal que está a 50 metros de la torre?
supongamos que el cable toca el piso en el punto medio V (vértice) del puente.
19. Dadas las ecuaciones de la parábola en su forma general obtener sus elementos y su gráfica:
a) y2 –2x + 4y + 6 = 0
b) x2 –8x - 10y – 4 = 0
c) x2 + 6x + 6y – 3 = 0
d) y2 –2y + x + 1 = 0
e) y2 –5x + 10y + 10 = 0
UNIDAD X
1. Hallar: la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices, el lado recto y la excentricidad, si las
coordenadas de sus focos son: F(-3,8), F’(5,8) y el semieje mayor a = 10
2. Escribe la definición de una elipse.
3. Hallar los elementos y la ecuación de la elipse que tiene: V(-4,-2) , F(5.-2), C (1,-2)
4.Hallar los elementos y la ecuación de la elipse que tiene: V(3,-5) , C (3,-1), eje menor =6
5. Hallar los elementos y la ecuación de la elipse que tiene: V?(-4,1) , V(2.1), LR= 8/3
6. Hallar la ecuación de la elipse y obtenga su gráfica de forma que satisfaga las condiciones siguientes:
a) Focos ( 4, 0) y (-4, 0); vértices (5, 0) y (-5, 0)
b) Lado recto 5; vértices (10, 0) y (-10, 0)
7. Hallar la ecuación de la elipse y obtenga su gráfica de forma que satisfaga las condiciones siguientes:
a) Vértices ( 6, 0) y (-6, 0); focos (5, 0) y (-5, 0)
b) Lado recto 8; vértices (10, 0) y (-10, 0)
7. La distancia máxima de la Tierra al Sol es 9.3 x 107 millas. La distancia mínima es de 9.1 x 107 millas. El
Sol se encuentra en uno de los focos de la órbita elíptica. Calcula la distancia del Sol al otro foco.
8. Una compañía constructora va a diseñar un toldo semielíptico para la entrada de un restaurante. El
toldo estará colocado a 2 m de altura sobre el piso,,tendrá un claro de 4 my por razones estruturales, a
1 m de distancia de un extremo deberá alcanzar una altura de 1 m.
a) ¿Cuál será la altura máxima que tendrá el toldo?
b) ¿Cuánto costará cubrir el frente con una cubierta de material plático cuyo precio es de $ 850.00
por m2.
c) Dibujar a es cala el frente del toldo.
9. Dadas las ecuaciones de la elipse en su forma general, determinar todos sus elementos y trazar sus
gráfica correspondiente:
a)
b)
c)
d)
e)
x2 + 4y2 –5x + 2y - 5 = 0
4x2 + y2 + x + y - 1 = 0
6x2 + 12y2 + 8x = 0
-x2 -25y2 + 20x - 5y - 25 = 0
8x2 + 3y2 – 2y - 24 = 0
UNIDAD XI.
1. Hallar: la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus vértices, el lado recto , la excentricidad y las
ecuaciones de la asíntotas si las coordenadas de sus vértices son: V’(-1,-8), V(5,-8) y el semieje focal c = 5
2. Obtener la ecuación de la hipérbola y haga su gráfica de manera que satisfaga las condiciones:
a) Eje real 8 y focos (5, 0) y (-5, 0)
b) Centro (0, 0), foco (8, 0) y vértice (6, 0)
3. Obtener la ecuación de la hipérbola y haga su gráfica de manera que satisfaga las condiciones:
a) Eje imaginario 8 y focos (5, 0) y (-5, 0)
b) Centro el origen, un foco (-8, 0) y un vértice (6, 0)
4. Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas, la longitud del lado
recto y el valor de la excentricidad de la Hipérbola: 9x 2 – 16y 2 = 144
5.