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COLEGIO “SAN GABRIEL”
SEGUNDO QUIMESTRE
Año lectivo 2013 - 2014
CUADERNO DE TRABAJO DE TRIGONOMETRIA
Medida de ángulos
Un rayo, o semirrecta, es la parte de una recta que comienza en el punto P sobre la recta y se
extiende indefinidamente en una dirección. El punto inicial P de un rayo se llama su vértice.
Dos rayos con un vértice común, forman un ángulo. Uno de los rayos del ángulo recibe el
nombre de lado inicial y el otro, lado terminal. El ángulo formado se identifica mostrando la
dirección y la cantidad de rotación del lado inicial al lado terminal. Si la rotación es en dirección
contraria a las manecillas del reloj, el ángulo es positivo; si la rotación es en dirección de las
manecillas de reloj, el ángulo es negativo. Para denotar los ángulos se usan letras griegas
como: ∝ (alfa), 𝛽 (beta), 𝛾 (gama) y 𝜃 (theta).
Vértice
∝
Lado inicial
Lado inicial
Rotación en sentido contrario
a las manecillas del reloj
Angulo positivo
Rotación en sentido de las
manecillas del reloj
Angulo negativo
Angulo en posición normal
Se dice que un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen de un sistema de
coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje x.
y
Lado terminal
𝜃
Vértice
x
Lado inicial
Las unidades comúnmente usadas para medir ángulos son los grados y radianes.
El ángulo formado al girar el lado inicial exactamente una vez en dirección contraria a las
manecillas del reloj hasta que coincide consigo mismo (1 vuelta), se dice que mide 360 grados,
abreviado 360°. Un grado, 1°, es
1
360
de vuelta.
1) Ejercicios: Dibujar Un ángulo recto ( 900 ), un ángulo plano ( 1800 ) y los ángulos de
300, 600, 1350, 2100, 2250, 2700, 3000, - 500, - 1400, - 1800, 7500.
Aunque se podrían obtener subdivisiones de un grado usando decimales, también se utiliza la
notación de minutos y segundos. Un minuto, denotado por 1´se define como
segundo, denotado por 1” se define como
1
de
60
1
60
de grado. Un
minuto, o de manera equivalente,
1
3600
de
grado.
1 vuelta en sentido positivo = 360°
1° = 60´ ; 1´ = 60”
Algunas veces es necesario convertir de la notación de grados, minutos y segundos (G°M´S´´)
Ejemplo:
a) Convierta 50°6´21´´ en grados.
10
6′ ×
= 0,10
60´
10
21" ×
= 0,0058
3600
50°6´21´´ = 50,10580
b) Convierta 21.256° en la forma G°M´S´´
60′
0,2560 × 0 = 15,36′
1
60′′
0,36′ ×
= 21
1′
21.256° = 210 15’ 21’’
2) En los problemas convierta cada ángulo a un decimal en grados. Redondee su
respuesta a dos decimales.
1)40°10’25’’
2) 61°42’21’’
3) 1°2’3’’
4) 73°40’40’’
5) 9°9’9’’ 6) 98°22’45’’
3) En los problemas dé cada ángulo en la forma G°M’S’’ Redondee su respuesta al
segundo más cercano.
1) 40.32° 2) 61.24° 3) 18.255°
4) 29.411°
5) 19.99°
6) 44.01°
En muchas aplicaciones, como las que describen la localización exacta de una estrella o la
posición precisa de un barco en el mar, los ángulos se miden en grados, minutos e incluso
segundos. Para hacer cálculos, se transforma en la forma decimal. En otras aplicaciones, en
especial en cálculo, los ángulos se miden en radianes.
Radianes
Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo. Los rayos de un ángulo
central subtienden (abarcan) un arco sobre el circulo. Si el radio del círculo es r y la longitud del arco
subtendido por el ángulo central también es r, entonces la medida del ángulo es 1 radián.
Lado terminal
r
r
∝
r
r
Lado inicial
Relación entre el perímetro de un círculo y su diámetro
𝑃
𝐷
=𝜋
⇒ 𝑃 = 𝜋𝐷 = 𝜋2𝑟 = 2𝜋𝑅
P = perímetro
D= Diámetro
𝜋 = Número pi (3,1416…)
P = 2𝜋r ⇒
𝑃
𝑟
= 2𝜋
Número de radianes de una vuelta
∴ 2𝜋 = 3600
Y También s = 𝜃𝑟
s = Arco de la circunferencia
𝜃 = Angulo del sector circulas que subtiende al arco
4) En los problemas convierta cada ángulo de grados a radianes. Exprese su respuesta como un
múltiplo de 𝛑.
Ejemplo: Convierta 450 a radianes
45𝟎 ×
π
π
=
0
180
4
1) 30°
2) 120°
3) 240°
4) 330°
5) -60°
6) -30°
7) 180°
10) -225°
5) En los problemas convierta cada ángulo de radianes a grados.
Ejemplo: transforme
2π
6
a grados
8) 270° 9) -135°
2π 1800
−
×
= 600
6
𝜋
1)
𝜋
3
2)
5𝜋
6
3) −
2𝜋
3
4) −
5𝜋
4
5)
𝜋
2
6) 4𝜋
7)
𝜋
12
8)
5𝜋
12
9) −
𝜋
6
10) 1 radián
6) En los problemas convierta cada ángulo de radianes a grados. Exprese su respuesta en la forma
decimal redondeado a dos decimales.
1)
3.14
2) 0.75
3) 2
4) 3
5) 6.32
Longitud de arco
Para un circulo de radio r, un ángulo central de 𝜃 radianes subtiende un arco cuya longitud s es
s = 𝜃r
Al usar la formula s = 𝜃r, la dimensión de 𝜃 es radianes y se utiliza cualquier unidad de longitud
conveniente
7) En los problemas, s denota la longitud del arco de un círculo de radio r subtendido por el ángulo
central 𝜽. Encuentre la cantidad que falta. Redondee sus respuestas a tres decimales.
1
1) r = 10 metros, 𝜃 = 𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛, s =?
2
2) r = 6 pies, 𝜃 = 2 radianes, s =?
3) 𝜃 = radianes, s = 6 centímetros, r =?
1
4) 𝜃 = radianes, s = 2 pies, r =?
4
5) r = 5 millas, s = 3 millas, 𝜃 =?
6) r = 6 metros, s = 8 metros, θ = ?
El triángulo rectángulo
Un triángulo en el que un ángulo es recto (90°) se llama triángulo rectángulo. Recuerde que el lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros lados catetos del triángulo. Dado que el triángulo
es un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras dice que:
c2 = a2 + b2
a
c
900
99
b
Ahora, suponga que 𝜃 es un ángulo agudo, es decir, 0° < 𝜃 > 90°. Con este ángulo agudo 𝜃, se forma
un triángulo rectángulo, con hipotenusa de longitud c, y catetos de longitudes a y b. Al usar los tres lados
de este triángulo, se podrían formar justo seis razones
c
c’ b’
𝜃
a’
a
𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑐
; ; ; ; ;
𝑐 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
b
De hecho, estas razones dependen solo del tamaño del ángulo 𝜃 y no del triángulo formado. Cualquiera
de los dos triángulos rectángulos formados usando el ángulo 𝜃 serán similares; por lo tanto, las razones
correspondientes serán iguales.
𝑏 𝑏′
𝑎 𝑎′
𝑏 𝑏′
=
;
=
;
=
;
𝑐 𝑐′
𝑐 𝑐′
𝑎 𝑎′
𝑎 𝑎′
=
𝑏 𝑏′
;
𝑐 𝑐´
=
𝑎 𝑎′
;
𝑐 𝑐′
=
𝑏 𝑏′
Como las razones dependen solo del ángulo 𝜃 y no del triángulo en sí, se da a cada razón un nombre
que involucra a 𝜃: seno de 𝜃, coseno de 𝜃, tangente de 𝜃, cotangente de 𝜃 , secante de 𝜃 , cosecante
de 𝜃.
Las seis razones de un triángulo rectángulo se llaman funciones trigonométricas de ángulos agudos y se
definen como sigue:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏
=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑏
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑏
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏
Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas del ángulo 𝜃
Ejemplo: Encuentre las seis funciones trigonométricas para el ángulo 𝜃 indicado en la figura
∝
Hipotenusa = c = 5
Cateto adyacente = a = 4
Cateto opuesto = b = ?
Por Pitágoras b2 = c2 – a2
b2 = 52 - 42
b=3
Por lo tanto las funciones trigonométricas para el ángulo 𝜃 son:
5
𝜃
4
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑏 3
=
𝑐 5
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝑐 5
=
𝑏 3
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎 4
=
𝑐 5
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑐 5
=
𝑎 4
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑏 3
=
𝑎 4
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑎 4
=
𝑏 3
1) En los problemas, encuentre el valor de las seis funciones trigonométricas del ángulo 𝜽 en
cada figura
2) Dado el valor de una función trigonométrica, encuentre los valores de las otras
Ejemplo: Dado 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
1
2
, 𝜃 un ángulo agudo, encuentre el valor exacto de las otras cinco funciones
trigonométricas de 𝜃.
Hipotenusa = c =?
Cateto adyacente = a = 2
1
𝜃
2
Cateto opuesto = b = 1
Por Pitágoras c2 = a2 + b2
c2 = 22 + 12 ; c = √5
Las funciones trigonométricas son:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑏
1
√5
=
=
𝑐 √5
5
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝑐 √5
=
= √5
𝑏
1
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎
2
2√5
=
=
𝑐 √5
5
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑐 √5
=
𝑎
2
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑏 1
=
𝑎 2
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑎 2
= =2
𝑏 1
3) En los problemas, use la definición o las identidades para encontrar el valor exacto de las
otras cinco funciones trigonométricas del ángulo agudo𝜽 .
Ángulos complementarios; cofunciones
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto. Como la suma de los
ángulos en cualquier triangulo es de 180°, se deduce que, para un triángulo rectángulo, los dos ángulos
agudos son complementarios
En la figura el ángulo opuesto al lado b como 𝛽 y el ángulo opuesto al lado a como 𝛼. Observe que el
lado a es adyacente al ángulo 𝛽 y opuesto al ángulo 𝛼. De manera similar, el lado b es opuesto al
ángulo 𝛽 y adyacente al ángulo 𝛼. Como resultado las funciones trigonométricas de ángulos
complementarios se relacionan como sigue:
a
𝛽
c
𝛼
b
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑎
= 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐
𝑐𝑠𝑐𝛼 =
𝑐
= 𝑠𝑒𝑐𝛽
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑏
= 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑐
𝑠𝑒𝑐𝛼 =
𝑐
= 𝑐𝑠𝑐𝛽
𝑏
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑎
= 𝑐𝑜𝑡𝛽
𝑏
𝑐𝑜𝑡𝛼 =
𝑏
= 𝑡𝑎𝑛𝛽
𝑎
Identidades fundamentales
tanθ =
senθ
cosθ
cotθ =
cscθ =
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1
cosθ
senθ
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
1
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 + 1 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
4) En los problemas, use las identidades fundamentales y/o el teorema de ángulos
complementarios para encontrar el valor exacto de cada expresión. No use calculadora.
Funciones trigonométricas de ángulos de 300, 600, 450
Para tres ángulos agudos especiales, se usan algunos resultados de la geometría plana para encontrar
los valores exactos de cada una de las seis funciones trigonométricas.
Funciones trigonométricas de un ángulo de 450
a=1
450
c
c2 = a2 + b2
c2 = 12 + 12
c = √2
450
b=1
Las funciones trigonométricas son:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑏
1
√2
=
=
𝑐 √2
2
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎
1
√2
=
=
𝑐 √2
2
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑐 √2
=
= √2
𝑎
1
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑏 1
= =1
𝑎 1
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑎 1
= =1
𝑏 1
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝑐 √2
=
= √2
𝑏
1
Funciones trigonométricas de los ángulos de 300 y 600
300
2
2
√3
600
1
1
Ejercicio: Encontrar las funciones trigonométricas de los ángulos de 300 y 600 y
completar el cuadro
𝜃 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝜃 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠)
sen𝜃
cos𝜃
tan𝜃
cot𝜃
sec𝜃
csc𝜃
300
450
600
El círculo unitario
Recuerde que el circulo unitario es un circulo cuyo radio es 1 y cuyo centro está en el origen de
un sistema de coordenadas rectangulares. Además, recuerde que cualquier circulo de radio r
tiene circunferencia de longitud 2pr. Por lo tanto, el circulo unitario (radio = 1) tiene una
circunferencia de longitud 2𝜋𝑟. En otras palabras, para una vuelta alrededor del círculo unitario
la longitud del arco es 2𝜋 unidades.
1
𝜃
a
b
Funciones trigonométricas de ángulos de 00, 900, 1800, 2700
Si el ángulo 𝜃 es muy pequeño, el cateto b se aproxima al valor del radio de valor 1,
mientras que el cateto b se hace más pequeño, en el límite, cuando 𝜃 es cero, el cateto
b es igual al radio del círculo, igual a 1, mientras el cateto a se hace 0, entonces las
funciones trigonométricas son:
Hipotenusa c = 1
Cateto adyacente b = 1
Cateto opuesto a = 0
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑎 0
= =0
𝑐 1
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝑐 1
= = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑎 0
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑏 1
= =1
𝑐 1
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑐 1
= =1
𝑏 1
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑎 0
= =0
𝑏 1
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑏 1
= = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑎 0
Ejercicio: calcular las funciones trigonométricas para los ángulos 900, 1800, 2700 y
completar el cuadro
𝜃 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝜃 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠)
sen𝜃
cos𝜃
tan𝜃
cot𝜃
sec𝜃
csc𝜃
00
900
1800
2700
Ángulos coterminales
Se dice que dos ángulos en posición estándar son coterminales si tienen el mismo lado
terminal.
Debido a que los ángulos coterminales tienen el mismo lado terminal, se deduce que los valores
de las funciones trigonométricas de ángulos coterminales son iguales. Se usa este hecho en el
siguiente ejemplo.
Encontrar los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de 𝜽 dado un punto
en el lado terminal
Encuentre el valor exacto de cada una de las seis funciones trigonométricas de un ángulo
positivo 𝜃 si (4, - 3) es un punto en el lado terminal.
b=4
c
a = -3
c2 = a2 + b2
c2 = (-3)2 + 42
c= 5
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑎 −3
3
=
=−
𝑐
5
5
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝑐
5
5
=
=−
𝑎 −3
3
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑏 4
=
𝑐 5
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑐 5
=
𝑏 4
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑎 −3
3
=
=−
𝑏
4
4
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑏
4
4
=
=−
𝑎 −3
3
Signos de las funciones trigonométricas
b
c
a
c2 = a2 + b2
c= √𝑎2 + 𝑏 2 > 0
a=−
; b = +, entonces
Cuadrante de 𝜃
sen𝜃 ; 𝑐𝑠𝑐𝜃
cos𝜃 ; 𝑠𝑒𝑐𝜃
tan𝜃 ; 𝑐𝑜𝑡𝜃
+
−
−
I
II
III
IV
En los problemas se da un punto en el lado terminal del ángulo 𝜽. Encuentre el valor
exacto de las seis funciones trigonométricas.
Graficas de funciones trigonométricas
y = sen 𝛉
y = cos 𝛉
Y = tan 𝛉
Función inversa
Como y = sen-1x quiere decir x = seny, y = sen-1x se lee “y es el ángulo o número real cuyo seno
es igual a x”. De manera alternativa, se puede decir que “y es el seno inverso de x”. Debe
tenerse cuidado con la notación usada. El superíndice -1 que aparece en y = sen-1x no es un
exponente, sino una reminiscencia del símbolo usado para denotar la función inversa. (Para
evitar esta notación algunos libros usan la notación y = arcsen x en lugar de y = sen-1x).
En casi todas las calculadoras, el seno inverso se obtiene oprimiendo SHIFT, seguido de sin.
1
En algunas calculadoras sin-1, se oprime primero, luego se introduce 3 ; en otras, esta
secuencia se aplica al revés. Consulte su manual del usuario para conocer la secuencia
correcta.
Aplicaciones que involucran triángulos rectángulos
Resolver triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo significa encontrar las longitudes de los lados y las medidas de
los ángulos que faltan. Se seguirá la práctica de expresar las longitudes de los lados
redondeadas a dos decimales y los ángulos en grados redondeados a un decimal. (Su
calculadora debe estar en el modo de grados).
Para resolver un triángulo rectángulo, se necesita conocer uno de los ángulos agudos 𝛼 o 𝛽 y
un lado o, de otra manera, dos lados. Con estos se usa el teorema de Pitágoras y el hecho de
que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°. La suma de los ángulos y en un
triángulo rectángulo es, entonces, de 90°.
c2 = a2 + b2 y 𝛼 + 𝛽 = 1800
Ejemplo: Solucione el triángulo rectángulo
c2 = a2 + b2
c2 = 32 + 22
𝛼
c
b=2
c = √13
tan 𝛼 =
𝛽
a
b
=
3
2
3
a =3
α = tan-1 2 = 56,30
𝛽 = 1800 – 𝛼 = 1800 – 56,30
𝛽 = 33,70
Aplicaciones
Un uso común de la trigonometría es medir alturas y distancias cuyas mediciones por medios
normales son incomodas o imposibles.
En ocasiones es posible medir las alturas verticales, usando ya sea el ángulo de elevación o el
ángulo de depresión. Si una persona mira un objeto hacia arriba, el ángulo agudo medido desde
la horizontal a la línea de visión del objeto observado se llama ángulo de elevación.
Si una persona está de pie en un acantilado mirando un objeto hacia abajo, el ángulo agudo
que forma la línea de visión al observar el objeto con la horizontal se llama ángulo de depresión.
En los problemas, use el triángulo rectángulo mostrado al margen. Resuelva el triángulo
con la información dada.
15. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 25°. Si un cateto mide 12cm, ¿cuál es la longitud
de la hipotenusa? [Sugerencia: Es posible obtener dos respuestas].
𝜋
16. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de radianes. Si un cateto mide 3 metros, ¿cuál es
8
la longitud de la hipotenusa? [Sugerencia: Es posible obtener dos repuestas].
17. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 5 pulgadas. Si un cateto es de 2 pulgadas,
encuentre la medida en grados de cada ángulo.
18. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 1m. Si un cateto es de 30cm, encuentre la
medida en grados de cada ángulo.
19. Encuentre la distancia de A a C en el barranco ilustrado en la figura.
20. Encuentre la distancia de A a C al otro lado del estanque ilustrado en la figura.
21. La torre más alta construida antes de la era de las antenas de televisión, la Torre Eiffel, fue
terminada el 31 de marzo de 1889. Encuentre su altura (antes de agregarle la antena de
televisión) usando la información dada en la ilustración
22. Desde un barco mar adentro frente a un acantilado vertical, que se sabe que tiene 40m de
altura, se ve la cima del acantilado. Si el ángulo de elevación es 25°, ¿qué tan lejos de la costa
está el barco?
24. Un barco esta frente a la costa de la ciudad de Nueva York. Mira la Estatua de la Libertad,
que tiene cerca de 305 pies de alto. Si el ángulo de elevación a la punta de la estatua es 20°,
¿qué tan lejos está el barco de la base de la estatua?
25. Una escalera de extensión de 7m recargada contra un edificio forma un ángulo de 70° con
el suelo. ¿A qué altura del edificio llega la escalera?
26. Para medir la altura de un edificio, se toman dos observaciones a 15m una de la otra. Si el
primer ángulo de elevación es de 40° y el segundo es de 32°, ¿cuál es la altura del edificio?
28. A las 10 AM, un edificio de 90m de alto forma una sombra de 15m de largo. ¿Cuál es el
ángulo de elevación del Sol?
30. Un rayo láser debe dirigirse a través de un pequeño agujero en el centro de un circulo de
radio de 3m. El origen del rayo está a 12m del circulo (vea la figura). ¿A qué ángulo de
elevación debe dirigirse el rayo para asegurar que pasara por el agujero?
32. Una torre de transmisión de radio tiene 60m de altura. ¿Cuál debe ser la longitud del cable
tensor si tiene que sujetarse a la torre a 3m de la punta y debe tener un ángulo de 21° con el
suelo?
33. Un cable tensor de 24m de longitud unido a la parte superior de una torre de radio
transmisión forma un ángulo de 25° con el piso. ¿Qué tan alta es la torre?
35. Un camino recto con una inclinación de 17° lleva de un hotel con elevación de 2700m a un
lago con una elevación de 3400m. ¿Cuál es la longitud del camino?
36. Una patrulla está escondida a 10m de la carretera. Un segundo después que pasa un
camión, se mide el ángulo entre la carretera y la línea de observación de la patrulla al camión.
a) Si el ángulo medido es de 15°, ¿qué tan rápido va el camión? Exprese la respuesta en
metros por segundo y en kilómetros por hora.
b) Si el ángulo medido es de 20°, ¿qué tan rápido va el camión? Exprese la respuesta en
metros por segundo y en kilómetros por hora.
c) Si el límite de velocidad es 60 kilómetros por hora y se emiten multas por velocidades de 5
kilómetros por hora o más arriba del límite, ¿para que ángulos debe el patrullero poner una
multa?
37. Una cámara de seguridad de un banco está montada en una pared 3m arriba del suelo.
¿Qué ángulo de depresión se debe usar si la cámara ha de dirigirse a un punto 2m arriba del
suelo y separado a 4m de la pared?
38. Un carpintero se prepara para poner el techo de un garaje de 20 pies por 40 pies por 20
pies. Coloca como soporte una viga de acero de 46 pies de largo en el centro del garaje. Fijará
otra viga al extremo superior de la viga central para apoyar el techo (vea la figura). ¿Qué ángulo
de elevación tiene la nueva viga? En otras palabras, ¿cuál es la pendiente del techo?
39. Se debe construir una rampa de acceso para discapacitados con un ángulo de elevación de
15° y una altura final de 1,5m. ¿Cuál es la longitud de la rampa?
40. Demuestre que el área A de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales tienen longitud s y el
ángulo entre ellos es es
1
𝐴 = 𝑠 2 𝑠𝑒𝑛𝜃
2
Ley de los senos
Si ninguno de los ángulos de un triángulo es un ángulo recto, el triángulo se llama oblicuo. Un
triángulo oblicuo tendrá ya sea tres ángulos agudos o dos agudos y uno obtuso (en ángulo de
entre 90° y 180°)
Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 opuestos respectivamente,
𝛾ℎ
𝛽
h = a sen𝛾
h = c sen𝛼
𝑐
𝑎
ℎ
a sen𝛾 = c sen𝛼
𝛾
𝛼
a
senα
𝑏
Generalizando
𝐚
𝐬𝐞𝐧𝛂
=
𝐜
𝐬𝐞𝐧𝛄
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝜷
=
c
senγ
Ley de senos para un triángulo oblicuo
Ley de cosenos
En el mismo triángulo
h2 = a2 – x2
h2 = c2 – ( b – x )2 = c2 – b2 + 2bx – x2
𝛽
𝑐
𝑎
ℎ
𝛼
c2 = a2 + b2 -2bx
𝛾
b-x
a2 – x2 = c2 – b2 +2bx – x2
x
x = a cos 𝛾
c2 = a2 + b2 – 2ab cos 𝜸
a2 = b2 + c2 – 2bc cos 𝛼
Generalizando
b2 = a2 + c2 – 2ac cos 𝛽
Resolver un triángulo oblicuo significa encontrar las longitudes de sus lados y las medidas de
sus ángulos. Al hacerlo, se observan cuatro posibilidades a considerar:
CASO 1: Se conocen un lado y dos ángulos (ALA o LAA).
CASO 2: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).
CASO 3: Se conocen dos lados y el ángulo incluido (LAL).
CASO 4: Se conocen tres lados (LLL).
La ley de los senos se usa para resolver triángulos para los que se cumplen el caso 1 o el 2.
Los casos 3 y 4 se consideran la ley de los cosenos.
Ejemplos:
Resuelva el triángulo: a = 6, b = 8, 𝛼= 35°
a
senα
𝛾
6
8
=
6
sen350
𝛽
𝛼
senβ =
𝑐
senγ
c=
=
b
c
senβ
se95,10
8
sen49,90
=
senβ
=
8
6
𝛽 = 49,90
c
b
8
senβ
sen350 = 0,76
; 𝛾 = 1800 – 350 – 49,90 = 95,10
8
sen49,90
sen95,10 = 10,42
Resuelva el triángulo: a = 2, b = 3, 𝛾 = 60°
c2 = a2 + b2 – 2ab cos 𝛾
c2 = 32 + 22 – 2x3x2 cos 600
𝛽
2
c = √7
𝑐
a2 = b2 + c2 – 2bc cos 𝛼
𝛾
𝛼
3
2bc cos 𝛼 = b2 + c2 – a2
cos 𝛼 =
cos 𝛼 =
𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
2𝑏𝑐
9+7−4
2×3×√7
=
12
6√7
=
2√7
cos 𝛼 −1 = 𝛼 = 40,90
𝛽 = 1800 – 600 – 40,90 = 79,10
En los problemas, resuelva cada triángulo.
Ley de senos
7
9. Para encontrar la longitud del cable para un teleférico para esquiadores propuesto de A a B,
un topógrafo mide 25° para el ángulo DAB y luego camina una distancia de 350m a C y mide
15° para el ángulo ACB. ¿Cuál es la distancia entre A y B?
10. Dos observadores que están separados por 300m detectan un avión. Cuando el avión pasa
sobre la línea que los une, cada uno hace una observación del ángulo de elevación al avión,
como se indica en la figura. ¿A qué altura va el avión?
11. El puente más alto del mundo es el puente que cruza la barranca Royal Gorgue del rio
Arkansas en el estado de Colorado. Se toman observaciones del mismo punto a nivel del agua
desde cada lado del puente de 270m de largo, como se indica en la figura. ¿Cuál es la altura
del puente?
12. En cierto automóvil, el cigüeñal tiene 3 pulgadas de largo y el eje que lo conecta tiene 9
pulgadas de largo (vea la figura). En el momento en que el ángulo OPA tiene 15°, ¿a qué
distancia está el pistón (P) del centro (O) del cigüeñal?
12. La famosa torre inclinada de Pisa tenía originalmente 56m de altura. A una distancia de 38
m de la base de la torre, el ángulo de elevación a la punta de la torre es de 60°. Encuentre el
ángulo CAB indicado en la figura. Además, encuentre la distancia perpendicular de C a AB.
14. Una de las siete maravillas del mundo originales, la gran pirámide de Keops, fue construida
alrededor de 2580 aC. Su altura original era de 146m, pero debido a la perdida de las piedras
más altas, ahora es más baja. Encuentre la altura actual de la gran pirámide usando la
información dada en la ilustración.
Ley de cosenos
En los problemas, resuelva cada triángulo.
11. Para encontrar la distancia de la casa en A a la casa en B, un topógrafo mide el ángulo
ACB, cuya medida es de 70°, y luego camina la distancia a cada casa, 16 y 23m,
respectivamente. ¿A qué distancia están las casas?
12. Un avión vuela de Fort Myers a Sarasota, una distancia de 150Km, y luego da vuelta un
ángulo de 50° y vuela a Orlando, una distancia de 100Km (vea la figura).
a) ¿Que distancia hay entre Fort Myers y Orlando?
b) ¿Que ángulo debe virar el piloto en Orlando para regresar a Fort Myers?
13. La altura de una torre de radio es de 152m y el terreno a un lado de la torre tiene una
pendiente hacia arriba a un ángulo de 10° (vea la figura).
a) ¿Que longitud debe tener el cable tensor si debe unir la punta de la torre y un punto en el
lado con pendiente a 30 metros de la base de la torre?
b) ¿Que longitud debe tener un segundo cable tensor si debe conectar un punto en la mitad de
la torre con otro a 30m en el lado plano?
14. Las dimensiones de un lote triangular son 100 pies por 50 pies por 75 pies. Si el precio de
este terreno es de $3 por pie cuadrado, ¿Cuánto cuesta el lote?
15. Dos casas se localizan en lados opuestos de una pequeña colina. Para medir la distancia
entre ellas, un topógrafo camina una distancia de 15m desde la casa A al punto C, usa su
teodolito para medir el ángulo ACB que es de 80° y luego camina a la casa B, una distancia de
18m. ¿Qué distancia hay entre las casas?
16. Para aproximar el área de un lago, Cindy camina alrededor de su perímetro y toma las
medidas mostradas en la ilustración. Usando esta técnica, ¿cuál es el área aproximada del
lago? [Sugerencia: Use la ley de los cosenos en los tres triángulos mostrados, después sume
sus áreas].
Cuerpos geométricos
Como ya sabes, un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos. Sus elementos son:
Caras, Aristas, vértices
Debemos distinguir las diagonales del poliedro de las diagonales de las caras.
Diagonales del poliedro (D): cada uno de los segmentos que unen dos vértices situados en
caras diferentes.
Diagonales de una cara (d): cada uno de los segmentos que unen dos vértices no adyacentes
situados en la misma cara.
Volúmenes
El volumen de un cuerpo geométrico expresa el número de veces que el cuerpo contiene una
unidad de volumen.
Así, para calcular el volumen de este ortoedro, contaremos la cantidad de unidades de volumen
de 1 cm3 que contiene.
Figura
Nombre
Claves
Superficie
Volumen
Realiza los siguientes ejercicios
4. Calcula el área de una esfera de 10 cm. de diámetro.
5. Calcula el área de una esfera de 25 cm. de radio.
6. Si el área de una esfera es 100 p cm2 , determina su diámetro
7. Encuentra el perímetro de un círculo máximo de una esfera cuya área es 36 cm2
8. Si el volumen de un cubo es 512 cm3 , encuentra su área total y la dimensión de su
arista.
9. Calcula el volumen de un cilindro de altura 10 cm. y de radio basal 2 cm.
10. Calcula el área total y el volumen de un paralelepípedo de aristas 2 cm., 5 cm. y 8 cm.
11. Determina el área total y el volumen de un cubo:
 De arista 2 cm.
 En que el área de una de sus caras es 36 cm.
 En que el perímetro de una cara es 36 cm.
 Cuya diagonal de una cara es 4√2 .
12. Calcula el volumen de:
 un cilindro de altura 9 m. Y de diámetro basal 2 m.
 Un cono de altura 8 cm. y perímetro basal 12 p cm.
13. ¿Cuál es la arista de un cubo cuya área total es de 54 cm2?
14. Determina el volumen de un cubo donde la suma de sus aristas es 72 cm.
15. Encuentra las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular de 720 cm3
15 cm. de altura, si el largo de la base es el triple del ancho.
y
16. Si las dimensiones de un paralelepípedo son 4 cm., 5 cm. y 6 cm. Determina la medida
de las diagonales de las tres caras diferentes.
17. Determina la medida de la generatriz de un cono recto, si el radio de la base es 3 cm. Y
su altura es 4 cm..
18. Calcula el volumen de un cono recto si su generatriz mide 12 cm. y el radio basal es
igual a 2√3
19. Hallar el volumen del ortoedro cuyas dimensiones son 8, 6 y 4 cm. respectivamente.
20. La diagonal de un cubo mide 6 cm. Hallar su volumen.
21. El área total de un cubo es 96 cm2. Hallar su volumen.
22. Expresar el volumen de un cubo en función de su diagonal “d”.
23. Hallar el área total de un cubo equivalente a un ortoedro de 18 cm. de largo, 16 cm. de
ancho y 6 cm. de alto.
24. ¿Cuántos metros cúbicos de hormigón serán necesarios para construir una cisterna de
forma cúbica con capacidad para 8.000 litros de agua si las paredes han de tener 0,2
metros de grueso y el fondo 0,12 m.?
25. Un ortoedro tiene 12 pulgadas de largo y su ancho y alto están en la relación de 4:3.
Hallar su área total sabiendo que tiene 576 pulgadas cubicas de volumen.
26. Hallar el volumen de un prisma triangular regular cuyo lado de la base mide 6 cm. y la
altura del prisma 12 cm.
27. La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm. y 8
cm., respectivamente. Hallar el volumen del prisma sabiendo que su arista lateral mide
20 cm.
28. Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular cuyo lado de la base mide 4 cm. y la
arista lateral 10 cm.
29. Hallar el área total de un prisma triangular regular cuyo volumen es igual a 8 3 cm3 y el
lado de la base 2 cm.
30. Hallar el volumen de un prisma cuya base es un hexágono regular de 5 cm. de radio y
cuya altura es doble del lado de la base.
31. Hallar el volumen de una pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero de 8 cm.
de lado y la altura de la pirámide mide 24 cm.
32. Hallar el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 4 m. de lado y
la arista lateral mide 12 cm.
33. El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es 36 17 m2 y el lado de la base
mide 6 m. Hallar el volumen de la pirámide.
34. La base de una pirámide es un triángulo equilátero de 4 m. de lado y las aristas laterales
miden 3, 5 y 5 m., respectivamente. Hallar el volumen de la pirámide