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TEMA 1
NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números naturales: Se representan con la letra N:
N 1,2,3,............
Números enteros: Se representan con la letra Z:
Z ..............-3,-2,-1,0,1,2,3,.........
Son los naturales, los naturales con signo menos y el cero
N Z se lee: N contenido en Z, es decir todo número natural es entero
Números racionales: Se representan con la letra Q
Son todos los que se pueden expresar en forma de razón o fracción: los enteros (fracciones con
denominador uno), decimales exactos y decimales periódicos.
Z Q se lee Z contenido en Q, es decir todo número entero, y por eso también todo número
natural, es racional.
Números irracionales: Se representan con la letra I
Son los que no se pueden expresar como razón: decimales infinitos y no periódicos, las raíces no
exactas y los números , e
Por su propia definición un número racional no es irracional y análogamente un número irracional
no puede ser racional
Números reales: Se representan con la letra R
Los números racionales y los irracionales forman los números reales R:
QI=R
Son números reales los naturales, enteros, fraccionarios (decimales exactos y periódicos) e
irracionales (decimales infinitos y no periódicos)
No son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo
Todos los números reales se pueden representar en una recta
Ejercicios:
1) De los siguientes números:
3
, 4, 0'23, -7, 1'54777... , 5 -3,
5
257,
-7
6
0
, 2'375892..., -3'565656...., -8, , -37,
5
0
3
Escribe los que son racionales:
Escribe los que son irracionales:
Escribe los no reales:
Escribe los reales:
2) Escribe 5 números irracionales, 5 racionales, 5 reales y 5 no reales
1
NÚMEROS ENTEROS
El valor absoluto de un número entero es el número prescindiendo del signo
Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los números y
se deja el signo que llevan
Para sumar números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de los números y se
deja el signo del de mayor valor absoluto
Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto y cambiado el signo
Para hallar el opuesto de un número le cambiamos el signo
Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo
Para multiplicar números enteros del mismo signo se multiplican los valores absolutos y se pone
el signo más +
Para multiplicar números enteros de distinto signo se multiplican los valores absolutos y se
pone el signo menos Para dividir números enteros del mismo signo se dividen los valores absolutos y se pone el signo
más +
Para dividir números enteros de distinto signo se dividen los valores absolutos y se pone el signo
menos Para sumar varios números enteros se puede hacer de dos formas:
a) Se hacen las operaciones sucesivamente en el orden que aparecen
b) Se suman los números que llevan el signo +. Se suman los números que llevan el signo -.
Por último se restan los valores absolutos de los resultados dejando el signo del valor
absoluto mayor
Para multiplicar varios números enteros se puede hacer de dos formas:
a) Se hacen las operaciones sucesivamente en el orden que aparecen
b) Se multiplican los números prescindiendo del signo. A continuación contamos los números
que llevan signo menos, si sale número par se pone signo + y si sale número impar se pone
signo -.
1.- Realizar las siguientes operaciones:
(+2) + (-5) + (-2) + (+6) + (-4) + (-2) =
(-8) + (+5) + (-7) + (+2) + (-10) + (+2) =
(+4) – (-6) =
(-7) – (-6) =
(-4) – (+6) =
(+4) · (-6) =
(-7) · (-6) =
(+4) – (+6) =
(+2) · (+6) =
(-8) : (-2) =
(+4) : (+2) =
(-15) : (-3) =
(+12) : (-3) =
(+3) · (-5) · (-2) ·(-3) · (+10)=
(-6) : (+2) =
(-1) · (+6) · (+4) ·(-5) ·(-3) · (-1)=
2
(2)·(3)·(5)·(4)
(3)·(2)·(2)
El cálculo con paréntesis se puede hacer de dos formas:
a) Realizando las operaciones de dentro del paréntesis y luego quitar el paréntesis.
b) Quitar primero el paréntesis y luego realizar las operaciones indicadas.
Antes de quitar el paréntesis debemos tener en cuenta qué signo le precede: Cuando se suprime
un paréntesis precedido del signo + se dejan los signos de los números del interior del paréntesis
como están. Cuando se suprime un paréntesis precedido del signo - se cambian todos los signos
de los números del interior del paréntesis.
Si el paréntesis está multiplicado por un número, para suprimir el paréntesis se aplica la
propiedad distributiva multiplicando cada uno de los sumandos del interior del paréntesis por el
número.
RECUERDA: si hay paréntesis se realizan antes los paréntesis, después las potencias, los
productos y divisiones y finalizamos por las sumas y restas.
Si no hay paréntesis, se realizan antes las potencias, después los productos y divisiones y
finalizamos por las sumas y restas.
2.- Efectuar:
a ) (3) (5) (4) (3) (2) (1) (6
b) 4 (5 3 7 2) (3 2 1)
c) 2 3(4 3 5) (5 7)
d ) (3 4) (5.2 12) : 3·(1)
e) 4·2 6 (9 6 14 : 2)·3
f ) 1 2 3 4·5 ( 6) ( 7) 9
g ) ( 5) ( 3)·4 ( 2) : 6 ( 8)·2 ( 3)·(4)
[(14 3 4) (3)] (5)
(11 13):(11 10)
h)
(3) [(7 2 9) (10)]
(5) [(12) (3) 14 (9)]
[(12 10) (7 8)]
i)
[3 (11) 4 (1)] (2)
[(4 5 8) (10)] (4)
(12 16) (7 9)
j)
(2) [(10 4 3) (8)]
3
FRACCIONES Y DECIMALES
Si dividimos el numerador de una fracción por su denominador el resultado es un número decimal
exacto o periódico.
Un número decimal es exacto si su parte decimal tiene un número limitado de cifras distintas de
cero. 2’437
Un número decimal es periódico si su parte decimal es ilimitada repitiéndose periódicamente. Las
cifras que se repiten forman el periodo
Un número decimal es periódico puro o simple si su periodo comienza a partir de la coma.
3’47474747......= 3’47
Un número decimal es periódico mixto si su periodo no comienza a partir de la coma., la parte
decimal que no se repite se llama antiperiodo
1’5727272.....=1’572
Si tenemos un número decimal exacto o periódico podemos encontrar la fracción que lo genera o
fracción generatriz.
Reglas para obtener la fracción generatriz:
Si el decimal es exacto:
número sin coma
Fracción
unidad seguida de tantos ceros como cirfras decimales tenga
1'72
172
100
Si el decimal es periódico puro o simple:
fracción
123 1
parte entera,periodo parte entera
1'232323....
99
tantos nueves como cifras tiene el periodo
Si el decimal es periódico mixto:
fracción
parte entera, anteperiodo, periodo parte entera, anteperiodo
tantos nueves como cifras tiene el periodo, tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo
2'349999......
2349 234
900
Ejercicios:
Hallar las fracciones generatrices de los siguientes números decimales:
2’37,
3’023023023023023........,
0’2787878.........,
3´4,
4’73555555............,
0’353535............
4
, 0’45
1. Operaciones con números racionales
NOTA
Recuerda: Existen reglas de prioridad de cálculo: Primero paréntesis, segundo potencias, tercero
multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas.
Recuerda que una fracción impropia se puede escribir como un número mixto:
15
1
1
7 y se escribe 7
2
2
2
Si tenemos operaciones combinadas con números mixtos tendremos que ponerlos con fracción
impropia antes de empezar la operación
5
2
2
2 5 · 3 2 17
pues recuerda que 5 5
3
3
3
3
3
2
de 750
5
2) Decir si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
8
3
3
6
6
9
4
10
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
16
6
5
15
8
12
9
15
6
3) Escribe una fracción equivalente a
que tenga a 4 por numerador
15
2
4) Escribe una fracción equivalente a
que tenga por denominador 18
3
5) Busca el término desconocido en cada par de fracciones equivalentes:
3 18
20
x
a)
b)
5 x
30 21
1) Calcula
Calcula y simplifica el resultado:
6)
7
3 2
7) 1 2
5
4 5
1 13 1
1
11 22 4
3 1
7
2
1 7 6 1
1
1 3
· 2
· 2
8) 1 : 5 · 9)
11 3 11
7
2 3 5 3
5
2 10
3
9
· 1
4 11
10)
6 17
· 1
5 22
11) Escribe 5 fracciones propias y 5 impropias
5
2.- Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:
9 5
1
1
a) 3 2
2 4
10
2
4 8 1 3
b) :
5 9 3 12
2
1
e) 2
3
2 1
d) ·3 : 2
4 2
c)
1 4 2 3
· :
3 5 6 8
2 4 3
f) · 3
3 3 2
2
7 5 5 1 2 1
g) : ·
9 8 6 3 6 8
2 3 1 1 1 3
h) : 2 ·
5 2 5 2 2 2
3 2
3 1
i) 2 : 2'25 : 1 : 0'75
8 2
4 25
j)
k)
5
4'3 2 : 0'1 0'16
6
· 19'4
1
1 3
2 0'45 : 0'6
5
2 4
2 1 2 3 2 2
· :
3 4 7 6 5 3
4 1 3 6 2
l) : ·
3 3 8 9 3
1 1 3 5 7
n) · - · -
3 2 4 2 2
2 3 1 1 3 8
m) · : · :
8 8 9 5 7 9
1 3 4 1
1 2
o) · 1 1
2 5
2 9 10 3
3.-Problemas con números racionales
1) He recorrido los 2/7 de un camino y aún me faltan 3 km. para llegar a su mitad. ¿Cuánto mide el
camino?
2) Los 2/5 de mi dinero me permiten comprar 8 lapiceros a 15 céntimos. cada uno. ¿Cuánto tengo?
3) Hemos vendido los 2/5 de una parcela de terreno por 108.000 céntimos ganando en la operación
36.000 céntimos. ¿Cuánto nos costó la parcela?
4) Hemos vaciado los 4/5 de un estanque y aún nos quedan por sacar 1.080 litros. ¿Cuál es la
capacidad del estanque?
5) Las páginas de un libro de Sociales se distribuyen así: 3/5 Geografía, 2/3 del resto Historia, 7/8
del nuevo resto Ética y las 8 páginas finales Vocabulario. ¿Cuántas páginas tiene el libro y cuántas
cada apartado?
TEORÍA DE POTENCIAS
6
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto en el que se repite siempre el mismo
nfactores
factor a a.a.a.a....a
El número a es la base y la n el exponente: base a n exponente Por
ejemplo 54 5·5·5·5 donde 5 es la base , 4 el exponente y 54 la potencia . Se lee cinco elevado a
4.
n
Para multiplicar potencias que tienen igual base se suman los exponentes y se deja la misma base.
Ejemplo: 57. 54 = 57+4= 511
Para dividir potencias que tienen igual base se restan los exponentes y se deja la misma base.
Ejemplo: 57 : 54 = 57- 4= 53
El producto de potencias de distinta base y con igual exponente es una potencia que tiene de base el
producto de las bases y de exponente el mismo
Ejemplo: 52 . 22 . 42= (5·2·4)2= 402
El cociente de potencias de distinta base y con igual exponente es una potencia que tiene de base el
cociente de las bases y de exponente el mismo
2
Ejemplos: 153 : 53= (15:5)3 = 33
42 4
22
2
2 2
Para elevar un producto de varios números a una potencia ,se eleva cada uno de los factores a esa
potencia. Si es un cociente se eleva el dividendo y el divisor de la potencia. Si es una fracción el
numerador y el denominador de la potencia.
Ejemplos:
(5·2·4)2= 52 . 22 . 42= 402 ;
(15:5)3 = 153 : 53= 33
2
2
4 4
2
2 2
2 2
Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes y se deja la misma base.
Ejemplo (32 ) 3 (3) 2·3 36
EL signo de la potencia de base positiva es siempre positivo.
Ejemplos: (+4 )2 =+16 (+5)3=125
El signo de la potencia de base negativa y exponente par es positivo
Ejemplos: (- 4 )2= +16
(-5)4= 625
El signo de la potencia de base negativa y exponente impar es negativo
Ejemplos: (- 2 )5= - 32
(-5)3= - 125
Una potencia de exponente negativo es igual a la potencia que tiene la base inversa y el exponente
3
2
2
1
2
5
3
positivo Ejemplos: 2
5
2
2
Si queremos cambiar el signo del exponente tendremos que invertir la base
7
EJERCICIOS CON POTENCIAS Y NÚMEROS RACIONALES
1.- Efectúa utilizando las propiedades de las potencias:
a) (2 .2 ) (3 : 3 ) (2 )
2
3
4
2
2 3
d) (10 : 5) 2 32 (5) 2 (4 3 2 1)
(2) 3 ·(2) 4 (2)
f)
3
c) 4 3
2
(5) 3 ·(2) 5 ·(7) 3 (2) 3
e)
(52 ) 3 ·(7) 2 ·(4) 2
35 : 3 7
(5) 3 ·(2) 5 ·(14) 3
(25)·(7) 2 ·(4) 2
g)
2
( 3) 4 4 3
b)
.
( 3) 2 4 2
2
0
2
3 2
4 3
50
4 5 · 4 -2
42
(-2)2 · (-2)3 · (-2) 7 0
5 -3
2.- Efectúa utilizando las propiedades de las potencias:
4
1
0,2
10
1) -2
=
10 0,5-1 8 -1
3
2)
3
2
1
2
4
3
1
6
4
=
0
4)
2
3
1 1
10
4 2
5)
0,02 0,25 - 4
5
6)
2
9
1
0,08 2 2 4 0,1 6
5
1
5
1
6
2
36
0,6
=
8)
0,02 3
2
2
-1
1
2
18 -2
c) 3
2 3
e) 33
2
2
3
d) 32
3
f) (-3)6: (-3)6=
8
=
2
1
2 3
2
2
3
6 2
2
1
3
3
1
3
3
1
3
2
2
3
0,25
=
3
18 -1
1
10 3
5
1
0,16 2 36 1 13,4
3
= 10)
=
2
2
1
-2
0,27 3
9
b) (-3)2=
64
1
1
3 3
9
6
2 -3
3.- Halla el valor de las siguientes expresiones
a) -32=
2
3
2
7)
3
4
1
2
1
3 2 8 2 64 2
2
3)
1
16
4
1
4
1
8
2
3
=
80
1
0
1
6 1
· 2 ·
16
5
11) 2 2
3 3
·
4 2
4
1 3 6
g) · . ( 5)
3 5
2
( 2)·(3)3
h)
9
2
3
2
1 3 5
i)
2 2 3
3
3
j) ·
5
2
15
3
4
3 3 4 3
:
·
5 5 3 2
3
2
2
2
1
3 1 5 5
2
k) 1 · 1 : 2 · · 10
4
2 5 3 4
3
4
3
8 1 2 2
l) 4 : 1 1 · 1
3 2 3 5
2
2
3
1 5 2 1 3 2
m) : ·
6 3 2 5 9
4
3
1 3
n) - - : (-3) · 12 1
2 5
5
2
1
2
o) 0'25 3 ·
3
13
4
2
TEORIA DE RADICALES
Definición de raíz n-esima de un número real
Llamamos raíz n-ésima de un número real a, a otro número real b que, elevado a la potencia n, nos
da como resultado el radicando
n
a b bn a
Ejemplos :
5
32 2 pues 2 5 32
4
81 3 pues (3) 4 81
En la siguiente raíz los elementos que la componen reciben el nombre de
c n am
La letra b es la raíz
La letra n es el índice
La letra m es el exponente del radicando
b
se llama signo radical
El signo
La letra c es el coeficient e
m
La expresión a es el radicando
9
Todas las operaciones en las que aparece el signo radical se llaman operaciones con radicales o
simplemente radicales
Un radical es igual a una potencia de exponente fraccionario que tiene de base la base del radicando
y de exponente una fracción cuyo numerador es el exponente del radicando y cuyo denominador es
el índice del radical
n
1
a
a
m
1
m
n
3
3
1
Ejemplos : 5 2x 3 (2x 3 ) 5 2 5 x 5
2x 2 y 3 2 x 3 5 y
Propiedad fundamental de los radicales: El valor de un radical no cambia si se multiplican o se
dividen el exponente del radicando y el índice del radical por un mismo número
n
am
n.p
a m.p
Esta propiedad nos permite transformar radicales en otros equivalentes y se utiliza para:
1) Simplificar radicales: si dividimos el exponente de radicando y el índice del radical por el
mismo número. Ejemplo : 6 3 2 3 3
2) Reducir radicales a índice común: para ello calculamos previamente el mínimo común
múltiplo de los índices y éste será el índice común. Posteriormente multiplicaremos el exponente de
cada radical por el mismo número que hemos multiplicado sus índices
( es el que resulta de dividir el índice común por el índice que tenía el radical)
Ejemplo : 3 2x 2 , y 3 , 5 3 2
30 210 x 20 , 30 y 45 , 30 312
Racionalizar radicales es sustituir una fracción por otra equivalente que no tenga raíces en el
denominador.
Estudiaremos los casos siguientes:
1 ) Si el denominador es un monomio con un radical de índice dos, se multiplican numerador y
denominador por el radical del denominador.
3
3 5 3 5
20
4 5 4 5 5 4( 5 ) 2 4.5
2) Si el denominador es un monomio con un radical de índice n, multiplicaremos los dos términos
de la fracción por la raíz n-sima de una expresión cuyo producto por el radicando del denominador
sea potencia n-sima perfecta
Ejemplo :
3
Ejemplo :
3 5
3 5
35 2 4 x 2 y 3
35 2 4 x 2 y 3
35 2 4 x 2 y 3
5
2xy
2x 3 y 2 5 2x 3 y 2 5 2 4 x 2 y 3
25 x 5 y 5
3) Si en el denominador aparecen binomios con radicales de índice dos, se multiplican el numerador
y el denominador por el conjugado del denominador
El conjugado se obtiene al cambiar el signo de uno de los términos del binomio
5
10
En el denominador queda el producto de una suma por una diferencia que es igual a la diferencia de
sus cuadrados y de esta manera eliminamos sus raíces
6( 5 y)
6 5 6y
6 5 6y
6
Ejemplos :
2
2
5 y2
5 y ( 5 y)( 5 y) ( 5 ) y
3
2 6
3( 2 6 )
( 2 6 )( 2 6 )
3 2 3 6
( 2) ( 6)
2
2
3 2 3 6 3 2 3 6
26
4
Los radicales son homogéneos si tienen el mismo índice. Ejemplo 5 x , 5 yz , 5 2x
Los radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplo 5 x , - 5 5 x , 35 x
Para introducir un factor dentro de un radical, basta elevar ese factor a un exponente igual al
índice del radical. Ejemplo : 4x 2 3 y 3 4 3 x 6 y
Para extraer factores de un radical realizamos la división del exponente entre el índice. El cociente
es el exponente del factor que extraemos de la raíz y el resto es el exponente del factor que se queda
en el radicando. Sólo se pueden extraer los factores que tienen un exponente mayor o igual que el
índice. Ejemplo : 3 2 7 x 3 y 2 2 2 x 3 2y 2
OPERACIONES CON RADICALES.
Para sumar radicales tienen que ser semejantes. Para sumar radicales semejantes se suman los
coeficientes de los sumandos y se deja el mismo radical.
En el caso de que los radicales no sean semejantes, hay que intentar transformarlos en otros
equivalentes que sí lo sean (Reduciendo a índice común, racionalizando o sacando factores) En el
caso que no se pueda, la operación se deja indicada.
Ejemplo : a bc a 2 bc 2a bc (a a 2 2a) bc (a 2 a) bc
Para multiplicar radicales tienen que ser homogéneos. Para multiplicar radicales homogéneos se
multiplican los radicandos y los coeficientes dejando el mismo índice. Si los radicales no son
homogéneos los transformamos reduciendo a índice común.
Ejemplo : 3 2x · 3y 6 2 2 x 2 ·6 33 y 3 6 2 2 ·33 x 2 y 3
Para elevar un radical a una potencia: elevaremos su radicando a dicha potencia.
Ejemplo : (3 x 2 ) 4 3 x 8
Raíz de una raíz es una raíz que tiene por índice el producto de los índices y el mismo radicando.
Ejemplo : 5
3
xyz 15 xyz
Operaciones con radicales
1.- Extrae las siguientes raíces:
4
225
64
3
1
729
144
- 25
3
16
3
81
3
64
11
27
64
8
125
3
27
3
729
512
81
4
5
3
- 216
3
216
343
3
125
4
16
3
1
27b 6
4
625
32
b10
4x 6 y 12
4
3
3
4
729
b6
216
1296
14641
2.- Escribe como potencias los siguientes radicales:
3
3z
a3
5
3a b 3
y3 y
3
2 b
2
x 4a8
3
2x 2 5 y 2
c-2
c2
4 3 (x y) 2
3.- Escribe con radicales las potencias fraccionarias:
1
3
1
3
2x
2
5
2
3
(3ab 2 )
3x y
4(x - y)
1
3
4
3
4y
4.- Realiza las siguientes operaciones y pon el resultado en forma de radical:
1
3
1
2
1
3
1
4
5 ·5 ·5
1
2
27
1
4
2 :2 :2
1
3
1
2
3
2
3
2
35 : 7
5.- Extraer los factores posibles:
216b 4
1024b 5
1
b
32
3
64b 12 x 9 y 6
4
1 3
b
4
36b 3 x 12
18b 6
75b 3
3
8b 6 c 5
1024 x 5
4
243b 7
12
3
4
125b 4 x 7
32b 5 m 9
3
81b 7
4
b7 m3
3
0,001b 7
128m10
5
7
2,7b 3
1024m 37 c18
5
8 5 14
b m
729
3
256b14 c11
5
5
3125m10 c13b 37
3
216 12 15
m b c
343
1 7 45
b m
243
324b 3 x
6.- Introduce los factores en el radical y simplifica:
1
mx
3
3mx 2
2x x
4x 9
xy
3 4
23
9
3
33 3
3 2
x
8 27
x - y 2 3 5
2a 3 9a
3 16
7.- Racionalizar:
3
9a
3
2
27
3
2
5
5
2 x
2
a
m
q
5
m2
3
3 6
4x 2 y3z
3
3
x y
2
2 x
5
3
2
5 3
m
2x
4
2
xy
3
2
3
a x
x a
4 13
2
ab 2
5
a b
5
3
2 5
x
3 6
ab
a b
2
3 1
5 3
5 3
3
4
1
x-y
a b
b a
5 5 32
3x
2y 2 z
2
ab
a
a b
2
5
3
a
7
a3
2
7
2 x 2 y
2 y 2 x
3
4
3
2 3
8.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:
13
23
4
5 1
7
6
3 74
a)
2
5 3
c)
5
7 2
2
3 1
1
2 1
4
5 1
6
7 1
3
6 3
b)
2
7 5
d)
2
3 1
3
7 2
5
6 1
1
5 2
9.- Transforma los siguientes radicales en otros equivalentes (tres de cada uno)
3
54
3
2ab 2
4
3x 3 y5
6
23 x 6 y 3
10.- Reduce a índice común los siguientes radicales:
3
b2
6
a)
b
c)
2
4
8
3
e)
3x
3
9x 2
4
,
,
b5
10
,
16
5x 3
6
b3
32
10
d)
6x 9
f)
5
m3 x 2
6
81
3
4
mx
b)
3
3
5
3
2xy
3xy 2
4
m5 x
3
x 4 y2
27
4x 3 y3
6
6x 5 y3
11.- Efectuar las siguientes sumas:
a) 3 2 5 2 7 2 4 2
b) 2 3 3 3 5 3 4 3
1
1
c) 2 20 4 80 5 180 3 125
d)
128 6 512
32 3 98
4
2
2
3
1
4
1
e)
20
80
180 6 45
f)
27
243 75 2 48
5
5
2
3
3
9
25
1
4
16
g) 5
3 8 4
2
h) 7
5 3 2
27
2
2
2
3
3
1
4
7
2 5
5
5
i) 3
k) 7
20
32
1
2 10
40
5
4
j) 3 6 4
25
27
3
6
2
l) 2 3 - 3 27
32
3
4 48 - 5 300 9 972
50
200
81
1
25
3
3 24 n) 3 8 5
16
5
3
3
2
8
8
o) 2 3 16 3 3 54 - 3 128 3 250 p) 2 4 4375 4 9072 - 3 4 567 4 112
m) 2 6 3
q) 5 4 176 3 4 891 6 4 6875 2 4 14256
r)
t)
1
1
24 468
2
6
3
2
1
6
2
3
6
s) 5 6 8 3( 4 10 32) 8 8 16
u) 2 80
1
8
14
1
9
1
1
8 1
5
49
4
81
14
v) 3 x 4x 2 36x 5 x
9x
25
x
2
1
8x
2
x
2x
y)
1) 5 44 3 275 6 396
2x
3x
6x
23
53
9
4
125
z) 3 3
5 343 - 2 7
2) 7 28 - 4 63
3) 2 45 3 80 4 125
1331
500 2 180
4) 3 99 4 44 5 1331 2 1100 3 539
2
25
5) 2 8 3 72 5 200 4 722 5
5
2
6) 7 40 5 90 6 1000 3 6250 20
1
1
500
80 3 320 6 245
2
4
20
500
8) 3
2 60 3
5 15
3
3
9) 2 3 1029 - 5 3 192 3 3 648
7)
12. – Efectúa las siguientes operaciones:
2) 4
1) 9 2 3 8
4) 5 3 2 75
10)
1
2
19) 1 2 3
d)
g)
2
2
1
1
:
3
4
2
2 -
3
3
3
2
14) 54 18 : 9
3
2
17) 4 48 : 2
20)
1
12
2
1
7
4
e)
3 3
2
3
2
1
2
1
3
5 2
2
9
50
f)
1
2 18
72
4
2
3
1
28
0,72
18) 4 96 :
1
12
3
8
c)
4
3
1
9
48 :
6 2 3
25
h) 8
2
15
6) 4
15) 7 22 :
2
2
2
1
5 32
2
9)
7
8
b) 26 18 : 2
3) 3
6 32 5 8
12
2 5 3 25
12)
5 15
3
5 96
8
11) 16
2
16) 48 6 : 3
a) 12
8) 2
1
8 54
6
13) 15 32 : 3
25
6
5) 9 6 3
1
3 80
5
7) 9
1
7 3
3
3
10 -
9
8
3
6 2 3
2
32 3
1
2
i)
2
l)
2·3 3·4 4
50
32 -
18
=
3
m) 2 3( 3 4 4 3 )
27
108 -
2
·
3
n)
3
2
·
3
4
48
3
2
k) a· a·3 a·4 a
=
o)
12 ·
3
·
4
12
·
5
q) (3 2 2 3 ) · (3 3 2 2 )
xy · ( 3 2 x 3 2 y )
p)
j)
13.- Escribe las siguientes expresiones bajo un solo radical y simplifica los resultados:
8
a)
f) 3 3
j)
3
b) 2 2
1 3
3
3
13 41
b
b
b
b
3
g)
k)
c)
32
3
d)
2
13
4
2
h)
3
a2
b ·
b
a2
b
b
a3
3
2 4 33 4
1
a
l)
i)
e) 3 3 3
3
1
9
a b
b a
25 81 256
32
m)
1 6 5 16
3a 6a 25a
2
n)
4
8
o) a b c d
SOLUCIONES TEMA 1
Ejercicios propuestos
Pág. 1:
3
-7
0
, 2'375892...., -3'565656......., -37,
1) Racionales: , 4, 0'23, -7, 1'54777....,
5
5
3
6
Irracionales 257
R
No reales 5 -3, -8,
Reales
3
, 4, 0'23, -7, 1'54777......,
5
2) Irracionales
0
-7
0
257,
, 2'375892......, -3'565656......., -37,
5
3
2
Racionales 7, 5, 0 '333....., , 0
3
8
3
No reales 2, 16, 4 7 , ,
0 0
7, 13, 2'137529........, 3 4, 4 10
2
Reales: 8, 3 25, 2,875476......, ,7
5
Pág. 2:
1.- -5; -16; +10; -1; -10; -24; +42; -2; +12; +4; +2; +5; -4; -3; -900; +360; -10.
Pág. 3:
16
15
4
2.- a) -10; b) -5; c) -18; d) -3; e) -10; f) +12; g) -6; h) +10; i) -2; j) +3.
Pág. 4:
237 3020 2131 23 17 35 9
;
;
; ; ; ;
.
100 999 450 55 5 99 20
Pág. 5:
4
12
1
; 4) ; 5a) x = 30, 5b) x = 14; 6) ;
10
18
4
31
259
1
1
2 1 3 7 4
5 3 25 10 8
7)
; 8)
; 9)
; 10) ; 11) propias: , , , ,
impropias: , , , ,
20
11
2
7 15 9 13 23
6 3 2 9 8
90
1.- 1) 300; 2a) si 2b) no 2c) si 2d) no; 3)
Pág. 6:
173
44
56
7
49
11
1
267
299
; b)
; c)
; d) ; e)
; f) -3; g)
; h) ; i)
; j) 39; k)
;
20
45
135
4
9
360
2
50
672
64
737
105
14
l)
; m)
; n)
; o)
.
3
16
5
1120
3.- 1) 14 km; 2) 1000 cts. 3) 180 000 cts. 4) 5 400 l. 5) 480 pág. Geografia 288, Historia 128, Ética
56, Dibujo 8.
2.- a)
Pág. 8:
2
112
1
1
; d) 16; e)
; f) 28= 512; 3-2 = , 26 = 64, 2-6= , 1;
3
125
9
64
1
1
g) 560, 65, 4, 3
.
125
5
1
1
2.- 1) 5; 2) 28= 512; 3) 6
; 4) 2 3 · 3 2 = 72; 5) 4; 6) 1; 7) 5 2 ·2 5 = 800;
64
2
160; 9) 2 3 · 3 2 = 72; 10) 3 6 =729; 11) 2 8 = 512
1.- a) -23; b) 36; c)
Pág. 9:
4
24
16
2
3.- a) -9; b) 9; c) 3 6 =729; d) -3 6 = -729; e) 3 6 =729; f) (-3)0= 1; g) 8
;
6561
3
9
61
1
77
1
7
13
h) 36; i)
; j) – 11; k) ; l)
; m)
; n)
; o) .
72
5
2
50
50
8
SOLUCIONES DE LOS RADICALES PROPUESTOS
Pág. 12 (orden de soluciones por filas)
2
3
1
2
1.- 8,
, no real, ,
, 12, 9, ,
15
9
4
5
no real, 4,
17
-3, -6,
6
, 9,
7
8) 2 5 ·5 =
9
b2
,
, - 5, 2,
8
6
no real,
1
3b 2
1
3
c2
2.- (3z) , a , x 2a 4 ,
,
c2
1
3
1
3
3.- 2 3 x,
3
4.- 512 5,
12
6 b2
5.-
2
3
3ab
y y ,
2b
3
2
2
3
, 2x3y6, 11
2
5
, 2x y , 4(x y)
2
2
3
35 x2 3 y
3ab 2 , 4 3 (x y) 2 ,
25 ,
4
6
2
b2
, 5, no real,
4 3 y4
3, 5 5
6 , 52 2b
b , 66 b x
1
b,
2
1
3b3
b,
2
5b
1
22
b b
2
, 2b 2c 3 c 2 , 5bx 2 3 bx
3b
4b 4 x 3 y 2 , 22 x 4 22 x , 3b 4 3b3 , 2bm 2 4 2bm , 3b2 3 3b, 2m2 5 4, 2b 2c 7 2c4 , 5m2c2b7 5 c3b2 ,
5
6 4 53
2
1
2
b b,
m b c,
0 ' 213 b
b , 34
, b2 mbm9 5 bb 2 m
,
b 3 b 3 m 3 , 2 2 m 7 c3 5 m 2 c 3 ,
3
7
9
3
18b bx
6.-
4x 3 ,
3m3 x 5 ,
7.-
a 2 3
x
,
,
,
a
9
x2
2(2 x )
,
4x
3
34 ,
3
8
,
3
3
a4 3
, 5(x y)6
6
3 3 4 2 5 23 x 3 y2 z 4
,
,
2
xyz
10
,
5
2 x y 3( x y)
,
,
xy
xy
53 2 x
,
2x
1
x,
3.25
4x 3 y,
3
12xyz 2
,
2yz
4
2a 3b2
,
ab
2(a b) 5( a b)
,
,
ab
a b
xy
,
xy
x ( 3 6)
,
3
a m 5 3 a(a b) 2( 3 1) (a b)( a b)
,
,
,
,
m
3
a2 b
2
a b
7 2 15
( 5 3), 1,
,
2
(3 6), (4 13),
3
52
,
2
5
7
4,
4
3
,
2
7
m3
,
q
4
2 ,
6
5
33 a x 2 ax
,
, 1, ( 5 1),
5
x a
72
,
3
8.- a) -2; b) 0; c) 2; d) 4.
9.-
6
12
58 9 512 12 516 ;
6
22 a 2b4 9 23 a 3b6 12 24 a 4b8 ;
33 x 9 y15 8 32 x 6 y10 16 34 x12 y 20 ;
4
22 x 4 y 2 2x 2 y 8 24 x 8 y 4
30
m15 x15 , 30 m18 x12 , 30 m25 x 5 , 30 x 40 y20
10.- a)
30
b15 , 30 b20 , 30 b25 , 30 b9 ;
c)
12
26 , 12 83 , 12 164 , 12 322 ; d) 60 320 , 60 8112 , 60 330 , 12 2715 ;
b)
e) 60 330 x 30 , 60 920 x 40 , 60 515 x 45 , 60 66 x54 ;
f)
24
212 x12 y12 , ,24 38 x 8 y16 , 24 46 x18 y18 , 24 64 x 20 y12
18
97
21
2
5 ; f) -2 3 ; g)
2 ; h)
3;
5
2
3
41
75
5 ; l) 121 3 ; m) 13 6 ; n)
2 ; o) 14 3 2 p) -3 4 7 ;
10
4
23
5x 1
6
2 ; t) 0; u) 7 5 ; v) 9 x ; y)
2x ;
; s) 6
2
4
2x
6
35 7 ; 3) 16 5 ; 4) 57 11 ; 5) -39 2 ; 6) -6 10 ; 7) 24 5 ; 8 ) -
11.- a) 5 2 ; b) 0; c) 5 5 ; d) 75 2 ; e)
17
11
5 ; j)
6 ; k)
5
2
7
q) 154 2 94 11 ; r)
2
3
z) 6x ; 1) 20 11 ; 2)
9 15 ; 9) 12 3 3
12.- 1) 108; 2) 28 ; 3) 60 ; 4) 150; 5) 135 ; 6) 4; 7 ) 108; 8) 60; 9) 40; 10) 12; 11)
2; 12) 6; 13) 20; 14) 36; 15) 1078; 16) 32; 17) 24; 18) 768; 19) 13 + 4 3
20) 13 +
2 12
4 10 a) 96; b) 130; c) 48; d) 7 + 3 ; e) 7 - 3 ; f) 3; g) -1; h) 130; i) 4; j) 21; k) a a ; l) 2 3 3 ;
i)
m) 26 33 2 4 24 33 ; n)
13.- a)
4
8 ; b)
4
8 ; c)
6
12
27
; o) 9; p)
37
32 ; d)
24
6
4 x 5 y 3 6 4 x 3 y 5 ; q) 13 6 -30;
21433 e)
9
3 ; f) 33 3 ; g)
12
2 5 ; h)
3
a ; i)
6
a
j)
b
4
b ; k) a6 b ; l)
30; m) 2; n) 2a; o) a 16 b 8 c 4 d 2
TEMA 2
PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA
PROBLEMAS DE PORCENTAJES
1.- Un mueble me ha costado 6000 euros. ¿Qué precio debo marcarle para que haciendo una rebaja
del 10% gane todavía el 20% sobre el precio de compra?
2.- Vendí géneros por 7500 euros. Vendiéndolos en 500 euros más hubiera ganado 2000 euros
¿Cuánto gané en % sobre el precio de la compra?
3.- ¿Cuánto pesaba una mercancía que después de perder el 20% de su peso pesa 8’8 Kg.?
4.- Un viajante cobra 600 euros de dietas y el 2’5 % sobre el importe de sus ventas. Tras una gira
de 18 días le entregan 34.800 euros por dietas y comisiones ¿Cuál fue el importe de las ventas que
realizó?
5.- Un comerciante compra 5 piezas de paño de 40m a 450 euros el metro. Las revende ganando el
12% sobre la compra ¿En cuánto las vendió?
6.- Se pagaron 5290 euros por cierta cantidad de azúcar cuyo precio acababa de subir el 15%
¿Cuánto se hubiera pagado antes de la subida?
7.- Un labrador revende en 109.600 euros una cosechadora, ganando el 15% sobre el precio de la
venta. ¿Cuánto le costó la máquina?
INTERÉS
1.- Una persona coloca 1/3 de su capital al 4 % y el resto, es decir, 600.000 euros al 3 %. Halla el
interés que obtiene en 8 meses.
2.- Debo los intereses de 5000 euros durante 6 meses al 5 %. ¿Cuánto tiempo debo colocar 4500
euros al 4 % para compensar aquellos intereses?
3.- Un granjero vende una tierra y coloca su importe al 5 % que le produce 7200 euros anuales.
¿Qué extensión tenía la tierra si el comprador pagó 2400 euros por área?
19
4.- He metido en el banco 6500 euros y 8 meses después se han convertido en 6630 euros ¿A qué
% las coloqué?
5.- ¿Qué es más ventajoso, colocar 480.000 euros al 4’5 % o comprar con ellas un piso que se
puede alquilar en 2000 euros mensuales?
6.- 6000 euros han dado 45 euros de interés desde el 23 de marzo al 21 de junio del mismo año. ¿A
qué 5 % se colocaron?
7.- Un viajero presta, en el momento de su partida, 34.000 euros al 4%. A su regreso recibe 40.800
euros por capital e intereses. ¿Cuánto duró su ausencia?
8.- Meto cada mes 120 euros en una hucha. Después de la sexta vez retiro la cantidad ahorrada y la
pongo a interés. Después de 8 meses retiro en total 732 euros. ¿ A qué % las coloqué?
9.- Un tendero realiza en 3 meses un beneficio neto de 15.000 euros ¿ Cuánto tendría que colocar
al 4 % los 250.000 euros que comprometió en el negocio para tener un interés igual a ese
beneficio?
10.- ¿Qué cantidad hay que colocar al 5% durante 10 meses para pagar con sus intereses los 1420
euros gastados en un arreglo de una casa?
11.- ¿A qué % se han colocado 15.000 euros si al cabo de 3 meses y 9 días se han convertido en
15.165 euros?
12.- UN señor dispone de 34.830 euros. Coloca los 8/15 al 15 % y el resto al 4’75 %. Halla su
renta anual.
13.- Debía pagar una deuda el 20 de enero; la pago el 8 de agosto, por lo que aumenta la deuda en
90 euros. El interés es del 3% ; halla la deuda.
14.- Se han colocado 15.000 euros al 5 % y 5.000 al 3’75 %. ¿A qué % hay que colocar 20.000
euros, para obtener anualmente los 4/5 de interés que se obtenía en el primer caso?
15.- Tomé prestados 6.000 euros al 5 % el 1 de junio. ¿ En qué fecha los devolví si entregué 6.225
euros por capital e intereses?
REPARTOS PROPORCIONALES
1.- Descomponer 11.400 en 3 sumandos que sean inversamente proporcionales a 4, 9 y al medio
proporcional de esos dos números.
2.- En una carrera intervienen 3 corredores entre los que se reparten 11.840 euros. Los tiempos que
han intervenido han sido 4, 5 y 6 minutos, respectivamente. ¿Cuánto toca a cada uno?
3.- Una herencia de 600.000 euros se reparte entre 3 hermanos proporcionalmente a sus edades. La
de los menores es de 2 y 5 años; el 1º cobra 80.000 euros. ¿Qué edad tiene el mayor y cuánto cobró
cada uno?
4.- Un billete de lotería costó 300 euros y resultó premiado con 225.000 euros. Lo compraron 3
individuos a quienes correspondió 60.000, 75.000, y 90.000 euros respectivamente. ¿Cuánto aportó
cada uno a la compra?
5.- Cuatro socios reúnen 5.418.000 euros para un negocio, en el que obtienen 1. 548.000 euros de
ganancia. Repartida ésta, corresponden: al 1º, 350.000 euros; al 2º, 420.000 euros; al 3º,180.000
euros y al 4º, el resto. Halla el capital de cada socio.
6.- Una industria paga de impuestos el 20 % de sus ganancias brutas. Si por tal motivo pagó
145.000 euros y los capitales de sus 3 socios son 1.750.000, 3.000.000 y 2.500.000 euros ¿Cuál es
la ganancia neta de cada uno?
MEZCLAS Y ALEACIONES
1.- Un lingote de plata de ley 0’85 que pesa 3 kg. se funde con otro lingote de plata de ley 0’74
que pesa 2’5 kg. ¿Cuál será la ley del nuevo lingote?
2.- ¿Cuántos kg. de café de 80 euros se han de mezclar con 10 kg. de 106 euros para vender la
mezcla a 92 euros el kg.?
20
3.- ¿Qué cantidad de plata pura es preciso añadir a 800 g de plata de ley 0’835 para obtener una
aleación de ley 0’900?
4.- ¿Qué cantidad de agua se ha de añadir a 224 litros de vino de 6 euros el litro para poder rebajar
el litro a 3’5 euros?
5.- Se han fundido 250 g de oro de ley 0’7 con 300 g de ley de 0’8 y con 50 g de oro puro. ¿Cuál
será la ley de la aleación que resulta?
6.- Con café de 90 euros y 120 euros el kg. se quiere obtener una mezcla de 100 euros el kg.
Calcula cuánto hay que poner de cada clase para obtener 150 kg. de mezcla.
7.- Un barril de 1 hectolitros de capacidad contiene 3 decalitros de aceite de 40 euros el litro, se
completa con aceite de inferior calidad a 32 euros el litro. Calcula el precio del litro de la mezcla.
8.- Se mezclan 25 hectolitros de vino que costaron 20.000 euros con 270 decalitros de otro vino
que costó 10 euros el litro. Se desea ganar 5000 euros. ¿A cómo se tiene que vender el litro de la
mezcla?
9.- Se quieren obtener 800 gr. de oro de 0’87 de ley fundiendo oro de 0’8 y de 0’9 de ley. ¿Qué
cantidad se ha de fundir de cada clase?
10.- La ley de un lingote de oro que pesa 130 gr. es de 0’85. ¿Qué cantidad de oro puro habría que
fundir con él para que resultará un nuevo lingote de 0’9 de ley?
11.- Un orfebre tiene dos lingotes, el 1º contiene 540 gr. de oro y 60 gr. de cobre y el 2º, 400 gr. de
oro y 100 gr. de cobre. ¿Qué cantidad deberá tomar de cada uno de ellos para formar un lingote de
640 gr. y 0’825 de ley?
12.En qué proporción habrá que mezclar café de 75 euros el kg. con otro de 60 para que
vendiendo la mezcla a 78’4 euros el kg. se gane el 12% del precio de coste ?
SOLUCIONES TEMA 2
Soluciones a los problemas propuestos
Porcentajes:
1) 8 000 € 2) 25 % 3) 11 kg 4) 93 600 € 5) 100 800 6) 4 600 7) 95 304’35
Interés:
1) 20 000 € 2) 250 días 3) 144 000 € , 60 áreas 4) 3 % 5) 1 800 € de interés mejor alquilar el
piso 6) 90 días, 3 % 7) 5 años 8) 2’5 % 9) 18 meses 10) 34 080 € 11) 4 % 12) 1 700’865 €
13) 200 días, 5400 € 14) r = 3’75 15) 270 días, el 25 de febrero
Repartos proporcionales
1) A 4 x = 5 400, a 9 y = 2 400 y a 6 z = 3 600
2) A 4 x = 4 800, a 5 y = 3 840 y a 6 z = 3 200
3) El mayor 8 años, A 2 x = 80 000, a 5 y = 200 000 y a 8 z = 320 000
4) A 60 000 x = 80 , a 75 000 y = 100 y a 90 000 z = 120
5) A 350000 x = 1225000, a 420000 y = 1470000, a 180000 z = 6300000 y a 598000 t = 2093000
6) A 1 750 000
A 3 000 000
A 2 500 000
x = 35 000, ganancia = 175 000
y = 60 000, ganancia = 300 000
z = 50 000, ganancia = 250 000
Mezclas y aleaciones
21
1) 0’8 2) 11’67 3) 520gr 4) 160 5) 0’775 6) 100kg de 90 y 50kg de 120 7) 34’4 € 8) 10 9)
y 10
2
240gr de 0’8 y 560gr de 0’9 10) 65gr 11) 160gr de 0’9 y 480gr de 0’8 12)
x 5
TEMA 3
SUCESIONES. PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Y GEOMÉTRICAS.
1) Escribe los tres primeros términos y el término 20 de las siguientes sucesiones:
3n
a) a n 2n 3
b) a n
c) a n (n - 1) 2
n4
2) Escribe el término general de las siguientes sucesiones:
1 2 3 4
1 3 5 7
a) 6, 12, 18, 24,...... b) 7, 10, 13, 16,...... c) , , , ,...... d) , , , ,......
2 3 4 5
5 7 9 11
3) Forma una progresión aritmética de 5 términos con los datos de cada apartado:
2
3
2
1
a) a1=5, d = - 3 b) a1= , d = c) a1= , d = -2 d) a1= - 12, d = e) a1= 3 2 ,d = 2 2
3
2
5
5
4) Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión aritmética. Calcula la
diferencia de la progresión en cada caso:
a) a5= -10 y a13= -8 b) a6= 3 y a14= -1 c) a19= -14 y a24= 16 d) a11= 6 y a35= 65
5) Interpola cinco medios diferenciales entre los dos datos de cada apartado:
3 23
y
a) 1 y 19 b) - 51 y - 27 c)
d) -7 y 29 e) 3 y 27
5
5
6) Resuelve los problemas siguientes cuyos datos e incógnitas corresponden a progresiones
aritméticas:
a) Dados a1= 20, d = 2 y S = 780, determina an y n
b) Dados a1= 1, d = 2 y S = 7 744, determina an y n
c) Dados an= 56, d = 3 y S = 516, determina a1 y n
7) Dada la progresión aritmética 0’4, 0’6, 0’8, ..... de 50 términos, determina an y S
8) Dada la progresión aritmética 9,......, 162, de 52 términos calcula d y S.
9) Dada la progresión aritmética 2, 4, 6, 8, ..... de 100 términos, determina an y S
10) En una progresión aritmética, la suma de los términos primero y noveno es seis. El término
undécimo excede al octavo en dos unidades. Halla la diferencia de la progresión y el primer
término.
11) En una progresión aritmética, la suma de los términos primero y segundo es –51 y la del tercero
y cuarto, nueve. Forma la progresión sabiendo que tiene cinco términos.
12) El menor de los ángulos de un triángulo mide 20º. Averigua los otros dos ángulos sabiendo que
las amplitudes de los tres forman una progresión aritmética.
22
13) El ángulo mayor de un cuadrilátero mide 120º. Calcula los otros tres ángulos sabiendo que las
amplitudes de los cuatro forman una progresión aritmética.
14) Calcula la suma de:
a) Los múltiplos de seis comprendidos entre 100 y 1000
b) Los veinticinco primeros múltiplos de nueve.
c) Los múltiplos de once menores que 300
d) Los quince primeros términos de la progresión aritmética 3, 7,11,15,.....
e) Los múltiplos de siete comprendidos entre 1000 y 10 000
f) Los múltiplos de seis menores que 200
15) La suma de los términos segundo y noveno de una progresión aritmética es – 8 y la suma de
8
los términos quinto y décimo, - . Halla el primer término.
3
16) La suma de tres números en progresión aritmética es 12 y su producto, 63. Averigua esos
números.
17) La suma de tres números en progresión aritmética es 18 y su producto, 162. Averigua esos
números.
18) La suma de los términos tercero y quinto de una progresión aritmética es 20 y la suma de los
términos sexto y séptimo, 35. Halla el vigésimo término.
19) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas,
expresadas en metros, son tres números que forman una progresión aritmética cuya diferencia es
siete.
20) Calcula en las siguientes progresiones geométricas el término que se indica:
1 1 1 1
a) , , , ,..... a15
b) 1,3,9,27,81,......a15
2 4 8 16
21) En una progresión geométrica limitada, el primer término es 7, el último 448 y la suma 889.
Calcula la razón y el número de términos de la progresión.
22) Calcula la suma se los:
a) Seis primeros términos de la progresión geométrica 6, 12, 24,.....
81 27 9
, , ,.......
b) Siete primeros términos de la progresión geométrica
10 10 10
1 1 1
, , ,.......
c) 0cho primeros términos de la progresión geométrica
72 24 8
9 3 1
d) Nueve primeros términos de la progresión geométrica , , ,......
2 2 2
23) ¿Cuál es el sexto término de una progresión geométrica cuyo primer término es 0’73 y su
razón, 0’01?
24) ¿Cuál es el séptimo término de una progresión geométrica cuyo primer término es
razón, 6?
23
1
y su
46 656
25) Calcula la razón de las siguientes progresiones geométricas conociendo los términos que se
indican en cada apartado:
2
3
1
1
729
y a6 = 54 b) a1 = y a7 =
c) a1 = 3 y a4 =
d) a1 = 2 y a7 =
9
4
972
243
32
26) La suma de tres primeros términos de una progresión geométrica es 105 y su producto, 8 000.
Averigua esos números.
a) a1 =
27) La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica ilimitada y decreciente es dos y
el primer término, 0’5. Calcula la razón de la progresión.
28) La suma de tres números en progresión geométrica es 26 y su producto, 216. Averigua esos
números.
29) La suma de tres números en progresión aritmética es 65 y su producto, 3 375. Averigua esos
números.
30) Interpola entre los dos números de cada apartado el número de medios geométricos que se
indica:
729
a) Siete medios entre 3 y 48 b) Cinco medios entre 2 y
c) Tres medios entre 486 y 6
32
1
d) Cuatro medios entre 3 y 4 6 y e) Cuatro medios entre y 81 f) Seis medios entre 2 187 y 1
3
31) Averigua el producto de los seis primeros términos de cada una de las siguientes progresiones:
a) 1, 3, 9, 27,...... b) 4, 8,16, 32, ....... c) 5, 20, 80, 320,......
32) Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión geométrica. Calcula lo
que se indica en cada uno de ellos:
a) Determina a1 y an si r = 2, n = 7 y S = 635 a) Determina n y an si a1 = 3, r = 2 y S = 765
33) Halla la suma de los términos de cada una de las siguientes progresiones geométricas
ilimitadas:
1 1
3 3
1 1
1
2
,
,
,....... d) 18, 6, 2, ,....
a) 3, 1, , ,...... b) 6, 3, , ,...... c) 1,
3 9
2 4
10 100 1000
3
34) Las amplitudes de los tres ángulos de un triángulo están en progresión geométrica, siendo la
5
amplitud del menor 25º y
de grado. Halla las amplitudes de los otos dos ángulos del triángulo.
7
35) Un mendigo pide hospitalidad a un avaro, haciéndole la siguiente proposición: Yo pagaré un
euro por el primer día, dos por el segundo, tres por el tercero, y así sucesivamente. En cambio, usted
me dará 0’001 céntimos de euro el primer día, 0’002 céntimos de euro el segundo, 0’004 céntimos
de euro el tercero, y así sucesivamente, duplicando siempre la cantidad anterior. El avaro encontró
esta proposición como un buen negocio y consintió en el arreglo por 30 días. ¿Quién salió ganando?
Liquida la cuenta al finalizar los 30 días.
36) Asaphad, historiador árabe, cuenta que Sessa presentó el invento del juego del ajedrez a
Scheran, pr´ncipe de la India, y éste le preguntó cuánto pedía como recompensa. Sessa pidió un
grano de trigo por el primer cuadrado del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por
el cuarto, y así sucesivamente, duplicándose siempre hasta el último cuadrado. Averigua los granos
de trigo que pidió Sessa. Suponiendo que en un hectolitro hay dos millones de trigo y que una
24
hectárea produce 25 hectolitros, ¿Qué superficie tendría que cultivar Scheran para obtener la
cantidad de trigo pedida? La superficie no sumergida de la Tierra es de 13.109 ha,
aproximadamente. ¿Cuántos años tardaría Scheran en saldar su deuda?
37) En una progresión geométrica la diferencia entre los términos cuarto y segundo es 120 y se sabe
que el valor del tercer término es 32. Averigua la razón y los cuatro primeros términos.
38) En una progresión geométrica, la suma de los términos primero y segundo es 12 y la de los
términos tercero y cuarto, 108. Halla la razón y la suma de los siete primeros términos.
SOLUCIONES TEMA 3
Soluciones a los problemas propuestos
3
9
60
, 1, ,..... a20 =
1c) 0,1,4,..... a20 =361
5
7
24
n
2n - 1
2d) a n
2) 2a) a n = 6n 2b) a n 3n + 4 2c) a n
n 1
2n + 3
2 4 10 16 22
2 3 4 6
,
,
3) 3a) 5,2,-1, -4.- 7 3b) , , ,1, 3c) , ,
3d) 3 2 ,5 2 ,7 2 ,9 2 ,11 2
3 3 3
3
3
5 5 5 5
1
1
59
4) 4a) d=
4b) d=
4c) d = 6 4d) d =
4
2
24
5) 5a) d = 3 1,4, 7,10,13,16,19 5b) d = 4 - 51, - 47, - 43, - 39, - 35, - 31, -27
2
3 19 29 39 49 59 23
, , , , , ,
5c) d =
5d) d = 6 -7, -1, 5, 11, 17, 23, 29
3
5 15 15 15 15 15 15
3
4 3 5 3
7 3 8 3
3,
,
,2 3 ,
,
,3 3
5e) d =
3
3
3
3
3
6) 6a) n = 20, an = 58 6b) n = 88, an = 175 6c) n = 24, a1 = -13 7) an = 10’2, S = 265
3
1
8) d = 3, S = 4 446
9) an= 200 S = 10 100
10) d = , a1 =
2
3
11) 33, 48, 63, 78, 93
12) 20º, 60º, y 100º 13) 60º, 80º, 100º y 120º
14) 14a) S = 82 350 14b) S = 2 925 14c) S = 4 158 14d) S = 465 14e) S = 7 071 071
14 f) S = 3 366
15) a1= -10
9
7
16)
,4y
17) 3, 6, y 9
18) d = 3, a1 = 1 a20 = 58
19) 21, 28, 35
2
2
1
20) 20 a) a15=
20b) a15= 4 782 969 21) r = 2, n = 7
32768
88573
410
9841
22 ) 22 a) S = 378 22b) S =
22c) S =
22d) S =
729
9
1429
1
1
3
23 ) a6 = 0’ 000 000 000 073 24) a7 = 1 25) 25a) r = 3 25b) r =
25c) r =
25d) r =
3
9
2
26) 5, 20, 80
27) r = 0 ’75
28) 6, 6, 6
2, 6, 18 -18, 6, -2
29) 15, 15, 15
5,15, 45
- 45,15, -5
9 27 81 243 729
,
30) 30a) 3,3 2 ,6,6 2 ,12,12 2 ,24,24 2 ,48 30b) 2 , 3, , , ,
2 4 8 16 32
1) 1a) –1,1,3,.....a20 = 37
1b)
25
30c) 486, 162, 54, 18, 6 30d)
3, 6 ,2 3,2 6 ,4 3, 4 6 30e)
1
,1, 3, 9, 27, 81
3
30f) 2187, 729, 243, 81, 27, 9, 3, 1
31) 31 a) 14 348 907 31b) 134 217 728 31c) 16 777 216 000 000
32)32 a) a1 = 5, a7 =320 32b) n = 8, a8 = 384
9
10
33) 33a)
33b) 12 33c)
33 d) 27
2
9
34) los ángulos son: 25 ’ 714º, 51 ‘ 428º, 102 ‘ 856º
35) El mendigo paga 465 euros. El avaro paga 10 737’41 euros.10 272’41 euros favorable al
mendigo
36) Resuelto en la página 109 37) 2, 8, 32, 128
38) r = 3
S = 3 279
TEMA 4
POLINOMIOS
Operaciones con polinomios
1. – Dados los siguientes polinomios:
A = 2x5 C = 3x4 Calcula:
a)
b)
c)
4x3 + 6x2 - 7x
5x3 - 6x2 - 9x + 3
B = 4x4 - 6x3 - 2x2 + 5x - 4
D = 6x5 - 4x3 + 2x2 - 7x + 6
A+B+C+D
A–B–C+D
(2A - 3B) - (2C + D)
2. – Efectúa los siguientes productos:
a) (2x4 - 6x3 + 5x2 - 4x + 3) . (2x2 - 9x + 6)
b) (2x3 - 4x2 + 5x - 4) . (3x2 - 5x + 6)
3. – Calcula:
2x2 - 5x + 3 . 4x2 + 2x - 5 . 2x3
2x2 - 4x + 5 . 3x2 - 4x + 7 - 5x2 - 4x + 32
4. - Efectúa las siguientes divisiones
18x6 - 33x5 + 7x4 - 11x3 + 31x2 - 21x + 9 : 2x2 - 5x + 3
10x7 - 26x5 + 33x4 + 6x3 - 31x2 + 32x - 15 : 2x3 - 4x + 5
6x6 + 22x5 + 23x4 - 5x3 - 34x2 + 45x - 18 : 2x2 + 4x - 3
18x7 - 6x6 + 27x5 - 41x4 + 6x3 + 6x2 - 17x + 12 : 2x3 + 3x - 4
8x6 - 20x5 + 22x4 - 32x3 + 30x2 - 20x + 12 : 2x3 - 2x2 - 4
5 . – Calcula el cociente y el resto empleando las Reglas de Ruffini
6x4 - 4x3 + 2x - 6 : x - 3
5x5 - 3x4 + 4x3 - 2x2 + 5 : x + 1
26
3x6 + 3 : x + 1
x4 - 4x2 + 8 : x -
1
2
x4 - 6x2 + 12 : x -
1
3
6. – Calcula los ceros (raíces enteras) y factoriza
x5 + 3x4 - 5x3 - 15x2 + 4x + 12 x4 + 9x3 + 19x2 - 9x - 20
x4 + 8x3 + 11x2 - 32x - 60
x4 + 2x3 - 19x2 - 8x + 60
7. – Calcula el valor numérico de los polinomios
x4 - 5x2 + 2x - 3
x5 - 3x2 + 2x - 8
para x = 2
para x = ½
8. – Calcula el verdadero valor de las siguientes fracciones
x 4 - 16
para x 2
x3 - x2 - 4
x5 1
3
para x - 1
x 2x 2 - 5x - 6
x 3 - 5x 2 x 15
para x 3
x 3 - 27
3x 3 - 3x 72
para x - 3
2x 2 - 18
9. – Dada la siguiente fracción
x 4 3x 3 3x 2 7x 6
x 4 5x 3 5x 2 5x 6
a) Factoriza sus dos términos.
b) Una vez factorizados, simplifícala.
c) Una vez simplificada, calcula su valor numérico para x =
0,4
10. – La expresión x4 – 7x3 + 11x2 + 7x – 12 = 0 es un polinomio ecuacional que admite como
soluciones enteras x = 3; x = 4 y x = -1. ¿Cuál es la cuarta solución?
11. – Sin necesidad de hacer las divisiones, explica cuál de ellas son exactas y cuáles no
(x5 – 32) : (x + 2)
(x5 + 32) : (x - 2)
(x5 – 32) : (x - 2)
(x5 + 32) : (x + 2)
13. – Calcula el verdadero valor de la fracción
x 4 - 4x 2 2x - 4
para x 2
x3 - 8
x 4 4x 3 5x 2 36x 36
14. – Dada la fracción:
x 4 13x 2 36
a) Factoriza sus dos términos.
b) Una vez factorizada, simplifícala.
c) Una vez simplificada, calcula su valor numérico para x =
27
7,1
15. - ¿Para qué valor de “m” el polinomio
x4 + 8x3 + 11x2 - mx - 60
es divisible por x + 3?
DESCOMPONED EN FACTORES LOS SIGUIENTES POLINOMIOS:
1.- a) a 2 x-x 3 -ax 2
2ab-3ax a
b)
c) (a b) 2 3(a b)a 5(a b)(a b)
2.- a) x 2 6x 9
d)
b) 4x 2 12x 9
d) a 2 b 4 2ab 2 y y 2
3.- a) 16x 2 9y 2
d) x 2 (a b) 2
1 2 4
5
x ax a 2 x 3
3
9
6
c) x 6 2x 3 y y 2
4x 2 3xy 9y 2
1
f) x 2 3xy 9y 2
25
5
16
4
4
16 a 2 b 2
b) m 2 n 2
c)
25
49 36
e) (x-2) 2 (2 y) 2
f) (a-2b) 2 (a b) 2
e)
4.- a) 2x 4 5x 3 5x 2
b) 2x 3 5x 2 x 2
c) x 2 9x 14
x3
5.- a) x 8
b) y a
c)
27
d) 125a 3 1
8
6.- a) vy-xy vz-xz
b) 2a-ax 2b-bx
c) 3ab ac 3bd cd
3
3
d) ax by-ay-bx
3
e)am-bm an-bn
f) m2 mn mx nx
HALLAD EL m.c.d. y el m.c.m. DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DE POLINOMIOS:
a) 2x 4 y 4x 3 y2 2x 2 y 3 ; x 3 y 2 xy 4
c) x 2 y2 ; x 2 2xy y2 ; x 2 xy
b) a 2 b 2 ; (a b) 2 ; a 3 b3
d) a 2 1 ; a 2 2a 1 ; a 3 1
SIMPLIFICAD LAS SIGUIENTES FRACCIONES:
a)
12ax 3
8ax 2
e)
a 2 b2
(a b) 2
i)
(x 2 4)(x 2y)
(y 2x)(x 4 16)
b)
f)
3(x-2) 2
4(x 2 4)
a 2 b2
a 3 b3
j)
c)
g)
3ax 3a 2
12ax
ax ay
ax 2 ay 2
x 2 4x 3
x 2 2x 3
h)
k)
d)
15mn 2 12m 2 n
21m 2 n 2
4xy 4x
2xy 2x-4xy-4x
x3 x 2 x 1
x 3 3x 2 3x 1
SUMA y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:
1)
3
2(x y)
3
2
2
x-y x 2xy y
xy
3a
3a 2b
4b
2
2
3ab-2b
12ab
9a 6ab
x
x
x
5)
2
x-2 x 1 x 3x 2
3)
a a 1 a b b
2b 3b
6b
4
2)
1 x 1 x
x2
1-x 1 x 1 x 2
ab
a
b2
6)
2
a-b a b a b 2
4)
28
ab ab
ab ab
4x m x 3m
9)
x m x 2 m2
2x
x4
x 3 3 2x
5x 2 x 1
10)
9-4x 2 3 2x
7)
8)
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1)
3ab 2 4xy
·
9ab
2x 2
2)
y2 x 2
3x
4) 2
·
x xy x-y
6)
4x 2 3ax 3
:
5ay2 5y
2a a 2
4x 2 y 2
·
2x 2 xy 4 4a a 2
3)
x 2 y2
xy
· 2
xy
x 2xy y 2
x y x 2 xy
5)
·
x
2y 2
7)
3x 2 x 2 x
:
x y x 2 y2
8)
(a-1)2 a 2 1
:
x 2 1 (x 1)2
SOLUCIONES TEMA 4
Soluciones a operaciones con polinomios
1)1a ) 8x5+7x4-19x3-18x+5 1b) 8x5-7x4+3x3+16x2-10x+7 1c) -2x5-18x4+24x3+28x2-4x
2)2a ) 4x6-30x5+76x4-89x3+72x2-51x+18
3)3a ) 16x7-32x6-16x5+62x4-30x3
2b) 6x5-22x4+47x3-61x2+50x-24
3b) -19x4+20x3-x2-24x+26
4)4a) 9x4+6x3+5x2-2x+3
4b) 5x4-3x2-4x-3 resto 40x
4c) 3x4+5x3+6x2-7x+6
4d) 9x4-3x3+2x-3 4e) 4x3-6x2+5x-3 resto 30x2
5)5a) C = 6x3+14x2+42x+128 R = 378 5b) C = 5x4-8x3+ 12x2-14x+14 R = -9
5c) C = 3x5-3x4+3x3-3x2+3x-3 R = 6
1
15 15
113
1
53 53
919
5d) C = x3+ x2- xR=
5e) C = x3+ x2- xR=
2
4
8
16
3
27
81
9
6)6a) (x-1)(x+1)(x+2)(x-2)(x+3)
6b) (x+2)(x-2)(x+5) (x+3)
7)7a) -3
9)9a)
7b)
247
32
8)8a)
6c) (x-1)(x+1)(x-4)(x+5)
6d) (x+2)(x-2)(x+5) (x-3)
8
3
8b)
1
1
13
8c)
8d)
18
6
2
( x 1)(x 1)(x - 2)(x - 3)
(x 1)
9b)
9c) –5 10)10a) x = 1
( x - 1)(x 1)(x - 2)(x - 3)
(x - 1)
11)11a) no, resto –64 11b) no, resto 64 11c) si, resto 0 11d) si, resto 0 13)
29
3
2
( x 2)(x 2)(x 3)(x - 3)
(x 2)
9b)
9c) 7
( x - 2)(x 2)(x 3)(x - 3)
(x - 2)
15)15a) m = 32
14)14a)
Descomponed en factores
1
4
5
x(x a a 2 x 2 )
3
3
2
2
1
2x 3y
2.- a) (x-3)2; b) (2x – 3)2; c) (x3 –y)2; d) (ab2-y)2; e)
; f) ( x + 3y)2
2
4
5
2
2
4 ab 4 ab
3.- a) (4x +3y) (4x – 3y); b) (m - n) (m + n); c) ;
5
5
7 6 7 6
d) (x + a –b) (x – a + b); e) (x –y) (x – 4+ y); f) (2a – b) (-3b)
1.- a) a(a2- x2- ax); b) a(2b – 3x + 1); c) (a + b) (3a – 4b); d)
4.- a) (x -1)(x + 1)(x – 2)(2x – 1); b) (x -1)(x -2)(2x +1); c) (x -7)(x – 2)
2
x x x
5.- a) (x +2)(x2 -2x + 4); b) (y - a)(y2 + ya + a2); c) 3 3 9 ;
2 4 2
2
d) (5a + 1)( 25a - 5a + 1)
6.- a) (y + z)(v – x); b) (a + b)(2 – x); c) (a + d)(3b + c); d) (a – b)(x – y);
e) (m + n)(a – b); f) (m + x)(m – n)
Hallad el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes conjuntos de polinomios
a)
b)
c)
d)
m.c.d.= xy (x - y); m.c.m.= 2x2y2(x - y)2(x + y);
m.c.d. = (a + b) ;
m.c.m. = (a + b)2(a - b) (a2 – ab + b2 )
m.c.d. = (x - y);
m.c.m. = (x + y) (x – y)2x
m.c.d. = (a + 1);
m.c.m. = (a + 1)2(a - 1) (a2 – a + 1 )
Simplificad las fracciones
a)
xa
5n 4 m
3x
3(x 2)
; b)
; c)
; d)
; e)
4x
7 mn
2
4(x 2)
h) -2; i)
x y
ab
ab
; f) 2
; g) 2
;
2
ab
x y2
a ab b
x 2y
x 1
x 1
; j)
; k)
;
2
x 1
x 1
( y 2 x)( x 4)
Suma y sustracción de fracciones algebraicas
8 x 2 2 y 2 2 xy
15a 2 4b 2
2x
2 3x 2
12a 2b 4 3b 2
1)
; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
2
2
x2
12b
4ab(3a 2b)
1 x
( x y) ( x y)
2
2
2a 2b ab
6)
;
a2 b2
3x 2 7 x 12
4 x 2 m 2 3mx x 3m
2x 2 5
4ab
7) 2
;
8)
;
9)
;
10)
;
( x 3)(3 2 x)
( x m)( x m)
(3 2 x)(3 2 x)
a b2
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
30
1)
x2 y2
a( 2 x y )
2by
3x( x y )
4
( a 1)( x 1)
; 2)
; 3) 1; 4) -3; 5)
; 6)
; 7)
; 8)
;
2
2
x( 2 a )
( a 1)( x 1)
x 1
3x
3 xya
2y
TEMA 5
ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Ecuaciones de 1er grado
a)
x 4 2x 1
x 2
1
3
4
12
c)
x 2 x 1
x 5
x 4
3
9
9
b)
2 x 6 2 x 1 11 x
e)
3 6 5 4
3
g) 1
x 3
9x 1
x
9
9
2 x 3 3x 2
x 1
x
4
8
4
2 x 70 x 30
6 2x
x 7
d)
5 80
40
5
5
3 x 3 1 x 3
x 4
f)
4 2 2 2
4
h)
2 x 3 3x 2
1 2x 3
4
8
5
40
4 x
x 4
3x - 5 13x 3
3
9
2
18
Ecuaciones de 2º grado
i)
a) x2 - 11x + 28 = 0
b) 10x2 - 7x + 1 = 0
c) 8x2 - 10x + 3 = 0
d) x2 - 15x + 56 = 0 f) 16x2 - 10x + 1 = 0
g) 18x2 - 21x + 5 = 0
h)
1
1
5
x
x 1
6
k)
1
2
7
2x
x 3
20
l)
1
3
11
3x
x 1
30
n)
i)
m)
1
1
5
.
x
x 3
18
j)
2
x
2
3
x 5
5
1
4
9
5 x
6 x
14
1
2
17
x
1
11
0 o)
.
x 4
x 4
2x - 1
x 1
x 2
12
1
1
1
x 1
x
3 2 x - 4
q)
2x 1
2x - 1
16
2x 1
2x 1
15
31
p)
r)
7
7
7
3x 1
3x 1
31x 3
5x
v).
3
2
x
2
2
1
4
5 x
3
126
4
s)
2
x
u)
2
x
6
6
5x
4
6
2x
1
4
3x
2
w)
2
2
12
4
5 x
4
40
0
6
3
3x
2
16x 1
8
8
2
2
2
3x
1
- 169
6
6
2
Ecuaciones bicuadradas
a)
400x4 - 41x2 + 1 = 0
b) 225x4 - 61x2 + 4 = 0
c ) 4x4 - 101x2 + 25 = 0
d) 16x4 - 73x2 + 36 = 0
e) 2500x4 - 925x2 + 9 = 0
f) 4x4 - 65x2 + 16 = 0
g) x4-17x2+16 = 0
h) x4-26x2+25 = 0
i) x4-10x2+ 9 = 0
j) x6-9x3 + 8 = 0
k) x6-7x3-8 = 0
l) x6-28x3 + 27 = 0
Sistemas
Resuelve por sustitución los siguientes sistemas:
2 x - 3y 1
a)
3x 5y 11
2 x 3y 10
c)
3x 2y 15
3x - 2y 7
b)
2x y 7
Resuelve por igualación los siguientes sistemas
y
x
2 3 5
e)
f)
y - x
1
5
Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:
2 x - 7y - 12
d)
3x 5y 13
5 x - 3y - 2
g)
3x 2y 14
2 x - y - 9
y x 7
h)
y
3x - 4 34
i)
x
y 4
3
3 x - 5y - 3
2 x y 20
3
Resuelve por reducción
x 3y 39
j)
2x y 8
x 3y 34
k)
9x y - 2
Resuelve los siguientes sistemas:
x y 12
l)
x y 32
x y 7
m)
x y 44
2 x y 7
n)
x y 15
32
t)
2 x 5y 5
o)
x y 30
x 2 y 2 100
r)
x y 2
x 2 y 2 25
s)
x y 25
2xy y 20
2xy y 22
u)
v)
x y 2
x 2y 1
3x 2y - 1
x)
x 3y 40
y
x
1
q) 3
5
x y 90
x 2 y 2 25
t)
2 x 3y 18
2 x 3y 3
p)
x y 18
2x 2 y 2 14
w)
2x y 4
x 3y 40
y)
5x 3y 2
2x 7y - 27
z)
9x 14y 197
PROBLEMAS DE PLANTEO
Problemas de números
1.- El doble de un número es igual a 38. ¿De qué número se trata?
2.- Al sumar seis unidades al triple de un número, se obtiene 33, ¿Qué número es?
3.- La suma de dos números consecutivos es 121 ¿Qué números son?
4.- Calcula un número cuya tercera parte, sumada con el doble de ese número, es igual a 14.
5.- Si a un número se le suma su tercera parte, se obtiene 148. ¿Cuál es ese número?
6.- Dos números suman 100, y el mayor supera al menor en 10 unidades. Calcula los dos números.
7.- Calcula un número cuya tercera parte, sumada con el triple de ese número dé como resultado
40.
8.- Halla dos números impares consecutivos cuya suma sea 80.
9.- Una fracción (razón de dos números) es equivalente a 3/4, Si se suman 10 unidades al
numerador y 10 al denominador, la fracción que resulta es equivalente a 11/14. Halla la fracción.
10.- Si sumamos 5 unidades al doble de un número el resultado es el mismo que si le sumamos 7
unidades. ¿Cuál es el número?
11.- La suma de tres números naturales consecutivos es 84. Halla dichos números.
12.- La suma de dos números es 24, y el doble del primero menos el segundo es 6, ¿Cuáles son
estos números?
13.- Descompón el número 1000 en dos números de manera que al dividir el mayor entre el menor
el cociente sea 2 y el resto 220.
14.Una fracción es equivalente a 3/5, y, si aumentamos el denominador una unidad y
disminuimos el numerador en dos unidades, la nueva fracción es equivalente a 4/11. ¿De qué
fracción se trata?
15.- Dividir el número 77 en dos partes de modo que una de ellas dividida por la otra dé un
cociente de 2 y un resto de 2.
16.- ¿Qué número hay que sumar a la fracción 11/5 para obtener las 3/5 partes del número que se
ha sumado?
17.- La suma de dos números impares consecutivos es 104 ¿Cuáles son los dos números?
18.- Los cuadrados de dos números consecutivos se diferencian en 23 unidades. ¿Cuáles son los dos
números?
19.- Si aumentamos en ocho unidades el quíntuplo de un número, obtenemos 7 veces ese número.
¿Cuál es?
20.- Si sumamos los números anterior y posterior a uno dado, y lo dividimos todo entre dos,
obtenemos el mismo número.¿ Qué número es?
33
21.- La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 9 ¿Cuales son los dos
números?
22.- Los dos tercios de un número exceden en dos unidades a la mitad de ese número, ¿Cuál es?
23.- Lucia le dice a Gema: “Piensa un número, ¿ya lo tienes? Vale, ahora multiplícalo por 4 y
súmale después 6. ¿De acuerdo? Calcula sus tres medios y dime lo que te sale”. Gema le responde
que el número obtenido es el 33 ¿En qué número pensó Gema?
24.- Las dos cifras de un número suman 12. Si se suman 48 unidades al cuadrado de dicho número
se obtiene un tercio del cuadrado del cuadrado del número que resulta de invertir el orden de las
cifras del primero ¿Cuál es ese número?
25.- Las dos cifras de un número suman 11 y el producto de dicho número por el que se obtiene de
invertir el orden de las cifras es 3154 ¿Cuál es ese número?
26.- Halla dos números cuya suma es 175, y 5 veces el menor es igual al mayor aumentado en 11.
27.- Divide 65 en dos partes, de modo que la mayor tenga dos unidades más que el duplo de la
menor.
1
1
28.- Halla la fracción que vale
cuando se añade uno al numerador, y que vale
si se añade
3
4
uno al denominador.
29.- El triple de un número más el cuádruple de otro es 10 y el cuádruple del primero más el
segundo es nueve ¿Qué números son?
30.- Encuentra dos números cuya suma sea igual a 100 y su diferencia 46
31.- Divide el número 38 en dos partes, de modo que la suma del duplo del mayor con 8 veces el
menor sea igual a 100.
32.- La suma de dos números es 50. Calcula dichos números si siete veces el menor es igual al
duplo del mayor disminuido en uno
33.- Un número excede en tres unidades al duplo de otro. La diferencia entre cinco veces el menor
y el duplo del mayor es igual al cuarto. Calcula ambos números.
34.- Halla un número cuyas dos cifras suman 11 y sabiendo que si se escribe invirtiendo el orden
de sus cifras, el número disminuye en 63 unidades.
35.- Un número de dos cifras es igual al triple de la suma de dichas cifras más tres. Si se invierte el
orden de sus cifras, el número que resulta vale el séptuplo de la suma de sus cifras más nueve ¿Cuál
es el número dado?
36.- Halla dos números, sabiendo que están en la proporción de cinco a tres y que si se restan 10
del primero y se aumentan 10 al segundo la proporción en que se hallan es inversa de la anterior.
37.- Halla dos números tales que si se divide el primero por cinco y el segundo por cuatro, la suma
de los cocientes es 6; y si se multiplica el primero por tres y el segundo por dos la suma de los
productos es 69.
38.- La suma de dos números es 21. si de ocho veces el primero más el segundo se resta ocho veces
el segundo más el primero, la diferencia es 63. ¿Cuáles son esos números?
39.- Un número está formado por dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de colocación de
las cifras, resulta otro número que es igual a cuatro veces el primero más 9 ¿De qué número se
trata?
37
40.- La suma de un número más su inverso es
Halla el número
6
Problemas de edades
1.- La suma de las edades de cuatro hermanos es 34 años. Averigua la edad de cada uno sabiendo
que se llevan, consecutivamente, tres años cada uno.
2.- Un hijo tiene 25 años menos que su padre. Dentro de 10 años la edad del padre será doble de la
edad del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?
3.- Un padre tiene 38 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será tres veces
la de su hijo?
34
4.- Un hijo tiene 30 años menos que su padre y éste tiene cuatro veces la edad de su hijo, ¿Qué
edad tiene cada uno?
5.- Las tres cuartas partes de la edad de Luis, más sus seis quintas partes nos da como resultado un
año menos que el doble de su edad. ¿Qué edad tiene?
6.- Hace 10 años la edad de Alicia era la mitad de la de Santiago, pero hoy en día, la edad de
Santiago es los 16/9 de la de Alicia. ¿Cuáles son las dos edades?
7.- La edad de un alumno es el triple de la que tenía hace 8 años. ¿Cuál es esa edad?
8.- La edad de una madre es triple de la de su hijo, Dentro de 10 años su edad será del doble. ¿Qué
edad tiene cada uno?
9.- La suma de las edades de dos hermanos es 18 años. Si uno de ellos tiene doble edad que el otro
¿Cuántos años tiene cada uno?
10.- Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Si entre los dos suman 48 años ¿Cuántos años
tiene cada uno?
11.- Dentro de tres años, la edad de Juan será el triple de la de Cristina, y hace dos años la edad de
Cristina era la octava parte de la de Juan ¿Cuántos años tiene cada uno?
12.- Un padre tenía 25 años cuando nació su hijo La media geométrica de las edades de ambos
supera en 10 al número de años del hijo. Halla las edades actuales de los dos.
13.- La suma de las edades de un padre y de su hijo es de 42 años. Dentro de nueve años la edad
del padre será tres veces la del hijo. ¿Qué edad tienen ahora el padre y el hijo?
Problemas de geometría
1.-La proyección de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa mide 54 cm y la suma de la altura
con la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide 60 cm ¿Calcula dicha proyección?
2.- El perímetro de un triángulo rectángulo mide 90 m y el cateto mayor, 3 m menos que la
hipotenusa. Halla los tres lados del triángulo.
3.- Determina las dimensiones de un rectángulo cuya superficie mide 8 m2, sabiendo que una
diagonal mide 2 5 m.
4.- La razón entre los lados de dos cuadrados es tres y la suma de los cuadrados de sus diagonales
es 100 cm2. Averigua dichos lados.
5.- Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24 cm. Si se añade a los tres una misma
longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud.
6.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13cm. Averigua las longitudes de los catetos
sabiendo que su diferencia es 7 cm.
7.- Si se aumenta la longitud de un cuadrado en cuatro metros, y la anchura en 1’5 m, resulta un
rectángulo cuya área es igual a la del cuadrado aumentada en 28 m2, Calcula el lado del cuadrado.
8.- Calcula la medida de los lados de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 m y se
disminuye la altura en 5 m, el área no varía, pero si se aumenta la base en 5 m y se disminuye la
altura en 4 m, el área aumenta en 4 m2.
Problemas varios:
1.- Queremos repartir un dinero entre varios chicos. Si damos 10€ a cada uno sobran 1’5 €.,
mientras que si les damos 12’5 € faltan 3’5€. ¿Cuántos chicos hay? ¿Cuánto dinero tenemos?
2.- Beatriz se ha gastado 345 € al comprar una cazadora para Juan y otra para Laura. La de Juan
costó 35 € más que la de Laura. ¿Cuánto costó cada una?
3.- Calcula el número de ovejas de un redil sabiendo que se han contado 348 patas.
1
4.- EL tronco de un gato mide de largo
de su longitud total y la cabeza mide igual que la cola, 6
2
cm. ¿Cuánto mide el gato?
5.- Un poste de teléfono tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte exterior mide 8 m. ¿Cuánto
mide en total el poste?
35
6.- Un grupo de amigos prepara un fondo común de 1000€ para organizar la acampada de las
vacaciones. A última hora, algunos amigos no pueden ir al campamento, por lo que los 10 amigos
que van a asistir deben pagar 37’5 € más. ¿Cuántos amigos pensaban irse de vacaciones al
principio?
7.- Una empresa de alimentación ofrece a sus clientes dos tipos de cesta de Navidad, la especial y
la extra. La extra cuesta el doble que la especial, pero, si no tenemos en cuenta el coste de la cesta
(25 €), la especial costaría tres veces menos que la extra. ¿Cuánto vale cada cesta?
8.- Julia e Iván van de compra. A Julia le gustan los yogures de frutas que se venden en paquetes
de 2 unidades, mientras que Iván prefiere los desnatados que se venden en paquetes de 4 unidades.
Si entre los dos han comprado 15 paquetes de yogures, que son 44 unidades, ¿cuántos yogures ha
comprado cada uno?
9.- Diez vecinos de un barrio, dueños de coches y motos, encuentran todas las ruedas pinchadas,
En el taller les dicen que hay que cambiar en total 34 neumáticos. ¿Cuántas motos y cuántos coches
había?
10.- La caja de un despacho de aceite arroja al día el siguiente resultado: 820 botellas vendidas,
2730 € ingresados. Si en ese despacho se vende la botella de aceite de 1º a 3’1 € y la de 0’4º a 3’6 €,
¿Cuál es el número de botellas que se han vendido de cada clase?
11.- Tres amigos tienen en total de 1260 € El primero tiene doble cantidad que el segundo, y éste
el triple que el tercero ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
12.- Escribe una ecuación de segundo grado, suponiendo que la media aritmética de sus raíces es -5
y su media proporcional 4.
13.- En un recorrido de 150 Km, un ciclista llegaría dos horas y media antes si llevase una media
de 5 km más por hora. Averigua el tiempo que tarda en el recorrido.
14.- Un barquero sube por un río 1800 m. Para bajar emplea 9 minutos menos que para subir, pues
la corriente aumenta la velocidad en 100 metros por minuto respecto ala velocidad que llevaba al
subir ¿Cuál es el tiempo que emplea en subir? ¿Y en bajar?
15.- Dos grifos vierten a la vez en un depósito y tardan dos horas en llenarlo. ¿Cuánto tiempo
empleará cada grifo en llenar dicho depósito sise sabe que el segundo tarda tres horas más que el
primero en llenarlo?
16.- Al mezclar dos líquidos, se obtiene un volumen de 5 litros cuya densidad es de 0’85 kg por
litro. Averigua el volumen de cada uno de los líquidos que se han mezclado, sabiendo que sus
densidades son 0’7 y 1’2 kg por litro, respectivamente.
17.- Si mezclamos un tipo de café de 5’76 € por kg con otro de 7’44 € por kg, conseguimos 24 kg
fe café que se vende a 6’46 € por kg ¿Qué cantidad de cada clase de café se ha mezclado?
18.- Tenemos dos capitales de 30 000 y 70 000 de €, depositados a distintos réditos, que juntos
producen 4 300 € cada año. Si los réditos se invierten, los intereses de un año suman 4 700 € Halla
los dos réditos
19.- Un buque navega a razón de 20 km por hora en un río cuando lleva la dirección de la corriente.
Si va en dirección contraria a la corriente, recorre 12 km por hora. Halla la velocidad del agua del
río y la del buque en agua tranquila.
20.- Disponemos de dos clases de billetes. Cinco billetes de la primera clase y veinte de la segunda
suman 300€; cuatro billetes de la primera y cuatro de la segunda suman120€. ¿Cuál es el valor de
un billete de cada clase?
21.- Dos personas han hecho una apuesta de 20 €. Si gana la primera, tendrá, después de cobrar los
20€, el triple dinero que la segunda. En el caso contrario, las dos tendrán igual.¿Cuántos euros tenía
cada una antes de hacer la apuesta?
36
SOLUCIONES TEMA 5
Soluciones de las ecuaciones de primer grado
a) x = 3; b) x = 2; c) x = 6; d) x = 10; e) x = 9; f) x = 7; g) x = 5; h) x = 5; i) x = 8
Soluciones de las ecuaciones de segundo grado
a) x = 7, x = 4; b) x =
1
1
3
1
1
1
, x = ; c) x = , x = ; d) x = 8, x = 7; f) x = , x = ;
2
5
4
2
2
8
5
1
1
10
9
6
, x = ; h) x = 2, x = ; i) x = 6, x = ; j) x = 5, x = ; k) x = 5, x = ; l) x =
6
3
3
3
5
7
1
47
57
10, x =
; m) x = 2, x=
; n) x = 5, x =
; o) x = 2, x = - 5; p) x =4, x = 3; q) x = 2, x =
11
9
15
1
1
9
27
; r) x = 7, x = , ; s) x = 1; t) x = , x=
; u) x = -1, x = -3
8
9
5
5
g) x =
64
,x=4
3
Soluciones a las ecuaciones bicuadradas
1
1
2
2
2
2
1
1
a) x= , x=- , x = , x = b) x = , x = - , x = , x = 4
4
10
10
5
5
3
3
1
1
3
3
c) x= 1, x = -1, x= , x = d) x = 2, x = -2, x = , x
10
10
4
4
3
3
1
1
1
1
e) x= , x = - , x = , x= f) x = 4, x = -4, x = , x = 5
5
10
10
2
2
g) x = 4, x = -4, x = 1, x = -1
h) x = 5, x = -5, x = 1, x =-1
3
i) x = 3, x = -3, x = 1, x = -1
J) x = 2, x = 1
K) x = 2, x = -1 l) x = 3, x = 1
5
v) x = 5, x = -1
w) x =
Soluciones de los sistemas
a) x = 2, y = 1; b) x = 3, y = 1; c) x = 5, y = 0; d) x = 1, y = 2; e) x = -2, y = 5;
f) x = 4,y =
396
8
9; g) x = 2, y = 4; h) x = 9, y = 6; i) x =
,y=
; j) x = 9, y = 10;
k) x = 1, y = 11;
35
35
l) x = 8, y = 4 ; x = 4, y = 8;
m) x = 11, y = 4; x = - 4, y = -11;
15
3
n) x = 5, y = 3; x = , y = - 10;
o) x = 10, y = 3; x = , y = - 4;
2
2
9
p) x = , y = 4; x = - 6, y = - 3;
q) x = 9, y = 10; x = - 6, x = - 15; r) x = 6, y
2
31
= 4; x = - 8, y = -10;
s) x = 13, y = 12;
t) x = 3, y = 4; x =
,
13
56
9
y=
;
u) no tiene solución real;
v) x = 5, y = 2; x = ,
13
2
11
y=
w) x = 5, y = 6; x = 3, y = 2;
x) x = 7, y = 11; y) x = 7, y = 11;
4
z) x = 11, y = 7
37
Soluciones de los problemas de planteo
Problemas de números
1) Sea x el número. Solución: x =19
2) Sea x el número. Solución: x = 9
3) Solución: 60 y 61 4) Sea x el número. Solución : x =6
5) Sea x el número. Solución : x = 111
6) Sea y el mayor, x el menor
x y 100
Planteo:
x=45, y=55 Solución; el mayor 55, el menor 45
x 10 y
7) Sea x el número. Solución: x = 12
8) Solución: 39 y 41
3x
3 x 10 11
45
9) Sea la fracción
Planteo:
Solución:
4x
4 x 10 14
60
10) Sea x el número. Solución: x =2 11) Solución: 27, 28 y 29
12) Sea un número x, el otro y
x y 24
Planteo:
x=10, y=14 Solución: Los números son 10 y 14
2x y 6
13) Sea x el mayor, y el menor
x y 1000
Planteo:
x=740, y=260 Solución; el mayor 740, el menor 260
x 2y 220
3x
3x 2 4
6
14) Sea la fracción
Planteo:
Solución:
5x
4 x 1 11
10
15) Sea x el mayor, y el menor
x y 77
Planteo:
x=52, y=25 Solución; el mayor 52, el menor 25
x 2y 2
16) Sea x el número.
11 3x
x=11 Solución: el número es 11
Planteo: x
5
5
17) Solución: 51 y 53
18) Solución: 11 y 13
19) Sea x el número. Planteo: 5x + 8 = 7x Solución: 4
20) Es una identidad
21) Solución : 5 y 6
22) Sea x el número.
2x
x
2 x=12 Solución: el número es 12
Planteo:
3
2
23) Sea x el número.
3(4x 6)
33 x=4 Solución: el número es 4
Planteo:
2
24) Sea x la cifra de las decenas e y la de las unidades, el número será:
10 x + y. El número que resulta de invertir el orden de las cifras:10 y +x
38
Planteo:
x y 12
2
(10y x) x 4, y 8 Solución: 48
(10x y) 2 48
3
25) Sea x la cifra de las decenas e y la de las unidades, el número será:
10 x + y. El número que resulta de invertir el orden de las cifras:10 y +x
x y 11
Planteo:
x 3, y 8 Solución: 38 ó 83
(10x 7)(10y x) 3154
26) sea x el mayor, y el menor
x y 175
Planteo:
x=144, y=31 Solución; el mayor 144, el menor 31
x 11 5y
27) Si la parte mayor es x la menor será 65- x
Planteo: x – 2 = 2 (65 – x) Solución: una parte es 44 y la otra 21
x 1
x
y
28) Sea la fracción . Planteo :
x
y
y 1
1
x
4
3
Solución : La fracción es
1
y 15
4
29) Sea un número x, el otro y
3x 4y 10
Planteo:
x=2, y=1 Solución: Los números son 2 y 1
4x y 9
30) Sea un número x, el otro y
x y 100
Planteo:
x=73, y=27 Solución: Los números son 73 y 27
x - y 46
31) Si la parte mayor es x la menor será 38- x
Planteo: 2x+8(38 – x) = 100 Solución: una parte es 34 y la otra 4
32) Sea x el mayor, y el menor
x y 50
Planteo:
x=39, y=11 Solución; el mayor 39, el menor 11
7y 2x - 1
33) Sea x el mayor, y el menor
x - 3 2y
Planteo:
x=23, y=10 Solución; el mayor 23, el menor 10
5y - 2x 4
34) Sea x la cifra de las decenas e y la de las unidades, el número será:
10 x + y. El número que resulta de invertir el orden de las cifras:10 y +x
x y 11
Planteo:
x 9, y 2 Solución: 92
10x y 10y x 63
35) Sea x la cifra de las decenas e y la de las unidades, el número será:
10 x + y. El número que resulta de invertir el orden de las cifras:10 y +x
39
Planteo:
10x y 3(x y) 3
x 3, y 9 Solución: 39
10y x 7(x y) 9
36) Sea un número x, el otro y
x 5
y 3
x=25, y=15 Solución: los números son 25 y 15
Planteo:
x - 10 3
y 10 5
37) Sea un número x, el otro y
x y
6
Planteo: 5 4
x=15, y=12 Solución: los números son 15 y 12
3x 2y 60
38) Sea un número x, el otro y
x y 21
Planteo:
x=15, y=6 Solución: son el 15 y el 6
8x y 8y x 63
39) Sea x la cifra de las decenas e y la de las unidades, el número será:
10 x + y. El número que resulta de invertir el orden de las cifras:10 y +x
xy7
Planteo:
x 1, y 8 Solución: 18
10 y x 4(10x y) 9
40) Sea x el número.
1
1 37
x=6 Solución: el número es 6 ó
Planteo: x
x 6
6
Problemas de edades
1) Solución: 4, 7, 10 y 13
2) Edad del hijo x, la del padre x+25
Planteo: 2(x + 10) = x + 35 x=15 Solución: el hijo 15, el padre 40
3) Sea x el número de años
Planteo: 3(x + 10) = x + 38 x=14 Solución: 4
4) 2) Edad del hijo x, la del padre x+30
Planteo: 4x = x + 30 x=10 Solución: el hijo 10, el padre 40
5) Sea x la edad de Luis Solución: 20
6) Edad de Alicia x, la de Santiago y
2(x - 10) y - 10
Planteo:
16
Solución: Alicia 45, Santiago 80
xy
9
40
7) Sea x la edad del alumno. Solución: 12
8) Edad del hijo y, la de la madre x, dentro de 10 años la edad del hijo y+10 y la del padre x+10
x 3y
Planteo:
x=30, y=10 Solución: el hijo 10, el padre 30
x 10 3(y 10)
9) Sea x la edad del mayor, y la del menor
x y 18
Planteo:
x=12, y=6 Solución; el mayor 12, el menor 6
x 2y
10) Edad del hijo y, la del padre x
x 3y
Planteo:
x=36, y=12 Solución: el hijo 12, el padre 36
x y 48)
11) Edad de Cristina y, la Juan x, dentro de 3 años la edad Cristina y+3, la de Juan x+3, hace 2
años la edad deCristina y-2, la de Juan x-2
x 3 3( y 3)
Planteo:
x=18, y=4 Solución: Cristina 4, Juan 18
x - 2 8(y - 2)
12) Edad del hijo x, la del padre x+25
Planteo: x(x 25) x 10 x=20 Solución: el hijo 20, el padre 45
13) Edad del hijo y, la del padre x, dentro de 9 años la edad del hijo y+9 y la del padre x+9
x y 42
Planteo:
x=36, y=6 Solución: el hijo 6, el padre 36
x 9 3(y 9)
Problemas de geometría
1) Sea x la proyección, h la altura, luego x = 60-h
Planteo: por el teorema de la altura h 2 54x h 2 54(60 - h) h=36
Solución x=24
2) Sea x el cateto mayor, la hipot. x+3, el cateto menor (x 3) 2 - x 2
Planteo: x ( x 3) (x 3) 2 x 2 90 x=36 Solución: 36, 38 y 15
3) Sea x un lado e y el otro.
x·y 8
x=4, y=2 Solución:las dimensiones son 4 y 2
Planteo: 2
2
2
x y (2 5 )
3x
3 y sus diagonales serán: x 2 y 3x 2
4) Si un lado es x , el otro lado será 3x pues
x
Planteo: (x 2 ) 2 (3x 2 ) 2 100 x 5 Solución : los lados son : 5 y 3 5
5) Sea x la longitud añadida, los catetos serán 22+x
(24 x) 2 (22 x) 2 (8 x) 2 x = 2
6) Si un cateto es x el otro será x+7
41
y 8 +x, la hipotenusa 24+x. Planteo:
Planteo: (x 7) 2 x 2 132 x = 5 la longitud de los catetos es 5 y 12
7) Sea x el lado del cuadrado, las dimensiones del rectángulo serán x+4 y x+1’5 Planteo:
(x+5)(x+1’5) = x 2 28 x = 4 Solución: el lado mide 4
8) Sea x la base, y la altura
xy (x 5)(y - 5)
Planteo:
x -1 No tiene solución
xy 4 (x 5)(y - 4)
Problemas varios
1) Sea x el nº de Chicos. Planteo: 10x+1’5 = 12’5x-3’5 Solución: 2 chicos 21’5€
2) Sea x la de Laura. Planteo x + (53+ x) = 345 Solución La de Laura 155€ y la de Juan 190€
3) Sea x el nº de ovejas. Solución: 87
4) Sea x la longitud. Solución: 24cm
5) Sea x la longitud. Solución: 11’2 m
6) Sea x el nº de amigos y, lo que pagaban
10(y 37'5) 1000
1000
Planteo:
x= 14 , y = 62’5 Solución: 14
x
y
7) Sea x el coste de la extra, y el de la especial
x 2y
Planteo:
x=100, y=50
x - 25 3(y - 25
8) Sea x los paquetes de 2, y los de 4
2x 4y 44
Planteo:
x=8, y=7 solución 16 de frutas y 28 desnatados
x y 15
9) Sea x las motos , y los coches
2x 4y 34
Planteo:
x=3, y=7 solución 3 motos y 7 coches
x y 10
10) Sea x de iº , y de 0’4º
3'1x 3'6y 2730
Planteo:
x=444, y=376 solución 444 de 1º y 376 de 0’4
x y 820
11) Sea x la cantidad del 3º Planteo : x+3x+2(3x)=1260 Solución : 126, 378 y 756
42
x y
5
2
12) Sean x, y las raíces. Planteo 2
Solución x + 10x + 16 = 0
xy 4
Planteo:
1
1
1
x=3 Solución El primero 3 horas, el segundo 6
x x 3 2
13) Planteo:
14) Planteo:
v·t 150
km
, t 10h Solución: 10 h
v 15
(v 5)(t - 2'5) 150
h
v·t 1800
18 para subir
t= 18 Solución:
(v 100)(t - 9) 1800
9 para bajar
15) Si el primero tarda x horas en llenarlo, la parte que llena en 1 hora será :
Si el segundo tarda x 3 horas en llenarlo, la parte que llena en 1 hora será :
Si los dos juntos tardan 2 horas en llenarlo, la parte que llenan en 1 hora :
16) Sea x el volumen se un líquido, y el del otro
xy5
Planteo:
x= 3’5, y=1’5 Sol.: 3’5 del 1º y 1’5 del 2º
0'7x 1'2y 5·0'85
17) Sea x los kilos del primer tipo, y los del otro
x y 24
Planteo:
x= 14, y=10 Sol.: 14 del 1º y 10 del 2º
5'76x 7'44y 24·6'46
18) Sea x el rédito primero, y el segundo
30000x 70000y
4300
100
Planteo: 100
Solución x=5%, y=4%
70000x 30000y
4700
100
100
19) Sea x la velocidad del buque, y la velocidad de la corriente.
x y 20
km
Planteo:
, v corriente 4
x=16, y=4 Solución: v buque 16
x - y 12
h
20) Sea x los billetes de 1ª clase, y los de 2ª clase
5x 20y 300
Planteo:
x=20, y=10 Solución: son de 20 y 10 euros
4x 4y 120
21) Sea x la primera, y la segunda
x 20 3(y - 20)
Planteo:
x=100, y=60 Solución: Tenían 100 y 60
x - 20 y 20
43
1
2
1
x
1
x3
TEMA 6
FIGURAS PLANAS
TEORÍA
n(n 3)
;
2
Suma de los ángulos interiores =180º (n-2)
POLÍGONOS:
Nº de diagonales =
POLÍGONOS REGULARES:
180º (n 2)
n
360º
Ángulo central =
= Ángulo exterior
n
Ángulo interior =
Ángulo exterior =180º- ángulo interior;
Resolver los ejercicios siguientes
1.-Calcular cuánto miden los ángulos interiores, exteriores y centrales de los siguientes polígonos:
a) Pentágono b) Eneágono c) Hexágono d) Dodecágono e) Octógono f) Pentadecágono g)
Decágono h) Icoságono
2.- ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 10 rectos? ¿ Y 16 rectos? ¿Cuántas
diagonales tiene cada polígono?
3.- ¿Cuál es el polígono que tiene 14 diagonales? ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?
4.- ¿Cuál es el polígono que tiene 20 diagonales? ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?
5.- Averigua el número de diagonales y la suma de sus ángulos interiores en los polígonos que
tienen los siguientes números de lados: 8, 11 y 13
Unidades para las medidas de ángulos
Los ángulos se miden en grados sexagesimales o en radianes
Grado sexagesimal es la medida del ángulo central que resulta al dividir la circunferencia en 360
partes iguales. 1 grado sexagesimal es igual a 60 minutos y 1 minuto es igual a 60 segundos 1º =
60’ 1’ = 60’’
Por su definición un ángulo central que abarca toda la circunferencia mide 360º
Radian es la medida de un arco que sobre una circunferencia tiene la longitud de su radio. Por su
definición un arco que abarca toda la circunferencia mide 2 radianes.
360º = 2 radianes.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1.- Una circunferencia tiene 4 cm de radio. Halla su longitud. ¿Cuál es la longitud del arco
correspondiente a un ángulo central de 30º?
2.- Halla la longitud de un arco AB colocado sobre una circunferencia de 5 cm de radio y al que le
corresponde un ángulo central de 25º ¿Cuál es la longitud del arco BA?
3.- ¿Cual es la amplitud del ángulo que abarca un arco de 20 cm sobre una circunferencia de radio
6 cm?
44
4.- En una circunferencia de radio r, un ángulo central mide αº. Expresa la longitud del arco que
abarca en función de r y α
5.- Halla la longitud de un arco AB colocado sobre una circunferencia de 5 cm de radio y al que le
corresponde un ángulo central de 30º
6.- Halla la longitud de un arco AB colocado sobre una circunferencia de 7 cm de radio y al que le
corresponde un ángulo central de 30º
7.- Halla la longitud de un arco AB colocado sobre una circunferencia de 2 cm de radio y al que le
corresponde un ángulo central de 45º
8.- Halla la longitud de un arco AB colocado sobre una circunferencia de 15 cm de radio y al que le
corresponde un ángulo central de 45º
9.- ¿Cual es la amplitud del ángulo que abarca un arco de 30 cm sobre una circunferencia de radio 8
cm?
10.- Un circulo tiene 6 cm de radio. A) Halla su área b) ¿ Cuál es el área de la porción de disco
limitada entre dos radios (sector), que forma un ángulo de 40º?
11.- Un circulo tiene 6 cm de radio un arco mide 6’28 cm. Halla el área del sector determinado por
los radios correspondientes a los extremos de este arco.
12.- ¿Puedes adivinar cuánto mide un ángulo inscrito en una circunferencia si conoces la longitud
del central correspondiente?
13.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito que abarca un arco de 68º?
14.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito que abarca un ángulo central de 140º 8’?
15.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo seminscrito que abarca un arco de 215º?
16.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito que abarque una semicircunferencia?
17.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito cuyos lados pasan por los extremos de un diámetro?
18.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito que, en una circunferencia de 6 cm de radio, abarca
un arco de 6’28 cm ?
19.- ¿Cuál es la amplitud del ángulo inscrito formado por una tangente de una circunferencia y el
radio que pase por el punto de contacto?
20.- ¿Cuántos arcos determina sobre una circunferencia, un cuadrilátero inscrito? ¿ Y un polígono
de n lados?
21.- ¿Cuál es la amplitud del arco correspondiente al lado de un octógono regular, inscrito en una
circunferencia?
22.- En una circunferencia dibujamos un ángulo central de 60º y señalamos la cuerda
correspondiente. Demuestra que el triángulo que se forma es equilátero. ¿Cuál es la longitud de la
cuerda si r = 5 cm?
45
23.- ¿Cuál es la amplitud del arco correspondiente al lado del triángulo equilátero inscrito en una
circunferencia?
24.- ¿Cuánto mide el ángulo formado por dos diagonales consecutivas de un hexágono regular
trazadas de un mismo vértice?
25.- ¿Cuánto mide el ángulo formado por dos diagonales no consecutivas de un hexágono regular
trazadas de un mismo vértice?
26.- Un ángulo exterior determina dos arcos de 157º y 21º50’, respectivamente, sobre una
circunferencia. ¿Cuál es su amplitud?
27.- Dos rectas concurrentes son tangentes a una circunferencia, sus puntos de tangencia son A y C.
Si el arco AC es de 80º, calcular el valor del ángulo formado por dichas rectas.
28.- Dos rectas concurrentes son secantes a una circunferencia, determinando dos arcos de
70º . Calcula el valor del ángulo formado por dichas rectas.
12º y
29.- Un ángulo interior a una circunferencia determina dos arcos de 125º 8’ y 71º
50’.respectivamente ¿Cuál es su amplitud?
30.- Dos cuerdas de una circunferencia se cortan formando dos arcos de 90º y 30º 4’ 24’’. Calcula
el valor del ángulo que forman.
TRIGONOMETRÍA
Teoría
Razones trigonométricas de ángulos agudos:
En un triángulo rectángulo en A el seno de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por la
hipotenusa sen B cateto opuesto a B
hipotenusa
En un triángulo rectángulo en A el coseno de un ángulo B es igual al cateto adyacente o contiguo
dividido por la hipotenusa cosB cateto adyacente a B
hipotenusa
En un triángulo rectángulo en A la tangente de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por
el cateto adyacente o contiguo tgB cateto opuesto a B
cateto adyacente aB
En un triángulo rectángulo en A la cosecante de un ángulo B es igual a la hipotenusa dividida por
el cateto opuesto cosec B hipotenusa
cateto opuesto a B
En un triángulo rectángulo en A la secante de un ángulo B es igual a la hipotenusa dividida por el
hipotenusa
cateto contiguo sec B
cateto adyacente a B
En un triángulo rectángulo en A la cotangente de un ángulo B es igual al cateto contiguo dividido
por el cateto opuesto. ctg B cateto adyacente a B
cateto opuesto a B
Relaciones entre las razones trigonométricas:
46
sen B
1
cosec B
sen 2B cos 2 B 1
cos B
1
sec B
tg B
tg B
1
cotg B
sen B
cos B
Ejercicios de trigonometría
1.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 9 cm .Calcula las razones trigonométricas
de los ángulos agudos.
2.- En un triángulo rectángulo se tiene que el ángulo B = 27º 21’ 24’’. Calcula el ángulo A.
3.- Te dan el triángulo rectángulo ABC de lados 30 cm, 40 cm y 50 cm.
a) Dibuja el triángulo semejante más pequeño cuyos lados vengan dados en centímetros
enteros.
b) Halla las razones trigonométricas del ángulo más pequeño.
c) ¿Cuánto valen los ángulos?
4.- Calcula las razones de 30º, 45º y 60º utilizando el teorema de Pitágoras, y luego compruébalo
con las teclas de la calculadora.
5.- Dibuja los ángulos menores de 90º cuyas razones trigonométricas son las siguientes y calcula a
continuación el ángulo B
3
4
a) sen B =
b) cos B =
c) tg B = 1
5
5
6.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm y uno de los catetos mide 8 cm ¿Cuánto
miden los ángulos agudos?
7.- En un triángulo rectángulo se tiene que tg B = 2. Halla las otras dos razones trigonométricas y
el valor del ángulo B.
8.- Un triángulo tiene por lados 12 cm, 16 cm y 20 cm. Halla los ángulos.
9.- En un triángulo rectángulo ABC se conocen el lado a = 102’4 m y el ángulo A = 55º. Calcula
los otros elementos.
10.- Dibuja un triángulo rectángulo. La hipotenusa mide 2 cm y uno de los catetos mide
los valores de los ángulos.
3 . Halla
11.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 cm y 3 cm. Halla los cuatro elementos del
triángulo que faltan.
12.- Si el sen B = 0’3, calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras
razones de B
1
13.- Si el cos B = , calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras
3
razones de B
14.- Si el cosec B = 4, calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras
razones de B
47
15.- Si el sec B = 2 , calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras
razones de B
1
16.- Si el tg B = , calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras
5
razones de B
17.- Si el cotg B = 7, calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras
razones de B
18.- Calcula el radio, la apotema y el área de un octágono regular de 20 m de lado.
19.- Un grupo de alumnos quiere saber la inclinación de los rayos solares en un instante del día.
Para ello clavan una vara verticalmente en el suelo. La parte que sobresale tiene 140 cm y la sombra
proyectada mide 200 cm. ¿Cuál es la inclinación de los rayos solares en ese momento?
20.- Los rayos solares forman un ángulo de 45º con el horizonte. Calcula la altura de una torre si la
sombra mide 30 m.
21.- La sombra de un árbol es de 20 m y el ángulo que forman los rayos solares con el suelo es de
40º ¿Cuál es la altura del árbol?
22.- Desde un barco cerca de la costa se puede ver la luz de un faro a 1 500 m de distancia bajo un
ángulo de 15º con la horizontal. ¿Cuántos metros en línea recta hay que recorrer hasta llegar a la
costa?
23.- Decir si son verdaderos o falsos los siguientes resultados:
a) sen B = 5 b) cos B = 0’6 c) tg B = 123 d) cotg B = 0’7 e) sec B = 0’4
f ) cosec B = 10
24.- En un trozo recto de carretera aparece una señal de tráfico con la leyenda 12 % ¿ Cuál es el
ángulo de inclinación de la carretera? ¿ Y si fuera 18%?
25.- Dibuja un triángulo rectángulo. La hipotenusa mide 6 cm y uno de los catetos mide 3 cm ¿ Se
puede completar la figura de modo que se forme un triángulo equilátero? Sin hacer cálculos
¿Cuánto miden los ángulos del primer triángulo?
26.- Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 metros, que forma con horizontal del
terreno un ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura de la cometa.
27.- Las autopistas tienen como límite de inclinación un 5% ¿Cuál es el ángulo de inclinación
máximo admisible?
28.- En un trozo de carretera recta, la inclinación es 6º ¿ Cuánto sube la carretera en 100 m?
29.- Calcula la longitud de la sombra de la torre Eiffel (altura 300 m ) cuando la inclinación de los
rayos solares de 60º.
30.- La base de un triángulo isósceles mide 12 cm y el ángulo desigual mide 40º. Halla la altura del
triángulo y el área.
48
SOLUCIONES AL TEMA 6
Soluciones de ángulos sobre la circunferencia
πrr 2
αº 5) 2’ 61 cm
360º
6) 3, 66 cm 7) 1’ 57 cm 8) 11’ 77 cm 9) 214º 58’ 7’’ 10) 12’ 56 cm 11) 18 ‘ 84 cm 12)
Mide la mitad del ángulo central 13) 34º 14) 70º 4’ 15) 107º 30’ 16) 90º 17) 90º 18)
60º 19) 90º 20) 4 arcos, n arcos 21) 45º 22) O = A = B = 60º , 5cm 23) 120º 24) 30º
25) 60º 26) 67º 35’
27) 100º 28) 29º 29) 98º 29’ 30) 60º 8’ 31’’
1) 25’ 12 cm, 2´07 cm 2) AB = 2’1 cm BA = 29’3 cm 3) 260º 6’ 56 ‘’ 4) A
Soluciones a los ángulos de polígonos
1) 1a) i= 108º, e = 72º, c= 72º
1b) i = 140º, e = 40º, c= 40º
e= 60º, c= 60º
1d ) i = 150º, e = 30º, c= 30º
1e) i= 135º, e = 45º, c= 45º
1f) i = 156º, e = 24º, c= 24º
1g) i = 144º, e= 36º, c= 36º
1d ) i = 162º, e = 18º, c= 18º
2) 7 lados, 10 lados, 14 diagonales, 35 diagonales
3) 7 lados, 128º 30’
4) 8 lados, 135º suma 1080º
5) 8 lados, 20diagonales, 1080º ; 11 lados,44 diagonales, 1620º ;
13 lados, 65 diagonales, 1980º
1c) i = 120º,
Soluciones a los ejercicios de trigonometría
1.- Sen B = Cos C =
9
106
; Cos B = Sen C =
5
; tg B = ctg C =
106
5
106
= ; cosec B = sec C =
; sec B = cosec C =
9
9
2.- 62º38’36’’
3
4
3
3.- b) Sen B = ; Cos B = ; tg B = ; ctg B =
5
5
4
c ) B = 36º52’12’’ C = 53º7’48’’ A = 90º
1
4.- Sen 30º = Cos 60º = ; Cos 30º = Sen 60º =
2
9
;
5
106
5
4
5
5
; Cosec B = ; Sec B = ;
3
3
4
3
1
; tg 30º = ctg 60º =
;
2
3
2
tg 60º = 3 ; cosec 30º = sec 60º = 2; sec 30º = cosec 60º =
3
1
1
Sen 45º =
; Cos 45º =
; tg 45º =1; ctg 45º =1; Cosec 45º = 2 ; Sec 45º =
2
2
5.- a) = b) = 36º52’12’’
6.- 41º48’37’’ y 48º11’23’’
2
1
7.- Sen B =
; Cos B =
; B = 63º26’5’82’’
5
5
8.- 36º52’12’’ , 53º7’48’’ y 90º
9.- B = 90º, b = 124’88 m c = 71’70 m C = 35º
10.- 30º, 60º y 90º
11.- Hipotenusa 109 , 16º41’57’18’’ , 73º18’2’72’’ y 90º
12.- Sen B =
ctg B = tg C
3
10
91
3
10
, cos B =
, tg B =
, cosec B =
, sec B =
, ctg B =
10
3
10
91
91
49
ctg 30º =
2;
91
3
13.- Sen B =
14.- Sen B =
15.- Sen B =
16.- Sen B =
1
8
, cos B = , tg B =
3
3
1
, cos B =
4
8 , cosec B =
3
, sec B =3, ctg B =
8
1
8
15
1
4
, tg =
, cosec B = 4,sec B =
, ctg B =
4
15
15
15
1
3
2
1
, cos B = , tg = 3 , cosec B =
,sec B = 2, ctg B =
2
2
3
3
1
1
, tg = , cosec B = 26 ,sec B =
5
26
5
, cos B =
26
26
, ctg B = 5
5
1
50
, cosec B = 50 ,sec B =
, ctg B = 7
7
7
50
50
18.- radio 26’13 m, apotema 24’14 m
19.- 34º59’31’’
20.- altura 30 m
25’17 m 22.- distancia 1 448’88 m 23.- a) F; b) V; c) V; d) V; e) F; f) V
24.- 6º50’3’’ ; 10º12’14’’ 25.- 30º y 60º 26.- altura 86’ 27.- 2º51’44’’
28.- altura 10’45 29.- sombra 173’2 m 30.- altura 16’48 cm área 49’44 cm2
17.- Sen B =
1
7
, cos B =
TEMA 7
, tg =
21.- altura
VECTORES Y MOVIMIENTOS DEL PLANO
Teoría: Vectores
Para representar gráficamente un punto en un plano utilizamos como sistema de referencia unos ejes
cartesianos ( dos rectas perpendiculares con divisiones iguales que representan una unidad , el 0 en
las dos rectas coincide con el punto de intersección de dichas rectas, son unidades positivas las de la
derecha y negativas las de la izquierda en el eje horizontal (eje de las abscisas o eje OX) o positivas
las de la parte superior y negativas las de la inferior en el vertical (eje de las ordenadas o eje OY)
Un punto cualquiera del plano queda determinado por un par de números que se corresponden con
las proyecciones sobre el eje X e Y respectivamente. El primero número es el valor de la x
( valor de la abscisa), el segundo el de la y (valor de la ordenada)
Estos números son las coordenadas del punto. Se representan con letras mayúsculas y entre
paréntesis sus coordenadas: A (x,y), A (2 , 3)
Un punto sobre el eje OX tiene la ordenada 0 . Un punto sobre el eje OY tiene de abscisa 0
En un plano cartesiano ( plano que tiene como sistema de referencia unos ejes cartesianos), un
segmento viene determinado por los dos puntos de los extremos.
Vector fijo del plano es un segmento orientado del plano y se identifica por los puntos de sus
extremos. Se representa con las dos letras mayúsculas de los puntos de sus extremos con una flecha
encima o bien en negrita (para facilitar la escritura en la imprenta). La primera letra representa el
punto origen y la segunda el extremo.
Elementos de un vector:
Punto de aplicación: es el origen del vector
Dirección: la de la recta que une los dos puntos; La dirección de AB es la misma que la de BA
Sentido: el que va del primer punto colocado al segundo; lo marca la punta de la flecha. El sentido
de AB es opuesto de la de BA
50
Módulo: Longitud del segmento
Dos vectores son equipolentes o equivalentes cuando tienen el mismo módulo el mismo sentido y
direcciones iguales o paralelas
Vector libre es un conjunto de vectores equipolentes entre si. Para trabajar con vectores
utilizaremos vectores libres tomando uno de ellos como representante. Se representan colocando
entre llaves el vector fijo que lo representa o simplemente con una letra minúscula y una flecha
encima o en negrita
Componentes de un vector
Para localizar un vector en un plano se utilizan sus componentes referidas a unos ejes cartesianos.
Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontalmente y
verticalmente desde su origen hasta su extremo.
Las componentes de un vector se calculan hallando la diferencia entre las coordenadas del punto
extremo y las coordenadas del origen. Un vector libre queda determinado por sus componentes. Si
A ( 2,3) y B = ( 8, 11) Las componentes de AB son (8-2, 11-3) = (6, 8) y se representa AB =
(6,8) o bien AB (6,8)
Las componentes de un vector que tiene como punto de aplicación el origen de coordenadas
coinciden con las coordenadas del punto extremo.
Las coordenadas del punto medio de un segmento son las que se obtienen con la semisuma de las
coordenadas de los extremos . Si A(-3, 7) y B (1,5) las coordenadas del punto medio del segmento
3 1 7 5
AB son M
,
M(1,6)
2
2
Calculo del módulo de un vector conocidas sus componentes:
Conocidas las componentes de un vector podemos hallar su módulo. Para ello basta con hallar la
hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos las componentes del vector.
Si u (x,y) u x 2 y 2 Si u (6,8) u 62 82 100 10
AB (x,y)
Si
el
módulo
de AB es: l AB l x 2 y 2
Ejemplo:
Si
AB =
(6,8)
l AB l 6 2 82 10
Para sumar vectores se puede hacer de forma analítica y de forma geométrica:
De forma analítica se hace sumando las componentes de los dos vectores. Si u (3,8) , v (7,-3)
u + v = (3+7,8-3) = (10,5)
De forma geométrica tomando representantes de los vectores y colocándolos uno a continuación de
otro, de forma que el origen de uno coincida con el extremo del otro. El vector suma es el que tiene
el origen el origen del primero colocado y el extremo en el extremo del último colocado
Otra forma de hacer la suma geométricamente , es tomar representantes de dos vectores con el
mismo punto de aplicación y formar un paralelogramo con las direcciones de estos dos vectores. La
suma será el vector de la diagonal con el origen en el punto de aplicación de los sumandos.
Vector nulo es el que tiene módulo 0, el origen y el extremo es el mismo punto. Las componentes
del vector nulo son (0,0)
51
Vector opuesto de un vector es el que tiene el mismo módulo, la misma dirección o direcciones
paralelas pero sentido contrario. Un vector más su opuesto es el vector nulo. Las componentes de un
vector opuesto de otro son opuestas: Si u (3,8) el opuesto - u ( -3, -8) ; Si AB su opuesto BA
Para restar vectores sumaremos al vector del minuendo el opuesto del vector del sustraendo, es
decir restaremos sus componentes
SI u (3,8) , v
(7,-3)
u - v = (3-7,8+3) = (-4,11)
El producto de un vector por un número es un vector que tiene de módulo el producto del
módulo del vector por el número , dirección la misma y sentido el mismo si el número es positivo y
opuesto si el número es negativo
Para multiplicar un vector por un número multiplicaremos sus componentes: Si u (3,8) 3 u
(9,24)
Movimientos del plano
Un movimiento es una transformación puntual del plano que a toda figura F le hace corresponder
otra F’ , conservando las distancias y los ángulos (igual en tamaño y forma).
Un movimiento es directo si el sentido es el mismo e indirecto si el sentido de una es contrario al de
la otra.
Traslación: Movimiento directo que a cada punto P de la figura le hace corresponder otro P’
mediante la aplicación de un vector, llamado vector de traslación. Los puntos que se corresponden
se llaman homólogos.
Sea P (x ,y) y queremos hacer una traslación de vector v (a,b), las coordenadas del punto
P’homologo de P se obtienen sumando a las coordenadas de P las componentes de v P’(x’, y’) =
P’(x+a , y+b)
Si queremos aplicar varias traslaciones seguidas aplicaremos a cada punto el vector que resulta de
sumar todos los vectores traslación de las traslaciones que queramos realizar.
Giro: Dado un punto fijo O (llamado centro de giro) y un ángulo orientado (ángulo de giro). Se
lama giro al movimiento directo que deja invariante el punto O y a cada punto P le hace
corresponder otro P’ que cumple:
OP OP' y el ángulo POP’ = , Representamos el giro: G (O, )
Si tenemos varios giros consecutivos con el mimo centro, aplicaremos como ángulo de giro la suma
de los ángulos de giro que queremos realizar.
Simetría axial: Dada una recta r (eje de simetría), se llama simetría axial o simetría respecto de un
eje a la transformación o movimiento indirecto que a cada punto P de una figura le hace
corresponder otro P’ de modo que la recta r es mediatriz del segmento PP’ . La figura queda igual
pero invierte el sentido de esta
Simetría central: Dado un punto fijo O (centro de simetría) se llama simetría central o simetría
respecto a ese punto a la transformación o movimiento directo que a cada punto P la hace
correspondes otro punto P’ alineado con P y O, tal que OP = -OP’. Una simetría central equivale a
un giro de 180º
52
DEFINICIONES INTERESANTES
Greca es el adorno en edificios, muebles y objetos formado por elementos geométricos repetidos
Cenefa es una estrecha banda ornamental formada por dibujos que se repiten. Se utiliza como
remate en los bordes.
Friso es una franja decorativa situada bajo una cornisa o en la parte alta de una pared
En todos estos motivos ornamentales el dibujo se forma por una traslación del dibujo base
Mosaico es una formación de losetas que se utiliza para cubrir suelos, fachadas etc.
Si utilizamos polígonos iguales o distintos, unos al lado de otros, cubriendo el plano, de forma que
no queden huecos (teselar el plano), habremos construido un mosaico. Para que no queden ángulos
la suma de los ángulos que concurren en un vértice tiene que ser 360º
Todos los mosaicos tienen un motivo mínimo que se repite
Ejercicios
1.- Representa en el plano cartesiano los puntos A(2,4), B(6,7), C(-1,8) y D(-4,-4)
Halla las componentes de los vectores AB , AC , AD
Averigua las componentes de los vectores BA , CA , DA
¿Cómo son entre sí los vectores AB y BA , AC y CA , AD y DA ?
Calcula el módulo de los vectores AB , AC , AD
2.- Halla las longitudes de los lados de un triángulo de vértices los puntos A (3,2), B(5,8) y C(7,4)
3.- Halla el trasladado del punto c(-1,4), mediante el vector v (-3,1)
4.- Si los extremos de un segmento son A(3,2) y B(7,-1), halla las coordenadas del segmento A' B' ,
homólogo de A, B , en la traslación definida por v (7, 4)
5.- ¿Qué coordenadas tendrá el punto P (7,-3) al aplicarle sucesivamente unas traslaciones definidas
por los vectores u (3,5), v (-5,2) y w (2,2)?
6.- Dibuja un segmento y tomando como centro de giro un punto cualquiera del plano, realiza un
giro de ángulo 45º
7.- Dibuja un triángulo y tomando como centro de giro un punto cualquiera del plano, realiza un
giro de ángulo 30º
8.- En el plano cartesiano, toma el origen de coordenadas O (0,0) como centro de giro. Sobre el eje
de las abscisas, toma el punto P (5,0). Si le aplicas dos giros de 30º y 60º, respectivamente, ¿cuáles
serán las coordenadas de P’? Y si al punto P’ le aplicas un giro de 180º, ¿qué coordenadas tendrá
P’’?
9.- Dado un triángulo ABC de vértices A(2,5), B(7,9) y C(9,1):
53
a) Dibújalo en el plano cartesiano. b) Dibuja su simétrico respecto del eje de ordenadas y calcula las
coordenadas de sus vértices. c) Dibuja su simétrico respecto del eje de las abscisas y calcula las
coordenadas de sus vértices.
10.- ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado? ¿ Y un rombo? ¿Y un rectángulo? ¿ Y un trapecio
isósceles?
11.- Dibuja en el plano cartesiano un triángulo ABC y halla su simétrico respecto al origen de
coordenadas
12.- Un segmento tiene de extremos A(-3,5) y B(4,-1). Halla las coordenadas de los extremos del
segmento simétrico respecto al punto O(1,1)
13.- ¿Tienen centro de simetría un triángulo equilátero, un cuadrado, un rombo, un pentágono
regular y un hexágono regular?
14.- Traza en un pentágono regular, un hexágono regular y en un trapecio isósceles los ejes de
simetría
15.- Dados los puntos A(4, -3)
B (-3, 1) C (1, 1). Calcular analítica y gráficamente:
a) Las componentes de los vectores de los vectores AB y BC
b) Las componentes de los vectores BA y CB ¿Cómo son estos vectores respecto de los del
apartado a ?
c) Los módulos de los vectores anteriores
d) La suma de los vectores AB y BC
e) La resta de los vectores AB - BC
f) El vector 4 · AB y - 3 · BC
SOLUCIONES TEMA 7
Soluciones de los ejercicios propuestos
1.- AB = (4,3), AC = (-3,4), AD = (-6,-8) ; BA = (-4, -3), CA = (3, -4), DA= (6,8); opuestos;
IABI = IACI = 5, IADI =10
2.- lado AB = 40 , lado AC = 20 , lado BC = 20
3.- (-4,5);
4.- A’ = (10, 6), B’ = (14,3);
6.- Respuesta libre;
5.- P’’’ (7,6);
7.- Respuesta libre
8.- P’ (0,5), P’’ (0,-5) 10.- cuadrado 4, rombo 4, rectángulo 2, trapecio 1
11.- Respuesta libre;
12.- A’ = (5,-3)
B’= ( -2,3);
13.- Solo el cuadrado y el rombo;
15.- a) AB = (-7, 4), BC = (4,0); b) BA = (7, -4), CB = (-4,0) opuestos
c) IABI = IBAI = 65 , IBCI = ICBI = 4; d) (-3,4) ; e) (-11,4) ; f) (-22,-16) ; g) (-12,0)
54
CUERPOS GEOMÉTRICOS
TEMA 8
¿Fórmulas?
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
TEMA 9
¿Fórmulas?
TEMA 10
FUNCIONES
TEORÍA
Conjunto: Grupo de objetos, números, personas.......
Se nombran con letras mayúsculas y se representan colocando entre llaves los elementos del
conjunto o bien la propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto.
Ejemplos: A = {2,4,6,-3,-5} B = {azul, rojo, amarillo} C = {conjunto de números naturales
impares}
Correspondencia entre dos conjuntos A y B: es toda relación entre los elementos de A y de B. Se
representa A B donde A es el conjunto inicial y B el conjunto final. Una correspondencia está
definida si conocemos el conjunto inicial, el final y los pares de la correspondencia (un elemento
del conjunto inicial y su correspondiente en el conjunto final) o bien la regla o propiedad que los
relaciona.
Ejemplo: si A = {1,2,3,4,5} y B = {1,2,3,4,5,6} se define la correspondencia A B por los
siguientes pares (1,2), (2,4), (3,6) o bien por la regla ”a los elementos de A le hacemos corresponder
su doble”
Los elementos del conjunto inicial se llaman antecedentes, originales o antiimágenes y sus
correspondientes en el conjunto final imágenes.
Si los conjuntos inicial y final tienen por elementos números se dice que la correspondencia es
numérica. Estudiaremos correspondencias numéricas entre conjuntos que son números reales.
Llamamos función a una correspondencia entre dos magnitudes en la que una de ellas (efecto o
resultado o imagen de la de la correspondencia, llamada variable independiente y que se suele
representar por la letra y) depende de la otra (causa o antiimagen, llamada variable independiente y
que suele representarse con la letra x) y tal que a cada valor de la variable independiente x, le
corresponde un único valor de la variable dependiente y
Una función real de variable real es una función en la que los conjuntos inicial y final son números
reales. Son las que estudiamos en el curso.
Una función real de variable real es una función en que los conjuntos inicial y final son números
reales Se representa con y = f(x) donde:
55
f representa el criterio o regla que relaciona las variable
(método de asignación de imágenes)
x los valores que forman la varible independie nte y son del conjunto D
y f(x) los valores que forman la variable dependient e
y son las imágenes que correspond en a los de la variable independie nte x
Ejemplo: y =f(x) = 2x +1
(1,3), (-2,-3), (0’5,2),.........
Si y= f(x) también x= f-1(y) y se dice que x es la antiimagen, original o antecedente de y
Características de la función:
1.- Dominio de definición de la función: Es el conjunto de valores x que tienen imagen y = f(x)
En el caso de funciones reales de variable real es el conjunto de números reales x que tienen como
resultado de y = f(x) un número real, lo representamos por D(f):
D(f) = {xR I y = f(x) R}
No todas las funciones tienen imagen o correspondiente para todos los números reales, por ejemplo:
3x 4
2
2
y f(x) =
no da real (no está definida) para x = D(f) = R-
3
2x - 3
3
2.- Recorrido de la función o conjunto imagen de una función o simplemente imagen de la
función: es el conjunto de valores y = f(x) que son imágenes de algún valor x del dominio.
En el caso de funciones reales de variable real es el conjunto de números reales que son imagen de
algún número de D(f), lo representamos por Im (f):
Im(f) = {yR I y = f(x) con x D(f)}
3.- Intersección con los ejes : puntos de cortes con los ejes: Corta al eje OX cuando y=0, corta al
eje OY cuando x=0
4.- Signo de la función: Si f(x) > 0 el dibujo está por encima del eje OX y si f(x)<0 el dibujo está
por debajo del eje OX
5.- Crecimiento: Una función es creciente si al aumentar o disminuir la variable independiente x,
aumenta o disminuye respectivamente la variable dependiente y. La gráfica de la función va hacia
arriba al mirar de izquierda a derecha.
Decrecimiento: Una función es decreciente si al aumentar o disminuir la variable independiente x,
disminuye o aumenta respectivamente la variable dependiente y. La gráfica de la función va hacia
abajo al mirar de izquierda a derecha.
6.- Simetrías: Es simétrica con simetría par o simetría respecto el eje OY si
f(-x) = f(x) para todo valor x del dominio. Es simétrica con simetría impar o simetría respecto del
origen 0 de coordenadas si f(- x) = - f(x) para todo valor x del dominio.
7.- Continuidad: Una función es continua cuando su gráfica tiene un solo trazo: se puede recorrer
entera sin levantar el lápiz. Una función es discontinua cuando su gráfica tiene más de un trazo: no
se puede recorrer entera sin levantar el lápiz.
56
8.- Concavidad: En las gráficas no lineales, estudia hacia donde se dirige la curvatura.
9.- Máximos y mínimos relativos: Máximo es el punto en que la función continua pasa de crecer a
decrecer. Mínimo es el punto en que la función continua pasa de decrecer a crecer
Función algebraica es una función que tiene como regla que la define una expresión algebraica:
polinomios , fracciones .....
En este curso estudiaremos las funciones polinómicas de grado cero, de grado uno y de grado dos.
Llamamos grafo de una función al conjunto de pares de la correspondencia.
Para representar gráficamente una función colocamos los pares del grafo en el plano cartesiano (la
primera componente en el eje OX y la segunda en el eje OY).
Es importante saber representar gráficamente una función y también interpretar la gráfica, para el
estudio de la función.
Para representar y estudiar gráficamente una función estudiamos sus características
TEMA 11
FUNCIONES ELEMENTALES
Funciones polinómicas de grado cero o funciones constantes;
La función representada por y f(x) K o bien y = K o bien f(x) = K es una función constante,
su gráfica es una recta paralela al eje OX pasando por el punto (0,K).
Características: D(f) = R; Im(f) = K; corta al eje OY en el punto (0,K) pero no corta al eje OX; el
signo de f(x) es el signo de K; ni crece ni decrece; tiene simetría par: es continua.
Por ejemplo: y = f (x) 5 o bien y =5
son pares de la función (1.5) (2,5)....
Su gráfica es:
Características: D(f) = R; Im(f) = 5; corta al eje OY en el punto (0,5) pero no corta al eje OX; el
signo de f(x) positivo; ni crece ni decrece; tiene simetría par; es continua.
Correspondencia x =K
La correspondencia representada por o bien x = K o bien K = f - 1(y) tiene por gráfica una recta
paralela al eje OY pasando por el punto (K,0)
Por ejemplo: x = 7 son pares de la correspondencia (7,1) (7,2) (7,3)....... Su gráfica es:
Funciones polinómicas de grado uno o funciones lineales:
La función representada por: y f(x) ax o bien y = ax o bien f(x) = ax es una función
polinómica de primer grado o función lineal o de proporcionalidad directa, su gráfica es una línea
57
recta. Para representarla gráficamente se colocan dos pares de la correspondencia en el plano
cartesiano y se unen, ya que por dos puntos pasa una recta y sólo una.
Si x =0 se tiene que y = f(0) = 0, por tanto corta al eje OY y al eje OX en el punto (0,0) (pasa por el
origen de coordenadas), el coeficiente de la x,: a, es la pendiente de la recta.
Características: D(f) = R; Im(f) = R; corta al eje OY y al eje OX en el punto (0,0); crece si a
(pendiente de la recta) es positiva, decrece si a es negativa; si a es positiva la función es negativa de
a 0 y es positiva de 0 a y si a es negativa la función es positiva de a 0 y negativa de 0 a
; tiene simetría impar; es continua.
Por ejemplo: y = f (x) 3x o bien y =3x son pares de la función (0,0) y (1,3)
Su gráfica es:
Características: D(f) = R; Im(f) = R; corta al eje OY y al eje OX en el punto (0,0); crece ya que la
pendiente de la recta positiva; la función es negativa de a 0 y es positiva de 0 a , tiene
simetría impar; es continua.
Función lineal afín
La función representada por: y f(x) ax b o bien y = ax+b o bien
f(x) = ax+b es una función polinómica de primer grado o función lineal afín, su gráfica es una
línea recta. Para representarla gráficamente se colocan dos pares de la correspondencia en el plano
cartesiano y se unen, ya que por dos puntos pasa una recta y sólo una.
Si x =0 se tiene que f(0) = b por lo que se dice que el termino independiente b es la ordenada en el
origen, por tanto corta al eje OY en el punto (0,b), el coeficiente de primer grado a es la pendiente
de la recta.
Características: D(f) = R, Im(f) = R; corta al eje OY en el punto (0,b) y al eje OX en el punto
b
(- ,0); crece si a (pendiente de la recta) es positiva, decrece si a es negativa; si a es positiva la
a
b
b
función es negativa de a - , y es positiva de - , a y si a es negativa la función es positiva
a
a
b
b
de a - , y negativa de - , a ; no es simétrica; es continua.
a
a
Las funciones y=ax e y = ax + b tienen por gráficas rectas paralelas pues tienen la misma pendiente,
la recta de y = ax pasa por el punto (0,0) y la de y = ax + b es paralela y pasa por el punto (0,b) por
lo que se dice que la función y = ax + b es una función afín a la función y = ax.
Por ejemplo: y = f (x) 3x 2 o bien y =3x-2 son pares de la función (0,-2) (2,4)
Su gráfica es:
58
Características: D(f) = R; Im(f) = R; corta al eje OY en el punto (0,-2) y al eje OX en el punto (
,0); crece ya que la pendiente de la recta es positiva; la función es negativa de a
positiva de
2
3
2
, y es
3
2
a ; no es simétrica ; es continua.
3
Función polinómica de grado dos:
La función representada por y f(x) ax 2 bx c o bien
y =ax2+bx+c o bien f(x) =ax2+bx+c es una función polinómica de grado dos, su gráfica es una
parábola. Para representarla gráficamente estudiaremos sus características propias:
Concavidad: Es hacia las ordenadas positivas si el coeficiente de segundo grado a es mayor que
cero, a>0. Es hacia las ordenadas negativas si el coeficiente de segundo grado es menor que cero,
a<0.
b
Eje : recta x
2a
- b - b
Vértice punto que pertenece al eje y a la parábola: , f
2a 2a
Tabla de valores y consideraremos que es simétrica respecto del eje
-b
También las características de la función: D(f) = R; Im(f) = de f a si a es positivo y de
2a
-b
f a si a es negativo; corta al eje OY en el punto (0,c) y al eje OX en los valores que
2a
hacen ax2+bx+c = 0 puntos (x1,0) y (x2,0); si a es positivo el signo de f(x) es positivo de a x1 y
de x2 a , f(x) es negativo de x1 a x2, si a es negativo el signo de f(x) es negativo de a x1 y de
b
x2 a , f(x) es positivo de x1 a x2; si a es mayor que cero decrece de a
, y crece de
2a
b
a ; es simétrica de simetría par si el eje coincide con la recta x = 0 (eje OY) si no es así no
2a
tiene simetría; es continua.
Por ejemplo: y =x2-5x+6
Concavidad hacia las ordenadas positivas
b 5
Eje : recta x
2a 2
- b - b 5 1
Vértice: punto , f ,
2a 2a 2 4
Cortes con los ejes: con eje 0X en (0,6) con eje OY en (2,0) (3,0)
Tabla de valores (1,2) (4,2)
Su gráfica es:
59
1
a , f(x) es positivo de a 2 y de 3 a es negativa de 2 a 3,
4
5
5
decrece de a
, y crece de
a , no es simétrica, es continua.
2
2
D(f) = R, Im(f) = de y =
Ejercicios
1.- Estudia y representa las funciones de los siguientes apartados contestando en cada una las
propiedades y características que se indican
a) y =f(x) = - 5
¿Qué nombre recibe?
¿Cuál es su dominio?
¿Cuál es su recorrido?
Haz la gráfica
¿Es simétrica?
con el eje OX
Cortes con los ejes
con el eje OY
¿Crece o decrece?
Signo de f(x)
b) x = 6
Haz la gráfica
c) y = f(x) = - 5x + 1
¿Qué nombre recibe?
Haz la gráfica
¿Cuál es su dominio?
¿Cuál es su recorrido?
¿Es simétrica?
con
el
eje
OX
Cortes con los ejes
con el eje OY
¿Crece o decrece?
Signo de f(x)
¿Cuánto vale la pendiente?
¿Cuánto vale la ordenada en el origen?
d) y = f(x) = 2x
¿Qué nombre recibe?
Haz la gráfica
¿Cuál es su dominio?
¿Cuál es su recorrido?
¿Es simétrica?
con el eje OX
Cortes con los ejes
con el eje OY
¿Crece o decrece?
Signo de f(x)
¿Cuánto vale la pendiente?
¿Cuánto vale la ordenada en el origen?
e) y f(x) -x 2 3x
¿Qué nombre recibe?
¿Cuál es su eje de simetría?
con el eje OX
Cortes con los ejes
con el eje OY
Haz la gráfica
¿Cuál es su dominio?
Signo de f(x) =
¿Para qué valores crece?
¿Tiene máximo o mínimo?
¿Qué concavidad tiene?
¿Qué vértice tiene?
¿Cuál es su recorrido?
¿Para qué valores decrece?
¿Cuál es?
60
f) y f(x) 5x 2
¿Qué nombre recibe?
¿Cuál es su eje de simetría?
con el eje OX
Cortes con los ejes
con el eje OY
Da dos valores a la x y obtienes la y
Haz la gráfica
¿Cuál es su dominio?
Signo de f(x) =
¿Para qué valores crece?
¿Tiene máximo o mínimo?
¿Qué concavidad tiene?
¿Qué vértice tiene?
¿Cuál es su recorrido?
¿Para qué valores decrece?
¿Cuál es?
g) y f(x) x 2 5 x 4
¿Qué nombre recibe?
¿Cuál es su eje de simetría?
con el eje OX
Cortes con los ejes
con el eje OY
Haz la gráfica
¿Cuál es su dominio?
Signo de f(x) =
¿Para qué valores crece?
¿Tiene máximo o mínimo?
¿Qué concavidad tiene?
¿Qué vértice tiene?
¿Cuál es su recorrido?
¿Para qué valores decrece?
¿Cuál es?
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
TEMA 12
TEORÍA
ESTADÍSTICA es la ciencia que observa los fenómenos de la vida y estudia e interpreta los
resultados dando posibles soluciones
La palabra "estadística" procede del vocablo "estado", pues era función principal de los gobiernos
de los estados establecer registros de la población, etc.. La estadística se puede describir mejor, sin
embargo, como una ciencia que estudia la interpretación de los datos numéricos, obtenidos
mediante una encuesta o como resultado de un experimento aleatorio
Dentro de la Estadística se distinguen dos ramas:
La estadística descriptiva: describe el fenómeno (recoge, anota y organiza los datos que se quiera
estudiar), y analiza los datos (mira las veces que se repite cada resultado (hace el recuento), calcula
valores que los representen, los ordena, los clasifica, construye tablas, se representan gráficos y
estudia si hay alguna explicación teórica que los justifique)
La estadística inferencial: obtiene conclusiones y toma decisiones a partir del análisis de los datos.
En esta fase se utiliza la probabilidad.
En este curso estudiamos la estadística descriptiva
61
DEFINICIONES BÁSICAS
Se llama "población ", "universo" o "colectivo", al conjunto de todos los elementos que cumplen
una determinada característica (motivo de la estadística). Los elementos de una población se
denominan "individuos" o "unidades estadísticas".
Se llama "muestra " a un subconjunto de la población. Una muestra es válida si es representativa de
la población. Para ello los elementos deben ser elegidos de forma aleatoria: todos y cada uno de los
elementos de la población tienen la misma posibilidad de formar parte de la muestra
La muestra no es una porción cualquiera de la población, sino una porción representativa de ella. La
composición de una muestra debe estar en proporción a la composición de la población a la que
representa. Así, si se desea elegir una muestra formada por 1000 personas en la que el 60% de los
individuos son mujeres, deberemos elegir para la muestra 600 mujeres y 400 hombres.
Al número de elementos de una muestra se le denomina tamaño.
Se llama carácter estadístico a una propiedad que permite clasificar a los individuos de una
población o bien la cualidad observable en una población y que es el motivo de la estadística. Se
distinguen dos tipos de caracteres estadísticos, cualitativos y cuantitativos.
Caracteres estadísticos cuantitativos son aquellos que se pueden medir (como por ejemplo, la
talla de un individuo). Es evidente que un carácter cuantitativo toma distintos valores según el
individuo que se examine. El conjunto de todos los valores que puede tomar un carácter estadístico
cuantitativo se llama variable estadística y se representa por xi. Puede ser de dos tipos: discreta
cuando la variable estadística toma valores aislados, esto es, entre dos valores consecutivos, no
puede tomar los valores intermedios y continua cuando la variable estadística puede tomar entre
dos valores cualquier valor intermedios
Caracteres estadísticos cualitativos son aquellos que no se pueden medir (como por ejemplo, la
profesión de una persona). Se llaman modalidades de un carácter estadístico a cada una de las
diferencias que se pueden establecer dentro de un carácter estadístico cualitativo (por ejemplo, son
modalidades del carácter profesión de una persona: biólogo, abogado,…).
Según esto, los caracteres cuantitativos determinan a las variables estadísticas mientras que los
caracteres cualitativos determinan atributos (modalidades).
Se llama frecuencia absoluta del valor xi y se representa por fi al número de veces que se repite
dicho valor.
Se llama frecuencia relativa del valor xi y se representa por hi al cociente entre la frecuencia
absoluta de xi y el número total de datos (N), que intervienen en la distribución: hi = fi / N
Se llama frecuencia absoluta acumulada (en sentido ascendente) del valor xi, y se representa por
Fi a la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a xi más la frecuencia
absoluta de xi:
Fi = f1 + f2 + ... + fi
Si la frecuencia relativa la expresamos mediante porcentajes, encontramos la frecuencia
porcentual. Se calcula multiplicando por 100 la frecuencia relativa. La frecuencia porcentual estará
lógicamente comprendida entre 0 y 100 y la notaremos por Pi.
Para analizar una muestra debemos seguir ordenadamente los siguientes puntos:
1) Recogida de datos: Consiste en tomar los datos numéricos procedentes de la muestra.
2) Ordenación de los datos: Colocarlos por orden creciente o decreciente.
3) Recuento de frecuencias: Contar los datos obtenidos.
4) Agrupación de datos: En el caso de que la variable sea continua o un número de datos grande
(intervalos). (Ver nota)
5) Construcción de la tabla estadística: En dicha tabla estadística deberán figurar: a) Los valores de
la variable - si es cuantitativa - o las modalidades - si es cualitativa - b) Las frecuencias: absolutas
62
,relativas, acumulada y porcentual c) Los cálculos necesarios para facilitar el cálculo de los
parámetros
Nota
En el caso de que la variable sea bien continua o bien discreta, pero con un número de datos muy
grande, es aconsejable agrupar los datos en clases o intervalos de clase, que son subconjuntos del
conjunto de valores que puede tomar la variable continua.
Para ello, hemos de tener en cuenta el rango o recorrido de la variable, que viene dado por la
diferencia entre el valor máximo de la variable y el valor mínimo. El tamaño del intervalo es su
amplitud, pueden ser constantes o variables, aunque debemos procurar que todos tengan la misma
amplitud. Para hallar la amplitud del intervalo dividimos el recorrido por el número de intervalos n
que queremos obtener.
No existe ninguna ley que nos diga el número de intervalos que debemos formar, un mayor número
de intervalos implica una menor claridad pero una exactitud mayor y al contrario, un número menor
de intervalos significa ganar en claridad de expresión y en facilidad de cálculo, al igual que supone
menos precisión y exactitud. Norclife establece que el número de clases debe ser aproximadamente
igual a la raíz cuadrada positiva del número de datos.
Los límites de un intervalo son los extremos de dicho intervalo; es aconsejable escoger los límites
de modo que se sitúen en números enteros. Los intervalos se deben construir de tal forma que el
límite superior de un intervalo coincida con el límite inferior del siguiente.
A los puntos medios de cada clase se les llama marca de clase.
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Diagrama de barras. Polígono de frecuencias
El diagrama de barras se utiliza para representar variables discretas. Sobre el eje horizontal o eje de
las abscisas se indican los valores de la variable (un punto cualquiera para cada valor) y sobre el
vertical o de las ordenadas las frecuencias que les corresponden. A continuación se levantan trazos
gruesos o barras por los puntos marcados en el eje de las abscisas, de longitud igual a la de la
frecuencia correspondiente a cada valor. Si trazamos una línea poligonal que una los extremos de
las barras, obtenemos el polígono de frecuencias.
Si en vez de levantar barras, levantamos dibujos tenemos un Pictograma
Histograma. Polígono de frecuencias
El histograma se utiliza para representar variables cuantitativas continuas y cuando los datos se
agrupan en intervalos. Sobre el eje horizontal se indican los extremos de los intervalos y se levantan
rectángulos de base la amplitud del intervalo y altura la frecuencia. La línea poligonal que une los
puntos medios de los lados superiores de cada rectángulo es el polígono de frecuencias.
Diagrama de sectores
El diagrama de sectores se usa para cualquier tipo de variable. Los datos se representan en un
círculo, siendo la amplitud del sector circular que corresponde a un dato xi igual a 360º por la
frecuencia relativa de xi (también se puede calcular haciendo una sencilla regla de tres ) Ejemplo:
La frecuencia de las vocales (a,e,i,o) que aparecen en una frase viene dada por la siguiente tabla:
10
13
4
Nº grados de a = ·360º;
Nº grados de e = ·360º ;
Nº grados de i = ·360º
30
30
30
10
Nº grados de o = ·360º
30
63
vocal
a
fi
10
e
13
i
4
o
3
hi
10
30
13
30
4
30
3
30
Parámetros
Una característica casi continua a lo largo de la estadística es el manejo de una gran
cantidad de datos. Se ha visto ya que una forma de reducir la complejidad de los datos estadísticos
de una distribución es la construcción de tablas estadísticas y las representaciones gráficas.
Uno de los fines más importantes de la estadística descriptiva es el de resumir o sintetizar esas
grandes cantidades de datos en unos pocos números que nos proporcionan una idea, lo más
aproximada posible, de toda la distribución. Estos números se conocen con el nombre de parámetros
estadísticos.
En general, se llama parámetros estadísticos a ciertos valores característicos que representan los
aspectos más destacables de dicha distribución y facilitan su estudio.
Vamos a estudiar dos tipos: Parámetros centralización o de posición y los parámetros de dispersión
Los parámetros centralización o de posición, sirven para estudiar las características de los valores
centrales de la distribución atendiendo a distintos criterios.
Las medidas de posición más importantes son: la media aritmética, la mediana y la moda. También
se utilizan los cuartiles, deciles y percentiles.
Media aritmética. Cálculo de la misma.
Se llama media aritmética simple de una variable estadística a la suma de todos los valores de dicha
variable (o de las marcas de clase para datos agrupados en intervalos) dividida por el número de
valores.
La media aritmética de la variable x se representa por x.
Cálculo:
n
Sea x una variable estadística que toma los valores x1, x2, ... xn.
64
x
x
i1
n
i
Sea x una variable estadística que toma los valores x1, x2, ... xn, con frecuencias f1, f2,
... fn respectivamente, luego:
n
x
x=
i
• fi
i=1
=
n
f
x 1 • f1 + x 2 • f 2 + ... + x n • fn
f1 + f 2 + ... + fn
i
i=1
Mediana, cuartiles. Cálculo.
Si todos los valores que toma la variable están ordenados en forma creciente o decreciente, se llama
mediana a aquel valor, xm, que ocupa el lugar central si hay un número impar de datos, o, en caso
de ser par, a la media aritmética de los valores centrales xm y xm+1. Se representa por M e
La mediana, tal como indica su definición, tiene la propiedad de que el 50% de los datos son
menores o iguales que ella y el 50% restante son mayores o iguales que ella.
Para su cálculo distinguiremos dos casos:
a) Mediana con datos no agrupados: Para calcular la mediana con datos no agrupados se ordenan los
elementos en sentido creciente o decreciente y la mediana es el valor que ocupa el valor
b) Mediana con datos agrupados por frecuencias. Para calcular la mediana ordenamos los datos de
la variable de menor a mayor y calculamos las frecuencias absolutas acumuladas. La mediana viene
dada por el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada exceda a la mitad del
número de datos.
Cuartiles
Si todos los valores que toma la variable están ordenados en forma creciente o decreciente, se
llaman cuartiles a los valores que ocupan los lugares que se indican: El primer cuartil, se representa
N
por Q1, es el dato que ocupa el lugar del a tabla. El segundo cuartil, se representa por Q2 es el
4
2N
dato que ocupa el lugar
del a tabla (coincide con la mediana). El tercer cuartil, se representa por
4
3N
Q3 es el dato que ocupa el lugar
del a tabla.
4
El cálculo de los cuartiles se hace de forma análoga al cálculo de la mediana
Moda
Es el valor que más veces se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia. Se representa por Mo
Los parámetros de dispersión: miden la mayor o menor concentración o dispersión de los valores
alrededor de los parámetros de centralización.
Los más característicos son el rango o recorrido, la varianza y la desviación típica.
Rango o recorrido
El rango o recorrido es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo
Desviación media
Se llama desviación de xi respecto a la media a la diferencia entre el valor x i y la media. Se
representa por di
di = xi - x
65
La desviación media es la media aritmética del valor absoluto de las desviaciones. Se representa
n
d
dm =
por dm
• fi
i
i=1
n
f
i
i=1
Varianza y desviación típica
La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones di, se representa por V(x) o
por S2(x) o por 2
n
=
2
n
di2 • fi
i=1
=
n
f
x
i
i=1
2
i
• fi
i=1
-x
n
f
2
i
i=1
La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza, se representa por S (x) o por ,
V (x)
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética, se
σ
representa por C V
CV=
x
FÓRMULAS ESTADÍSTICA
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
n
Media aritmética simple ( x o ):
x
xi
1
N
n
o bien x
x i fi
1
n
fi
1
Mediana (M) (valor central)
N 1
m
nº impar de datos : M x m
2
Variable discreta
x N x N
1
2
2
nº
par
de
datos
:
M
2
Variable continua : Intervalo de la mediana el de frecuencia acumulada Fi >
Cuantiles
a) Cuartiles: Q1 (25%), Q 2 (50%), Q 3 (75%)
66
N
2
Moda (M o ) : Variable discreta: Valor de mayor frecuencia absoluta.
Variable continua: Intervalo de la moda el de mayor frecuencia absoluta
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Rango o recorrido: máx ( x i ) – mín ( x i )
a) Rango intercuartílico: Q = Q3 - Q1
n
Varianza ( S2 ó 2 )
S2 =
n
2
fi (x i - x)
2
fi x i
1
=
n
fi
1
Desviación típica (S ó )
n
fi
- x2
1
S S
2
1
2
Coeficiente de variación (se representa por C V)
CV=
x
n
x i yi f i
Covarianza ( S xy )
1
Sxy =
n
fi
- xy
1
Recta de regresión de y sobre x
y-y=
Recta de regresión de x sobre y
x-x=
Coeficiente de correlación r = =
Sxy
S2x
Sxy
S2y
(x - x)
(y - y)
Sxy
Sx S y
PROBLEMAS
1.- Un equipo ciclista quiere estudiar el estado de las bicicletas a lo largo de cuatro años. Toma una
muestra de 20 bicicletas y mira los Kilómetros que han recorrido:
Kilómetros recorridos: xi
Número de bicicletas: fi
1 000
2
1 500
3
1 600
7
2 000
3
2 100
5
a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la
moda. c) Halla los cuartíles. d) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.
67
2.- Los siguientes datos corresponden al número de billetes vendidos en una atracción de feria en
un mes: 10, 20, 7, 15, 25, 7, 5, 10, 10, 20, 25, 6, 3, 15, 16, 20, 25, 30, 45, 30, 10, 7, 15, 25, 10, 20,
25, 7,15,10
a) Realiza una tabla y un polígono de frecuencias. b) Calcula los cuartíles.
c) Encuentra
la desviación típica.
3.- Una casa de neumáticos para coches quiere probar 20 de los que ha fabricado. Para ello los
somete a una prueba que consiste en ver cuántos Kilómetros aguantan a alta velocidad durante 2
horas. EL resultado es el siguiente
Kilómetros recorridos: xi
Número de neumáticos: fi
100
5
200
12
300
3
a) Representa en forma de pictograma este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c)
Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.
4.- En un laboratorio de Física se quiere estudiar la resistencia de un material. Para ello se someten
20 bloques de este material a cinco pesos diferentes. Los resultados son los siguientes:
Peso (Kilopondios): xi
Número de trozos que resisten : fi
100
5
200
7
300
3
400
3
500
2
a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la
moda. c) Halla los cuartíles. d) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.
5.- Cáritas ha hecho un estudio sobre el número de niños abandonados en un año en veinte
capitales de provincia, obteniendo los siguientes datos:
Número de niños: xi
Número de capitales: fi
10
2
12
6
15
3
25
5
30
4
a) Calcula el número medio de niños abandonados
b) Averigua la desviación típica
c) Halla los cuartiles
6.- Una ONG que se dedica a la preservación del medio ambiente realiza un estudio sobre el
número de truchas que se han pescado en un río durante treintas días. El resultado es el siguiente
Número de truchas: xi
Número de días: fi
10
2
20
10
25
9
29
5
30
4
a) Representa gráficamente este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Determina
la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.
7.- Una compañía aérea quiere saber el número medio de viajeros al cabo de un mes. Realiza un
estudio y obtiene los siguientes resultados:
68
Número de viajeros xi
[0-300)
[300-600)
[600-900)
[900-1 200)
Número de días: fi
5
10
12
3
a) Representa gráficamente este resultado. b) Calcula la media c) Determina la varianza, la
desviación típica y el rango o recorrido.
8.- Una cadena de comidas a domicilio quiere saber el tiempo medio que tardan en repartir a una
determinada zona de la ciudad. Para ello manda a sus repartidores que apunten el tiempo que
invierten. Preguntando a 25 repartidores, se obtuvieron los siguientes resultados:
Tiempo: xi
Número de repartidores: fi
[10, 12)
8
[12, 14)
12
[14, 16)
4
[16, 18)
1
a) Representa la información en un histograma b) Calcula el tiempo medio y la desviación
típica.
9.- La Inspección Técnica de Vehículos de la Comunidad de Castilla y León quiere saber cuántos
vehículos pasan al año que no superan el test de gases contaminantes. Preguntados treinta centros de
inspección se consiguieron los siguientes resultados:
Número de vehículos: xi
Número de ITV: fi
[ 0, 3 )
5
[ 3, 6 )
2
[ 6, 9 )
10
[ 9, 12 )
13
a) Representa la información en un histograma b) Calcula el número medio de vehículos que
no superan el test y halla la desviación típica.
10.- Una compañía discográfica quiere estudiar el número de discos vendidos por un grupo de
música independiente. Para ello realiza un seguimiento de las ventas durante un mes y llega a los
siguientes resultados:
Número de discos xi
[100-200)
[200-300)
[300-400)
[400-500)
Número de días: fi
10
15
3
2
a) Representa la información en un histograma b) Calcula el número medio de discos vendidos
y halla la desviación típica.
11.- La protectora de animales quiere investigar el número de perros abandonados durante los
meses de verano en una ciudad. Encarga, durante 70 días, un estudio estadístico del número de
perros abandonados en la calle. Los resultados del estudio han sido:
Número de perros: xi
Número de días: fi
[10, 15)
20
[15, 20)
10
[20, 25)
15
[25, 30)
17
[30, 35)
8
a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Halla el número medio de perros
abandonados. c) Determina la varianza y la desviación típica.
69
12.- Las cifras siguientes corresponden al número de pólizas que una compañía de seguros realiza
durante los meses de un año y al número de accidentes que ocurren al mes:
Pólizas 30
Accidentes 10
35
52
15
60
25
83
42
47
12
25
20
30
15
82
18
100
33
53
26
47
10
35
SOLUCIONES AL TEMA 12
Soluciones de los problemas propuestos
1.- b) x = 1710 km, Mo: xi= 1600, Me: xi=1600; c) Q1: xi=1550, Q2=Me, Q3: xi=2050 d) 2 =
2741900, = 1655’87, r = 1100
2.- b) Q1: xi =10, Q2: xi =15, Q3: xi = 2 c), = 9’38
3.- b) x = 190, Mo: xi= 200, Me: xi= 200; c) 2 = 3900, = 62’45, r = 200
4.- b) x = 250, Mo: xi= 200, Me: xi= 200; c) Q1: xi=150, Q2=Me, Q3: xi= 350
d) 2 =
16500, = 128’45, r = 400
5.- a) x = 19’1, Mo: xi= 12, Me: xi=15; b) = 7’64 c) Q1: xi=12, Q2=Me, Q3: xi=25
6.- b) x = 23’66, Mo: xi= 20, Me: xi= 25; c) 2 = 27’87, = 5’27, r = 20
7.- b) x = 580; c) 2 = 70100, = 264’76, r = 1200
8.- b) x = 12’84 = 1’59
9.- b) x = 7’6, = 3’23
10.- b) x = 240, = 83’06
11.- b) x = 21’28; c) 2 = 48’17, = 6’94
12.- más dispersos los accidentes
TEMA 13
PROBABILIDAD
TEORÍA
En la naturaleza podemos encontrar dos tipos de fenómenos o experimentos: deterministas y
aleatorios.
Experimentos deterministas son los que se pueden saber los resultados antes de realizarlos. Sus
resultados siguen una ley física.
Experimentos aleatorios son los que no se pueden saber los resultados antes de realizarlos. Pueden
dar lugar a varios resultados sin que se pueda saber, sin realizarlo, cuál de ellos va a ocurrir.
SUCESOS:TIPOS DE SUCESOS
Espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles de
dicho experimento. Se representa por la letra E.
Se llama suceso aleatorio asociado al experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos que se
pueden formar con los resultados del espacio muestral. Existen distintos tipos de sucesos:
Suceso seguro el que ocurre siempre que se realiza el experimento y coincide con E.
70
Suceso imposible, cuando no ocurra nunca. Se designa por
Suceso elemental. Cualquier resultado posible de un experimento aleatorio es un suceso elemental.
Cualquier elemento de E es un suceso elemental.
Suceso compuesto el que está formado por varios sucesos elementales
Al efectuar un experimento aleatorio se dice que el suceso A se ha verificado si el suceso elemental
resultado del experimento está incluido en A.
Dado un suceso A se llama suceso contrario o complementario de A al que se verifica siempre
que no se verifique A. Se le representa por A .
E
=E
Sucesos dependientes e independientes
Cuando en un experimento aleatorio el resultado de un suceso no condiciona el resultado de otro
suceso consecutivo decimos que los sucesos son independientes. En caso contrario los sucesos son
dependientes.
Experimentos aleatorios compuestos
Los experimentos que resultan de combinar varios experimentos simples reciben el nombre de
experimentos compuestos o complejos. Ejemplo: experimento que consiste en lanzar un dado y una
moneda
Diagrama en árbol
Un diagrama en árbol es una representación gráfica de los posibles sucesos de un experimento
OPERACIONES CON SUCESOS
Dados dos sucesos A , B , se llama unión (o suma) de los sucesos A y B, y se representa por
A B, al suceso que consiste en verificarse A o B o ambos.
Se llama intersección (o producto) de A y B, y se representa por A B, al suceso que consiste en
verificarse ambos sucesos.
Dos sucesos asociados a un experimento aleatorio son incompatibles si no pueden verificarse
simultáneamente. A y B son incompatibles, si el suceso A B no puede darse nunca y es el
suceso imposible. A y B son compatibles, si el suceso A B no es el suceso imposible.
La unión de sucesos cumple las siguientes propiedades.
A =A , A A =E ,A A=A
La intersección de sucesos cumple las siguientes propiedades:
A E=A
A A =
A A=A
Otra operación de sucesos es la diferencia: A - B = A B
FRECUENCIA RELATIVA Y PROBABILIDAD
Sea A un suceso asociado a un determinado experimento aleatorio. Efectuamos N pruebas y
representamos por n el número de veces que se ha realizado A en las N pruebas.
Frecuencia absoluta es el número de veces que se ha realizado A en el conjunto de pruebas, es
decir, n.
Frecuencia relativa es el cociente entre el número de veces que se ha realizado A en el conjunto de
pruebas, es decir, n y el número total de pruebas, es decir N: f (A)= n
r
N
La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el
número de pruebas del experimento crece indefinidamente.
Este número al que la frecuencia relativa de un suceso se acerca más cuanto mayor es el número de
pruebas realizadas recibe el nombre de probabilidad del suceso y se representa por P (A)
Propiedades de la probabilidad
71
1) la probabilidad de un suceso es siempre un número real comprendido entre cero y uno 0 <
P(A) 1. La probabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos es positiva o nula.
2) La probabilidad del suceso seguro es la unidad: p(E) = 1.
3)La probabilidad del suceso imposible es cero: p( ) = 0.
4) Si A y B son sucesos incompatibles p(A B) = p(A) + p(B)
5)La probabilidad del suceso contrario de un suceso es igual a la unidad menos la probabilidad del
suceso p( A ) = 1 - p(A)
6) P(A-B) = p(A B )= p(A) - p(A B).
7) Si A y B son dos sucesos compatibles p(A B) = p(A)+p(B) - p(A B)
8) Si A B p(A) < p(B)
9) P(A) < 1
10) La probabilidad de la intersección de dos sucesos independientes es igual al producto de las
probabilidades P(A B) = P(A) · P(B)
REGLA DE LAPLACE.
Sea E un espacio muestral y sean {a1}, {a2}, ... {an} los n sucesos elementales de E. Si todos ellos
son equiprobables y A es el suceso formado por k sucesos elementales, se tiene que:
P(A) = k / n
Es decir, que la probabilidad del suceso A es igual al cociente entre el número de sucesos favorables
al suceso A y el número de casos posibles del experimento.
NOTA: Casos posibles son todos los resultados del experimento, es decir, todos los elementos del
espacio muestral. Casos favorables son los elementos que componen el suceso A.
PROBLEMAS
1.- Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y una moneda. Si A es el suceso
que la moneda salga cruz y B es el suceso de obtener 1 ó 2 con el dado, indicar el significado de los
siguientes sucesos:
a) A b) B
c) A B d) A B
2.- El espacio muestral relativo a un experimento aleatorio es E = {1,2,3,4} y se consideran los
sucesos A = {1,2} B = {2,4} C = {14}
Calcular los siguientes sucesos
a) A b) B c) A B d) A B e) C B f) A B g) C B h) A C
3.- Sean A, B y C tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresar mediante operaciones con
sucesos los siguientes:
a) se verifica A y C pero no B.
b) Se verifica al menos uno de los tres sucesos.
c) Se verifican al menos dos sucesos.
d) No se verifica ninguno de los tres.
e) Se verifica uno solo de los tres sucesos.
4.- se considera el experimento aleatorio de lanzar al aire dos dados y anotar los resultados. Se pide:
a) El espacio muestral.
b) Elementos del suceso "obtener siete puntos".
c) Elementos del suceso "obtener ocho puntos".
d) Elementos del suceso "obtener al menos ocho puntos".
72
5.- Se lanzan dos dados de distintos colores sobre una mesa y se anotan los números obtenidos.
Determinar por extensión los sucesos A y B siguientes:
- A: "sacar al menos un seis".
- B: "sacar sólo un seis"
6.- . Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra
negra. Describir el espacio muestral cuando:
a) La primera bola se devuelve a la urna antes de cacar la segunda.
b) La primera bola no se devuelve.
c) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.
7.- Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la
probabilidad de que sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?.
8.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar de una sola vez dos bolas blancas o dos bolas rojas de una urna
que contiene 5 bolas blancas y 7 bolas rojas?.
9.- Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
a) La probabilidad de que salga el siete.
b) La probabilidad de que el número obtenido sea par.
c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3.
10.-. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es 1/4 y la que su mujer viva 20 años es 1/3.
Se pide calcular la probabilidad:
a) de que ambos vivan 20 años.
b) de que el hombre viva 20 años y su mujer no.
c) de que ambos mueran antes de los 20 años.
11. -¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado tres veces aparezca siempre el mismo número?
12.- En un cierto conjunto de números naturales la probabilidad de que uno de ellos sea divisible
para 2 es 1/6, la probabilidad de que sea divisible para 5 es 1/3 y la probabilidad de que sea
divisible para 10 es 1/12. ¿Cuál es la probabilidad de que un número de ese conjunto sea divisible
para 2 ó para 5?.
13.- Determinar la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a) La obtención de 6 puntos en una sola tirada de dos dados.
b) La aparición de un rey al extraer una carta de una baraja de 40 cartas.
c) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.
14.- De una caja que contiene 5 bolas blancas, 5 rojas y 4 azules, se extrae una al azar. Hallar la
probabilidad de que la bola extraída sea:
a) blanca; b) roja; c) azul; d) no blanca; e) roja o azul
15.-. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 3 en dos lanzamientos de un dado.
16.- . Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Obtener 8 puntos en una sola tirada de dos dados.
b) Obtener en una sola tirada con dos dados una suma de 7 u 11.
c) Obtener al menos una cara en tres lanzamientos con una moneda.
73
17.- Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado dos veces salga al menos un 4.
18.- Se sacan al azar dos cartas de una baraja de 40 cartas. Hallar la posibilidad de que las dos sean
oros. Hallar la posibilidad de que una sea oros y la otra espadas.
19.- En una caja hay 15 lámparas, de las que 5 son defectuosas. Se eligen 3 al azar. Hallar la
probabilidad de que:
a) ninguna sea defectuosa.
b) una exactamente sea defectuosa.
20.- En una urna hay seis bolas blancas, cinco amarillas, siete azules, cinco rojas y nueve verdes. Se
extrae una bola al azar. Hallar la probabilidad de que sea azul, roja o amarilla.
21.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres dados cuyas caras están numeradas del 1 al 6 la
suma sea 18?.
22. -¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5, por lo menos, al tirar un dado dos veces?.
23.- Se sacan sucesivamente tres cartas de una baraja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres
sean del mismo palo?.
24.- Se sacan sucesivamente tres cartas de una baraja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que cada
una sea de palo diferente?.
25. -Una urna contiene ocho bolas rojas y cuatro bolas blancas. Se sacan tres bolas de la urna, una
tras otra. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean rojas, y la tercera blanca.
26.- Se sacan 4 cartas de una baraja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean de oros?.
27.- De una baraja de 40 cartas se sacan sucesivamente dos al azar. Hallar la probabilidad de que la
primera sea caballo y la segunda rey.
28.- Calcular la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja española salgan: a) dos
figuras; b) por lo menos una figura; c) una un tres y la otra un as;
Considerar las dos posibilidades: a) con reemplazamiento y b) sin reemplazamiento.
29.- Una urna A contiene 4 bolas blancas y 6 rojas y otra B contiene 7 bolas blancas y 5 rojas. Se
saca una bola de la urna A y se pasa a la urna B. Se extrae una bola de la urna B. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar una bola roja?.
30.- Una urna contiene 9 bolas blancas y 7 bolas negras. Hallar la probabilidad de que en dos
extracciones consecutivas ambas bolas sean negras sabiendo:
a) que la primera bola se reintegra a la urna antes de la segunda extracción.
b) que la primera bola no se reintegra.
31.- Un aparato consta de dos partes A y B. El proceso de fabricación es tal que la probabilidad de
que la parte A salga defectuosa es 0,1 y la probabilidad de un defecto en B es de 0,03. ¿Cuál es la
probabilidad de que el aparato sea defectuoso?.
32.- Una urna contiene 2 bolas blancas y 3 negras y una segunda urna contiene 4 bolas blancas y 2
negras. Se trasladan dos bolas de la primera urna a la segunda y a continuación se extrae una bola
de la segunda urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?.
74
33.- Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara se introduce en la urna una
bola blanca y si sale cruz se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y a
continuación se introduce la mano en la urna y se saca una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en
la urna quede una bola blanca y la otra negra?
34.- La caja A contiene 5 fichas azules y 3 rojas, y la caja B contiene 4 azules y 6 rojas. Se traslada
una ficha de la caja A a la caja B, a continuación se extrae una ficha de la caja B ¿Cuál es la
probabilidad de que sea roja?.
35.- Con los datos del problema anterior, se trasladan dos fichas de la caja A a la caja B, después se
extrae una ficha de la caja B. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha extraída sea azul?
36.- La urna A contiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras, otra urna contiene 2 bolas blancas y 4
negras. Se saca una bola de A y sin verla se echa en la urna B. Después se saca una bola de la urna
B ¿cuál es la probabilidad de que la bola sacada sea negra?
37.- Se tiene una bolsa con nueve bolas numeradas del uno al nueve. Se realiza un experimento que
consiste en la extracción de una bola de la bolsa, se anota el número y se reintegra a la bolsa.
a) Halla el espacio muestral.
b) Construye los siguientes sucesos:
A= "obtener número par".
B= "obtener número primo".
C= "obtener múltiplo de tres".
c) Calcula la probabilidad de los sucesos anteriores
SOLUCIONES AL TEMA 13
Soluciones a los ejercicios propuestos
1) a) Suceso salga cara.
b) Salga 3 ó 4 ó 5 ó 6 c) Salga cruz ó 1 ó 2. d) Salga cara ó 3 ó 4 ó 5 ó 6
2) a) {3,4} b) {1,3,} c) {1,2,4} d) {1,3,4} e) {1,2,4} f) {2} g) {4} h) {1}
3) a) A B C
d) A B C
b) A B C
c) (A B) (A C) (B C)
e) (B C A) (B C A) (B C A)
4) b) {1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}
c) {(2,6) ( 3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,3) (6,2)}
d) {(2,6) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,3) (5,4) (5,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
5) A = {(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)}
B = {(1,6) (2,6) (3,6) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)}
6) a) {(B,B) (B,R) (B,V) (B,N) (R,B) (R,N) (R,V) (R,R) (V,B) (V,R) (V,N) (V,V) (V,R) (N,B)
(N,R) (N,N) (N,V)}
b) {(B,R) (B,V) (B,N) (R,B) (R,V) (R,N)(V,B) (V,R) (V,N) (N,B) (N,R) (N,V)}
8) P(BB RR) = 5/33 + 7/22
7) P(R B) = 9/15
P( B ) =10/15
9) P(S 7) = 6/36
P(S par) = 18/36
P(S 3) =12/36
10) P(H M) = 1/12
P(H M) = 1/6
P(H M) = ½
11) 1/36
12) P(2 5) = 5/12
13) a) 5/36
b) 1/10
c) 3/4
75
14) a) 5/14
b) 5/14
c) 4/14
d) 9/14
e) 9/14
15) 11/36
16) a) 5/36
b) 8/36
c) 7/8
17) 11/36
18) 9/156; 5/39
19) a) 72/273 b) 45/91
21) 1/63
22) 11/36
23)12/247
24) 25/247
25) 28/165 26) 21/9139
27) 2/195
28) a) 9/100; 51/100; 1/50 b) 11/130; 67/130; 4/195
29) 28/65
30) a) 49/256
b) 70/40
31) 0.1297
32) 3/5
33) 1/2
34) 51/88
35) 49/112
36) P(B)=19/56 P(N)=37/56
37) a) {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) A = {2,4,6,8} B = {1,2,3,5,7}
c) P(A) = 4/9 P(B) = 5/9 P(C) = 3/9
76
C = {3,6,9}
20) 17/32
