Download AM - Parte 1

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Amplitud Modulada
Un carrier u onda portadora sin modular es de la forma
eC(t) = EC cos (2 fCt)
donde EC es la amplitud de la onda continua (CW or
continuous wave), y fC es la frecuencia del carrier u onda
portadora en Hz.
Por conveniencia, asumamos que la señal a ser modulada es
un sinusoide de una frecuencia fm << fC. Esto es, sea em(t)
la señal a ser modulada.
em(t) = Em cos (2 fm t)
Un carrier con modulación AM se define como
e(t) = (EC + Em cos (2 fm t)) cos (2 fC t) donde fm << fC
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Veamos algunas gráficas de e(t):
Carrier sin modular (EC=1 y Em = 0):
Carrier modulado (EC=1 y Em = 0.5):
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Si la señal de modulación fuera una onda cuadrada,
obtendríamos la siguiente gráfica para el carrier modulado
(EC=1 y Em = 0.5):
Si la señal de modulación fuera una onda de diente de
serrucho, obtendríamos la siguiente gráfica para el carrier
modulado (EC=1 y Em = 0.5):
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En todos los anteriores casos podemos observar que la
información se encuentra en la envolvente del carrier.
Un importante parámetro en AM es el índice de
modulación m.
Em
m = E
C
=
amplitud _ de _ señal _ de _ mod ulación
amplitud _ del _ carrier
¿Cómo podemos experimentalmente medir el índice de
modulación m? Veamos un ejemplo.
En la anterior figura, la amplitud pico a pico demarcada por
las dos líneas amarillas corresponde a A = 2(EC + Em). La
amplitud pico a pico demarcada or las dos líneas rojas
corresponde a B = 2(EC - Em).
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A y B son conocidas pues podemos medirlas
experimentalmente. Tenemos un sistema de dos ecuaciones
en dos desconocidas, EC y Em.
2 EC + 2 Em = A
2 E C - 2 Em = B
La solución es
4 EC = A + B
4 Em = A - B
Por lo tanto,
A B
4Em
Em
m = A  B = 4E = E
C
C
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¿Cómo es el espectro de una señal de AM? ¿Cuánto
ancho de banda ocupa?
Para contestar estas importantes preguntas, comencemos
con la representación matemática de un tono (i.e. un
sinusoide) de baja frecuencia modulando un carrier (i.e.
onda portadora) de alta frecuencia.
e(t) = (EC + Em cos (2 fm t)) cos (2 fC t) donde fm << fC
e(t) = EC cos (2 fC t) + Em cos (2 fm t) cos (2 fC t)
Utilizando identidades trigonométricas obtenemos
e(t) = EC cos 2 fC t + (Em /2) cos (2 fC t + 2 fm t) +
(Em /2) cos (2 fC t - 2 fm t)
e(t) = EC cos 2 fC t + (Em /2) cos 2 fC + fm) t +
(Em /2) cos 2 fC - fm) t
El power spectrum de e(t) consiste de un carrier a
frecuencia fC, y dos sidebands. Uno de los sidebands, el
upper sideband, es un carrier a una frecuencia fC + fm. El
lower sideband es un carrier a una frecuencia fC - fm.
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power spectrum
f
fc - f m
fc
fc + f m
Observando el power spectrum podemos concluir
interesantes observaciones sobre el ancho de banda y la
potencia requerida.
El ancho de banda es (fC + fm) - (fC - fm) = 2 fm
Esto implica que un carrier de AM modulado por un
sinusoide requiere del doble del ancho de banda de la señal.
O sea, que en AM se desperdicia ancho de banda!!!!!!!!!!!!!
Desde el punto de vista de eficiencia en la utilización del
espectro, AM es pésimo.
La FCC ha asignado un ancho de banda de 10 k Hz a cada
estación comercial de AM. Eso quiere decir, que cada
sideband tan sólo cuenta con 5 k Hz de ancho de banda. No
en balde en AM los tonos altos se escuchan tan mal!!!!!!!!!!
Ahora, asumiendo resistencia unitaria, examinemos la
potencia requerida.
2
E
C
La potencia del carrier a frecuencia fC es (EC/√2)2 = 2 =
PC
8
La potencia del upper sideband (USB) es (Em /(2 √2))2 =
(mEC ) 2
E m2
=
8
8
=
m 2 EC2
= PUSB
8
La potencia del lower sideband (LSB) es (Em /(2 √2))2 =
(mEC ) 2
E m2
=
8
8
=
m 2 EC2
= PLSB
8
Sea Ptotal la potencia total.
Ptotal = PC + PUSB + PLSB
m 2 EC2
m 2 EC2
E C2
Ptotal = 2 + 8 + 8
m 2 EC2
E C2
Ptotal = 2 + 4
E C2
m2
Ptotal = 2 ( 1 + 2 )
m2
Ptotal = PC ( 1 + 2 )
¿Qué valores puede, razonablemente, asumir m?
Para contestar esta pregunta examinemos las siguientes
gráficas.
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Em
m = E
C
Si el índice de modulación es uno, esto es, si Em = EC
entonces el carrier “se clippea”, produciendo harmonic
distortion y un incremento en el ancho de banda.
Dado que
m2
Ptotal = PC ( 1 + 2 )
y que para evitar distorsión y aumento en el ancho de banda
requerido 0 < m < 1, entonces
10
3
1
max( Ptotal ) = PC ( 1 + 2 ) = 2 PC
¿Qué por ciento de la potencia total es utilizado para
transmitir el carrier?
PC
PC
2
% = P x 100 = 3PC x 100 = 3 x 100 = 66.66 %
total
2
Como normalmente se opera con m < 1, entonces siempre
emplearemos por lo menos 2/3 de la potencia total
transmitiendo un carrier que después de todo, no lleva
ninguna información!!!!!
¿Qué por ciento de la potencia total en realidad va a ser
utilizada por el receiver para detectar la señal?
Si 66.66 % de la potencia total es utilizada para transmitir
un carrier, esto nos deja un 33.33 % para transmitir los dos
sidebands. De estos dos sidebands, el receiver tan sólo
utiliza uno de ellos. Por lo tanto, en el mejor de los casos, el
receiver tan sólo cuenta con 33.33/2 = 16.66 % de la
potencia para detectar la señal.
Si AM es tan ineficiente, tanto en la utilización de ancho de
banda como en la utilización de la potencia, entonces,
¿cómo es tan popular? ¿A qué se debe su desarrollo y
amplio uso?
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Se debe a que el detector de AM implementado en los
receivers es bien barato. Cuando examinemos los circuitos
de recepción veremos que un diodo, una resistencia y un
condensador son suficientes para implementar un detector
de AM.
Ejemplo numérico:
Si tenemos un carrier de AM con amplitud de 30 V y un
índice de modulación de 66.7 % , entonces calcule la
potencia de cada una de los dos sidebands, la potencia del
carrier y la potencia total. Asuma una impedancia de 50 .
EC = 30 voltios
Em
m = E = 0.667 => Em = 30 x 0.667 = 20 voltios
C
PC = (EC / √2)2 / 50
PC = (30 / √2)2 / 50 = 9 W
m2
Ptotal = PC ( 1 + 2 )
0.667 2
Ptotal = 9( 1 + 2 ) = 11 W
PUSB + PLSB = 11 – 9 = 2 W
PUSB = PLSB = 1 W
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Receiver de AM
La banda comercial de AM se extiende desde los 540 hasta
los 1,600 k Hz. Cada estación comercial de AM tiene
asignado un ancho de banda de 10 k Hz.
Pretender contar con un wideband receiver con ancho de
banda de 1600 – 540 = 1,060 k Hz no es razonable.
Crearíamos los siguiente problemas:
1. Si en el receiver utilizamos un ancho de banda de
1,060 k Hz para detectar una señal de 10 k Hz de
ancho de banda, inundamos la señal con ruido.
2. Si deseamos que todas las estaciones se escuchen más
o menos igual de bien o de mal, entonces
necesitaríamos contar con un amplificador de ganancia
constante en toda la gama de 1,060 k Hz. Esto sube los
costos. Es más fácil y barato diseñar un amplificador
para un menor ancho de banda.
3. Los diseños para aplicaciones de alta frecuencia son
más caros y complejos que los diseños para
frecuencias más bajas. Es más barato y sencillo
diseñar para una frecuencia que esté por debajo de la
gama de frecuencias comprendida entre los 540 y los
1,600 k Hz.
Por todas las anteriores razones, para la recepción de AM
se utiliza el receptor superheterodino.
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Diagrama de Bloque para Receiver Superheterodino
bocina
mixer
RF amp
filtro
pasabanda
X
LO
IF amp
detector
audio amp
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¿Cómo funciona el receiver superheterodino?
Comenzamos con la antena. La antena capta la señal, pero
ésta es muy débil. El RF amplifier es un amplificador
sintonizado a la frecuencia del carrier de la estación que el
usuario desea captar.
Al seleccionar la frecuencia fRF del carrier a ser captada por
el RF amplifier simultáneamente ajustamos la frecuencia
del oscilador local a fRF + 455 k Hz.
power spectrum
f (en k Hz)
f RF
f RF + 455
El mixer es un circuito nolineal el cual va a formar la
diferencia y la suma de las dos señales que estén presentes.
En nuestro caso las señales son el carrier con los sidebands
de información centralizado a una frecuencia fRF y la señal
del oscilador local, un carrier a frecuencia fRF + 455 k Hz.
A la salida del mixer tenemos dos outputs formados por la
suma y la diferencia de las dos señales presentes.
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power spectrum
f (en k Hz)
455
2 f RF + 455
El filtro pasabanda elimina el componente centralizado en
2 fRF + 455 así como otras armónicas y componentes no
deseados.
El input al amplificador de IF (intermediate frequency) es
el power spectrum de la señal original, pero centralizado en
455 k Hz.
power spectrum
f (en k Hz)
455
El detector descarta el carrier y extrae la señal de audio, la
cual luego pasa a un amplificador de audio.
El amplificador de audio, con un ancho de banda de unos 5
k Hz o menos, amplifica la señal y se la envía a la bocina.
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La bocina finalmente convierte la señal eléctrica en
vibraciones mecánicas de un diafragma el cual a su vez
genera el audio que escuchamos.
¿Cómo funciona el mixer?
El mixer primero suma las dos señales presentes, y luego
hace que ésta suma sufra los efectos de una nolinearidad.
Cualquier nolinearidad puede ser modelada con suficiente
grado de exactitud con una sumatoria de exponenciales.
Esto es, sea vi el voltaje de entrada y sea vo el voltaje de
salida.
vo = k + a vi + b vi2 + c vi3 + . . . + n vin
Si el voltaje de entrada es pequeño, lo cual es de esperarse,
entonces la siguiente aproximación es válida.
vo ≈ k + a vi + b vi2
vi consiste de la suma de las dos señales presentes. Para
simplificar la matemática, asumamos que la señal de
modulación es un tono de audio.
vi = ERF cos 2 fRF t + (Em /2) cos 2 fRF + fm) t +
(Em /2) cos 2 fRF - fm) t + B cos 2  (fRF + 455) t
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vo ≈ k + a [ERF cos 2 fRF t + (Em /2) cos 2 fRF + fm) t
+ (Em /2) cos 2 fRF - fm) t + B cos 2  (fRF + 455) t ] +
b [ERF cos 2 fRF t + (Em /2) cos 2 fRF + fm) t
+ (Em /2) cos 2 fRF - fm) t + B cos 2  (fRF + 455) t ]2