Download aritmética reseña histórica

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
GRADO: 7
TALLER Nº: 5
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE II
ARITMÉTICA
RESEÑA HISTÓRICA
Giuseppe Peano fue un matemático italiano que vivió de 1858 a 1932,
Peano nació un 27 de agosto en el pueblo de Cuneo, en Italia. Nació y vivió
su infancia en una granja. Iba a una escuela que estaba en el pueblo de
Spinetta a 5 km de su casa, por lo cual, si la aritmética no falla, caminaba 10
km diarios.
Su tío, el hermano de su madre, se dio cuenta de que Giuseppe tenía una
inteligencia fuera de lo común y se lo llevó a vivir a la ciudad de Turín para
darle una formación que le permitiera entrar a la universidad. Peano tenía
entonces 12 años. Ingresó a la Universidad de Turín en 1876 y para 1880 ya era doctor en
Matemáticas. Peano amaba las matemáticas, cuentan que las había amado siempre, desde
que era un niño. Fue durante toda su vida profesor e investigador de la Universidad de
Turín. Estudió prácticamente todas las áreas de las matemáticas y en todas ellas tuvo algo
nuevo que aportar. Uno de sus mejores libros fue Arithmetices principia, nova método
exposita en el que formalizó, desde el punto de vista de la lógica matemática, toda la
aritmética. Peano murió el 20 de abril de 1932 y, a su muerte, uno de sus alumnos escribió:
"...vivo fascinado con su amable personalidad, su capacidad para atraer alumnos, su
tolerancia de la debilidad humana, su permanente optimismo...Peano no sólo debe ser
clasificado como un gran matemático y lógico del siglo XIX debido a su originalidad y
a su influencia. Debe ser mirado, sin duda, como uno de los mejores científicos de ese
siglo..."
 OBJETIVO GENERAL
Aplicar la aritmética en la solución de problemas en diversos contextos.
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Interpretar diferentes tipos de enunciados que conducen a operaciones con fraccionarios.
Utilizar el producto y el cociente de fracciones en la solución de situaciones específicas.
 PALABRAS CLAVES
Aritmética, potencia, radicación.
 DESARROLLO TEÓRICO
ARITMÉTICA
Es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus
propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir
respectivamente números y habilidad.
Las siete operaciones básicas de la Aritmética son:
1. La suma o adición es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números
(naturales, enteros, racionales y reales )
PROPIEDADES DE LA SUMA:
Propiedad conmutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 si se altera el orden de los sumandos no
cambia el resultado.
Propiedad asociativa: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
Propiedad modulativa: 0. Para cualquier número 𝑎 , 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
Propiedad invertiva: Para cualquier número entero 𝑎, existe un número −𝑎 tal que
𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0. Este número −𝑎 se denomina inverso aditivo de 𝑎, y es
único para cada 𝑎. El inverso aditivo no existe en algunos conjuntos, como el de los
números naturales.
2. La resta o substracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, y
se trata básicamente de la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si 𝑎 + 𝑏 = 𝑐
entonces 𝑐 − 𝑏 = 𝑎 .
En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo.
El resultado de la resta se denomina diferencia.
3. El producto o la multiplicación es una operación aritmética que se puede explicar
como una manera de sumar números idénticos.
El resultado de la multiplicación de números se llama producto. Los números que se
multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente como multiplicando
(número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando).
4. La división es una operación aritmética que es la inversa de la multiplicación y a
veces puede interpretarse como una resta repetida.
En otras palabras, consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está
contenido en otro número (el dividendo). En la división de números enteros además
del dividendo y el divisor intervienen otros números. Así al resultado entero de la
división se le denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no
está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un
residuo, donde: residuo= dividendo-cociente  divisor.
5. La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la
multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el
exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la
cantidad de veces que la base se multiplica por si misma así por ejemplo:
24 = 2 × 2 × 2 × 2
 EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. Colocar entre las nueve cifras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 los signos de las cuatro operaciones
aritméticas básicas (+, - , x, ) en los lugares adecuados, no necesariamente en todos,
para que esta operación sea una igualdad: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 (se pueden usar
paréntesis si es necesario)
Ejemplo: 123-45-67+89=100
2. Exprese el número 100 empleando todas las 10 cifras. ¿Por cuántos procedimientos
puede hacerlo? Existen no menos de cuatro procedimientos.
3. Expresar el número 16 valiéndose de cuatro cincos unidos entre sí por los signos de
las operaciones.
4. La siguiente columna de cinco filas contiene 15 cifras impares:
111
333
555
777
999
Se deben tachar nueve cifras, eligiéndolas de manera, que al sumar las columnas de
las seis cifras restantes se obtenga como resultado 1111.
5. ¿Qué par de números enteros, si se divide el mayor por el menor, dan lo mismo que se
obtiene cuando se multiplican entre sí?
6. Si cierto número de dos cifras se divide por la suma de sus cifras, como resultado
vuelve a obtenerse la suma de las cifras del dividendo. Halle este número.
7. Un estudiante hizo una multiplicación y después borró de su cuaderno gran parte de las
cifras, de modo que sólo se conservó la primera fila de números y dos cifras de la última
fila; de las demás únicamente quedaron vestigios. Lo que siguió escrito era:
¿Podría usted restablecer el número por el cual multiplicó el estudiante?
8. Un individuo compró un impermeable, un sombrero y unos zapatos por 140 dólares. El
impermeable vale 90 dólares más que el sombrero, y el sombrero y el impermeable juntos
cuestan 120 dólares más que los zapatos. ¿Cuánto cuesta cada artículo por separado?
Cien nueces deben repartirse entre 25 personas de manera que a ninguna de ellas le
toque un número par de nueces. ¿Puede usted hacer esto?
10. Escribir en cada cuadradito los números del 1 al 8, con la condición de que la
diferencia entre dos números vecinos no sea nunca menor que 4.
11. Explique por qué puedo adivinar los dos números que ha pensado si me dice el
resultado de estas operaciones:
a. Piense un número.
b. Multiplíquelo por dos.
c. Súmele 5.
d. Multiplique el resultado por 5.
e. Piense otro número del 0 al 9.
f. Súmelo al resultado anterior.
g. Reste 25 al resultado obtenido.
12. Un granjero descubre que si cuenta sus ovejas de 2 en 2, le sobra 1. Lo mismo pasa
cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4 etc. hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el número más
pequeño posible de ovejas que tiene el granjero?
13. Tres amigos van a tomar café. Piden la cuenta y el camarero les dice que son 25
pesetas por los tres cafés. Cada uno pone 10 pesetas, en total 30. Con las 5 que sobran,
se queda cada uno 1 peseta, y las otras 2 para el bote del bar. Es decir, cada uno paga 9
pesetas, que por los tres serían 27, más las 2 de la propina, 29. ¿Donde está la peseta
que falta?
14. ¿Cuál es el número de 3 cifras, que cumplen la condición de que el producto de
dichas cifras es igual a su suma?
 PEQUEÑOS RETOS
1. Hay 3 canciones en un CD. La primera canción dura 6 minutos y 25 segundos, la
segunda canción dura 12 minutos y 25 segundos y la tercera canción dura 10 minutos
y 13 segundos. ¿Cuál es la duración total de la música grabada en el CD?
a)
b)
c)
d)
e)
28 minutos y 30 segundos
31 minutos y 13 segundos
29 minutos y 3 segundos
31 minutos y 30 segundos
30 minutos y 10 segundos
2. Gabriel es más alto que Armando y más pequeño que Tomas. Ignacio es más alto que
Cristian pero más pequeño que Gabriel. ¿Quién es el más alto?
a)
b)
c)
d)
e)
Armando
Cristian
Gabriel
Ignacio
Tomas
3. A Juan le gusta multiplicar por 3, a Pedro le gusta sumar 2 y a Luis le gusta restar 1.
Si llamamos J, P y L a las acciones de Juan, Pedro y Luis, respectivamente, ¿en qué
orden deberían realizar sus acciones favoritas para convertir 3 en 14?
a)
b)
c)
d)
e)
JPL
PJL
JLP
LJP
PLJ
4. Nora quiere colocar en los espacios de 2 8 dos dígitos de forma que el numero
completo sea divisible por 3. ¿Cuantas posibilidades tiene?
a)
b)
c)
d)
e)
19
20
29
30
33
5. Un grupo de personas quiere visitar cuatro islas A, B, C y D en barco. Existen barcos
entre tierra firme y las islas A, B y C. Hay un barco entre las islas A y B. También a C
se le puede llegar desde A y viceversa. Existe, además, un barco que traslada entre
las islas A y D. ¿Cuál es el mínimo número de viajes, en barco, que se deben hacer
para visitar las cuatro islas partiendo desde tierra firme?
a)
b)
c)
d)
e)
5
7
4
6
8
6. Luisa y Juan juegan a las adivinanzas. Para ello, colocan siete hojas de papel en una
mesa y escriben los números del 1 al 7 en cada hoja (exactamente uno en cada hoja).
Voltean las hojas de manera que no se vean los números y los desordenan. Al azar,
Juan toma tres hojas y Luisa toma dos quedando dos en la mesa sin voltear ni ver.
Después de ver sus hojas, Juan le dice a Luisa: “Yo sé que la suma de los números
que tienes en tus hojas es un número par". ¿Cuál es la suma de los números de las
hojas que tiene Juan?
a)
b)
c)
d)
e)
6
9
10
12
15