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AQUI ESTA LO QUE NOS PIDIO QUE LE ENVIARAMOS ESTE TRABAJO LO HICIMOS EDGAR SANDOVAL Y FABIAN LLANAS JIMENEZ YA QUE LOS DOS NO SABIAMOS EN QUE EQUIPOS ESTABAMOS Y POR ESO LO HICIMOS ASI. Geometría La geometría del griego geo (tierra) y métrica (medida) es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Tiene su aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías). 1. Poliedro Porción de espacio limitada por polígonos planos. Sus elementos característicos son las caras, las aristas y los vértices: Las caras son los polígonos que la limitan. Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas. Los vértices son los de las caras. En cada vértice de un poliedro concurren tres o más caras. Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras. Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura. Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen. En todo poliedro simple se cumple el teorema de Euler 2. Prisma Poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales. Se llama altura del prisma a la distancia entre los planos en que se sitúan sus bases. Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos… Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases: En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular. Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases. Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos. Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es: Alat = perímetro de la base · altura El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases: Atot = área lateral + 2 · área de la base El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura: V = área de la base · altura Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma. 3. Poliedros Regulares Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares: Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 4 vértices y 6 aristas. Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene 8 vértices y 12 aristas. Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y 12 aristas. Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 20 vértices y 30 aristas. Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices y 30 aristas Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de sí mismo, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el cubo lo es del octaedro: Tetraedro Poliedro con cuatro caras que, necesariamente, han de ser triángulos. Es, por tanto, una pirámide triangular: Si las cuatro caras de un tetraedro son triángulos equiláteros, entonces se llama tetraedro regular y es uno de los cinco poliedros regulares. Habitualmente, al hablar del tetraedro se hace referencia al tetraedro regular. El área de un tetraedro regular en función de su arista es: A= a2 3 Su volumen es: V = a3 /12 Cubo Poliedro regular formado por seis caras cuadradas. El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares) con todas las aristas iguales. El área total de un cubo de arista a es A = 6a2 Su volumen es V = a3 La longitud de su diagonal es: D= a 3 El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro. Octaedro Poliedro de ocho caras. Se suele designar genéricamente así al octaedro regular, poliedro formado por ocho triángulos equiláteros idénticos: El área de las caras de un octaedro en función de su arista, a, es: A= 2a2 3 Su volumen es: V = a3/3 Dodecaedro Poliedro regular formado por doce caras pentagonales: El área de un dodecaedro de arista a es: Su volumen es: V = a3(15 + 7)/4 Icosaedro Poliedro regular formado por veinte caras triangulares: El área de un icosaedro es: Su volumen es: V = 5a3(3 + )/12 Calcula en el triángulo A(2, 3) ; B(6, 9) ; C (8, 1): 1) Ecuaciones de las medianas y coordenadas del baricentro Mediana: recta que pasa por el punto medio de una lado y por el vértice opuesto Punto medio del lado AB: Vector: Mediana: En forma general ————————————— Punto medio del lado BC: Vector Mediana: En forma general ————————————— Punto medio del lado AC: Vector Mediana En forma explicita ————————————— Para calcular el baricentro resolvemos el sistema formado por dos de las medianas: Por sustitución . Despejando El baricentro 2) Ecuaciones de las mediatrices y coordenadas del circuncentro Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio Los puntos medios M, N y O ya los hemos calculado. Calculamos los vectores de los lados para sacar la pendiente de la perpendicular. Vector Pendiente Pendiente de la perpendicular Mediatriz ———————————————Vector Pendiente Pendiente de la perpendicular Mediatriz: ——————————————– Vector Pendiente Pendiente de la perpendicular ediatriz: —————————————Para calcular el circuncentro resolvemos el sistema formado por dos de las mediatrices Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda: ; El circuncentro 3) Ecuaciones de las alturas y coordenadas del ortocentro Altura : recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto En el apartado anterior ya hemos calculado la pendiente de las rectas perperndiculares a los lados por lo que directamente, podemos escribir las ecuaciones de las alturas: Altura respecto al lado AB: recta perpendicular al lado AB que pasa por C (8, 1): Altura respecto al lado AC: recta recta perpendicular al lado AC que pasa por B(6, 9): Altura respecto al lado BC: recta recta perpendicular al lado BC que pasa por A(2, 3): El ortocentro de calcula mediante la intersección de dos de las alturas: Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda: El ortocentro: ; Trigonometría La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".[1] La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio. En nuestros tiempos de avances tecnológicos es necesario y casi prioritario el uso de cálculos y funciones que a pesar que fueron creadas hace mucho tiempo siempre van a ser información y material de vanguardia en el moderno mundo de hoy, es necesario acotar que en el siguiente trabajo abordaremos temas de gran importancia en la matemáticas específicamente en el area de trigonometría en donde estudiaremos sus funciones y algo mas. Dentro de los puntos que abordaremos estan los siguientes: Teorema de Pitágoras Ley de los Senos Ley del Coseno Funciones trigonométricas Función Seno y Cosecante Función Coseno y Secante Función Tangente y Cotangente Fórmulas trigonométricas. 2. Teorema de pitágoras El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así: c2 = a2+b2 donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del triángulo). El cuadrito rojo en la esquina del triángulo indica solamente que ese ángulo es recto (o sea, mide exactamente 90°) Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo rectángulo: Te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá: c2 = (3)2 + (4)2 elevando al cuadrado, eso da: c2 = 9 +16 = 25 para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada: o sea que c = 5. Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras. así por ejemplo, en el triángulo: hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está sumando, la paso restando: c2- b2 = a2 Luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así: a2 = c2 - b2 y ya está despejada. sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12) a2 = (15)2 - (12)2 elevamos al cuadrado y queda: a2 = 225 - 144 = 81 finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a: 3. Ley de los senos La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley de los Senos dice así: donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal. Resolución de triángulos por la ley de los Senos Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver. En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno. Supóngamos que te ponen el siguiente problema: Resolver el triángulo siguiente: Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5. Lo que tenemos entónces es lo siguiente: A=5 B=? C=? a = 43° b = 27° c=? El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así: c = 180° - a - b Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así: c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110° c= 110° Ya tenemos entónces los tres ángulos a, b y c. Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos: sustituyendo queda: Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos: haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como el sen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y calculamos ésta expresión: 3.32838 = B y esto es lo que vale B. Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C: (Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.) Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): hacemos las operaciones y queda: 6.88925 = C y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo. Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo: o escrito ya sin el término de en medio: igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y si haces las operaciones verás que te dá C = 6.88925 igual que antes. 4. Ley del coseno La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley del Coseno dice así: y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C, entónces dice así: donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal. Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos: Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los lados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos. Resolución de triángulos por la ley del Coseno Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lo puede resolver. En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley de los cosenos. Supóngamos que te ponen el siguiente problema: Resolver el triángulo siguiente: llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b. Lo que tenemos entónces es lo siguiente: A=? B=9 C = 12 a = 25° b=? c=? Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo: realizando las operaciones queda: A = 5.4071 Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de los senos, : Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar queda: Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad: de ésta igualdad despeja el ángulo b (una forma rápida de despejar cuando lo que queremos despejar está abajo, es como sigue: invierte primero los quebrados - lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo arriba-: luego, lo que está dividiendo al sen(b) abajo, pásalo multiplicando arriba del otro lado. y así es más rápido.) haciendo las operaciones nos queda: inviértelo para que quede bien escrito: sen (b) = 0.7034297712 y saca la función inversa del seno (el arcoseno): b = sen-1 (0.7034297712) b = 44. 703 = 44° 42' El ángulo c es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando tengas dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así: c = 180° - a - b Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así: c = 180° -25°- 44°42' = 180° - 69°42' = 110°17' c= 110°17' y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo. 5. Funciones Trigonométricas Función Seno: La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa: Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente: el seno del ángulo alpha será: Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno: cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en inglés la función seno se escribe "sin"): para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha. Función Cosecante La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante: sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución: y ya. Gráfica de la función Seno Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura: Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entónces que la función está "acotada" entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta +1 o -1 son los múltiplos impares de ¶ / 2 , o sea: con n entero y mayor que cero. La función seno(x) tiene periodo de 2¶, esto es, que cuando x es igual a 2¶, la función se vuelve a repetir tomando los valores que tomó a partir del cero. Función Coseno: La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa: Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente: el coseno del ángulo alpha será: Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno: cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "cos": para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha. Función Secante La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente: en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante: sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución y ya. Gráfica de la función Coseno Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así: Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno está desfasada medio periódo respecto de la función seno. Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice "acotada", que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa. La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2¶ (o sea que cuando x toma el valor de 2¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero otra vez. Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros de ¶, o sea: n¶ con n cualquier entero incluyendo el cero. Función Tangente: La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente: Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente: la tangente del ángulo alpha será: Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente: cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "tan": para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha. La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue: y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente. Función Cotangente La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas: pero es la misma función. En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sería: sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución: y ya. Gráfica de la función Tangente Si graficaras la función y = tan (x) en un plano cartesiano, ésta se vería así: los puntos donde la función se va a infinito se llaman "asíntotas" y en esos valores la función tangente no está definida. Esta función tiene periodo ¶ (recuerda que en radianes ¶ = 180°). Es decir que cuando la x toma los múltiplos de ¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la función se repite así hasta infinito. Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está "acotada", o sea limitada en el eje de las y's, sino que puede tomar cualquier valor y no como la función seno o coseno que sólo pueden tomar valores entre el +1 y el -1. Fórmulas e Identidades Trigonométricas La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas: Fundamentales sen(-x) = -sen(x) cos(-x) = cos(x) tan(-x) = -tan(x) sen2x + cos2x = 1 1 + tan2x = sec2x 1 + cotan2x = csc2x sen ( ¶ - x) = sen (x) cos ( ¶ - x) = -cos (x) tan ( ¶ - x) = -tan (x) Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v) sen (u - v) = sen (u)cos (v) - cos(u)sen(v) cos (u + v) = cos(u) cos(v) - sen(u)sen(v) cos (u - v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v) Fórmulas para la suma del doble del ángulo sen(2x) = 2sen(x)cos(x) cos(2x) = 2cos2(x) - 1 cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) cos(2x) = 1 - 2sen2(x) Fórmulas para el cuadrado de la función Fórmulas para el cuadrado de la función con la mitad del ángulo Fórmulas para la tangente de la mitad del ángulo Fórmulas para el producto de seno y coseno Fórmulas para la suma y resta de senos y cosenos Identidades entre funciones trigonométricas Ley de los seno Ley del Coseno La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste triángulo: Tabla de coseno y seno de los ángulos principales. Comprobar las identidades: 1 2 2 Simplificar las fracciones: 1 2 3 3 Calcular las razones de 15º (a partir de las de 45º y 30º). 4 Desarrollar: cos(x+y+z) 5 Resuelve las ecuaciones trigonométricas: 1 2 6 Resuelve las ecuaciones trigonométricas: 1 2 7 Resuelve las ecuaciones trigonométricas: 1 2 8 Resuelve los sistemas de ecuaciones trigonométricas: 1 2 3