Download Considere la ecuación cuadrática

Introducción histórica
Desde hace por lo menos 3.500 años, se resuelven problemas que
dan lugar a ecuaciones. En los escritos de los antiguos babilonios y
egipcios, se han descifrado tales problemas y la forma de resolverlos.
Algunas de las antiguas tablillas contienen problemas de tipo
algebraico y geométrico, pero las soluciones no utilizan nociones de la
geometría. Un antiguo pergamino de los babilonios contiene la solución
de la ecuación: x2-x = 870
"Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x , y cuádrese. Entonces,
súmese 1/4 a 870, para obtener 3.481/4. Ahora, tómese la raíz
cuadrada de 3.481/4 para obtener 59/2. Al número obtenido, súmese la
mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una
solución de la ecuación".
Si se utilizan símbolos en lugar de palabras, se dan los siguientes pasos:
Del ejemplo mencionado anteriormente, se deduce que el método
empleado para la solución era el de completación de cuadrados,
el cual se sigue empleando y enseñando actualmente en la escuela
secundaria.
A continuación, se describen los resultados teóricos más importantes
relacionados con las ecuaciones de segundo grado.
Definiciones.
i) La ecuación:
, donde a, b y c son números reales y a
¹ 0, se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado
en la variable x .
ii) Si b y c son distintos de cero, la ecuación se llama completa o
afectada; incompleta, en caso contrario.
Así, las ecuaciones:
y
son cuadráticas completas,
mientras que las ecuaciones:
y
son cuadráticas
incompletas.
iii) En la ecuación cuadrática:
, la cantidad:
es
llamada discriminante de la ecuación y su signo determina la naturaleza
de las raíces, como lo afirma el siguiente teorema.
Teorema.
Considere la ecuación cuadrática:
;a
0.
Si
, entonces, las raíces son reales y diferentes.
Si
, entonces, las raíces son reales e iguales.
Si
, entonces, las raíces son complejas conjugadas.
3.4.1 Solución de ecuaciones cuadráticas.
Para resolver la ecuación cuadrática,
cualquiera de los siguientes métodos:
puede usarse
Método 1. Solución por factorización .
Como toda ecuación cuadrática es equivalente a una ecuación en la
cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es
cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, se procede así:
Si ,
, entonces, la ecuación
es
equivalente a:
(1).
La ecuación (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de
los números reales:
.
Método 2. Solución por completación de cuadrados.
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones
de una ecuación cuadrática.
Se supone que la ecuación:
ecuación cuadrática:
,con a
0 ,es equivalente a la
(1).
Sumando
en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:
ó
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo
cual tiene sentido solo si
), se obtiene:
,de donde
(2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la
ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación :
.
Metodo 3 solucion por la formula general
Usando el método de completación de cuadrados, demuestre que la
solución de la ecuación cuadrática :
por :
, con a
(1).
Solución :
La ecuación:
Sumando
0 viene dada
, con a
0 ,es equivalente a la ecuación :
,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene:
O equivalentemente,
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad(si
b2-4ac >= 0), se obtiene:
De donde :
(2)
La fórmula (2) se conoce como :fórmula general para resolver la ecuación
cuadrática :
; con a
0.
3.5 FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS
Use el teorema del factor para demostrar que:
a) Si n N ,entonces, (x - y ) es factor de
.
b) Si n es natural par, entonces, (x + y ) es factor de
.
c) Si n es natural impar, entonces, (x + y ) es factor de
Solución:
Considere el polinomio
a) Como
que
.
, se sigue, entonces, por el teorema del factor
(x - y ) es factor de
.
b) Si n es natural par, entonces,
con k N . Así que
Como
por el teorema del factor que
, se sigue, entonces,
(x -(- y) ) = (x + y ) es factor de
c) Considere el polinomio
Entonces,
.
con n impar.
. Como n esimpar,
y, por lo tanto,
. En consecuencia , (x -(- y) ) = (x + y ) es factor
de
.
Del ejemplo anterior y usando la regla de Ruffini, se pueden deducir las
siguientes fórmulas que permiten factorizar la suma y la diferencia de
potencias n-simas.
si n E N,
si n natural par,
si n natural impar,
Casos Particulares: Sumas y Diferencias de Cubos
(1)
(2)
(3)
Cuando n = 2, se obtiene de la formula (2):
x2-y2=(x-y)(x+y) (4)
La Fórmula (4) se usa para factorizar cualquier diferencia de cuadrados.
Cuando n = 3, las fórmulas (1) y (3) sea transforman, respectivamente
en:
x3-y3= (x-y)(x2+xy+y2) (5)
x3 + y3= (x+y)(x2-xy+y2) (6)
Las fórmulas (5) y (6) se usan respectivamente para factorizar, una
diferencia o una suma de cubos.